Preuves de correction partielle de programmes

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1 Série 1 Preuves de correction prtielle de progrmmes Pour tous les progrmmes suivnts : 1. donnez l'utomte de Von Neumnn correspondnt, 2. donnez l propriété de correction du progrmme 3. démontrez que le résultt stisfit l propriété nnoncée en utilisnt l technique de preuve de Floyd-Dijsktr-Hore, 4. en déduire les conditions d'utilistion du progrmme, Exercice 1.1 Multipliction vec l'ddition x:=a ; y:=b ; r:=0 ; while(y>0){ r:=r+x; y:=y-1; } Donnez l propriété de correction qui exprime qu'à l sortie de ce progrmme r contient l vleur de A B. Exercice 1.2 Somme des N premiers entiers s:=0 ; r:=0 ; while(r!=n+1){ s:=s+r; r:=r+1; } Donnez l propriété de correction qui exprime qu'à l sortie de ce progrmme s contient l vleur de Σ N 1 Exercice 1.3 Somme des N premiers entiers s:=0 ; r:=n ; while(r!=0){ s:=s+r; r:=r-1; } Donnez l propriété de correction qui exprime qu'à l sortie de ce progrmme s contient l vleur de Σ N 1 Exercice 1.4 Multipliction rpide x:=a ; y:=b ; r:=0 ; while(y>0){ if (y%2=0){ x:=2*x; y:=y/2; } else { r:=r+x; y:=y-1; } } Donnez l propriété de correction qui exprime qu'à l sortie de ce progrmme r contient l vleur de A B. 1

2 Exercice 1.5 Clcul de l rcine crrée sns multipliction n=1; s=1; while(2*s-n<x){ n=n+1; s=s+n; } On prétend qu'à l sortie du progrmme l'entier n vérie : n 1 < X n Indiction L'idée cchée derrière cet lgorithme est l suivnte Soit n l prtie entière de l rcine crré de X, c'est-à-dire X = n 2 + r vec 0 r < 1 L'lgorithme exploite l formule suivnte pour pprocher X pr l somme des n premiers nomres : s = Σ i=n i=1 i = n(n+1) 2 2s = n(n + 1) = n 2 + n 2s n = n 2 Exercice 1.6 Exponentition vec l multipliction x:=a ; y:=n ; r:=1 ; while(y>0){ r:=r*x; y:=y-1; } Donnez l propriété de correction qui exprime qu'à l sortie de ce progrmme r contient l vleur de A N. Exercice 1.7 (6 pt) Preuve de correction prtielle de l'lgorithme d'exponentition rpide Algorithme x:=a ; y:=n ; r:=1 ; while(y>0){ if (y%2=0){ x:=x*x; y:=y/2; } else { r:=r*x; y:=y-1; } } Q1. Donnez les trnsitions de l'utomte pour qu'il corresponde u progrmme précédent. q 0 q s q q q q

3 Q2. Complétez l'exécution de l'utomte en doptnt l présenttion ci-dessous. ) Pour les vleurs A = 3, N = 3 étt q 0 q 1 q x y r ) Même question pour les vleurs A = 2, N = 0 Q3. Donnez l propriété de correction qui exprime qu'à l sortie de l'utomte l vrile r contient l vleur de A N. def Solution (exemple de rédction) ψ s = r = = 0 Q4. (3 pt) Preuve de correction prtielle (soignez l rédction!) Donnez et démontrez l'impliction ssociée à chque trnsition et donnez les 5 invrints (ψ s, ψ 1, ψ 3, ψ 4, ψ 2 ) ssociés ux étts q s, q 1, q 3, q 4, q 2. Indiction def ψ 1 = r = A N.... Q5. En déduire les conditions d'utilistions du progrmme. Exercice 1.8 Clcul du milieu sns division x=a; y=b; while(x<y){ x=x+1; y=y-1; } On prétend qu'à l sortie du progrmme le résultt (x, y) stisfit l propriété suivnte : le milieu de A et B est compris entre y 1 et x + 1 ce qu'on trduit pr l formule y A + B x 0 x y 1 Q6. Donnez les trnsitions de l'utomte correspondnt u progrmme ci-dessus (q 0 représente le point d'entrée et q s celui de sortie de l'utomte) q 0 q 1 q q s q q q 2 q 1 3

4 Recherche d'invrints Fîtes quelques exécutions pour des vleurs de A et B n d'en déduire un invrint sur x + y. Il vous ser utile pour l preuve. Q7. Que vut x + y u cours du progrmme? x + y = Q8. Preuve de correction prtielle Rédigez l preuve (en suivnt l méthode de Floyd-Dijsktr- Hore) qu'à l sortie du progrmme le résultt (x, y) stisfit l propriété 2(y 1) A + B 2(x + 1) Q9. En déduire les conditions d'utilistion du progrmme. Exercice 1.9 Clcul des termes de l suite de Fioncci =1; =0; i=0; r=1; while(i!=n){ r=+; =; =r; i=i+1; } On prétend qu'à l sortie du progrmme le résultt r stisfit l propriété r = fi(n) où fi( 1) =...(on peut choisir l vleur lirement puisque l suite n'est ps dénie pour -1) fi(0) = 1 fi(1) = 1 fi(i) = fi(i 1) + fi(i 2) Q10. Donnez les trnsitions de l'utomte correspondnt u progrmme ci-dessus (q 0 représente le point d'entrée et q s celui de sortie de l'utomte) q 0 q 1 q q s q q 2 q 2.. := q 3 q 3.. :=... q ; q 4 q 1 Q11. Preuve de correction prtielle Rédigez l preuve (en suivnt l méthode de Floyd-Dijsktr- Hore) qu'à l sortie du progrmme r = fi(n). Vous prendrez pour invrint en q 1 une propriété de l forme : r = = = Q12. En déduire les conditions d'utilistion du progrmme. 4

