Introduction à MatLab

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1 Introduction à MatLab I. Introduction Présentation I.1. Qu'est-ce que MatLab? MatLab est un système interactif de programmation scientifique, pour le calcul numérique et la visualisation graphique. Développé à l origine pour le calcul matriciel (le nom MatLab est dérivée de cette représentation MatLab = Matrix Laboratory), il offre aujourd hui bien d autres possibilités, dont certaines seront decrites dans la suite. Il contient des bibliothèques spécialisées (toolbox) qui répondent à des besoins spécifiques : analyse numérique, traitement du signal, traitement de l image, etc. MatLab est un logiciel qui permet de faire des calculs mathématiques et numérique, et non un logiciel de calcul formel et symbolique comme Maple.. Matlab connaît un grand nombre d'opérations ou de fonctions mathématiques : fonctions usuelles, calcul matriciel, fonctions plus spécifiques du signal (FFT, etc). Exemple : Si a est un vecteur qui contient les échantillons d'un signal, A = fft(a,128) est le vecteur qui contient la transformée de Fourier rapide des 128 premiers échantillons du signal. Remarque : dans toute la suite, on utilisera la notation suivante : italique (nom à donner par l utilisateur à une variable, etc), gras (noms généraux), rouge (nom de fonction ou d instruction MatLab). I.2. Accès à MatLab : MatLab est disponible sur différentes plateformes (unix, pc, mac, etc). On accède au logiciel en lançant l'exécutable matlab suivant la procédure habituelle de l'environnement concerné. On se retrouve alors dans la fenêtre de commande où on peut écrire des commandes ou exécuter des fonctions. On sort du logiciel en tapant quit ou exit. I.3. Aide en ligne : La suite a pour but de vous familiariser avec MatLab. On peut se rendre compte de la puissance du logiciel en lançant la commande demo. Les compléments d'information peuvent être facilement obtenus grâce à l'aide en ligne incluse dont l'accès s'obtient en tapant au clavier :?? help help : pour apprendre à utiliser l aide?? help : donne la liste des aides générales disponibles en ligne?? help general : liste de commandes de contrôle

2 ?? help function : pour plus d'info sur la fonction function?? help sujet : renvoie la liste des fonctions relatives à sujet?? help opération : pour plus d'info sur l opération opération?? help nom-de-commande : pour plus d'info sur la commande nom-de-commande?? lookfor : recherche par mots clés dans les fichiers d'aide I.4. Opérations, fonctions, commandes : Les fonctions usuelles sont séparées en deux : les fonctions élémentaires (elfun) et les fonctions spéciales (specfun). Vous pouvez aussi créer vos propres fonctions (voir plus bas). Pour obtenir de l aide, tapez : help elfun, help specfun Quelques opérations avec des matrices :?? x = [ ] retourne le vecteur (1,2,4,5,7,3).?? (a:k:z) retourne le vecteur (a,a+k,a+2k,a+3k,...,a+nk), avec N tel que a+nk? z???a+(n+1)k.?? x(m:n) retourne les valeurs de x d'indice compris entre m et n.?? additionner deux vecteurs x et y de même longeur z=x+y?? multiplier terme à terme deux vecteurs de même longeur z = x.*y (notez le. avant le *) Liste non exhaustive de fonctions :?? zeros (N) : crée une matrice N*N remplie de 0?? ones (N) : crée une matrice N*N remplie de 1?? rand (N) : crée une matrice N*N dont tous les éléments sont aléatoires?? diag (N) : crée une matrice N*N diagonale?? Les fonctions trigonométriques (et trigonométriques inverses) usuelles cos(x), sin(x), etc?? abs(x) retourne la valeur absolue pour un réel, ou le module pour un complexe?? angle(x) retourne l'argument du complexe x entre -? et??? y = max(x) retourne la valeur maximale du signal x. (y est un scalaire)?? y = max(x,40) retourne un vecteur contenant les échantillons de x lorsqu'ils sont? ou??40?? R = roots(a) retourne les racines du polynôme dont les coefficients sont dans le vecteur a?? fft, ifft : transformation de Fourier (Fourier rapide et son inverse)?? fzero : zéros de fonctions?? fmin, fmins : minimisation?? quad, quad8, trapz : calcul d'intégrales?? ode23, ode23p, ode45 : équations différentielles?? diff, gradient, del2 : équations aux dérivées partielles?? poly : construit un polynôme à partir de ses racines Pour obtenir des tracés graphiques :?? Graphiques 2d: plot, loglog (échelle logarithmique), polar (en polaire), title, xlabel, ylabel, text, gtext (commentaires), image (création d'une image à partir d'une matrice).?? Graphiques 3d: plot3d, contour (contours), mesh (maillage), surf (surface)?? Divers : clf (efface), hold on (garde les graphiques), figure (créé d'autres fenêtres graphiques), drawnow (force Matlab à afficher immédiatemment).

