INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN

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1 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN Mahieu Lemoine * Déparemen analyse e prévision de l OFCE Florian Pelgrin * Banque du Canada, Eurequa, Universié Paris I e OFCE Nous déaillons ici les principaux conceps e problèmes liés aux modèles espaceéa, ainsi que leurs applicaions. Nous présenons d abord ces modèles dans leur généralié. Ensuie, nous explicions les algorihmes uilisés afin de procéder à l esimaion par le maximum de vraisemblance, c es-à-dire fondamenalemen le filre de Kalman e l algorihme EM. Nous considérons enfin quare applicaions : les décomposiions endance-cycle, l exracion d indicaeurs coïncidens d acivié, l esimaion d un aux de chômage d équilibre pouvan varier avec le emps (TV-Nairu) e l évaluaion du conenu informaif de la courbe des aux sur l inflaion fuure. L émergence des modèles dynamiques à faceurs ou à variables cachées es relaivemen récene dans la recherche empirique. Les modèles dynamiques à faceurs linéaires ou modèles espaceéa en consiuen une classe pariculière. Comme cela sera monré dans ce aricle, de nombreuses procédures saisiques fréquemmen uilisées dans la branche empirique de la recherche économique peuven se reformuler dans le cadre des modèles espace-éa, noammen les modèles ARIMA, les modèles à composanes inobservables, les modèles à endance sochasique, les modèles d indices coïncidens e les modèles à coefficiens aléaoires. Si l on ne peu pas aendre de ces modèles de déboucher sur des diagnosics économiques plus riches que * Les aueurs iennen à remercier Eurosa pour leur avoir permis de ravailler sur ces sujes dans le cadre du proje «Indicaeurs conjoncurels de la zone euro», Mme Boone pour les avoir auorisés à répliquer ses résulas e ses suggesions, ainsi que les paricipans du séminaire inerne de l OFCE. Ce ravail a largemen bénéficié des enseignemens de M. Monfor à l Ensae. F. Pelgrin remercie ou pariculièremen M. Trognon pour ses conseils dans le cadre d un enseignemen à l Isup. Selon la formule consacrée, les erreurs e omissions resanes son de la seule responsabilié des aueurs. Juille 2003

2 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin les procédures don ils son issus, ce cadre formel présene l inérê saisique de déboucher sur des esimaeurs du maximum de vraisemblance de variables cachées e de fournir les inervalles de confiance associés. Ce exe a pour obje, d une par, de déailler e de rappeler les principaux résulas des modèles espace-éa e du filre de Kalman e, d aure par, de monrer commen ces echniques saisiques peuven êre uilisées face à diverses problémaiques économiques. Dans une première secion, les modèles espace-éa son présenés avec les algorihmes permean d en esimer les variables cachées e les paramères, noammen le filre de Kalman e l algorihme di EM. Dans une seconde secion, quare applicaions de cee méhodologie son décries : la décomposiion en endance e cycle du PIB américain, la consrucion d un indicaeur coïnciden de l acivié, la déerminaion du aux de chômage d équilibre e l évaluaion au cours du emps du conenu informaif de la courbe des aux sur l inflaion fuure. Inroducion aux modèles espace-éa L éude de sysèmes physiques émean au cours du emps des signaux déerminés par des éas inernes non observés, a condui à développer en raiemen du signal (une branche des sciences de l ingénieur) les modèles dis espace-éa. Dans un premier emps, ces modèles son présenés en comparaison des echniques économériques plus usuelles pour modéliser les séries emporelles. Les méhodes d esimaion de els modèles son ensuie expliquées en deux emps : l esimaion des variables cachées d abord (avec le filre de Kalman), puis celle des paramères (avec l algorihme EM) Présenaion générale des modèles espace-éa Les modèles espace-éa inègren la disincion enre les variables observées (le signal) e les variables cachées (l éa inerne). Ils son consiués : d une ou plusieurs équaion(s) de mesure (équaion (1) dans l encadré) décrivan la manière don les variables observées son générées par les variables cachées e les résidus. 1. Des présenaions plus déaillées des modèles espace-éa e des méhodes d esimaion associées son proposées dans Gourierroux e Monfor (1990) e, avec des exensions aux cas non-linéaires non gaussiens, dans Durbin e Koopman (2001).

3 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN d une ou plusieurs équaion(s) d éa (équaion (2) dans l encadré) décrivan la manière don les variables cachées son générées à parir de leur reard e d innovaions. Les modèles espace-éa peuven s écrire sous une forme die développée (encadré) qui implique, sous ceraines hypohèses, que la variable de mesure s écri sous la forme d une moyenne mobile. Où réside donc l inérê de recourir aux modèles espace-éa pour décomposer ou prévoir une série emporelle relaivemen aux echniques classiques développées par Box e Jenkins (1976)? D une par, on s épargne ici les problèmes de saionnarié 2 e de racine uniaire qui se posen préalablemen à l esimaion d un modèle ARMA. En pariculier, les résulas du filre de Kalman resen valides en présence de séries non-saionnaires. Par ailleurs, ce cadre perme égalemen de relâcher l hypohèse d une disribuion gaussienne pour les bruis. D aure par, l esimaion opimale prend en compe l informaion disponible à parir de la dae iniiale =0, alors que les esimaeurs opimaux ARMA prennen en compe l informaion à parir de = (en praique, ils son ronqués à parir de la première dae connue). Finalemen, les coefficiens du modèle peuven évoluer e ne son pas obligaoiremen considérés comme invarians au cours de la période d esimaion. Dans leur version élémenaire, les modèles espace-éa reposen sur un cerain nombre d hypohèses principales : les équaions de mesure e d éa son linéaires ; les bruis d observaion e d innovaion son des bruis blancs 3 ; les variables cachées suiven à un insan iniial donné une loi gaussienne. À ces dernières, se son ajouées des hypohèses secondaires permean de déerminer la forme canonique (cf la définiion 2 dans l encadré) : l indépendance enre les bruis d observaion e d innovaion (condiion d inversibilié 4 ) e l indépendance enre la variable cachée iniiale e ces bruis (condiion de causalié).toues ces hypohèses son desinées à simplifier les procédures d esimaion. Pour auan, on ne peu pas associer à un processus donné Y une unique représenaion espace-éa. En effe, s il exise une représenaion de veceur d éa Z, on peu formuler facilemen une aure représenaion Z *=E Z,E éan une marice inversible quelconque. De même, au lieu de modéliser Z +1 dans l équaion d éa, on pourrai sans difficulé adaper l esimaion à un modèle d éa de Z. Enfin, diverses dimensions du veceur d éa son possibles e il convien de rechercher un modèle de dimension minimale (encadré), de manière à ne pas alourdir la procédure d esimaion. 2. On considère ici la noion de saionnarié au sens faible, c es-à-dire, pour une série X, le cas où l espérance mahémaique E(X ), la variance V(X ) e les auo-covariances Cov(X,X +h ) son indépendanes du emps. 3. Un brui blanc (au sens faible) es un processus aléaoire d espérance e d auo-covariances nulles, don la disribuion n es pas oujours supposée gaussienne. 4. La condiion d inversibilié n es pas nécessaire. Lorsque les innovaions de l éa e des observaions (ε ) e (η ) son corrélées, on réécri le modèle sous forme canonique avec des innovaions de l éa noées ξ = ε S R -1 η. 205