5 Exercice 1.10 Clcul du pgcd de deux entiers nturels =A; =B; while(!=){ if (>) then :=-; else :=-; } On prétend qu'à l sortie du progrmme le résultt r stisfit l propriété = = pgcd(a, B) Q13. Donnez les trnsitions de l'utomte correspondnt u progrmme ci-dessus (q 0 représente le point d'entrée et q s celui de sortie de l'utomte). Propriétés du pgcd On note x y le fit que x divise y, c'est-à-dire que y est un multiple de x, soit encore k N, y = k.x et on rppelle les propriétés du pgcd nécessires pour prouver l correction de ce progrmme. 1) pgcd(x, x) = x 2) p p = p pgcd(, ) 3) p p = p 3 ) p p = p + 4) p q q p = q = p Ces propriétés permettent de démontrer que pgcd(, ) = pgcd(, ) et pgcd(, ) = pgcd(, ). Q14. Complétez l preuve ci-dessous. Solution (exemple de rédction) Soit p def = pgcd(, ) et q def = pgcd(, ). Puisque p = pgcd(, ) lors p et et donc p (d'près.. ) mis lors p pgcd( ,.. ) (d'près.. ) et donc p.. (pr dénition de.. ). Puisque q def = pgcd(, ) lors q et q et donc q (d'près.... ) mis lors q pgcd( ) (d'près.. ) et donc q.. (pr dénition de.. ). Conclusion : q = p (d'près.. ), utrement dit pgcd( ) = pgcd( ). On démontre de l même mnière que pgcd(, ) = pgcd(, ). Q15. Preuve de correction prtielle Rédigez l preuve (en suivnt l méthode de Floyd-Dijsktr- Hore) qu'à l sortie du progrmme = pgcd(a, B). Vous prendrez pour invrint en q 1 une propriété de l forme : pgcd(...,.. ) = pgcd(a, B) Q16. En déduire les conditions d'utilistion du progrmme. 5

6 Série 2 Exécution, produit, complémentire d'utomtes déterministes Exercice 2.1 Automtes reconnisseurs complémentire, produit, ccessiilité, minimistion On considère l'lphet Σ = {, }. Q17. Donnez un utomte A qui reconnît les mots de l forme?, c'est-à-dire les mots qui se terminent pr. Solution (exemple de rédction) ctégories ω ω A Q18. Donnez un utomte B qui reconnît les mots qui ne commencent ps pr, c'est-à-dire les mots qui ne sont ps de l forme?. Solution (exemple de rédction) ctégories ɛ..... ω échec A Q19. À prtir des utomtes A et B construire un utomte qui reconnît le lngge def L c = L (Σ ) L (Σ ) Complétez l tle de trnsitions ci-près. Solution (exemple de rédction) (0, 0 ) (0, 1 ) (0, 2 ) (0, 3 ) (0, 4 ) A B (1,4 ) (1,3 ) (0,2 ) (0,4 )

7 (1, 0 ) (1, 1 ) (1, 2 ) (1, 3 ) (1, 4 ) (1,1 ) (1,3 ) (2,4 ) (2,4 ) (2, 0 ) (2, 1 ) (2, 2 ) (2, 3 ) (2, 4 ) (3,1 ) (3,4 ) (0,4 ) (0,2 ) (3, 0 ) (3, 1 ) (3, 2 ) (3, 3 ) (3, 4 ) (1,1 ) (1,4 ) (1,3 ) (2,4 ) (2,2 ) (2,4 ) Q20. De nomreux étts de cet utomte ne sont ps ccessiles depuis l'étt initil. Il est inutile de les construire. Mrquez sur l représenttion grphique les étts qui ne sont ps ccessiles depuis l'étt initil. 10 init:

8 Q21. Pour éviter de construire ces étts inccessile, on prt de l'étt initil (0, 0 ) et on joute uniquement dns l tle les étts que l'on tteint u cours de l construction. On otient un utomte à 10 étts ccessiles u lieu des 20 étts précédents. Solution (exemple de rédction) i(0, 0 ) (1, 1 ) (0, 4 ) (1, 4 ) (2, 2 ) (2, 4 ) A B i (3, 3 ) (3, 4 ) (1, 3 ) (2, 3 ) (0, 3 ) A B Q22. On otient l'utomte suivnt (à compléter). On constte que cet utomte n'est ps miniml. Justiez cette rmtion et proposez un utomte équivlent qui comporte moins d'étt. init:

9 Exercice 2.2 Mots cceptés/rejetés pr l'exécution d'un utomte déterministe On considère l'utomte A 1 suivnt représenté pr ce digrmme de trnsitions 1 d c 0 e 0 Q23. Indiquez : Les étts de l'utomte Q = { } L'lphet Σ = Les étts initiux I = {... } Les étts ccepteurs A = Les trnsitions {(, 0, ), (, 1, ),...} Q24. Cet utomte est-il complet? Justiez votre réponse en rppelnt le critère qui permet de décider si un utomte est complet. Q25. Que donnent les exécutions de l'utomte sur les mots suivnts : 101, , ɛ, , ? Lesquels de ces mots L (A 1 )? Lesquels de ces mots / L (A 1 )? Q26. Construisez l'utomte complémentire de A 1. Q27. Lesquels des mots 101, , ɛ, , sont cceptés pr A 1? Exercice 2.3 Complémentire et non-déterminisme On considère l'lphet Σ = {} et l'utomte non-déterministe suivnt : A i 1 2 1, 2 Q28. Dessinez l'utomte, décrivez le lngge reconnu pr A : L (A) = et son lngge complémentire L (A) = Q29. Donnez un utomte déterministe A D équivlent à A, c'est-à-dire qui reconnît le même lngge que A. 9

10 Q30. Dessinez l'utomte A complémentire de A, c'est-à-dire complétez l'utomte A puis inversez les étts ccepteurs/non-ccepteurs et décrivez le lngge reconnu pr A = Q31. Démontrez que l complétion puis l'inversion des étts ccepteurs/non-ccepteurs d'un utomte non-déterministe A ne sut ps pour otenir l'utomte A c qui reconnît ps L (A). Q32. Construire l'utomte complémentire de A D. Donnez le lngge L (A DC ) = {.. }. Conclusion : pour construire le complémentire d'un utomte non-déterministe A il fut 1. le c le d i les étts / Expliction Considérons q 1 un étt non ccepteur de A et q2 un étt ccepteur de A et imginons que {q 1, q 2 } soit une congurtion ccessile lors d'une exécution A. Comprons ce qui se psse selon l'ordre des opértions : déterministion et complémentire. 1. A D := déterministion(a); A := complémentire(a D ) L congurtion {q 1, q 2 } est un étt {q 1, q 2 } de l'utomte déterministe A D et c'est un étt ccepteur pour A D puisque q 2 est un étt ccepteur de A. Si on prend le complémentire de A D, {q 1, q 2 } devient un étt non-ccepteur dns A On n'otient ps le même utomte A si on eectue les opértions dns l'ordre inverse : 2. A C := complémentire(a); A := déterministion(a C ) En prennt le complémentire de A l'étt q 1 devient ccepteur dns A c et l'étt q 2 devient nonccepteur dns A C. Lors de l déterministion on rencontre l même congurtion {q 1, q 2 }, qui donne un étt {q 1, q 2 } ccepteur dns A puisque q 1 est ccepteur de A C. Exercice 2.4 Automtes reconnisseurs clssiques Dns chcun des cs suivnts, donner un utomte déterministe reconnissnt le lngge sur l'lphet {0, 1} : ) l'ensemle des mots se terminnt pr 00 ; ) l'ensemle des mots ynt u moins 3 zéros consécutifs ; c) donnez une version non-déterministe de l'utomte précédent ; d) l'ensemle des mots dont l'vnt-dernier symole est un 1 ; Indiction Utilisez les ctégories ω, ω1, ω11, ω10 e) l'ensemle des mots qui contiennent u plus deux 0 consécutifs et u plus deux 1 consécutifs. Indiction En fisnt le produit de deux utomtes et en remrqunt que dns tout exmen l dernière question réutilise le résultt d'une question précédente. 10

