Enseignante: A. GUERRAB

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1 Enseignante: A. GUERRAB

2 Mise en contexte En statistiques, plusieurs problèmes consistent à définir la relation qui existe entre deux variables statistiques : Le nombre d années d expérience et le nombre d erreurs commises ; L âge du conducteur et le nombre d accidents d auto ; Le volume des ventes et les dépenses en publicité ; Le nombre d heures d études et les résultats aux examens ;

3 Mise en contexte Dans ce genre de problèmes, les principales questions auxquelles nous voudrons répondre sont les suivantes : Existe-il une relation ou une dépendance entre les variables statistiques? Cette relation, si elle existe, est-elle linéaire ou non? Si une dépendance linéaire existe, de quelle façon peut-on la traduire par une équation mathématique? La relation, si elle existe, est-elle grande ou faible? Si l équation mathématique de la relation entre les variables existe, comment prévoir les valeurs d une certaine variable à partir de la connaissance de valeurs de l autre variable ou des autres variables?

4 Mise en contexte Pour répondre à toutes ces questions, nous ferons appel à une théorie statistique que nous appelons : L analyse de la régression

5 Principe général pour ces deux approches Rechercher l existence d une liaison (relation, dépendance) entre deux variables quantitatives X et Y Observation ou expérience A définir On dit alors simple Nature des variables Aléatoires(ou non)rôles(idem ou non)

6 Coefficient de corrélation linéaire X et Y sont aléatoires Si COV(X, Y) rx, Y 1 r, Y 1 VAR(X) VAR(Y) X r X, Y r, est proche de 0: les deux variables sont indépendantes Si X Y est proche de - 1: il ya une forte corrélation linéaire entre les deux variables. Si r X, Y est proche de + 1: il ya une forte corrélation linéaire entre les deux variables.

7 Contrôle de l hypothèse de linéarité Linéarité entre X et Y Visualisation du nuage de points. Y ** * *** *** *** * Y * * *** * * ** * ** *** Linéarité Pas de linéarité

8 L analyse de la régression L analyse de la régression est une méthode statistique qui permet d étudier le type de relation pouvant exister entre une certaine variable (dépendante) dont on veut expliquer les valeurs et une ou plusieurs autres variables qui servent à cette explication (variables indépendantes) Régression linéaire simple: une variable indépendante Régression linéaire multiple: plusieurs variables indépendantes En d autres termes, l analyse de la régression permet d étudier les variations de la variable dépendante en fonction des variations connues des variables indépendantes.

9 L analyse de la régression Une analyse de régression est : dite simple si elle permet de prédire les valeurs d une variable dite dépendante (expliquée (Y)) à partir des valeurs prises par une autre variable dite indépendante (explicative (X)). dite multiple si elle permet de prédire les valeurs d une variable dite dépendante (expliquée (Y)) à partir des valeurs prises par plusieurs autres variables dites indépendantes (explicatives (X i )).

10 Définition : Nuage de points ou diagramme de dispersion C est la représentation graphique dans le plan cartésien de l ensemble des paires de données (x i,y i ). Ces données proviennent d une série statistique de deux variables obtenues à partir d une étude menée sur un échantillon ou sur une population.

11 Exemple : Nuage de points ou diagramme de dispersion Supposons que le nombre d heures d études nécessaires pour préparer l examen final en statistiques et le nombre de bonnes réponses obtenues par chaque étudiant sont donnés dans le tableau suivant : Tracer le nuage de points ou le diagramme de dispersion des données présentées ci-dessus.

12 Exemple : Nuage de points ou diagramme de dispersion

13 Objectif d une analyse de régression simple Une fois la représentation graphique effectuée, il est facile de soupçonner l existence d une certaine relation entre les deux variables (caractères étudiés). Il faut maintenant chercher à exprimer cette relation à l aide d une équation mathématique. Y f (X ) On essaie de trouver la forme mathématique de la fonction f

14 Définition : Nous appelons régression linéaire l ajustement d une droite au nuage statistique d une série de couples de données. Ainsi, une régression linéaire simple va permettre de résumer, d interpréter et de prévoir les variations d un caractère dit dépendant (Y) en fonction d un autre dit indépendant (X) et ce en utilisant une droite.

15 y = x + Variable à expliquer Paramètres du modèle Variable explicative Erreur aléatoire f (X) Prévision du modèle Ecart au modèle Y = Y + Modèle de régression linéaire simple

16 : sens de 1 Y ** * * * ** ** Relation positive entre X et Y: Quand X augmente, Y augmente. X Y ** *** * ** Relation négative entre X et Y: Quand X augmente, Y diminue. Y X ** * * * *** * * ** ** ** ** ** * ** ** * X Pas de relation entre X et Y: Les variations de Y ne dépendent pas des variations de X

17 Équation de la régression linéaire simple (comment l'espérance de y est liée à x) E(y) = x Équation estimée de la régression linéaire simple (droite de la régression estimée, modèle empirique) ŷ b b x 0 1 y = Variable dépendante ou expliquée ŷ= valeur estimée de y pour une valeur x x = Variable indépendante ou explicative 0 et 1 = Coefficients théoriques de régression (à estimer à l aide d un échantillon) par b0 et b1 = Erreur théorique aléatoire (d autres facteurs influencent Y)

18 L'équation estimée de la régression linéaire simple (droite de la régression estimée, modèle empirique) peut être utilisée pour une estimation ponctuelle de la valeur moyenne de y pour une valeur particulière de x ou pour prévoir la valeur ponctuelle de y associée à une valeur particulière de x ŷ ŷ b b x 0 1 y = Variable dépendante ou expliquée = valeur de prévision de y pour une valeur x, ou moyenne de y estimée pour une valeur de x x = Variable indépendante ou explicative

19 Les différentes étapes d une étude de régression

20 Il existe plusieurs méthodes permettant d estimer le modèle théorique y par le modèle 0 1x empirique ŷ b b x 0 1 Méthode des moindres carrés Méthode de la vraisemblance

21 y y i Valeur observée pour Xi Estimation des paramètres de la droite de régression y i = a x i + b valeur prédite par le modèle pour la valeur de x i x i Au couple (x i, y i ) observé s ajoute y i prédit par le modèle x

22 Y = Y + = Y - Y e i = y i - y i

23 Estimation des paramètres de la droite de régression L analyse de la régression linéaire simple y y i Valeur observée pour Xi y i = a x i + b valeur prédite par le modèle pour la valeur de x i x i x L écart est égal à y i - y i soit égal à e i

24 On obtient finalement une solution unique pour la droite de régression dont le résultat général est: a cov( X, Y var( X ) ) b Y ax Ce résultat montre bien que X et Y ne sont pas interchangeables dans la régression

25 a = degrés/mm b = degrés Equation de la droite: L2(degrés) = L

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