4 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin Définiions e noaions La erminologie suivane es uilisée : Y es appelé observaion ou variable de mesure ; Z es la variable d éa à la dae ; ε es le veceur des innovaions à la dae ; η es le veceur des erreurs de mesures à la dae ; A es la marice de ransiion ; C es la marice de mesure ; X 1,,X 2, son des variables exogènes, prédéerminées ; C Z es le signal à la dae. Soi un processus mulidimensionnel Y, on appelle modèle espace-éa de ce processus, le sysème (I) décri par les équaions maricielles (1) e (2) : ( 1):Z+ 1 = AZ + BX 1, + ε ε Q S où NID, ' ( ):Y S CZ DX, η η 0 = + + R 2 2 (I) où les marices A, C son de aille KxK e nxk, B e D son des marices déerminises de aille K 1 xk e K 2 xk e Z 0 es un veceur aléaoire de loi N(m,P) indépendan du brui blanc normal. Le sysème (I) peu s écrire sous la forme développée suivane : Z A Z A B X A Y = C A Z + BX + A B X + A + + DX + j 1 j = j 0 + j k 1, j+ k ε j+ ε j= 0 j= 1 k= 0 j= 1 k= 0 j 1 j 1 j 0 1, j k 1, j k ε j ε 2, η j= 0 j= 1 k= 0 j= 1 k= 0 Les variables d éa e de mesure s écriven donc en foncion de la variable d éa iniiale, du passé des erreurs de mesure e des innovaions ainsi que des variables exogènes. Cee forme es pariculièremen uile lorsqu on s inéresse à l esimaeur des moindres carrés généralisés du veceur d éa ou à l iniialisaion du filre de Kalman. Le sysème (I) es di sous forme canonique si e seulemen si : E(ε η s ) = E(ε Z 0 ) = E(η Z 0 ) = 0,s=1,...,T Le modèle espace-éa es alors di causal e inversible. On appelle dimension minimale d un sysème admean une représenaion espace-éa, la plus peie dimension possible du veceur d éa, K*. En pariculier, la représenaion es die minimale si A es de aille (K*xK*). Enfin, le modèle espace d éas (I) es di invarian par rappor au emps si les marices A, B, C e D ne dépenden pas de. 206

5 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN Esimaion des variables d éa par le filre de Kalman Afin de simplifier l analyse, les paramères 5 définissan le modèle espace-éa son supposés connus e le modèle es supposé dépourvu de variables exogènes. La quesion consise alors à esimer à chaque insan les variables cachées (le veceur d éa) condiionnellemen aux variables observées jusqu à la dae (le veceur de mesure). Présenaion de l algorihme Pour calculer des esimaions filrées du veceur d éa, l algorihme opimal 6, appelé filre de Kalman, es uilisé. L algorihme es srucuré en deux éapes reprises d iéraion en iéraion. Les deux premières équaions (1 e 2) son des équaions de «mises à jour des mesures» (acualisaion) e les deux suivanes (3 e 4) de «mise à jour du emps» (prévision). La première éape concerne les lois de probabilié a poseriori qui iennen compe de l informaion à la dae. La seconde éape, à la différence de la première, ne dépend pas des observaions à la dae : le calcul peu êre fai «hors-ligne», c es-à-dire sans uiliser les signaux Y. Enfin, la dernière équaion (5) acualise la marice de gain 7 K qui inervien dans les équaions précédenes. Chaque iéraion se résume par les cinq équaions suivanes : * * * ( 1):Z, = Z 1, + K (Y CZ 1, ) ( 2): Σ, = (I KC ) Σ 1, * * ( 3):Z,+ 1 = AZ, ' ( 4): Σ,+ 1 = AΣ, A + Q ' ' 1 ( 5): K = Σ 1,C (CΣ 1,C + R ) e par l iniialisaion : Z* 1,0 = m,σ 1,0 = P où Z*, es l esimaion courane du veceur d éa ; Σ, =V(Z, Z*, ) es l erreur quadraique moyenne sur Z ; 5. Il s agi ici principalemen des marices A, C, R, Q e P e du veceur m. Pour simplifier, on écare ici le cas des variables exogènes, ce qui revien à supposer que B e D son nulles. 6. Sous le erme «meilleure approximaion» ou «opimal», on pense ici deux crières d opimalié qui s avèren êre équivalens dans le cas gaussien : la maximisaion de la vraisemblance du veceur d éa condiionnellemen au veceur de mesure ou la minimisaion des carrés des erreurs réalisées sur le veceur d éa. Dans le cas non-gaussien, le filre de Kalman rese uniquemen opimal parmi les esimaeurs linéaires. 7. La marice K es dénommée marice de gain car, comme cela sera expliqué plus loin, sa prise en compe dans l équaion (2) engendre un gain en précision de l esimaion Z*, de la variable cachée, relaivemen à Z* -1,. 207

6 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin Z* -1, es la prévision du veceur d éa faie à la dae 1 ; Σ -1, =V(Z -1, -Z* -1, ) es l erreur quadraique moyenne de prévision correspondane ; K es la marice de gain de Kalman qui sera définie dans l algorihme qui sui. L équaion (1) calcule l esimaion courane du veceur d éa Z*, comme la somme pondérée de la prévision à la dae 1 du veceur d éa Z e de l erreur de prévision calculée à parir de la dernière valeur observée Y. La pondéraion K, appelée marice de gain, es acualisée à chaque iéraion par l équaion (5). L équaion (3) perme de calculer la prévision de Z à la dae +1,Z*,+1, comme la projecion de Z,+1 sur son passé (passé synhéisé par Z, ). Les équaions (2) e (4) sur les marices de covariance son appelées «équaions de Riccai». Ces équaions permeen de calculer la suie des gains de Kalman K e ce calcul peu êre fai «hors-ligne». La marice de covariance a poseriori Σ, connaî généralemen un gain en précision par rappor à la marice de covariance a priori Σ -1, grâce au erme K C Σ -1, (équaion 2). La marice de covariance a priori en +1, Σ,+1, prend en compe les erreurs liées aux innovaions de l éa avec la marice Q, mais es aussi augmenée d un erme A Σ, A associé aux erreurs sur l éa à la dae (équaion 4). Lorsque les variables d éa son saionnaires, la covariance prévue Σ,+1 qui par d une inceriude a priori P, end vers une consane Σ (voir Harvey, 1989). Après une période ransioire, les inervalles de confiance enouran des variables cachées saionnaires on donc une largeur à peu près consane. Exensions à d aures modes d esimaion L esimaion du veceur d éa envisagée jusqu ici es une esimaion filrée e se disingue des esimaions lissées ou prévues : le filrage consise à rechercher la meilleure approximaion de l éa Z sachan les observaions présenes e passées Y 0,..., Y la prévision consise à rechercher la meilleure approximaion de l éa Z sachan les observaions passées Y 0,..., Y -h le lissage consise à rechercher la meilleure approximaion de l éa Z sachan les observaions passées, présenes e fuures Y 0,...,Y T Les problèmes de prévisions e de lissage se raien à parir de simples exensions de l algorihme de filrage présené précédemmen. 208