11 Exercice 2.5 Lngge reconnu Q33. Donnez le digrmme de trnsition de l'utomte suivnt : δ A i Q34. Décrivez en une phrse le lngge reconnu pr cet utomte. Exercice 2.6 Minimistion et dénomrement On considère l'lphet Σ = {0, 1} Q35. Donnez un utomte déterministe qui reconnît le lngge L formé des mots tels que tout loc de trois lettres consécutives contient u moins deux 0. Exemple : ɛ, 01, 010, 0101 L et 101, 0110 / L On construit un utomte dont les étts représentent les diérents congurtions à envisger, de à et en pssnt pr 0, 0 1, etc. Q36. Minimistion Complétez l'utomte de l Figure 1, indiquez les étts ccepteurs et minimisezle. Q37. Dénomrement Donnez un utomte qui reconnît le lngge L des mots qui se terminent pr 010 et comptez le nomre de mots de L de longueur 10. Expliquez votre méthode. Q38. Générlistion Donnez une méthode générle qui permet de compter le nomre de mot de longueur n reconnu pr un utomte A. Exercice 2.7 Produit et minimlité L'ojectif de cet exercice est de montrer que le produit d'utomtes ne préserve ps l minimlité. On considère l'lphet Σ = {, }. Complétez les pointillés et répondez ux questions. Q39. Donnez, sous forme grphique, l'utomte A 1 déterministe miniml qui reconnît les mots de l forme (). c'est-à-dire les mots formés de Q40. Donnez, sous forme grphique, l'utomte A 2 déterministe miniml qui recconnît les mots du lngge L (A 1 ). Q41. Donnez, sous forme grphique, l'utomte déterministe miniml qui recconnît le lngge. 11

12 [ ]:1 0 [0 ]:2 0 [0 0 ]: [0 0 0]:6 1 1 [0 0 1]:7 [0 1 ]:5 [1 ]: [0 1 0]:8 [1 0 ]:14 [0 1 1]:9 0 0 [1 1 ]:15 1 [1 0 0]: [1 1 1]: [1 1 0]: [1 0 1]:11 X Fig. 1 Automte de l question Exercice 2.6 On souhite démontrer que le produit d'utomtes ne préserve ps l minimlité. Indiction Il fut montrer que l'utomte produit de deux utomtes minimux ne donne ps nécessirement un utomte Pour démontrer cel il sut de donner un Il fut donc trouver trois utomtes A, B et C tels que A et B sont c'est-à-dire il n'existe ps d'utomte vec moins qui reconnissent L (A) (resp. L (B)). l'utomte C reconnît le l'utomte produit A B et C moins que A B. Ce qui prouver que le n'est ps un utomte Les questions précédentes suggèrent un contre-exemple. 12

13 Q42. Donnez les utomtes A, B, C et A B sous forme de tleux et concluez en n'oulint ps de justiez pourquoi L (C) = L (A B). Série 3 Exercice 3.1 Déterministion, minimistion, somme d'utomtes Déterministion d'utomtes reconnisseurs On considère l'lphet Σ = {, }. Q43. Reconnisseurs non-déterministes Donnez un ndef qui le reconnît le lngge formé des mots : )? * (voir Exercice 2.1) ) dont l'vnt dernier symole est un (voir Exercice 2.4) Q44. Déterministion Pour chcun des ndef de l question précédente donnez un def qui reconnît le même lngge. Q45. Minimistion Pour chcun des def de l question précédente donnez un def miniml qui reconnît le même lngge. Solution (exemple de rédction) Construction de l'utomte miniml A M ) pr minimistion de l'utomte déterministe A D Prtition0 : {1, 2, 3, 4 } }{{} Q Acc(A) 1, 2, 3... Acc(A) } Prtition1 : {1, 2, 3} {4 }{{}}{{} Q 1 Q Q Q Q.. de l question donc on prtitionne le groupe Q 0 selon Acc en Q 1 et Q 2 donc on prtitionne le groupe Q 1 selon en Q 3 et Q 4 } Prtition2 : {1, 2} {3} {4 }{{}}{{}}{{} Q 4 Q 3 Q Q Q.. donc on prtitionne le groupe Q 4 selon en Q 5 et Q 6 } Prtition3 : {1} {2} {3} {4 }{{}}{{}}{{}}{{} Q 5 Q 6 Q 3 Q 2 Conclusion : L'lgorithme de minimistion pr prtitionnement successif donne l prtition (comptile vec l reltion de trnsition de l'utomte) qui regroupe le plus d'étts. Il se trouve qu'elle isole chque étt, donc l'utomte de déprt étit miniml. 13

14 Q46. Comprez les ndef, def, def minimux vec l'utomte que vous viez construit intuitivement (Exercice 2.1 et Exercice 2.4). Exercice 3.2 Construction d'utomtes reconnisseurs On considère un lphet Σ contennt u moins les symoles,, c. Donnez un utomte qui reconnît le lngge Q47. des mots qui se terminent pr s'ils contiennent u moins un. def L = {ω ( ω 1, ω 2 Σ ) (, ω = ω 1 ω 2... ω 3 Σ ω = ) } Indiction Rppels de logique : P Q équivut à P Q ( x, P (x) ) équivut à x, ( P (x) ) Rppel sur les ensemles : {x P (x) Q(x)} = {x P (x) Q(x)} = {x P (x)}... {x Q(x)} = {x }... {x Q(x)} Solution (exemple de rédction) L = {ω ( ) ( ω 1, ω 2, ω = ω 1 ω 2 ω3, ω = ω 3 ) } = {ω... ( ) ( ω 1, ω 2, ω = ω 1 ω ω3, ω = ω 3 ) } = {ω }... {ω w 3, ω = ω 3 } Exercice 3.3 Construction d'utomtes reconnisseurs (révision) Pour chque utomte donnez s représenttion grphique et sous forme de tle de trnsitions. Q48. Donnez un utomte déterministe à nomre d'étts nis (ADNEF) qui reconnît les mots qui se terminent pr. Q49. Donnez un ADNEF qui reconnît les mots qui commencent pr Q50. Donnez un ADNEF qui reconnît les mots qui contiennent. Q51. Complémentire Donnez un ADNEF qui reconnît les mots qui ne contiennent ps. Q52. Intersection de lngge, produit d'utomte Donnez un ADNEF qui reconnît le lngge formé des mots qui commencent pr et se terminent pr. Q53. Donnez un ADNEF qui reconnît le lngge formé des mots qui contiennent et ne se terminent ps pr. Q54. Union de lngges Donnez un utomte A g (non déterministe) à nomre d'étts nis (ANEF) qui reconnît les mots qui contiennent ou commencent pr ou terminent pr 14