3 Boucles et tests?? boucles : for, while, end, break?? tests : if, elseif, else, end?? dialogue avec utilisateur : input, keyboard, pause Commentaires?? une ligne de commentaires commence avec le symbole % I.5. Fichiers MatLab : I.5.1. Fichiers script Un fichier script est une suite d'instructions MatLab (voir : help script). On peut le créer à l'aide d'un éditeur de texte standard et le sauvegarder avec une extension ''.m'' (d où le nom fichiers M ou 'M-files'). what affiche la liste des fichiers ''.m'' déjà créés. On peut facilement obtenir le listing d'un M-file en exécutant type file_name sur la ligne de commande MatLab. Taper le nom d un fichier sans son extension sur la ligne de commande MatLab résulte en l'éxécution des instructions contenues dans le fichier. Un M-file peut en appeler un autre ou s'appeler récursivement. Il est cependant plus courant d'utiliser des fichiers fonctions. Attention : il est impératif que les fichiers soient dans le répertoire de travail de MatLab. I.5.2. Fichiers function Les fichiers fonctions (voir : help function) permettent d'étendre les possibilités de MatLab. Ils sont l'équivalent des Subroutine en langage Fortran, des fonctions C etc... Ces fonctions utilisent des variables qui par défaut sont locales, mais peuvent être déclarées global. La syntaxe est de la forme: function [out1, out2,...] = function_name(in1, in2,...) où out i désigne une variable de sortie, et in i désigne une variable d'entrée Fichiers de données Il est possible à tout instant de sauvegarder une ou plusieurs variables dans un fichier spécifique MatLab dont l'extension sera.mat : la commande à utiliser est save. Différents formats et options sont utilisés. Pour recharger un tel fichier on utilisera load fname. Chaque variable ayant été sauvegardée par son nom, les variables rechargées auront mêmes noms, dimensions et valeurs qu au moment de la sauvegarde. II. Guide sommaire d utilisation II.1. Entrée et traitement de matrices :

4 MatLab travaille essentiellement sur des matrices qui peuvent être réelles ou complexes. Ainsi, un scalaire est une matrice 1 1 et un vecteur une matrice N 1. Une matrice peut être définie sous forme d'une liste explicite, où les éléments d'une même ligne sont séparés par un espace ou une virgule, les lignes sont elles-mêmes séparées par un point virgule ou un retour chariot.: A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] est la matrice A= Une matrice à éléments complexes sera définie par A = [ 1 2; 3 4] +i*[5 6; 7 8], ou par A = [ 1+5i 2+6i; 3+7i 4+8i]. Les imaginaires purs i ou j peuvent être utilisés indifféremment. Attention : ne pas insérer d'espace dans la définition d'un nombre complexe. Chaque élément d'une matrice est accessible par ses indices strictement positifs entre parenthèses. L'indexation des éléments d'un tableau commence toujours à 1 : ainsi, l'élément de la 3 ème ligne et 4 ème colonne d une matrice A est A( 3,4) ; pour un vecteur X la 2 ème composante est X( 2). II.2. Lignes d'instructions : MatLab utilise un langage interprété et non un langage compilé : chaque expression écrite est interprétée et évaluée avant de passer à la suivante. La syntaxe est généralement de la forme: variable = expression(;) : expression évaluée et résultat assigné à la variable définie par variable ou bien expression(;) : expression est évaluée et résultat assigné à la variable interne ans Le point virgule de terminaison de ligne indique si le résultat de l'évaluation devra être affiché à l'écran (; présent) ou non (; absent). Des lignes trop longues peuvent être continuées sur plusieurs lignes en utilisant comme indicateur des points de suspension ( ). Ainsi: x = [ ] est équivalent à : x = [ puis 3 4] sur la ligne suivante Il y a distinction entre majuscule et minuscule : ainsi, variable est différent de Variable. L'exécution peut être arrêtée par l'utilisation de CTRL_C ou de CTRL_BREAK. Pour visualiser l'état d'une session, la commande who ou whos renvoie la liste des variables existantes ainsi que leur type (réel ou complexe) et leur taille. Pour libérer de l'espace mémoire on peut éliminer une variable par clear nom_de_la_variable. II.3. Opérations sur les Matrices :