7 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN Inerpréaions graphiques du filre de Kalman Si le filre de Kalman vise d abord à esimer la variable cachée Z,il perme égalemen de réaliser une prévision de Y, connaissan son passé. Il suffi pour cela de calculer Y* -1, = C Z* -1,. En raisonnan sur la variable d observaion, le filre calcule en fai une prévision Y* -1, qui es ensuie corrigée par comparaison avec la mesure réelle Y. Le filre fai donc dévier progressivemen la rajecoire héorique Y* -1, (engendrée par les condiions iniiales e l équaion d éa) vers la rajecoire réelle Y, comme le monre le schéma 1. En raisonnan sur l éa Z, son esimaion acualisée Z*, es décomposable enre la prévision Z* -1, e un erme correcif proporionnel à l erreur relaive aux dernières observaions Y. Schéma 1 :Trajecoire héorique e rajecoire réelle Mesure Y Y* -1, Temps Une seconde représenaion du filre de Kalman consise à uiliser des propriéés élémenaires de l algèbre linéaire. Rechercher Z*, = E(Z Y 1, ) revien en effe à projeer Z sur l espace engendré par Y 1,, Y. Or ce espace peu se décomposer en l espace des valeurs observées par le passé (engendré par Y 1,,Y -1 ) e celui de l innovaion v (égale à Y -C Z* -1, ). En projean Z sur ces deux sous-espaces, on obien par définiion Z* -1, e E(Z v ). On peu alors monrer que E(Z v ) peu se réécrire K v avec la marice de gain calculée dans l équaion (5). L équaion (1) exprime alors la projecion recherchée comme la somme des projecions sur chaque sous-espace (schéma 2). 209

8 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin Schéma 2 : Projecion du veceur Z*, Espace engendré par v Z*, E(Z v ) Z* -1, Espace engendré par Y 0,Y 1,...,Y Esimaion des paramères par le maximum de vraisemblance Algorihme EM Dans la parie précédene, les marices A, C, Q, R, P ainsi que le veceur m éaien supposés connus. En praique, ces marices son inconnues e doiven êre esimées. L algorihme EM es courammen uilisé pour déerminer les Esimaeurs du Maximum de Vraisemblance (EMV) des paramères d un modèle espace-éa. Ce algorihme iéraif a le mérie d êre simple, même s il es relaivemen len à converger par rappor à des algorihmes plus sophisiqués. Il a éé inrodui par Dempser e al. (1977) pour esimer le maximum de vraisemblance de modèles sochasiques à variables cachées. Pour procéder à une esimaion par maximum de vraisemblance des paramères d un modèle espace-éa, il es nécessaire d avoir l expression de la foncion de vraisemblance. Pour chaque jeu de paramères θ, la log-vraisemblance associée à un échanillon Y 1,...,Y T d un modèle espace-éa s exprime à parir des valeurs prévues de l éa Z* -1, e des marices de covariance associées Σ -1, : lnl ( Y ; T T ' :T ) ce 1 lnde M ( ) 1 Y ( )M θ = ( )Y ( ), θ 1 θ,, θ 0 1, θ = 0 2 = 0 * avec Y ( θ ) = Y C Z e ' M ( θ) = C Σ C + R 1, 1, 1, 1,

9 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN L algorihme EM es alors un algorihme iéraif qui génère une séquence d esimaions (θ i ) i=1,2,... à parir d une condiion iniiale θ 0. Chaque iéraion se décompose en deux éapes qui s écriven : Éape E : ln l(y 0:T ;θ) se dédui de Z* -1, (θ i ) e de Σ -1, (θ i ), calculés par un filre de Kalman. Éape M : la maximisaion de ln l(y 0:T ; θ) par rappor à θ condui à Σ i+1. La première éape E («Expecaion», c es-à-dire «Espérance») calcule une vraisemblance à parir de la formule précédene sur la vraisemblance d un modèle espace-éa. Ces formules mobilisen en pariculier l applicaion d un filre de Kalman pour connaîre l espérance condiionnelle de l éa Z* -1, e de sa covariance Σ -1, à paramères θ i e observaions Y 0:T fixés. La seconde éape M («Maximisaion»), consise à rechercher un jeu de paramères maximisan la vraisemblance esimée dans l éape E. Cee maximisaion peu-êre analyique ou numérique selon la complexié du problème. Après un cycle «Éape E / Éape M», on obien θ i+1 e on peu monrer que L(Y θ i+1 )>L(Y θ i ). En iéran ces éapes E e M, les paramères esimés par l algorihme convergen généralemen vers le maximum de vraisemblance. Quelques limies praiques Les propriéés saisiques de l esimaeur du maximum de vraisemblance ne son pas abordées ici mais ceraines difficulés de la phase d esimaion son présenées.trois problèmes son brièvemen éudiés : le choix des condiions iniiales, l imporance du raio signal/brui e les propriéés de convergence de l algorihme EM. La mise en œuvre du filre de Kalman nécessie généralemen de spécifier les condiions iniiales du veceur d éa. En effe, si ous les élémens du veceur d éa iniial Z 0 son exacemen connus a priori, alors Z 0 a une disribuion a priori correce, c es-à-dire don ous les momens son finis, avec une moyenne connue e une marice de variance-covariance bornée. Le filre de Kalman fourni alors la foncion de vraisemblance exace des observaions par la décomposiion de l erreur de prévision. Une elle informaion a priori es cependan raremen disponible. Dans cee perspecive, une première méhode consise à fixer arbirairemen les valeurs iniiales du veceur d éa Z 0. Le problème es que les esimaions von dépendre de ces valeurs. Il s agi alors de eser la sensibilié aux condiions iniiales e cela d auan que l algorihme EM (voir plus loin) fourni des maxima locaux. Une aure soluion es d esimer les élémens de Z 0 par la méhode des moindres carrés généralisés en uilisan la formule développée (encadré 1). Il es à noer qu il exise de nombreuses varianes de ces deux méhodes. 211