15 Q55. Élimintion des ɛ-trnsitions Donnez un utomte A h équivlent à A g qui n'it plus d'ɛ-trnsitions. Q56. Déterministion Donnez un utomte A i déterministe équivlent à l'utomte A h. Q57. Donnez un utomte A j déterministe équivlent à l'utomte A g en eectunt simultnément l déterministion et l'élimintion des ɛ-trnsitions. Exercice 3.4 Révision des dénitions sur les lngges Soit un symole, L, L 1, L 2 des lngges et Σ un lphet. Q58. Complétez L'élément neutre de l concténtion de mot est... Σ est l'ensemle des mots nis formés de 0 ou plus de symoles de l'lphet Σ. En prticulier, le mot.. de longueur Σ et l'ensemle.... des mots de longueur Σ. L 1 L 2 = {ω 1.ω } Si l'lphet Σ est vide, lors Σ = L {} = L =... {} {} = = L =.... =... Σ + est l'ensemle des mots de Σ de longueur 1, c'est-à-dire Σ + def = {ω } Σ + = = Σ + = \ L un lngge sur l'lphet Σ signie L.... Σ. Q59. Rédigez un risonnement Donnez des conditions nécessires et susntes pour voir {} Σ Σ + Indiction Considérez les cs Σ =, Σ, Σ et / Σ. Solution (exemple de rédction) Dns le cs Σ =, forcément Σ = et Σ + =.... Σ = =.. donc {} Σ = {} = , et donc l'inclusion est Dns le cs Σ, distinguons le cs Σ et le cs / Σ si Σ lors si on joute l lettre devnt un mot de Σ on otient un mot de donc l'inclusion est si / Σ, lors les mots du lngge {} Σ, c'est-à-dire les mots pr ne sont ps des mots de et donc l'inclusion est

16 Conclusion : l'inclusion est vrie si et seulement si Q60. Rédigez un risonnement Même question vec Σ + {} Σ Solution (exemple de rédction) Dns le cs Σ =, Σ + = = {} Σ et donc l'inclustion est Dns le cs Σ, L'inclusion est vrie si et seulement si mot de est un mot de , c'est-à-dire si les mots de sont tous des mots Il fut donc nécessirement que Σ = En eet, supposons que l'lphet Σ contienne une utre lettre, pr exemple, lors le lngge contient le mot qui On otient une contrdiction ; ce qui conrme que l seule possiilité pour que l'inclusion soit vrie c'est que Σ contienne l lettre. Q61. Rédigez un risonnement En exploitnt les résultts des questions et c, donnez les conditions sur Σ nécessires et susntes pour voir Σ + = {} Σ. Q62. Est-il vri que Σ Σ Σ? Solution (exemple de rédction) Pr dénition, Σ contient tous les mots construits pr d'un nomre de de Σ Considérons deux mots ω et ω de Σ et concténons les. ω = l 1... l n pour un certin n et des symoles l i Σ ω = l 1... l p pour un certin p et des symoles l i Σ donc ωω = est un mot formé de l concténtion de symoles de Σ donc ωω Série 4 Automtes Équtions d'arden Expressions régulières Notions ordées dns ce TD construction de l'utomte ssocié à une expression régulière pr l méthode de Thompson élimintion des ɛ-trnsitions, déterministion, minimistion construction du système d'équtions correspondnt à un utomte résolution d'équtions entre lngges à l'ide du lemme d'arden Mnipultion des diérentes représenttions de lngges pour montrer des équivlences entre lngges Des expressions régulières ux utomtes Exercice 4.1 Expressions régulières équivlentes Q63. Soit A 1 l'utomte correspondnt à l'expression régulière E 1 et A 2 l'utomte correspondnt à l'expression régulière E 2. Construire les utomtes non-déterministes A, A qui reconnîssent les lngges dénis pr les expressions régulières (E 1 E 2 ) * et (E 1 *.E 2 * ) *. 16

17 Solution (exemple de rédction) 2 ɛ ɛ = 1 ɛ A def E 1 3 ɛ 4 E 2 5 Les étpes de construction de A A def = def = def = ( E ( ) *.( 3 ( E ɛ def = à nir 1 E 1 ɛ ɛ 2 ɛ 3 E 2 ɛ E 2 ɛ ) 4 ) * * ) 4 * E 2 * 4 Q64. Éliminez les ɛ-trnsitions, déterminisez et minimisez les utomtes. Solution (exemple de rédction) Élimintion des ɛ 1 E1 1 ɛ 2 E1 3 ɛ 1, 2, 3, 4 donc 1 ɛ.e 1.ɛ 1, 2, 3, 4 4 E1 2 ɛ 2 E1 3 ɛ 1, 2, 3, 4 donc 2 ɛ.e 1.ɛ 1, 2, 3, 4 3 ɛ 1 E1 2 E1 3 ɛ 1, 2, 3, 4 3 E1 4 E1 4 ɛ 4 E1 donc 4 ɛ.e 1.ɛ 5 ɛ 1 E1 2 E1 3 ɛ 1, 2, 3, 4 4 E1 5 E1 donc 3 ɛ.e 1.ɛ 1, 2, 3, 4 donc 5 ɛ.e 1.ɛ 1, 2, 3, 4 Appliquez le même principe pour les trnsitions ɛ.e 2.ɛ 17