5 Les opérations suivantes sont directement accessibles: + addition - soustraction? multiplication ^ élévation à la puissance ' transpose conjugué \ division à gauche / division à droite Dans chaque cas, les dimensions des matrices sont vérifiées et un message d'erreur est délivré au cas où elles ne seraient pas compatibles. Certaines opérations, telles *, et /, peuvent agir élément par élément si on les fait précéder d'un point. II.4. Exercices d application : II.4.1. Exercice 1 : Manipulation et opérations avec des matrices a) Définir la matrice A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9] et sa transposée B. b) Définir la matrice C comme produit de A par B. c) Définir D par: D = A.*B. Comparer C et D. d) Définir les vecteurs x = [-1;0;2] et y = [62;61;1]. Comparer u = x? *y et v = x*y?. e) Définir le vecteur b par b = A*x. Que vaut le vecteur z = A\b? f) Définir les vecteurs x = [1;2;3] et y = [4;5;6]. g) Que donnent z1 = x.*y, z2 = x.\y, z3 = x./y, z4 = x.^y, z5 = 2.^[x y]? II.4.2. Exercice 2 : fabriquer 128 échantillons d'une sinusoïde Pour générer 128 échantillons d'une sinusoïde de fréquence Freq, on peut procéder ainsi : 1. Donner une valeur à la fréquence de la sinusoïde : Freq = 1300 ; 2. Choisir une fréquence d'échantillonnage : Fe = 8000 ; 3. Créer le vecteur des temps : t = (0:127)/Fe ; 4. Enfin calculer les échantillons : x = sin(2*pi*t*f) ; 5. Regarder le résultat : plot(x) ou plot(t,x). Notes :?? Si vous oubliez le `;' à la fin de la ligne, les valeurs sont affichées à l'écran.?? La commande (0:127) retourne le vecteur suivant : (0,1,2,...,126,127).?? La commande (0:2:127) retourne (0,2,4,...,124,126).?? 'sin' appliquée à un vecteur retourne un vecteur formé par les sinus des éléments.?? plot(x) dessine les échantillons du vecteur x sur l'écran. II.4.3. Remarques : 1. lorsqu'on additionne deux vecteurs, il faut faire attention qu'ils aient la même dimension, et en particulier qu'ils soient tous les deux lignes, ou tous les deux colonnes. 2. n'oubliez pas le point `.' avant le `?' ('?' effectue la multiplication matricielle, alors que '.?' effectue la multiplication terme à terme. 3. La commande y(p:q)crée un vecteur y formé des éléments d'indices compris entre m et n d un vecteur x.