10 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin Un deuxième problème concerne le raiemen des marices Q e S (encadré 1), qui représenen respecivemen les marices de variancecovariance du veceur des innovaions e du veceur des erreurs de mesure. En effe, un élémen fondamenal dans l esimaion des modèles espace-éa es le degré de lissage des variables non observées, qui dépend des deux marices précédenes (on suppose que S es la marice nulle). Par exemple, dans le cas univarié, un raio R/Q élevé (appelé raio signal/brui) conribue à accroîre le pouvoir explicaif de la variable laene e l équaion de mesure sera donc mieux esimée. À la limie, pour de grandes valeurs de Q, la variable non observée absorbe oue la variaion des résidus dans l équaion de mesure. Alernaivemen, si Q es une marice nulle e si A es la marice idenié, les esimaions filrées (respecivemen lissées) correspondron à la méhode des moindres carrés récursifs (respecivemen des moindres carrés). Il es donc pariculièremen imporan de déerminer ce raio. Dans la praique, la plupar des éudes fixen ce raio de elle sore que l esimaion de la variable laene soi suffisammen lisse, avec des flucuaions jugées raisonnable d une période à l aure. Des ess de sensibilié son alors uilisés en spécifian différenes valeurs pour ce raio. Un roisième problème es lié aux propriéés de la vraisemblance e à la déerminaion numérique de la soluion. Dans de nombreux cas, la vraisemblance possède malheureusemen des maxima locaux dans lesquels l algorihme peu êre piégé. Il es alors préférable de fournir à l algorihme des paramères iniiaux «relaivemen proches» du maximum global. D aures problèmes praiques son abordés dans les applicaions économiques. 212 Applicaions La mise en œuvre de la méhodologie précédene es décrie ici dans quare champs d applicaion majeurs en économie : les endance e cycle de producion, les indices coïncidens d acivié, les aux de chômage d équilibre pouvan varier avec le emps (Time Varying Nairu, di TV-Nairu) e le conenu informaif de la courbe des aux sur l inflaion fuure. Après un bref rappel de chaque conexe économique, il s agi principalemen de monrer commen on éé formulés e esimés les modèles espace-éa dans ces différens cas. Les applicaions présenées dans cee parie son donc uniquemen illusraives e n on pas vocaion à aborder chaque problémaique économique de façon exhausive. Pour aller plus loin, le leceur peu se référer aux aricles don ces applicaions son inspirées, soien Benoglio, Fayolle e Lemoine (2001), Sock e Wason (1991), Boone (2000) e l aricle précurseur de Garbade e Wachel (1978).

11 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN Décomposiion endance/cycle 8 Un premier exemple d applicaion des echniques d esimaion précédenes concerne les décomposiions endance/cycle qui visen à donner une idée du niveau de la croissance poenielle e des phases du cycle d affaire. Parmi la diversié des méhodes exisanes, les modèles à composanes inobservables développés par Harvey (1989) on éé reenus, car ils se meen facilemen sous forme espace-éa. Ces modèles de décomposiion son considérés ici à un niveau univarié, ce qui en resrein le conenu économique, mais a l avanage de présener une plus grande lisibilié. Leurs résulas on de ce fai esseniellemen un inérê descripif sur le passé 9. Les résulas présenés proviennen d une applicaion au cas américain sur des données rimesrielles de PIB (en logarihmes) provenan des compes naionaux sur la période Tous les résulas son obenus à parir du logiciel STAMP développé par Koopman e al. (2000). Dans le modèle proposé par Harvey (1989), une série Y es décomposée, de manière addiive 10, en une endance T, un cycle C e une composane irrégulière ε. Chacune de ces composanes es sochasique e elles son supposées muuellemen non corrélées enres elles. La endance sui un modèle «localemen linéaire» 11, un modèle de endance assez général permean de prendre en compe divers ypes de chocs permanens. La composane cyclique es un processus linéaire saionnaire suscepible de faire apparaîre une alernance relaivemen régulière de pics e de creux, ou en admean une ceraine persisance des phases du cycle e d évenuelles dissyméries enre elles. Sa modélisaion requier l inroducion d une variable C* qui n a pas d inerpréaion pariculière. La composane irrégulière ε es un brui blanc. Y = T + C + ε T = T + β + η 1 1 β = β 1 + ζ * C = ρ( cos λ.c 1 + sin λ.c 1) + κ * * * C = ρ( sin λ.c 1 + cos λ.c 1) + κ 8. Pour une présenaion plus déaillée, voir Benoglio, Fayolle e Lemoine (2001). 9. Voir dans cee même Revue l aricle «Écar de producion dans la zone euro : une esimaion par le filre HPMV» de Chagny e Lemoine (2003), pour une décomposiion endance/cycle appliquée à la zone euro e visan à donner un conenu économique plus riche à ce ype d approche saisique. 10. Pour réaliser une décomposiion muliplicaive d une série emporelle, on peu procéder de la même manière en considéran la ransformaion logarihmique d une elle série. 11. Pour une présenaion déaillée des modèles localemen linéaires, on pourra consuler Durbin e Koopman (2001). Ce modèle perme aux aléas d êre localisés sur le niveau ou la pene de la endance. Les endances déerminises, I(1) ou I(2) consiuen des cas pariculiers de ce modèle. 213

12 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin où ε, η, ζ, κ e κ* son des bruis blancs indépendans, respecivemen de variance σ ² η e σ ² ζ, σ ² κ e à nouveau σ ² κ. Le paramère ρ, compris enre 0 e 1, es un paramère de lissage : plus il es proche de 0, plus le cycle es irrégulier ; plus il es proche de 1, plus le cycle es lisse. En l absence de chocs sur le cycle (σ ² κ =0) e avec un lissage maximal (ρ =1), le cycle es une sinusoïde parfaie don la période se dédui du paramère λ par la formule 2π/λ. Mais, dans le cas général, les chocs κ e κ* peuven avancer ou rearder les reprises comme les ralenissemens e 2π/λ ne représene plus que la durée moyenne du cycle. Pour esimer les paramères (σ ² ε, σ ² η, σ ² ζ, σ ² κ, λ, ρ), la endance e le cycle, on reformule le modèle à composanes inobservables précéden comme un modèle espace-éa, avec l équaion d observaion : Y = ( )X + ε où X es le veceur d éa défini par X = (T β C C* ) qui sui l équaion d éa : X η ζ = X + ρcos λ ρsinλ κ * 0 0 ρsinλ ρcos λ κ L algorihme EM perme alors d esimer les paramères (σ ε σ η σ ς σ κ ρ λ) du modèle. Pour ce faire, le veceur d iniialisaion es fixé à ( ,2 0,8). La vraisemblance es alors maximisée avec l algorihme EM e on obien les valeurs esimées présenées avec leur écar-ype dans le ableau 1. Les variances σ ε e σ η de la composane irrégulière e du niveau de la endance son esimés à 0 e la vraisemblance es concenrée par rappor à ceux-ci. Ensuie, un filre de Kalman fourni les innovaions v de Y, leur variance F e la marice de gain K. Un lisseur appliqué aux différens bruis (ς, κ, κ*, ε) perme in fine de générer la endance esimée T e le cycle esimé C. 1. Paramères de la décomposiion du PIB américain σ ε σ η σ ς σ ê λ ρ Valeur esimée 0 0 0,04 0,75 0,20 0,95 (écar-ype) (-) (-) (0,01) (0,08) (0,02) (0,00) Noe : les paramères σ ε σ η σ ς σ κ e leur écar-ype son mulipliés par 100. Sources : Bureau of Economic Analysis, calculs des aueurs. 214