18 A ɛ i ɛ 2, ɛ 1, 2, 4 2 3, 1, 2, 4 4 5, 1, 2, 4 E 1 3 ɛ.e 1.ɛ 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 E 2 5 ɛ.e 2.ɛ 1, 2, 4, 5 1, 2, 4, 5 1, 2, 4, 5 1, 2, 4, 5 Déterministion A D i{1} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 4, 5} E 1 {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} E 2 {1, 2, 4, 5} {1, 2, 4, 5} {1, 2, 4, 5} = A D i1 2 3 E E = E 1 2 E 1 1 E 1 E 2 E 2 3 E 2 Minimistion def prtition 0 = {1, 2, 3 } }{{} les étts ccepteurs {} }{{} les étts non ccepteurs Il n'y ucune rison de rner cette prtition puisque ucun des étts ccepteurs ne peut ller dns le groupe des étts non ccepteurs. L minimistion est donc terminée et l'utomte miniml possède un seul étt i {1, 2, 3}. A M def = E 1 E 2 Appliquez l même méthode à l'utomte A. Q65. En déduire que les expressions régulières sont équivlentes. Rédigez votre réponse. Solution (exemple de rédction) Les utomtes qui reconnissent le lngge déni pr les expressions régulières E 1 et E 2 sont donc E 1 et E 2 dénissent lngge, donc elles sont Exercice 4.2 Expressions régulières équivlentes (similire à Exercice 4.1) Q66. Construire les utomtes A 1, A 2, A 3 qui reconnissent les lngges déni pr E *, E + ɛ * et E ** Q67. Éliminez les ɛ-trnsitions, déterminisez et minimisez ces utomtes 18

19 Q68. En déduire que les expressions régulières E *, E + ɛ * et E ** sont équivlentes. Exercice 4.3 Vri ou Fux? Indiquez si les expressions régulières suivntes sont équivlentes ou non. Justiez votre réponse pr une preuve ou un contre-exemeple ) (E 1 E 2 ) * = E 1 * E2 * : ) (R * S * ) * = (S * R * ) * : Vri c) (E 1. E 2 E 1 ) *. E 1. E 2 = (E 1. E 1 *. E2 ) * : d) (E 1. E 2 ) *. E 1 = E 1.(E 2. E 1 ) * : vri, on le montre en construisnt les utomtes minimux des expressions régulières droite et guche de l'églité. e) (A. B A) *. A = A.(B. A A) * : vri, démontrez le en ppliqunt le résultt précédent. f) (E * ) * = E * g) (E 1 *. E2 * ) * = (E 2 E 1 ) * : h) (E ɛ) * = E * : i) (E 1. E 2 ) * = E 1 *. E2 * : Des équtions d'arden ux expressions régulières Exercice 4.4 Lngge(s) solution(s) d'une éqution d'arden Étnt donné deux expressions régulières A et B, on cherche le lngge L solution de l'éqution : églité entre lngges L = ( L (A) ) L L (B) équivlence entre expression régulières L = A *.L + B Q69. Complétez : Si l'ensemle de mots L est solution de l'éqution lors : Forcément B.... L Si ω L lors d'près l'éqution les mots du lngge A ω.... L mis lors les mots du lngge A , etc. Finlement les mots du lngge L. Q70. Donnez des lngges solutions de l'éqution d'arden dns les cs suivnts Donnez en prticulier l plus petite et l plus grnde solution. ) L (A) = {}, L (B) = {ɛ} ) L (A) = {}, L (B) = c) A =, B = d) A = + ɛ, B = 19

20 Solution (exemple de rédction) D'près l'éqution L = ( + ɛ)l B =..... L B = B donc tout lngge L contennt B et tel que ω L ω L est solution. En prticulier, le lngge universel est solution et tout lngge de l forme B {ω, ω} est solution. Q71. À chercher On suppose que ɛ L (A). Indiquez si les lngges suivnts sont solutions de l'éqution d'arden L = A L B. Justiez votre réponse. ) L = Σ ) L = L (A B) c) L = L (A ) d) L = L (B) e) L = L (B) L L (A L ) pour un lngge L quelconque Exercice 4.5 Résolution d'un système d'équtions à l'ide du lemme d'arden Q72. Automte Donnez un ndef (vec le moins de trnsitions possile) qui reconnît les mots sur l'lphet {, } dont l'vnt dernier symole est un. Q73. Système d'équtions En déduire le système d'équtions qui crctérise le lngge reconnu pr chcun des étts. On noter L i le lngge reconnu pr l'étt i de l'utomte. Solution (exemple de rédction) L 1 = = ( ).L L.. Arden L 1 = ( )....L.. L 2 = = ( ) L 3 =.. Q74. Expression régulière Résoudre le système d'équtions en utilisnt le lemme d'arden n de déterminer l'expression régulière qui crctérise le lngge reconnu pr chcun des étts de l'utomte. Solution (exemple de rédction) Conclusion : L'expression régulière correspondnt à l'utomte est celle qui crctérise le lngge reconnu pr l'étt initil de l'utomte, c'est donc lexpression régulière de L 1 : ( + )..( + ) Exercice 4.6 Trnsformtions d'expressions régulières Q75. Utilisez l méthode de l'exercice 4.5 pour trouver l'expression régulière qui reconnît les mots qui ne sont ps de l forme. *. Q76. Générlistion Soit e une expression régulière clssique, c'est-à-dire formée à prtir des symoles de l'lphet Σ, de $, {} et des opérteurs.,, * Expliquez le principe d'un lgorithme qui permet de trnsformer l'expression e en une expression régulière clssique équivlente de sorte que L (e) = L (e). 20

21 Q77. À chercher On souhite étendre le lngge des expressions régulières en joutnt l'opérteur ( ) déni pr L (e 1 e 2 ) = L (e 1 ) \ L (e 2 ) où e 1 et e 2 désignent deux expressions régulières clssiques. Montrez qu'on peut construire un utomte qui reconnît le lngge déni pr l'expression e 1 e 2. Indiction Rppel sur les ensemles : E \ F = Q78. Appliction Construire l'expression régulière clssique équivlente à. *.. *. Série 5 Exercice 5.1 Grmmires ttriuées (ttriuts synthétisés uniquement) Ajout d'un compteur à une grmmire On joute un ttriut n N à l grmmire pour qu'en plus de l reconnissnce on clcule le n du mot n n reconnu. Q79. Donnez l grmmire du lngge { n n n N}. Q80. Donnez, pour votre grmmire, l'rre de dérivtion du mot "" Q81. Ajoutez un ttriut donne le nomre n d'un mot reconnu (pr exemple n = 2 pour ""). Q82. (**) Ajoutez des ttriuts qui constuisent l'rre de dérivtion du mot reconnu. Un rre de dérivtion est une donnée de l forme Der(nt, [ 1 ;... ; n ])) qui correspond à l'étpe de dérivtion nt n où nt est un non-terminl et 1,..., n sont eux-mêmes des rres qui représentent l suite des dérivtions S L'rre de dérivtions ssocié à l règle S S 1.S 2 est 1. 2 en nottion grphique, c'est-à-dire Der(s, [ 1 ; 2 ]) pour l'implnttion, où 1, 2 sont les rres de dérivtion produit pr S 1 et S 2. Série 6 Grmmires ttriuées (ttriuts hérités et synthétisés) L'exercice de l'exmen sur les grmmires ttriuées ser une vrinte des exercices suivnts Exercice 6.1 Appliction : clcul de l'entier correspondnt à son écriture en se 10 On souhite écrire une fonction G de reconnissnce des écritures en se 10 qui retourne l'entier correspondnt. 21

