Ch.N3 : Puissances. = 1 a n et par convention : a0 = = B = ( 10) 5 B = ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) B =

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1 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page sur 5 PUISSANCES ENTIÈRES D UN NOMBRE RELATIF Ch.N3 : Puissances. Notations a n et a n ex. et 2 DÉFINITIONS Pour tout nombre entier n positif non nul, pour tout nombre relatif a : a n a a... a et, si a est non nul : a n a a... a a n et par convention : a0. n facteurs n facteurs a n (lu «a puissance n») est appelé puissance n-ième de a et n est appelé l'exposant. Remarque : En particulier : a a et a a. Exemple : Donne l'écriture décimale des nombres : 2 4 et ,00 Exemple 2 : Donne l'écriture décimale des nombres : et (3 3) (3 3 3) ,25. Exercice n page 65 Donne l'écriture décimale des nombres : A 3 4 ; B ( 0) 5 ; C 2 5. A 3 4 A A 8 B ( 0) 5 B ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) B C 2 5 C 2 5 C C 32 C 0,0325 Exercice n page 66 Voici une liste de mots : exposant, puissance, facteurs, produit. Recopie chaque phrase en la complétant par le mot qui convient. a) 3 7 se lit «3 7». b) 5 4 est le de quatre tous égaux à c) 8 est l' de 6 8. d) Le de six égaux s'écrit sous la forme d'une d' 6. Exercice n 2 page 66 D'une écriture à l'autre a) Écris en toutes lettres : 3 4 ; 2 3 ; 7, 9 et ( 4) 2. b) Écris en expressions mathématiques : huit puissance neuf quatre au cube trois puissance cinq sept au carré , 9 7 2

2 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 2 sur 5 ( 4) 2 Exercice n 3 page 66 Recopie et complète chaque expression par l'exposant manquant : a) b) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) c) 0, 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 3 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 5 Exercice n 4 page 66 Décompose chaque nombre comme dans l'exercice 3 : a) 9 4 b) 2 3 c) 5 7 d) ( 7) 5 e) 5,3 4 f) ( 0,8) ( 7) 5 7 ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ,3 4 5,3 5,3 5,3 5, ( 0,8) 3 0,8 ( 0,8) ( 0,8) Exercice n 5 page 66 Quels sont les nombres négatifs? a) ( 6) 4 c) 32 5 b) 6 8 d) ( 2) 5 e) ( 3) 7 f) ( 3,6) 00 g) ( 35) 7 h) 87 4 i) ( 3 8 ) 32 5 ( 2) 5 ( 3) Exercice n 6 page 66 Puissance de ou de Calcule : a) 2 b) 0 c) ( ) 8 d) ( ) 0 e) 7 f) 6 g) ( ) 9 h) ( ) 8 ( ) ( ) 9 0 Exercice n 7 page 66 Exposant 0 ou Calcule : a) 4 0 b) 0,5 c) ( 6) 0 d),2 e) 0,5 f) 5 g) (,8) h) ,5 0,5 ( 6) 0,2,2 0,5 0,5 5 5 (,8),8 7 0 Exercice n 8 page 66 Décompose puis donne l'écriture décimale en calculant à la main : a) 2 4 b) 7 2 c) 0, 5 d),2 2 e) ( 3) 4 f) 3 4 g) ( 6) 3 h), , 5 0, 0, 0, 0, 0, 0,000 0,2 2,2,2,44 ( 3) 4 3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 6) 3 6 ( 6) ( 6) 26, 3,,,,33 Exercice n 9 page 66 Donne l'écriture décimale en calculant à la calculatrice : a) 2 4 b) 7 7 c) 8 d),2 6 e) 3 0 f) ( ) 8 g) ( 0,4) 5 h) 6, ,2 6 2, ( ) ( 0,4) 5 0, , ,473 6 Exercice n 0 page 66 Écris les nombres suivants sous la forme d'un produit : a) de puissances de 2 et de 5 : A B C b) de puissances de 2, de 3 et de 7 : D E F G 42