13 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN 2. Saisiques des erreurs de prévision Saisiques σ N Q(13,10) Résidus 8, ,2 14,0 Noe : Pour eser la normalié des résidus, es calculée la saisique de Bowman-Shenon N qui sui un χ² à 2 degrés de liberé e adme donc pour valeur criique 6,0 au seuil de 5%. Pour eser la nullié de l'auo-corrélaion des p=13 premiers résidus d'un modèle à n=4 paramères, es calculée la saisique de Box-Ljung Q(p,p-n+1) qui sui un χ² à p-n+1=10 degrés de liberé e adme donc ici la valeur criique 18,3 au seuil de 5 %. Sources : Bureau of Economic Analysis, calculs des aueurs. Comme le monre le ableau 1, le modèle univarié adéqua es sponanémen un modèle du ype «endance douce» 12, c es-à-dire que les innovaions sur le niveau de la endance on une variance σ η esimée à 0. Le modèle compore égalemen un cycle sochasique de paramères ρ = 0,95 e l = 0,2, soi une durée moyenne d environ 8 ans 13.La période esimée du cycle américain es raisonnable, mais apparaî plus longue que la durée de 6 ans qui lui es souven aribuée. Quan au paramère ρ, sa valeur élevée indique que le cycle es relaivemen lisse, ce qui es conforé par la nullié de la composane irrégulière (σ ε = 0) : comme l on monré Benoglio e al. (2001) en comparaison avec l Europe, ceci indique que les Éas-Unis connaissen des périodes d expansion e de ralenissemen régulières, relaivemen au caracère heuré de la conjoncure européenne. Pour apprécier l ordre de grandeur des écars-ypes des innovaions affecan la endance e le cycle, ainsi que celui de l erreur de prévision, on peu considérer qu ils son exprimés en proporion du niveau moyen de la série. On noera que la variance des innovaions affecan la pene de la endance es bien inférieure à celle des innovaions du cycle, ce qui radui la progressivié des inflexions de la pene de la endance. Concernan les erreurs de prévision, les saisiques des ess de normalié e de Box-Ljung ne permeen pas de rejeer l hypohèse nulle selon laquelle il s agi d un brui blanc (ableau 2). 12. Diebold e Rudebusch (1999, p. 20) confirmen l inérê d un el modèle de endance pour les Éas-Unis : «For US real oupu, i appears ha a rend represenaion ha is very smooh, even if no exacly linear, is a viable candidae». 13. Pour mémoire, la durée moyenne du cycle du paramère λ se calcule par la formule 2π/λ. Ici, la durée moyenne du cycle vau donc environ 2*3,14/0,2 = 31,4 rimesres, soi environ 8 ans. 215

14 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin 1.Taux de croissance de la endance du PIB américain 4,0 En % par an 3,8 3,6 3,4 3,2 3,0 2,8 2, Sources : Bureau of Economic Analysis, calculs des aueurs. 2. Cycle du PIB américain 6 En % du PIB ans 6 ans 10 ans 11 ans Noe : les barres vericales indiquen les 5 pics cycliques repérés dans la période d'esimaion. Son égalemen ajouées sur le graphique les durées de ces 5 cycles. Sources : Bureau of Economic Analysis ; calculs des aueurs. 216

15 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN En ce qui concerne la croissance de la endance, don l esimaion lissée es présenée sur le graphique 1, elle s inerprèe comme un aux de croissance équilibré de long erme qui baisserai de 4,5 % dans les années 1960 à moins de 3 % dans les années 1980 pour revenir à environ 3,5 % à la fin des années 1980, sans comper la par cyclique de l envolée de la croissance américaine sur cee même période. Le graphique 2 représene l esimaion du cycle américain. On repère alors sur le cycle cinq pics enre 1960 e 2002 : un léger ralenissemen iniié en 1966 en période de croissance fore, les deux chocs péroliers en 1973 e en 1979, le pic de 1989 associé à l éclaemen de la bulle immobilière américaine e celui de 2000 à la suie de l effondremen des valeurs echnologiques. Les Éas-Unis on donc connu quare cycles eniers sur la période e on rerouve bien une durée moyenne d environ 8 ans e non de 6 ans. À l aide du graphique 2, on voi que cela s explique par la période reenue : les deux derniers cycles d une durée rès longue (10 ans) prennen une fore imporance relaive, alors que les cycles éaien plus cours (6 ans) duran les années 1950, 1960 e Si ce modèle condui à d inéressans résulas sur les évoluions du cycle e de la endance, sa principale limie concerne l hypohèse d indépendance enre la endance e le cycle. Cee hypohèse exclu ou effe d hysérèse, noammen l idée qu une récession puisse engendrer un ralenissemen durable de la endance. La spécificaion reenue ici pour le cycle ne perme en fai pas d idenifier la corrélaion enre la endance e le cycle. Comme l on monré Morley, Nelson e Zivo (2002), l idenificaion de cee corrélaion requière de modéliser le cycle comme un processus auo-régressif d ordre 2. Le modèle de Morley e al. (2002) n a pas éé reenu ici car, à la différence de ρ e λ, les paramères du cycle ne son pas inerpréables e surou, comme l a monré Proiei (2002), parce que le cycle issu de ce modèle es suje à de rès imporanes révisions avec l arrivée de nouvelles données. Indice coïnciden 13 Nombre de variables macroéconomiques présenen des co-mouvemens avec le cycle des affaires. Dans cee perspecive, il es uile de consruire un indice coïnciden à parir de ces variables. Il s agi alors d exprimer chaque variable en foncion d une composane inobservable commune, l indice coïnciden «résuman» les informaions de chaque variable économique. Avec ce objecif, le Deparemen of Commerce (DOC) des Éas-Unis a consrui avec une procédure ad hoc un indicaeur de base 100 en 1995, dénommé DOC. Ce indicaeur combine quare variables macro-économique (Y i ) : l indice de la producion 13. Pour une présenaion plus déaillée, voir Sock e Wason (1991). 217