6 4. Dans MatLab, les polynômes sont représentés par le vecteur de leurs coefficients par ordre de puissance décroissante : par exemple, le polynôme x 3 + 4x 2-3x +5 est représenté par le vecteur : [ ]. 5. On peut calculer les racines d'un polynôme quelconque en utilisant la fonction roots. R = roots([ ]) donne un vecteur contenant les racines du polynôme x 3 + 4x 2-3x +5. II.5. Instructions de contrôle : II.5.1. FOR La syntaxe est de la forme: for compteur = début : pas : fin, ou for Matrice expression, expression; end Exemple : La séquence suivante va créer un vecteur x de longueur n : x = []; for k = 1:n, x = [x, 2*k], end ou de manière équivalente: x = []; for k = 1:n, x = [x, 2*k], end II.5.2. WHILE La syntaxe est de la forme: while relation expression; end La boucle est répétée tant que la relation reste vraie. II.5.3. IF La syntaxe peut revêtir une des formes suivantes : if relation if relation if relation expression; expression; expression; end else elseif relation expression; end L'expression n'est exécutée que si la relation est vraie. II.5.4. Relations Les opérateurs de relation sont : < inférieur à > supérieur à expression; else expression; end

7 <= inférieur ou égal à >= supérieur ou égal à == égal à ~= différent de Quand une relation intervient entre des scalaires, le résultat est un scalaire qui vaut 1 ou 0 suivant que la relation soit vraie ou fausse. Quand une relation intervient entre deux matrices de même dimension, le résultat est une matrice constituée de 1 et de 0 selon la relation entre les éléments correspondants des matrices. II.6. Les Fonctions : II.6.1. Les fonctions scalaires Bien qu elles agissent principalement sur des scalaires, on peut aussi les faire agir sur des matrices (dans ce cas elles agissent élément par élément). Ce sont par exemple : sin asin cos acos tan atan exp log abs sqrt sign round etc... Exercices : 1. Définir la matrice A = [1 2 3;4 5 6]. Vérifier les résultats de B = fix(pi*a) et C = cos( pi*b). 2. Définir le vecteur x = ( 0:0.2:3.0)?, et entrer la séquence y = exp(-x);[ x y]. II.6.2. Les fonctions vectorielles Elles sont prévues pour opérer sur des vecteurs lignes ou colonnes. Ce sont, par exemple : max min sum prod mean std any etc... Comme pour les fonctions scalaires, on peut aussi les faire opérer sur des matrices : dans ce cas, elles agissent sur chacune des colonnes de la matrice. Exemple : A étant une matrice, max(a) renvoie un vecteur ligne dont chaque composante correspond au maximum de chacune des colonnes de A, alors que max(max(a)) renvoie l'élément maximum de A. II.6.3. Les fonctions matricielles Certaines fonctions de MatLab sont propres aux matrices. Ainsi : eig (vecteur propre, valeur propre), chol (décomposition de Cholesky), svd (décomposition en valeurs singulières), lu (factorisation LU), qr (factorisation QR), det (déterminant), rank (rang) etc... Toutes ces fonctions peuvent renvoyer un ou plusieurs arguments : [X, V] = eig[a] renvoie une matrice X dont les colonnes sont les vecteurs propres de A et une matrice diagonale V constituée des valeurs propres de A. Alors que X = eig[a] renvoie un vecteur colonne X dont les composantes sont les valeurs propres de A. II.7. Notations et raccourcis : II.7.1. Boucle implicite