3 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 3 sur 5 A A B B (5 5) (5 2) 5 (2 2 2) B C C ( ) ( ) C Exercice n page 66 Recopie et complète : a) c) 8 6 b) d) e) f) D D E E ( ) (3 7) (2 2 3) E F F (2 2 3) (3 7) (7 7) F G 42 G G g),5 2 h) ( 7) 3,5 2 ( 7) 3,5 ( 7),5 2 ( 7) 3 i) ( 3) 8 ( 3) 8 ( 3) Exercice n 2 page 66 Décompose puis donne l'écriture fractionnaire en calculant à la main : a) 2 5 b) 5 c) 4 3 d) 0, 2 e) ( 3) 4 f) 3 4 g), 3 h) ( 20) ( 3) 4 ( 3) 4 3 ( 3) ( 3) ( 3) , 3, 3,,,,33 0, 2 0, 2 0, 0, 0,0 00 ( 20) 2 20 ( 20) 400 Exercice n 3 page 66 Donne l'écriture décimale en calculant à la calculatrice : a) 2 4 b) 7 3 c) 8 7 d) 3 0 e) ( ) 4 f) (,2) 6 g) 4 0 h) 0, , , , , Exercice n 4 page 66 Écris sous la forme d'un produit : a) de puissances de 2 et de 5 : A b) de puissances de 2, de 3 et de 7 : C A B ; B ; D ( ) 4 0, (,2) 6 0, , ,6 7 35, ( 3) 8

4 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 4 sur C D (7 7) ( ) (3 3 3) Exercice n 5 page 67 Inverse ou opposé? Recopie chaque phrase en la complétant par le mot qui convient. a) 7 5 est l' de 7 5 c) 0, est l' de 0 b) 6 2 est l' de 6 2 d) 5 3 est l' de , 0 e) 3 4 est l' de 3 4 f) 5 est l' de Exercice n 6 page 67 Avec des fractions Écris chaque nombre sous la forme d'une fraction irréductible : A 3 B C 3 D A 3 B C 3 D A B ( )3 4 3 C ( 3)5 0 5 D 3 9 A B 243 C D D C E 5 2 E 5 2 E 2 5 E E F 2 F 2 4 F 2 F ( 2) 4 F Exercice n 2 page 65 Donne l'écriture décimale des nombres : D ; E (5 3)2 ; F D D D 7 7 D 49 E (5 3) 2 E 5 2 E 5 5 E 225 F F ( ) ( ) F (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5) F F Exercice n 7 page 67 Calcule, sans calculatrice, les expressions suivantes : A B A A A A 368 B B B Exercice n 8 page 67 Calcule les expressions suivantes en utilisant ta calculatrice : a) 25 3 (5 + ) 5 7 b) c) 25 3 (5 + ) C 3 2 ( 5) 2 D 2 3 ( 9) ( ) C 3 2 ( 5) 2 D 2 3 ( 9) ( ) C 9 25 D 8 ( 9) C C 224 D ,5 D 70,5 (2 + 7) 5 4 d) 3 5 ( 2) 8 (2 + 7) 5 5 ( 2) 8 435, ,098 8