16 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin indusrielle (Y 1 ), le revenu nominal avan ransfers (Y 2 ), les venes indusrielles e commerciales (Y 3 ) e l emploi salarié non agricole (Y 4 ). Pour rouver une soluion opimale en erme de vraisemblance à ce problème d esimaion d un résumé de quare séries emporelles, Sock e Wason (1991) on proposé de formuler e d esimer un modèle espace-éa avec des variables cachées appropriées. Nous reprenons ici l approche de Sock e Wason (1991) e la nouvelle formulaion proposée par Kim e Nelson (1999). Dans un cadre espace-éa, les équaions de mesure décomposen chaque variaion 14 des variables économiques en foncion d une composane commune 15 d une par (qui servira à consruire l indice coïnciden) e des composanes idiosyncraiques d aure par. Les équaions d éa serven ensuie à modéliser les dynamiques auo-régressives de la composane commune 16 e des composanes idiosyncraiques. Yi = D i + γi(l) C + ei (I) C 1 C 1 2 C 2, N, ei = ψi ei, + ψi e i, + εi, εi N (, σ (0,σ0 2 ε i ) ( δ) = ϕ ( δ) + ϕ ( δ) + ω ω (0,1) 01) Première éape : Esimaion du modèle en écar à la moyenne Le erme consan δ dans l équaion de mesure n éan pas direcemen idenifiable, le modèle es esimé, dans un premier emps, avec un veceur de mesure (y i ) conenan les variables différenciées à l ordre 1 en écar à leur moyenne respecive. Quan au veceur d éa, il conien la composane commune c, les composanes idiosyncraiques (e i ) e leurs reards respecifs. Le modèle espace-éa précéden se reformule alors par le modèle cenré suivan : y i = D i + γ i (L ) C + e i (II) c = ϕ 1 c 1 + ϕ 2 c 2 + ω, ω N (0,1) ( 0, 1) 2 = ψ + ψ + ε ε (0,σ 0 2 σi ) avec y i = Y i Y i e c = C δ. Veceur d éa : Z = ( C, C -1, e i, e i-1 ) i=1...4 Veceur de mesure : y = ( Y i ) i=1...4 ( ) e e e, N, ε i i 1 i, 1 i 2 i, 2 i i i 14. Les variables son considérées en variaion car les ess de racine uniaire (ADF) indiquen qu elles son oues inégrées d ordre un. 15. Dans l aricle original de Sock e Wason (1991), les variable Y i son considérées comme coïncidenes à l acivié e ne dépenden dans les équaions de mesure que de la valeur courane de la variable C. Mais les aueurs remarquen que les résidus de l équaion d emploi (Y 4 ) resen auo-corrélés. L emploi (Y 4 ) es en effe reardé sur l acivié. C es pourquoi on reprend ici la formulaion de Kim e Nelson (1999) d une équaion de mesure spécifique pour l emploi qui inègre en plus rois reards de C. 16. La variance des innovaions w es fixée à 1 pour normaliser la composane commune C. 218

17 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN Ce modèle es alors esimé e ses paramères son reporés dans le ableau Esimaion des paramères c y 1, y 2, y 3, y 4, φ 1 0, (0,0808) φ 2 0, (0,0855) ψ i,1-0,0018 0,0371 0,0896 0,0021 (0,0029) (0,0094) (0,0065) (0,0119) ψ i,2-0,0338 0,0044 0,6811 0,0101 (0,0472) (0,0641) (0,0469) (0,0108) σ² åi - 0,1439 0,3571 0,0152 0,1383 i (0,0080) (0,0693) (0,0016) (0,0101) γ i,0-0,0647 0,2854 0,2490 0,5762 (0,0384) (0,0487) (0,0253) (0,0334) γ i, ,2143 (0,0149) γ i, ,4512 (0,0341) γ i, ,1383 (0,0101) Noe : les écar-ypes des paramères esimés son indiqués enre parenhèses. Sources : Bureau of Economic Analysis, Bureau of Labor Saisics, calculs des aueurs. Deuxième éape : Esimaion de l indicaeur coïnciden Dans un second emps, on esime δ e on consrui l indicaeur coïnciden (C, ). La forme développée 17 du modèle (I) implique une relaion enre C, e Y de ype : C, = W(L) Y don on dédui ^ δ =W(1) Y Le problème se déplace donc à l idenificaion de W(1). L asuce proposée par Sock e Wason (1991) consise alors à idenifier W(1) en repassan par le modèle en écar à la moyenne (II). Dans le 17. Pour des déails sur la noion de forme développée d un modèle espace-éa, voir l encadré. 219

18 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin modèle (II), l esimaeur c, de la variable cachée se dédui en effe de la variable observée en uilisan la même forme développée e on obien : C, = W(L) Y Sans renrer dans les déails, indiquons juse que W(L) e a foriori W(1) peuven alors se déduire du filre de Kalman esimé précédemmen pour le modèle (II). Une fois la consane esimée, ous les paramères du modèle son connus e l indicaeur coïnciden se défini par la formule : C, = C,-1 + c, + δ L indicaeur es donc idenifié au choix arbiraire près d une valeur iniiale C 0,0. Finalemen, on défini un indicaeur normalisé (ayan la même valeur en 1970 que l indice DOC) à parir de la formule suivane : σ DOC * C C, = C, + σ Le graphique 3 monre que les poins de reournemen du nouvel indicaeur e de l indice DOC son synchronisés. En revanche, le nouvel indicaeur présene une plus fore croissance dans les années 1960 e une croissance plus ralenie dans les années 1980 e C, 3. Indicaeur coïnciden e indice DOC 120 DOC Indice expérimenal Noe : DOC es un indice de base 100 en L'indice expérimenal a un niveau arbiraire égal à l'indice DOC en janvier Les barres disconinues indiquen les poins de reournemen de l'indice DOC. Sources : Bureau of Economic Analysis ; Bureau of Labor Saisics ; calculs des aueurs. 220