22 1 G: string int 2 3 G (" ") = Il s'git donc de donner une grmmire ttriuée qui lise une suite de crctères vec reconnissnce des nomres entiers et clcule de l'entier correspondnt. Q83. Donnez l grmmire sns ttriut Q84. Donnez l grmmire vec ttriut Exercice 6.2 Grmmire des textes Un texte est une suite de phrses. Une phrse est une suite de mots terminée pr un point. Les mots sont toujours précédés d'u moins un espces. Un mot est composé d'u moins une lettre. Q85. Donnez l grmmire qui reconnît les textes Q86. Ajoutez des ttriuts synthétisés pour compter le nomre de mot et le nomre de lettres du texte. Exercice 6.3 Grmmire des expressions rithmétiques On considère les expressions rithmétiques formées de constntes (dns Z) et des opérteurs inires +,. Q87. Donnez l grmmire G qui décrit les expressions rithmétiques ien formées : L (G) / L (G) Utilisez les non-terminux N pour les nomres, C pour les chires, E pour les expressions. Q88. Montrez que l grmmire est migue en montrnt que l'expression dmet deux rres de dérivtions Q89. Grmmire LL1 Donnez une version non-migue de l grmmire en utilisnt des règles telles que OpE '+'.E qui permettent de décider quelle règle utiliser en se snt sur le prochin crctères. Q90. Clcultrice en ligne Ajoutez des ttriuts n que l grmmire évlue l'expression rithmétique en même temps qu'elle l reconnît. Q91. Hors TD Ajoutez à l grmmire précédente l'opérteur unire qui inverse le signe d'une expression. 22

23 Exercice 6.4 Grmmire des déclrtion de type Q92. Donnez une grmmire qui dénit les déclrtions de types du lngge C de mnière à dmettre les déclrtions : int x=1; flot y,z; int t; flot u,v=0; et à rejeter les déclrtions : int x, int y; int x=0,y=1; Q93. Ajoutez un ttiut synthétisé de mnière à rendre sous l forme d'une chîne de crctères des déclrtions individulisés. int x=1; flot y; flot z; int t; int u; flot v=0; Vous utiliserez l'opérteur - - pour concténer deux chînes de crctères. Q94. Modiez l gestion des ttiuts n de rendre sous l forme d'une chîne de crctères un progrmme vec des déclrtions sous l forme : x,t : int ; y,z,u,v : flot ; x:=1 ; v:=0 ; c'est-à-dire vec toutes les déclrtions de type u déut, regroupée pr type et toutes les initilistions à l n. Exercice 6.5 Grmmire des textes html Q95. Donnez une grmmire qui dénit les textes html formés des lises suivntes <html>... <ol> <li>...</li> </ol>... </html> où les pointillés sont des textes (on utiliser le non-terminl T pour fire référence à un texte) de l grmmire de l'exercice 1) <ol> indique le déut d'une liste et <li> est un élément de l liste L grmmire doit utorisées les listes imriquées : <ol> <li>... <ol> </li> </ol> <li>...</li> <li>...</li> </ol> 23

24 Q96. Ajoutez des ttriuts n de compter 1. le nomre d'éléments de l plus longue liste 2. l profondeur mximle d'imriction : une liste de liste de liste est de profondeur 3 L'exemple précédent retourner le résultt (2, 2) Exercice 6.6 Grmmires ttriuées des ottnts (3 pt) (15min) On utilise les nottions suivntes pour les non-terminux F pour Flottnt, E pour prtie Entière, D pour prtie Décimle, C pour Chire, P pour le Point qui sépre l prtie entière de l prtie décimle. On donne l grmmire qui dénit les écritures des nomres ottnts : F (1) E P D E (2) C E (3) C E P (4) "." D (5) C D (6) C D C (7) "0" "1"... "9" Q97. (0.75 pt) Donnez l'rre de dérivtion qui permet de générer le ottnt et indiquez à chque dérivtion le numéro de l règle utilisée. Q98. (0.75 pt) Complétez l grmmire des chires décimux vec un ttriut n qu'elle retourne le nomre de décimles lues. Pr exemple D doit retourner 3 lorsqu'elle reconnît l prtie 007 du ottnt D D (4) C (4 ) C D Q99. (1.5 pt) Complétez l grmmire des ottnts vec le clcul des ttriuts n que le non-terminl F retourne le ottnt f reconnu. 24

25 F {f} {i} E {e} {i} E {e} (1) {.. } E {e} P {.. } D {(n, d)} ; { } (2) C {..} ; { } (3) C {..} ; { } ; {i } E {e } ; { } P {i} D {(n, d)} {i} D {(n, d)} (4) "." (5) C {..} ; { } (6) C {c} ; { } ; {i } D {(n, d )} ; { } C {c} (7) "0" ; { } "1" ; { }... "9" ; { } Exercice 6.7 Grmmires des listes html (4 pt) (15min) Q100. (4 pt) Donnez une grmmire qui dénit les documents html formés des lises suivntes <html> <ol> <li> </li> </ol> </html> où <html> indique le déut (et </html> l n) d'un document html <ol> indique le déut (et </ol> l n) d'une liste <li> indique le déut (et </li> l n) d'un item (élément de l liste) L grmmire doit être telle que on ne s'occupe ps des espces, de l'indenttion et des suts de ligne un document html commence pr <html> et se termine pr </html> entre les lises <html> et </html> on peut mettre 0 ou plusieurs listes entre les lises <ol> et </ol> il doit y voir u moins un item entre les lises <li> et </li> on peut mettre 0 ou plusieurs mots et 0 ou plusieurs listes on ne peut mettre des mots qu'entre les lises <li> et </li>. les mots sont formés de (0 ou plusieurs) lettres de l'lphet et de 0 ou plusieurs espces Exemples de documents cceptés pr l grmmire 25