5 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 5 sur 5 Exercice n 9 page 67 Voici deux expressions : A 2x 3 7x et B 5x 4 + 6x 7. Calcule A et B : a) pour x 3 ; b) pour x 5 ; c) pour x 0,2 ; d) pour x 0. A A A A A 3 A 2 ( 5) 3 7 ( 5) A 2 ( 25) A A 49 A 2 0, , A 2 0, , A 0,06 0, A 0, A 5,736 A A A A 6 B B B B B 46 B 5 ( 5) ( 5) 7 B ( 5) 7 B B B 5 0, ,2 7 B 5 0, ,2 7 B 0,008 +,2 7 B,208 7 B 5,792 B B B B 7 Exercice n 20 page 67 Extrait du brevet Compléter après avoir effectué les calculs. a 2a a 2 2a 2 (2a) 2 Exercice n 2 page 67 Écris sous la forme d'une puissance : a) b) c) ( 5) 4 ( 5) ( ) (3 3) (4 4 4) d) e) ( 5) 4 ( 5) 3 ( 5) 4 ( 5) 3 5 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 7 ( 5) f) (7 2 ) 3 g) (4 2 ) 3 (4 2 ) (( ) 2 ) 3 ( ) ( ) 2 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 h) (( ) 2 ) 3 i) a 2a a 2 2a 2 (2a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) (7 2) (7 2) (7 2) (7 2) (7 2) (7 2) j) k)

6 (3 3) (3 3 3) (7 2 ) (7 7) (7 7) (7 7) e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 6 sur (3 5) (3 5) (3 5) (3 5) (3 5) (8 8 8) (4 4 4) (8 4) (8 4) (8 4) (8 4) 3 Exercice n 22 page 67 Calcule astucieusement : A 2 4 0, B C D A 2 4 0, A ( ) 0,026 ( ) A (2 5) 4 0,026 A 0 4 0,026 A ,026 A 260 B B B (5 2) 2 84 B B B 0,0 84 B 0, C C C (2 5) C C C 0, C 2,5 D D ( ) 36 ( ) D (2 5) D D D Signe d une puissance ex. 3 PROPRIÉTÉ Pour tout nombre entier relatif n, si a est positif alors a n est positif. si a est négatif alors a n est positif lorsque l'exposant n est pair, et négatif lorsque l'exposant n est impair. Exemples 3 : Quel est le signe de A ( 3) 4 et de B ( 2) 5? Comme 3 est négatif et l'exposant 4 est pair, A est un nombre positif. Comme 2 est négatif et l'exposant 5 est impair, B est un nombre négatif. Exercice n 3 page 65 Donne le signe de chacune des expressions suivantes. C ( 5) 6 D 5 6 E 5 6 F (5) 6 G ( ) 3 H 5 4 I 2 2 J ( 3) 2

7 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 7 sur 5 C ( 5) 6 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) D 5 6 ( ) D E E F (5) F G ( ) 3 ( ) ( ) ( ) H 5 4 (5 4 ) I I C G H J ( 3) 2 ( 3) 2 ( 3) ( 3) 9 Exercice n 5 page 66 Quels sont les nombres négatifs? a) ( 6) 4 c) 32 5 b) 6 8 d) ( 2) 5 J e) ( 3) 7 f) ( 3,6) ( 6) (32 5 ) ( 2) ( 3) 7 3,6 00 ( 3,6) 00 g) ( 35) 7 h) 87 4 i) ( 3 8 ) 35 7 ( 35) 7 ( 35) (87) 4 ( 3 8 ) (87) ( 2) 5 ( 3) Exercice n 6 page 66 Puissance de ou de Calcule : a) 2 b) 0 c) ( ) 8 d) ( ) 0 e) 7 f) 6 g) ( ) 9 h) 0