19 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN Déerminaion du aux de chômage d équilibre 18 Le Nairu es défini comme le aux de chômage sabilisan l inflaion en l absence de chocs d offre emporaires. Si le aux de chômage es inférieur au Nairu, l inflaion s accroî jusqu à ce que le aux de chômage aeigne le niveau du Nairu. L inflaion se sabilise alors à un niveau plus élevé. Les évaluaions srucurelles du Nairu son réalisées à parir d une équaion de prix e d une équaion de salaires. Ce ype d évaluaion pose deux problèmes : la diversié des chiffrages auxquels conduisen les éudes selon la spécificaion reenue ; la difficulé à expliquer, pour la fin des années 1990, la compaibilié enre une fore baisse du chômage américain e le mainien d une inflaion modérée. C es pourquoi d aures méhodes d esimaion on éé proposées dans la liéraure récene 19 : le filre Hodrick-Presco (HP), le filre Hodrick-Presco Mulivarié (HPMV) 20 ou un filre de Kalman 21. Si le filre HP es un simple lissage du aux de chômage, le filre HPMV e le filre de Kalman prennen en compe l informaion apporée par l inflaion sur le niveau du Nairu, qui es mesuré comme une variable cachée dans un modèle rédui, le riangle model (Gordon, 1997) : π = α(l) π -1 β(u u* -1 ) δz + η 1 où u* -1 es le Nairu, u es le aux de chômage, π es l inflaion, π es le aux de croissance de l inflaion, α(l) es un polynôme reard, δ es un veceur de paramères e z es un veceur de chocs d offre emporaires. Ce modèle es di riangulaire car l inflaion y rouve rois déerminans : l inflaion passée (α(l) π -1 ), les ensions sur le marché du ravail (u u* -1 ) e les chocs d offre (z ). Les rois filres on pour objecif de fournir un Nairu plus variable avec le emps, mais ne permeen généralemen pas d expliquer le sens économique des évoluions du Nairu. À l origine, le filre HP e le filre HPMV esimen le chômage d équilibre comme soluion des programmes de minimisaion suivans : * u * u T = 1 2 * * (u u* ) 2 + λ1 ( ) Min u u ( u* u ) 2 T = * * 2 ( ) + λ1( ) + λ2( η1) (u u* ) 2 ( u* ) 2 (η 1 ) 2 Min u u u (HP) (HPMV) 18. Cee parie s inspire rès largemen des ravaux de Boone (2000) e Boone e al. (2001). 19. On pourra noammen se référer à Cogley e Nason (1995), à Boone (2000) ou à Guay e S Aman (1996). 20. Les filres HPMV permeen d inégrer des relaions économiques au filre HP (Laxon e Telow, 1992). 21. Même si seule la roisième méhode d esimaion es à propremen parler un filre de Kalman, les filres HP e HPMV peuven aussi s esimer à parir d un el filre avec des conraines sur les variances des innovaions. Voir l aricle «écar de producion dans la zone euro : une esimaion par le filre HPMV». de Chagny, Lemoine (2003) dans ce même dossier. 221

20 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin Ces filres peuven cependan se réécrire sous la forme de modèles espace-éa. Cee réécriure perme d uiliser une meilleure méhode d esimaion e de comparer la srucure des différens modèles (ableau 4). En effe, ces rois méhodes peuven êre différenciées en foncion des équaions de mesure e d éa spécifiées ainsi que des resricions imposées sur les paramères. 4. Résumé des différens modèles Modèles Equaions de mesure Equaions d éa σó² 2 ç1 η 1 σó² 2 η ç2 2 σó² 2 ε å HP * * u u u = u + - 1/16 1/400 * = +η 2, 1 ε HPMV Kalman π = α( L) π β( u u ) * δz + η 1, u u * = +η 2, π = α( L) π β( u u ) * δz + η 1, u = u + 1 1/16 1/400 * * 1 ε u u R - Q * * = 1 + ε 222 Noe : Pour le filre de Kalman, les variances des innovaions de l'équaion de mesure (σ² η1 ) e de l'équaion d'éa (σ² ε ) son esimées libremen avec les paramères R e Q (selon les noaions de l'encadré 1). Pour le filre HP, l équaion de mesure décri le aux de chômage comme la somme d une composane endancielle (le aux de chômage d équilibre) e d un brui, l équaion d éa définissan le aux de chômage d équilibre comme une marche aléaoire en premières différences. Les variances des innovaions e des erreurs de mesure son fixées e égales à 1/400 e 1/16 respecivemen, correspondan aux valeurs reenues pour une esimaion avec des données semesrielles. Pour le filre HPMV, les résidus de la courbe de Phillips augmenée son inclus dans le programme de minimisaion. On uilise deux équaions de mesure : la courbe de Phillips e le Nairu. L équaion d éa défini à nouveau la première différence du Nairu comme une marche aléaoire sans dérive. Les valeurs des variances de l erreur de mesure, de l innovaion de la courbe de Phillips e des innovaions du Nairu son respecivemen égales à 1, 1/16 e 1/400. Pour le filre de Kalman sandard, la courbe de Phillips es direcemen uilisée comme équaion de mesure. Il es à noer qu aucune resricion n es imposée sur la valeur des variances conrairemen aux deux précédens modèles. Mais Sock e Wason (1996) on monré que l esimaion par le filre de Kalman pouvai biaiser vers 0 la variance des variables cachées d une régression, soi ici la variance du Nairu U* qui apparaî dans la régression de l inflaion. Ce problème, dénommé le «pile-up problem», es illusré sur le graphique 4, le Nairu esimé par le filre de Kalman ayan une variance excessivemen faible.

21 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN 4. Comparaison des filres HP, HPMV e de Kalman 11 En % de la populaion acive 10 9 Taux de chômage 8 7 HP HPM KF Sources : Bureau of Economic Analysis ; Bureau of Labor Saisics ; calculs des aueurs. Les modèles espace-éa son appliqués à l esimaion du Nairu aux Éas-Unis sur la période 1963:1-1999:2 (graphique 4). Les esimaions du Nairu évoluif par les filres HP e HPMV fournissen des résulas convergens avec une baisse du chômage d équilibre de presque 4 poins enre le milieu des années 1980 à la fin des années 1990 où il passe sous les 5 %. En revanche, l esimaion du modèle «filre de Kalman» es beaucoup moins variable, passan d environ 6 % dans les années 1980 à un peu plus de 5 % dans les années Avec un chômage à environ 4 % en fin de période, cela signifierai que le chômage serai en 1999 à plus de 1 % sous le Nairu e impliquerai une fore accéléraion de l inflaion qui n a pas éé observée. L esimaion libre par le filre de Kalman ne semble donc pas saisfaisane relaivemen aux esimaions HP e HPMV. Ces mauvais résulas du filre de Kalman son liés au «pile-up problem», qui explique qu on ai ici à or un Nairu presque consan. En conclusion, ce exemple a illusré une uilisaion inéressane du filre de Kalman, l esimaion de filres HP ou HPMV, mis sous forme de modèles espace-éa, avec un raio conrain sur les variances. Mais ce exemple a égalemen monré qu un modèle espace-éa ne peu pas oujours êre esimé el quel : la variance de la variable d éa doi parfois êre calibrée sous peine d obenir des résulas biaisés avec une variable d éa quasi-consane. 223