8 MatLab étant un langage interprété l'utilisation de boucles ralentit considérablement son exécution. La boucle implicite élimine en partie cet inconvénient : elle est exécutée vectoriellement donc plus rapidement. Ainsi écrire n = 1:5, revient à créer le vecteur ligne n = [ ]. On peut changer le pas d'incrémentation en écrivant n = 1:2:7, ce qui équivaut à n = [ ]. Ceci s'étend aux nombres non entiers (x =.1:.01:1.) et le pas d'incrémentation peut être négatif. Exercice : Essayer la séquence suivante: B(:,n) = ones(n,1); for j = n-1:-1:1 B(:,j) = t.*b(:,j+1); end II.7.2. Utilisation du ':' La notation ':' est très utile pour travailler sur des sous matrices :?? A(1:3,4) est le vecteur colonne dont les composantes sont les trois premiers éléments de la quatrième colonne de la matrice A.?? A(:,2) est la deuxième colonne de la matrice A?? A(1:3,:) est la matrice constituée des trois premières lignes de A?? A(:,[3 6]) est la matrice à deux colonnes qui correspondent aux colonnes 3 et 6 de A.?? A(:,[3 6]) = B(:,1:2) remplace les colonnes 3 et 6 de A par les deux premières colonnes de B. II.7.3. Chaînes de caractères et messages Les chaînes de caractères sont définies entre des 'quotes' simples : c = 'Ceci est un texte' définira la variable c comme une chaîne de caractères qui pourra être utilisée pour afficher le message entre les quotes. disp(c) affichera la chaîne c à l'écran. La fonction error('erreur dans la fonction func') affichera le texte et arrêtera l'exécution du programme Z = input('entrez la valeur de Z: ') affichera le texte et attendra qu une valeur de Z soit entrée au clavier. Exercices : 1. Définir la chaîne s = 'Bonjour'; 2. Vérifier successivement: size(s) et abs(s). 3. Ajouter s = [s, 'à tous']. II.7.4. Format d'affichage Tous les calculs effectués dans MatLab sont en double précision. Cependant le format d'affichage des résultats peut être contrôlé par la commande format : format short 4 décimales (défaut) format long 14 décimales format short e 4 décimales notation scientifique format long e 14 décimales notation scientifique

9 Un format reste actif tant qu'il n'a pas été redéfini par la commande format, à l'exception des commandes qui servent à supprimer (format compact) et celles qui servent à restaurer (format loose) les lignes blanches qui pourraient apparaître à l'affichage. II.7.5. Copie d'écran texte La commande diary file_name permet de sauvegarder dans le fichier file_name toute la partie active de l'écran à l'exception des graphiques. La sauvegarde s'effectue sous forme de texte ce qui permet une édition ultérieure du fichier. II.8. Les graphiques : MatLab peut afficher des courbes planes (plot), des courbes 3D (plot3), des surfaces maillées 3D (mesh) ou des surfaces à facettes 3D (surf). Toutes ces commandes ouvrent une fenêtre graphique pour tracer la courbe. Les fenêtres graphiques sont numérotées, la fenêtre active étant par défaut la fenêtre 1. Pour rendre active une fenêtre graphique on fera précéder le tracé par la commande figure(n), où n est le numéro de la fenêtre. La commande graphique suivante effacera le premier tracé pour dessiner le nouveau dans la même fenêtre si la commande figure n'a pas été utilisée entre temps. Il est possible de tracer des graphiques en surimpression à l'aide de la commande hold on. Cette commande a pour effet de conserver le graphe présent avant de tracer le suivant. La commande hold off annule cette possibilité. II.8.1. Courbes planes plot(y) trace la courbe correspondant au vecteur y en fonction du numéro des composantes. plot(x,y) tracera le vecteur y en fonction du vecteur x s ils sont de même taille. MatLab permet également de tracer directement à partir d'une fonction avec la commande fplot. Exemple : Soit la fonction sinus définie dans le fichier sinus.m par : function y = sinus(x) y = sin(x); En exécutant: fplot('sinus', [-pi pi]), on obtiendra le graphe. On peut ajouter un titre, des légendes ou du texte à un graphe par les commandes :?? title('ceci est le titre de la figure');?? xlabel('légende des abscisses');?? ylabel('légende des ordonnées');?? gtext et text positionnement et écriture dans la zone graphique. Un graphe possède des attributs qu on peut modifier avec des commandes telles que axis et plot. Il est également possible de tracer plusieurs graphes dans la même fenêtre à l'aide de la commande subplot (voir aide). Enfin des représentations types sont obtenues à l'aide des commandes polar, bar, hist, etc... Exercices :