8 2 0 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 8 sur 5 ( ) 8 7 ( 7 ) ( ) 9 ( ) 0 6 ( 6 ) 0 ( 0 ) 2 PUISSANCES DE 0 2. Notations 0 n et 0 n DÉFINITIONS 2 Pour tout nombre entier n > 0 : 0 n ; 0 n 0,0...0 et 0 0. n facteurs Remarque 2 : Autrement dit, 0 n est l inverse de 0 n. Exemple 4 : Ecris les nombres ; 0,0 ; 00 et 0, sous la forme d une puissance de , , Exercice n 23 page 67 Donne l'écriture décimale des nombres : a) 0 4 b) 0 6 c) 0 8 d) 0 0 e) 0 5 f) 0 0 g) ( 0) h) ( 0) n zéros n zéros ( 0) 0 ( 0) Exercice n 24 page 67 Écris à l'aide d'une puissance de 0 : a) ; ; ; 000. b) cent ; cent mille ; un milliard ; mille milliards Exercice n 25 page 67 Donne l'écriture décimale des nombres : a) 0 b) 0 4 c) 0 3 d) ( 0) 3 0 0, 0 4 0, ,00 ( 0) 3 0,00 Exercice n 26 page 67 Écris à l'aide d'une puissance de 0 : a) 0,0 ; 0, ; 0,00. b) un dixième ; un millième ; un millionième. 0, , , Exercice n 57 page 7 L'unité d'enregistrement informatique En informatique, on utilise une unité d'enregistrement appelée «octet». Calcule, en octets, la valeur des expressions suivantes : A 2 0 octets, B 2 20 octets, C 2 30 octets. c) ; ; A B C Explique pourquoi l'expression A est généralement appelée «kilooctet». On note A ko (0 3 octets). Par approximation, on écrit A ko. A

9 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 9 sur 5 De même B est appelé «Mégaoctet» ( Mo) et C «Gigaoctet» ( Go). Indique par quelles puissances de 0, se traduisent les préfixes «méga» et «giga»? Multiplication par une puissance de 0 ex. 4 et 5 PROPRIÉTÉ 2 Multiplier un nombre par 0 n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (on complète par des zéros si nécessaire). Multiplier un nombre par 0 n revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (on complète par des zéros si nécessaire). Remarque 3 : Multiplier par 0 n revient à diviser par 0 n. Exemple 5 : Donne l'écriture décimale des nombres 208, et 37, , , 37, 0 3 0,037 Exemple 6 : Par combien faut-il multiplier 7,532 pour obtenir ? Par combien faut-il multiplier 7 pour obtenir 0,007? Pour passer de 7,532 à , on décale la virgule de 4 rangs vers la droite donc il faut multiplier 7,532 par 0 4 pour obtenir Pour passer de 7 à 0,007, on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche donc il faut multiplier 7 par 0 3 pour obtenir 0,007. Exercice n 4 page 65 Donne l'écriture décimale des nombres : A 32, ; B 0, ; C ; D 94, A 32, , B 0, , C ,0 4,0 D 94, ,6 0,000 0, Exercice n 5 page 65 Par combien faut-il multiplier : a) 234,428 pour obtenir 0, ? b) pour obtenir 0,005? 234, , ,005 c) 0,3 pour obtenir 3 000? d) 3,4324 pour obtenir ? 0, , Calculs avec des puissances de 0 ex. 6 Dans tout ce paragraphe, on considère deux nombres entiers relatifs m et p. PROPRIÉTÉ 3 : produit de deux puissances de 0 0 m 0 p 0 m + p Exemple 7 : Donne l'écriture décimale du nombre A et B A B ( 7) 0 0 0, PROPRIÉTÉ 4 : quotient de deux puissances de 0 0 m 0 p 0m p Exemple 8 : Écris les nombres C et D 03 sous la forme d'une seule puissance de 0.

10 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 0 sur 5 C On remarque que 0 0. C 0 ( 3) C On applique la règle du quotient de deux puissances de 0. (Attention aux signes moins!). C 0 4 On donne l'écriture demandée par l'énoncé. D D On applique la règle du quotient de deux puissances de 0. (Attention aux signes moins!). D 0 0 On donne l'écriture demandée par l'énoncé. PROPRIÉTÉ 5 : puissances de puissance de 0 (0 m ) p 0 m p Exemple 9 : Écris le nombre E ( 0 3 ) 7 ( 0 2 ) 3 sous la forme d'une seule puissance de 0. E 0 3 ( 7) 0 2 ( 3) On applique la règle des puissances de puissance de 0. E On effectue les multiplications sur les exposants. E ( 6) On applique la règle du produit de deux puissances de 0. E 0 5 On donne l'écriture demandée par l'énoncé. Remarque 4 : Attention : il n y a pas de règle avec l addition ou la soustraction! Exemple 0 : Donne l écriture décimale des nombres F et G F G ,0 0,00 0,009 Exercice n 6 page 65 Écris sous la forme d'une seule puissance de 0 les expressions suivantes : C ; D (0 ) 3 ; E ; F C ( 8) D (0 ) 3 0 ( 3) 0 3 E F ( 3) Exercice n 27 page 67 Produit de puissances Exprime sous la forme d'une puissance de 0 : a) b) c) d) e) f) ( 2) Exercice n 28 page 67 Quotient de puissances Exprime sous la forme d'une puissance de 0 : a) b) c) 0 2 d) 0 9 e) ( 4) f) g) 03 h) 0 3

