1.1 Définition. 1.2 Déterminer la forme canonique. 1.3 Remarques importantes

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1 1. Fonction du second degré 1.1 Définition Une fonction f définie sur R dont l expression peut se mettre sous la forme = ax 2 +bx +c (où a, b et c sont des réels avec a non nul) est une fonction du second degré. ax 2 +bx +c est la forme développée de. On peut aussi écrire sous la forme canonique a(x α) 2 +β. 1.2 Déterminer la forme canonique Exemple avec 2x 2 + 4x On commence par mettre le coefficient a en facteur : 1.3 Remarques importantes 2x 2 + 4x 4 = 2(x 2 2x) 4 2. On reconnaît le début d une identité remarquable : 2x 2 + 4x 4 = 2 [ (x 1) 2 1 ] 4. Les deux remarques suivantes sont très importantes. 1. α = b 2. f(α) = β 3. On obtient alors : 2x 2 + 4x 4 = 2(x 1) puis : 2x 2 + 4x 4 = 2(x 1) 2 2.

2 2. Courbe représentative et variations d un trinôme du second degré Cas a > 0 x b Soit f la fonction trinôme f : x ax 2 +bx +c (a 0). Soient α et β les deux réels tels que = a(x α) 2 +β. La courbe représentative de f est une parabole dont le sommet a pour abscisse b (c est-à-dire α) et pour ordonnée β. Deux allures sont possibles, selon le signe de a. ( b (,f b )) ou (α,β) x α f admet un minimum sur R. Ce minimum est atteint en b (c est-à-dire α). β Cas a < 0 3. Équations du second degré ( b (,f b )) x b ou (α,β) x α β f admet un maximum sur R. Ce maximum est atteint en b (c est-à-dire α).

3 3.1 Résoudre une équation du second degré 3.2 Discriminant d un trinôme 1. Commencer par bien observer l équation (et vérifier au passage qu il s agit bien d une équation du second degré). 2. Plusieurs possibilités alors : 2.1 La résolution peut être évidente. Par exemple, résoudre dans R l équation x = On parvient à factoriser le trinôme du second degré grâce à un facteur commun ou aux identités remarquables. Résoudre dans R les équations 2x 2 x = 0 et 4x 2 4x + 1 = Dans les autres cas, on utilise la forme canonique (voir les exercices) ou les formules avec le discriminant (voir plus loin). Soit l équation du second degré (E) : ax 2 +bx +c = 0, (a 0). On pose = b 2 4ac ( est appelé le discriminant du trinôme x ax 2 +bx +c ou de l équation (E)). 3.3 Résoudre une équation du second degré en utilisant le discriminant 3.4 Racine d un trinôme Soit l équation du second degré (E) : ax 2 +bx +c = 0, (a 0). Si < 0, (E) n admet pas de solution réelle. Si = 0, (E) admet une seule solution : b. Si > 0, (E) admet deux solutions : b+ et b. Toute solution de l équation du second degré ax 2 +bx +c = 0, (a 0) est appelée racine du trinôme x ax 2 +bx +c.

4 4. Inéquations du second degré 4.1 Factorisation d un trinôme du second degré Soit = b 2 4ac le discriminant du trinôme du second degré x ax 2 +bx +c, (a 0). Si > 0, soient x 1 et x 2 les racines du trinôme; alors : ax 2 +bx +c = a(x x 1 )(x x 2 ). Si = 0, soit x 0 = b l unique racine du trinôme; alors : ( ax 2 +bx +c = a(x x 0 ) 2 = a x + ) b 2 = a(x α) Signe d un trinôme du second degré Soient f : x ax 2 +bx +c un trinôme du second degré et son discriminant. Cas > 0 (f possède deux racines x 1 et x 2 avec x 1 < x 2 ) x x 1 x 2 ax 2 +bx +c signe de a 0 signe de a 0 signe de a Cas < 0 (f ne possède aucune racine réelle) x ax 2 +bx +c signe de a Cas = 0 (f possède une seule racine réelle) x b ax 2 +bx +c signe de a 0 signe de a

5 Fonction du second degré Courbe représentative, variations d un trinôme du second degré Équations du second degré Inéquations du second degré 4.3 Résoudre une inéquation du second degré Exemple. résoudre l inéquation x 2 x + 2 > On résout d abord l équation x 2 x + 2 = 0. Cette équation admet deux solutions : 2 et = On en déduit le tableau de signes suivant : x 2 1 x 2 x L ensemble des solutions de l inéquation x 2 x + 2 > 0 est donc ] 2;1[.

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