10 x = -pi :.01 : pi; y = sin(x); plot(x,y) tracera la fonction sinus(x) dans l'intervalle [ -?,? ] avec un pas de Rajouter titres et légendes à chaque figure. II.8.2. Courbes 3D La commande plot3 est identique à la commande plot, elle ne fait appel qu'à une coordonnée supplémentaire. La syntaxe de base est plot3(x,y,z). Les axes, titres et légendes se traitent comme dans le cas des courbes planes. Exercice: A l'aide de plot3, tracer la courbe (x=sin(t), y=cos(t), z=t) pour t = 0:pi/50:10*pi. II.8.3. Maillages et surfaces 3D La commande mesh permet de visualiser des courbes 3D sous forme de surfaces maillées. La surface maillée est définie par les cotes (coordonnées z) de points situés au-dessus d'une grille rectangulaire du plan (x,y). La commande surf s'utilise de la même façon mais produit une surface à facettes colorées dont le coloriage est modifiable avec la commande shading. L'angle de vue est géré par la commande view. D'autres fonctions telles que meshz, surfc, surfl, contour et pcolor sont reliées à la visualisation 3D. II.8.4. Copie d'écran graphique La commande print effectue la copie d'une fenêtre graphique dans un fichier (voir help print pour les options). III. Résumé des commandes MATLAB On a regroupé par sujet d'intérêt les différentes commandes et fonctions de MatLab. Il en existe bien d'autres regroupées dans des options spécialisées, les boîtes à outils (ou toolbox). III.1. Commandes générales : Gestions des commandes et des fonctions help aide what listing du nom des M_files présents type impression d'un M_file lookfor recherche d'une entrée dans le help which localise les fonctions et fichiers demo lance la démonstration diary sauvegarde le texte d'une session MatLab Gestion des variables et de l'espace de travail who affiche les variables courantes whos affiche les variables en format long save sauve l'espace de travail sur disque load charge l'espace de travail clear efface la mémoire quit quitter MatLab (aussi exit)

11 III.2. Opérateurs : Opérateurs courants + addition - soustraction * multiplication ^ puissance / division à droite \ division à gauche ' transpose conjugué.' transpose Opérations sur les Tableaux + addition - soustraction.* multiplication.^ puissance./ division à droite.\ division à gauche Opérateurs Relationnels < inférieur à > supérieur à <= inférieur ou égal à >= supérieur ou égal à == égal à ~= différent de Opérateurs Logiques & et ou ~ non xor ou exclusif ( ) gère la priorité des opérations arithmétique ou ensère les arguments d'entrée des fonctions III.4. Instructions : Instruction de contrôle if test conditionnel else complète if elseif complète if end terminaison de if, for et while for instruction de répétition avec compteur while instruction de répétition avec test break interrompt une boucle for ou while return retour error affiche un message et interrompt l'exécution input menu pause function global Instructions spécifiques indicateur d'attente d'entrée génère un menu de choix pour l'utilisateur attente définition de fonction définit les variables comme globales Caractère spéciaux = assignation. point décimal... indique une ligne suite, séparateur d'arguments ou d'instructions ; fin de lignes (matrices) ou suppression de l'affichage % commentaires : manipulation de sous matrices génèration de vecteurs

12 III.3. Noms réservés : Variables prédéfinies ans nom donné à l évaluation d une expression sans assignation realmax plus grand nombre flottant realmin plus petit nombre flottant positif pi? i, j [?(-1)] inf? NaN Not a Number flops nombre d'opérations par seconde etime durée d'exécution size renvoie la taille d'une matrice length renvoie la longueur d'un vcteur disp affiche une matrice de texte Fonctions mathématiques élémentaires abs valeur absolu ou module angle argument d'un complexe sqrt racine carrée real partie réelle imag partie imaginaire conj complexe conjugué gcd PGCD lcm PPCM round arrondi à l'entier le plus proche fix troncature floor arrondi vers -? ceil arrondi vers +? sign signe de rem reste de la division exp exponentiel log log népérien log10 log décimal Matrices prédéfinies zeros matice de 0 ones matrice de 1 eye matrice identité diag matrice diagonale rand randn nombres aléatoires (répartition uniforme) nombres aléatoires (répartition normale) Fonctions trigonométriques sin, asin, sinh, asinh cos, acos, cosh, acosh tan, atan, tanh, atanh cot, acot, coth, acoth Fonctions prédéfinies bessel fonction de Bessel beta fonction beta gamma fonction gamma rat approximation par un rationnel rats format de sortie pour rat erf fonction erreur erf erfinv inverse de erf ellipke intégrale elliptique complète ellipj fonction elliptique de Jacobi expint fonction intégrale exponentielle pour n=1 log2 logarithme base 2 ou décomposition mantisse, exposant pow2 calcule 2 puissance y fft FFT de dimension 1 (fréquences de 0 à 1) fft2 FFT bidimensionnelle ifft FFT inverse de dimension 1 ifft2 FFT inverse bidimensionnelle