11 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page sur ( 2) ( 2) ( 3) Exercice n 29 page 68 Puissance de puissances Exprime sous la forme d'une puissance de 0 : a) (0 3 ) 7 b) (0 8 ) 2 c) (0 6 ) 3 d) (0 9 ) 7 e) (0 8 ) 25 f) (0 0 ) 0 (0 3 ) (0 8 ) (0 6 ) ( 3) 0 8 (0 9 ) ( 7) 0 63 (0 8 ) (0 0 ) ( 0) 0 00 Exercice n 30 page 68 Méli-mélo Écris chaque expression sous la forme d'une puissance de 0 : a) (0 9 ) 4 c) e) b) d) f) (0 9 ) ( 8) ( 39) (0 3 ) ( 6) ( 5) ( 8) g) h) (0 3 ) ( 22) Exercice n 32 page 68 Extrait du brevet Calculer : a) 0 2 ; 2 3 puis b) 0 3 ; 0 2 puis , i) j)

12 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 2 sur 5 3 ÉCRITURE SCIENTIFIQUE 3. Une nouvelle écriture des nombres ex. 7 DÉFINITION 3 Tout nombre décimal non nul peut être écrit en notation scientifique, c'est-à-dire sous la forme a 0 n, où a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule, et où n est un nombre entier relatif. a est appelé mantisse du nombre. Exemple : Écris le nombre A en notation scientifique. A A 6, On déplace la virgule de manière à obtenir un nombre ayant un seul chiffre non nul avant la virgule puis on multiplie par la puissance de 0 de manière à avoir égalité. L'écriture scientifique de A est donc 6, Exercice n 34 page 68 Parmi les nombres suivants, quels sont ceux écrits en notation scientifique? a) 5, b) 72, c) 2, d), e) 0, f) 7,6 5,23 0 2, Exercice n 7 page 65 Donne l'écriture scientifique des nombres suivants : B ; C 0,02 ; D 58,4 0 2 ; E 0,47 0. B ,6 0 4 C 0,02,2 0 2 D 58, , , , E 0,47 0,47 0 0, ( ), Exercice n 35 page 68 Associe à chaque nombre de gauche son écriture scientifique : 45,68 4, ,68 4, ,8 4, , , , , Exercice n 36 page 68 Écris les nombres suivants en notation scientifique : a) b) , , ,98 6, c) 654,98 d) 2,47 e) 0,005 8 f) 0, ,47, , , ,000 49, ,8 4, , , , , g) 0, h) i) 0, , , , , Exercice n 37 page 68 Avec la calculatrice Voici plusieurs écrans de calculatrice. Écris sur ton cahier l'écriture décimale correspondant à chaque affichage : a) b) c) d) x 0 x , Exercice n 38 page 68 Voici quatre nombres : a) b) c) 0, d) 0, Pour chacun de ces nombres, recopie l'affichage de ta calculatrice si tu choisis le mode scientifique x 0 x 0