26 <html> <ol> <li> premier item</li> <li> second item mots vnt l sous liste <ol> <li></li> </ol> mots pres l sous liste </li> <li> dernier item</li> </ol> </html> <html> <ol> <li></li> </ol> <ol> <li></li> </ol> </html> <html> </html> Exemples de documents rejetés pr l grmmire <html> <ol></ol> </html> <html> <ol> ps de mots ici <li> mots </li> </ol> </html> <html> ps de mots ici </html> Série 7 Recueil d'exercices donnés en exmens Exercice 7.1 Reconnissnce d'un terme pr un utomte d'rre (1.5 pt) (5min) On considère l'lphet Σ = {, f #2, g #1 } et l'utomte d'rre déni pr les trnsitions suivntes : 1 Q () g( Q g (x) ) 2 Q g ( g(x) ) g( Q (x) ) 3 Q g ( g(x) ) f ( Q g (x), Q g (y) ) 4 Q f ( f(x, y) ) où Q, Q g, Q f représentent les étts de l'utomte d'rre, Q f est l'unique étt ccepteur x et y sont des vriles Q1. (0.5 pt) Donnez un terme qui n'est ps reconnu pr l'utomte? Q2. (1 pt) Donnez l'exécution qui permet de montrer que le terme f(g(),g()) est reconnu pr l'utomte 26

27 Exercice 7.2 Expressions régulières (1 pt) (5min) Q1. (0.25 pt) On note L l'ensemle des lettres minuscules et C l'ensemle des chires. Donnez l'expression régulière qui décrit les noms de vriles formés sur l'lphet Σ = L C { - } schnt qu'un identicteur est formé d'u moins un crctère et doit commencer pr un lettre ou un souligné. id def = Dénition de l'opérteur sur les expressions régulières Q2. (0.25 pt) On note L (e) le lngge ssocié à l'expression régulière e. Soit e 1 et e 2 deux expressions régulières, dénissez l'opérteur privé de, notée - L (e 1 e 2 ) def = à l'ide des opérteurs ensemlistes, et Q3. (0.25 pt) Soit A 1 l'utomte ssocié à e 1 et A 2 l'utomte ssocié à e 2, expliquez comment construire l'utomte ssocié à e 1 e 2. L (e 1 e 2 ) = = = Donc l'utomte ssocié à e 1 e 2 est Q4. (0.25 pt) Donnez l'expression régulière qui décrit les noms de vriles de l question 1 mis en interdisnt les mots-clefs if,then,else. id def = Exercice 7.3 Inclusions de lngges (4 pt) (20min) On considère l'lphet Σ = {, } et les lngges L 1 à L 5 ci-dessous. Comprez les lngges 2 à 2 et indiquez les reltions qu'ils vérient : (inclusion lrge), (inclusion stricte), = (églité), ou ien intersection vide. Justiez chcunes de vos réponses pr un risonnement ou un contre-exemple. Les justictions comptent pour 2 3 des points. Attention, le fit de décrire en frnçis ce que représente l'expression régulière n'est ps considéré comme un risonnement. def L 1 = L ( Σ ) def L 2 = L ( ( + ) ) def L 3 = L ( ( ( ). +.( ) ) ) def L 4 = L ( + ) def L 5 = L ( () ) 27

28 Exercice 7.4 Grmmires ttriuées des ottnts (3 pt) (15min) On utilise les nottions suivntes pour les non-terminux F pour Flottnt, E pour prtie Entière, D pour prtie Décimle, C pour Chire, P pour le Point qui sépre l prtie entière de l prtie décimle. On donne l grmmire qui dénit les écritures des nomres ottnts : F (1) E P D E (2) C E (3) C E P (4) "." D (5) C D (6) C D C (7) "0" "1"... "9" Q1. (0.75 pt) Donnez l'rre de dérivtion qui permet de générer le ottnt et indiquez à chque dérivtion le numéro de l règle utilisée. Q2. (0.75 pt) Complétez l grmmire des chires décimux vec un ttriut n qu'elle retourne le nomre de décimles lues. Pr exemple D doit retourner 3 lorsqu'elle reconnît l prtie 007 du ottnt D D (4) C (4 ) C D Q3. (1.5 pt) Complétez l grmmire des ottnts vec le clcul des ttriuts n que le non-terminl F retourne le ottnt f reconnu. 28

29 F {f} {i} E {e} {i} E {e} (1) {.. } E {e} P {.. } D {(n, d)} ; { } (2) C {..} ; { } (3) C {..} ; { } ; {i } E {e } ; { } P {i} D {(n, d)} {i} D {(n, d)} (4) "." (5) C {..} ; { } (6) C {c} ; { } ; {i } D {(n, d )} ; { } C {c} (7) "0" ; { } "1" ; { }... "9" ; { } Exercice 7.5 Grmmires des listes html (4 pt) (15min) Q1. (4 pt) Donnez une grmmire qui dénit les documents html formés des lises suivntes <html> <ol> <li> </li> </ol> </html> où <html> indique le déut (et </html> l n) d'un document html <ol> indique le déut (et </ol> l n) d'une liste <li> indique le déut (et </li> l n) d'un item (élément de l liste) L grmmire doit être telle que on ne s'occupe ps des espces, de l'indenttion et des suts de ligne un document html commence pr <html> et se termine pr </html> entre les lises <html> et </html> on peut mettre 0 ou plusieurs listes entre les lises <ol> et </ol> il doit y voir u moins un item entre les lises <li> et </li> on peut mettre 0 ou plusieurs mots et 0 ou plusieurs listes on ne peut mettre des mots qu'entre les lises <li> et </li>. les mots sont formés de (0 ou plusieurs) lettres de l'lphet et de 0 ou plusieurs espces Exemples de documents cceptés pr l grmmire 29

30 <html> <ol> <li> premier item</li> <li> second item mots vnt l sous liste <ol> <li></li> </ol> mots pres l sous liste </li> <li> dernier item</li> </ol> </html> <html> <ol> <li></li> </ol> <ol> <li></li> </ol> </html> <html> </html> Exemples de documents rejetés pr l grmmire <html> <ol></ol> </html> <html> <ol> ps de mots ici <li> mots </li> </ol> </html> <html> ps de mots ici </html> Exercice 7.6 Déterministion d'utomte (5 pt) (20min) On considère l'utomte : A i , Q1. (0.25 pt) Dessinez l'utomte. Q2. (0.75 pt) Donnez une exécution qui montre que le mot "" est reconnu pr l'utomte A. Q3. (2 pt) Donnez, sous forme de tleu, un utomte déterministe équivlent à l'utomte A. Q4. (0.25 pt) Que signie qu'un utomte A est équivlent à un utomte B? Q5. (0.75 pt) Rppelez l condition d'cception d'un mot pr un utomte non-déterministe. Q6. (1 pt) Justiez que le mot "" n'est ps reconnu pr l'utomte A. 30