13 III.5. Matrices : Décompositions et factorisations de Matrices inv inversion lu décomposition LU chol factorisation de Cholesky qr décomposition QR nnls moindres carrés non-négatif orth orthogonalisation eig valeurs et vecteurs propres cdf2rdf forme complexe diagonale vers forme réelle diagonale par blocs rsf2csf forme réelle diagonale par blocs vers forme complexe diagonale balance mise à l'échelle pour le calcul des valeurs propres qz valeurs propres généralisées polyeig polynôme aux valeurs propres svd décomposition en valeurs singulières Fonctions de Matrices expm exponentiation (fonction interne) expm1 M_file correspondant à expm expm2 expm par série de taylor expm3 expm par valeurs et vecteurs propres logm logarithme sqrtm racine carrée funm ex: funm(a,'sin') donne sin(a) poly polynôme caractéristique det déterminant trace trace Conditionnement cond suivant norme L 2 ( [(? max )/(? min )]) rcond? 1 bon,? 0. mauvais norm normes L 1,L 2,L p et L? rank rang [ ] définition de matrices ou vecteurs; ou ensère les arguments de sortie des fonctions III.6. Calcul et analyse : Polynômes poly construit un polynôme à partir des racines roots calcul des racines polyval évaluation en un point polyvalm évaluation en une matrice de points conv multiplication deconv division residue décomposition en éléments simples et residus polyfit polynôme d'approximation polyder différentiation Différences finies et Interpolation diff approximation de la dérivée gradient approximation du gradient Intégration numérique quad intégrale de Simpson quad8 intégrale de Newton-Cotes trapz méthode des trapèzes Equations non linéaires et Optimisation fmin minimisation d'une fonction d'une variable fmins minimisation d'une fonction de plusieurs variables fsolve résolution d'un système d'équations non-linéaires fzero zéro d'une fonction d'une variable Analyse de données par colonne max valeur max min valeur min mean valeur moyenne median valeur médiane std écart type sort tri en ordre croissant sum somme des éléments prod produit des éléments hist histogramme

14 III.7. Graphiques : Graphiques 2D plot graphe linéaire loglog graphe log-log semilogx graphe semi-log (x) semilogy graphe semi-log (y) polar graphe (coord. polaires) bar histogramme bâtons stairs fonction en marches d'escalier errorbar graphe avec barres d'erreur hist histogramme compass représentation polaire (module,argument) feather représentation linéaire (module, argument) fplot graphe d'une fonction Sauvegarde et copie graphique print imprime ou sauvegarde dans un fichier Annotation de graphiques title titre du graphique xlabel légende abscisse ylabel légende ordonnée zlabel légende cote grid dessin d'une grille text texte Contrôle des fenêtres graphiques figure ouvre une fenêtre graphique hold gère la surimpression ishold état de la surimpression subplot sous-fenêtres graphique axis contrôle de l'apparence et de l'échelle des axes Graphiques 3D mesh surface maillée surf surface 3D à facettes plot3 dessin de lignes et points en 3D contour dessin 2D des équi -niveaux contour3 dessin 3D des équi -niveaux clabel étiquettes des équi -niveaux pcolor dessine en pseudocouleur Apparence des graphiques view spécifie l'angle de vue viewmtx matrice de transformation hidden gère les lignes cachées