13 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 3 sur Exercice n 39 page 68 Extrait du brevet Calculer et donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique, puis décimale : a) c) b) (0 5 ) 2 d) (50 8) , (0 5 ) 2 (2 5) ( 0) 0 6 0, (3 4) ( 5) 2 0 3, (2 7) ( 6) 4 0 3, e) 3 0 2,2 0 5 f) , ,2 0 5 (3,2) ( 5) 3, , ,3 0 6 (5 0,3) ( 6), ,000 5 Exercice n 40 page 69 Le cerveau humain est composé de 00 milliards de neurones. À partir de 30 ans, ce nombre de neurones baisse d'environ par jour. En considérant qu'une année contient 365 jours, donne l'écriture décimale puis scientifique du nombre de neurones d'un humain de 40 ans , , Exercice n 4 page 55 La lumière est composée de photons qui se déplacent à la vitesse moyenne de km par seconde. Une annéelumière correspond à la distance parcourue par un de ces photons en une année. a) À quelle distance en km correspond une année-lumière? Tu écriras la réponse en notation scientifique. b) La distance du centre du soleil au centre de la Terre est,5 0 8 km. Exprime cette distance en année-lumière , , , , , , Exercice n 42 page 69 Extraits du brevet a) Calcule A et donne le résultat sous forme fractionnaire la plus simple possible : A b) Écris B sous la forme a 0 n où a est un nombre entier et n un nombre entier relatif : B c) Calcule et donne le résultat en écriture scientifique de : C d) Donne les écritures décimale et scientifique de : D 3 02,2 (0 3 ) 4 0, A A (2 7) 35 A B B (5 7) 3 B

14 A A A A C C (3 4) C (3 5)(2 4) C 03 ( 3) 2 C 0,5 0 6 C e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 4 sur 5 B ( ) B B D 3 02,2 (0 3 ) 4 0,2 0 7 D 3,2 0,2 02 (0 3 ) D 3,6 0, D ( 2) 0 7 D D 8 0 D D D 0,08 0 ( 7) D,8 0 2 Exercice n 45 page 69 Extrait du brevet Le cœur humain effectue environ battements par heure. a) Écrire en notation scientifique. b) Calculer le nombre de battements effectués en un jour, sachant qu'un jour dure 24 heures. c) Calculer le nombre de battements effectués pendant une vie de 80 ans. On considère qu'une année correspond à 365 jours. Donner la réponse en notation scientifique , , Comparaison de nombres ex. 8 PROPRIÉTÉ 6 Pour comparer deux nombres, on peut comparer leurs ordres de grandeur à l'aide de leurs écritures scientifiques. En cas d'égalité des exposants, on compare alors les mantisses. Exemple 2 : Compare A,7 0 3 et B 2,5 0 2 puis compare C 2,4 0 3 et D 3, 0 4. L'ordre de grandeur de A est 0 3 alors que B est de l'ordre de 0 2. Donc A > B. On écrit C en notation scientifique : C, , L'ordre de grandeur de C est donc 0 4 tout comme l'ordre de grandeur de D. Mais comme,24 < 3,, alors, < 3, 0 4 et donc C < D. Exercice n 8 page 65 Range dans l'ordre croissant les nombres suivants : E 33,5 0 3 F 7,2 0 3 G 0, H 99, 0 4 E 33, , F 7,2 0 3 G 0, H 99, 0 4 9, < 0 3 < 0 2 < 0 3 G < H < E < F

15 4 e A - programme 20 mathématiques ch.n3 cahier élève Page 5 sur 5 Exercice n 46 page 69 Ordre de grandeur Donne un encadrement par deux puissances de 0 consécutives : a) en nombre d'années, de l'âge de la Terre qui est d'environ 4,5 milliards d'années. b) en mètres, de la largeur d'une bactérie qui peut atteindre 3 µm. c) en Hertz, de la fréquence d'un processeur tournant à 4, GHz. 4,5 4, < < m m 0 6 < < 0 5 4, GHz 4, 0 9 Hz 0 9 Hz < 4, Ghz < 0 0 Hz

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