22 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin Conenu informaif de la courbe des aux sur l inflaion fuure 22 Une dernière applicaion concerne l éude du conenu informaif de la srucure par erme des aux d inérê pour l inflaion fuure. Ce ype d éude se jusifie par l inérê des décideurs de la poliique monéaire pour la courbe des aux comme une des variables financières permean de prédire l inflaion. Mais la quesion n es abordée ici qu en an qu applicaion possible des echniques espace-éa. L objecif es esseniellemen de monrer, dans ce conexe, que le filre de Kalman perme d esimer un modèle linéaire à coefficiens aléaoires. Une méhode simple pour eser le conenu informaif (ou le pouvoir prédicif) de la courbe des aux pour l inflaion fuure es d esimer l équaion suivane 23 par moindres carrés ordinaires (en uilisan évenuellemen une correcion de Whie ou de Newey e Wes) : π,m π,n = α + β(i,m i,n )+ η (1) où π,m es le aux d inflaion à m-période mesuré par log(p +12m /P )/m, P éan l indice des prix à la consommaion au mois e i,m éan le aux d inérê nominal à m-période. Considérons ce modèle sur la période 1961: :12 pour le premier segmen de la courbe des aux américains, soi le spread 2-1, ou encore l écar enre le aux d inérê à deux mois e le aux à un mois. On obien alors une équaion don le R² es assez faible avec une valeur de 0,20. La consane e le spread 2-1 on des coefficiens significaifs (ableau 5). Le reje par un es de Suden de l hypohèse nulle β =0 monre que ce segmen de la courbe des aux possède un conenu informaif pour l inflaion fuure. De plus, l inérê a égalemen poré sur l égalié à 1 du paramère β pour eser la relaion de Fisher 24. Cee relaion sipule que le aux d inérê réel ex ane enre e +m (égal au aux d inérê nominal à m-période moins l inflaion anicipée) es consan au cours du emps. Sur cee parie de la courbe des aux, l hypohèse nulle β =1 ne peu pas êre rejeée e la relaion de Fisher es donc validée. 5. Esimaion par MCO Variables Coefficiens Ecars-ypes -sa α 0,256 0,108 2,369 βâ 1,260 0,255 4,941 Sources : Federal Reserve Bank, OECD,Analyical Daa Base ; calculs des aueurs. 22. Pour une présenaion plus déaillée, voir Garbade e Wachel (1978). 23. Pour une présenaion déaillée, voir Mishkin (1990), Tzavalis e Wickens (1996). 24. Voir Kozicki e Tinsley (2001). 224

23 INTRODUCTION AUX MODÈLES ESPACE-ÉTAT ET AU FILTRE DE KALMAN Cependan, l inconvénien de cee méhode es qu elle prédi en moyenne sur l ensemble de la période un conenu informaif de la courbe des aux pour l inflaion fuure. Or, les ravaux empiriques monren que le conenu informaif des écars de aux varie selon la période d esimaion reenue, le pays reenu e le segmen considère de la courbe des aux. En pariculier, cee relaion a noammen éé éudiée avec des ess de sabilié. Même si la dae de rupure peu êre endogénéisée, il es difficile de mere en évidence plusieurs daes de rupure compe enu des propriéés à disance finie de ces saisiques. Une approche alernaive consise à esimer l équaion précédene en faisan varier β. Par exemple, l esimaion de modèles à changemens de régime perme d envisager que ce coefficien prenne une valeur fixe sur ceraines périodes e que cee valeur bascule avec les changemens de régime (Chopin e Pelgrin, 2003). Il es alors possible de mere en évidence plusieurs régimes. En d aures ermes, le conenu informaif pour l inflaion fuure varie dans le emps. Ces résulas son confirmés par d aures modèles non linéaires (modèles à seuils, non paramériques). Finalemen, les ess d Andrews de fin d échanillon monren que le conenu informaif es faible pour les Éas-Unis lors de la dernière décennie. Dans cee perspecive, pour mere en évidence la variabilié du conenu informaif de la courbe des aux pour l inflaion fuure, il convien d uiliser une représenaion espace-éa simple où le coefficien représenan la pene de la relaion (1) sui un processus saionnaire auour d une moyenne 25. Une aure alernaive simple consiserai a implémener la méhode des moindres carrés ordinaires récursive par une écriure espace-éa. À la suie de Garbade e Wachel (1978), on envisage ici que ce coefficien puisse évoluer progressivemen à l aide d un modèle linéaire à coefficien variable de la forme : β + 1 = µ + ϕ1β + ε (2) π,m π,n = α + β (i,m i,n ) + η avec une pene varian comme un simple processus auo-régressif d ordre 1. En prenan β comme variable d éa e π,m π,n comme variable de mesure, le modèle précéden es direcemen sous une forme espace-éa. Comme précédemmen, les esimaions son menées sur le premier segmen de la courbe des aux américaine sur la période 1961: :12. Pour esimer les paramères du modèle espace-éa (2), on applique l algorihme EM e on obien les valeurs présenées dans le ableau 6. Sur la base de cee esimaion, on peu déerminer la valeur de long erme de la variable d éa (β), soi E[β]=1,50. Par ailleurs, 25. Harvey (1989) uilise les modèles espace-éa pour mere en évidence e déecer l insabilié dans une relaion. 225

24 Mahieu Lemoine e Florian Pelgrin l évoluion de la variable d éa es représenée sur le graphique 5 e on consae que le conenu informaif de la courbe des aux pour l inflaion fuure varie au cours du emps. Les résulas son donc cohérens avec la liéraure exisane. Cependan, il es a noer que l inceriude enouran les esimaions es assez imporane. Cee variabilié peu êre réduie en uilisan des méhodes saisiques plus sophisiquées. L exercice simple précéden a monré commen le filre de Kalman peu êre uilisé pour esimer un modèle linéaire à coefficien aléaoire lorsque la relaion éudiée peu êre insable ou variable dans le emps. Il s agirai sans doue d approfondir la ou les sources d insabilié (différenes représenaions espace-éa son possibles avec des hypohèses différenes sur la consane ou la pene) e de eser par la suie le conenu informaif de la courbe des aux, ainsi que la relaion de Fisher sur les sous-périodes considérées. Cependan, ce n es pas l obje de ce exemple. 6. Esimaion du modèle espace-éa Variables Coefficiens Ecars-ypes α 0,14 0,03 σ ε ² 0,29 0,06 µ 0,09 0,07 φ 0,94 0,00 σ η ² 0,56 0,07 Sources : Federal Reserve Bank e OECD Analyical Daa Base (ADBM) ; calculs des aueurs Évoluion de β sur la période 1980:1-1996: Sources : Federal Reserve Bank e OECD Analyical Daa Base (ADBM) ; calculs des aueurs. 226