31 Exercice 7.7 Modélistion de politiques de sécurité (4 pt) (20min) On considère un réseu constitué de deux prties : un réseu sûr cr protégé pr un pre-feu et l'internet. Pour contrôler l'usge des mchines sur le réseu on instlle sur chque compte utilisteur un moniteur de sécurité qui oserve les commndes suivntes : login qui lnce l session principle quit qui ferme l session principle rlogin qui permet d'ouvrir une connection sur une mchine du réseu protégé ssh qui permet d'ouvrir une session vec encryption des échnges sur une mchine hors du réseu protégé. exit qui permet de fermer toutes les sessions en cours (suf l session principle) Dns cet exercice on considère que les utres commndes que tpe l'utilisteur ne sont ps soumises u contrôle de sécurité. Principe d'un moniteur de sécurité : Un moniteur de sécurité prend en entrée une politique de sécurité P décrite sous l forme d'une expression régulière ou d'un utomte d'étts ni ou d'un utomte à une pile déterministe. Il utorise uniquement les séquences de commndes qui pprtiennent u lngge L (P ). Q1. (0.25 pt) Donnez l'lphet Σ considérée pr les politique de sécurité sur ce réseu. Q2. (0.75 pt) Donnez 3 exemples de séquences de commndes qui respectent toutes les contrintes de l politique de sécurité n 1 ci-dessous et 3 exemples de séquences de commndes qui ne les respectent ps. Politique de sécurité n 1 : 1. L session principle commence pr un login et se termine pr quit 2. u coeur de l session principle on peut eectuer des sessions ssh et des sessions rlogin 3. on ne peut ouvrir qu'une session rlogin à l fois qu'on doit fermer pr exit 4. on ne peut ouvrir qu'une session ssh à l fois qu'on doit fermer pr exit 5. on ne peut ps voir simultnément une session ssh et une session rlogin Q3. (1 pt) Donnez une expression régulière P 1 qui décrit l politique de sécurité n 1. Q4. (1 pt) Donnez un utomte à étts nis P 2 qui décrit l politique de sécurité n 2. Politique de sécurité n 2 : 1. L session principle commence pr un login et se termine pr quit 2. u coeur de l session principle on peut eectuer soit des sessions ssh, soit une session rlogin 3. on peut ouvrir u plus une session rlogin qu'on doit chcune fermer pr exit 4. on peut ouvrir u plus deux sessions ssh à l fois qu'on doit chcune fermer pr exit 5. il est interdit d'voir simultnément des sessions ssh et rlogin. 31

32 Q5. (1 pt) Donnez un utomte P 3 qui décrit l politique de sécurité n 3. Politique de sécurité n 3 : 1. L session principle commence pr un login et se termine pr quit 2. u coeur de l session principle on peut eectuer uniquement sessions ssh 3. on utorise plusieurs sessions ssh simultnées. 4. on peut ouvrir utnt de session ssh qu'on veut mis on devr fermer chcune des sessions pr l commnde exit. Autrement dit si on fit ssh.ssh.ssh il fudr ensuite fire exit.exit.exit. Exercice 7.8 Minimistion d'utomte (4 pt) (20min) On considère l'utomte suivnt : A i Q1. (0.75 pt) Le lngge reconnu pr l'utomte de l question précédente est-il vide? Justiez votre réponse. Q2. (2 pt) Minimisez l'utomte en justint chque étpe de l'lgorithme Les 2 3 des points sont ttriués ux justictions. Q3. (0.25 pt) Donnez l'utomte minimisé sous forme de tleu. Q4. (1 pt) L'utomte de l question précédente reconnît-il le lngge universel {, }? Justiez votre réponse. Exercice 7.9 Questions de cours (7 pt) Justiez chcune de vos réponses de fçon précise (3 ou 4 lignes susent pour démontrez votre réponse). Chque question est notée de l fçon suivnte : 1 4 des points pour l réponse et 3 4 des points pour l justiction. Élimintion des ɛ et déterminisme Q1. Donnez l'utomte otenu pr élimintion des ɛ trnsitions dns l'utomte ci-dessous 1 ɛ 2 Q2. L'utomte otenu est-il déterministe? 32

33 Complémentire, produit et restriction On considère l'lphet Σ = {,, c} Q3. Qu'est-ce qu'un lngge sur l'lphet Σ? Q4. Donnez un utomte qui reconnît le lngge Σ Q5. Quel est le plus grnd lngge sur l'lphet Σ? Q6. Donnez un utomte qui reconnît le lngge complémentire de Σ Q7. Complétez l dénition de Σ + def = et donnez un utomte qui reconnît le lngge Σ + Q8. Donnez un utomte qui reconnît Σ + Q9. Décrivez en une phrse le lngge reconnu pr l'utomte de l question précédente. Q10. Donnez un utomte miniml qui reconnît ce lngge. Q11. Donnez un utomte qui reconnît le lngge Σ \ Σ Q12. Donnez un utomte qui reconnît le complémentire de ce lngge. Q13. Décrivez en une phrse le lngge reconnu pr l'utomte de l question précédente. Q14. Quel est le lngge reconnu pr le produit des utomtes A 1 et A 2 ci-dessous. def A 1 = 1 d 4 f c e 2 3 def A 2 = 1 d c Grmmires et utomtes Q15. Donnez une grmmire de type 3 (c'est-à-dire régulière) qui génère le lngge c. On ne demnde ps de justiction. Q16. Donnez une grmmire qui génère le lngge ( + c). On ne demnde ps de justiction. Q17. Donnez un utomte à pile qui reconnît le lngge des plindromes de l forme ω.c.r(ω) où ω Σ vec Σ = {, } et R(w) désigne le mot ω renversé. On ne demnde ps de justiction. 33

34 Q18. Cet utomte est-il déterministe? Justiez votre réponse. Q19. Donnez une grmmire qui génère le même lngge. On ne demnde ps de justiction. Q20. Donnez une grmmire qui génère le lngge reconnu pr l'utomte suivnt : Q21. Donnez l'expression régulière correspondnt à l'utomte précédent. Détillez les étpes de résolution. 34