Restitution Organisée des Connaissances

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1 Restitution Organisée des Connaissances Francis Cortado 6 avril 2007 Table des matières 1 Nombres complexes 4 2 Fonctions exponentielle et logarithme népérien 6 3 Equations différentielles 10 4 Suites numériques 10 5 Limites, continuité et dérivabilité 12 6 Dénombrements, probabilités, variables aléatoires 13 7 Géométrie 15 8 Intégration 17 1

2 AVERTISSEMENTS Les sujets qui suivent sont soit : issus de questions posées au Bac S depuis avril 2005 dans le cadre des R.O.C. proposés par l'inspection Générale et publiés dans les documents d'accompagnement de décembre 2003 et décembre issus d'une compilation réalisée à partir de divers ouvrages. J'ai regroupé les sujets sous diérents thèmes et sous un même sujet les diérentes questions ayant les mêmes prérequis. Les sujets proposés par L'Inspection Générale sont référencés par la marque IGEN Les sujets qui ont déjà fait l'objet de questions au Bac sont référencés par BAC Un certain nombre des sujets de type R.O.C posés au Bac S sont également issus des publications de l'inspection Générale, ce sont les sujets 1, 19, 20, 41 et 47. Certains des sujets ont une formulation plus ouverte, ne donnant pas d'indications pour la méthode à suivre, ces exercices sont également classables dans la catégorie des E.P.I ( Exercices à Prises d'initiatives). Les démonstrations qu'ils proposent ne sont pas forcément des plus habituelles. Je rappelle également que le programme en vigueur(celui de 2002) précise un certain nombre de propriétés ou de théorèmes qu'il convient de démontrer.concernant ces résultats le programme utilise les mentions "on montrera que", "on démontrera que" ou "on établira que" et même "L'élève devra savoir retrouver les formules" à propos de la formule du triangle de Pascal, ce qui est assez vague!! Liste des résultats à démontrer : 1. Une suite croissante non majorée tend vers l'inni. 2. Théorème des "gendarmes" pour les fonctions lorsque la variable tend vers l'inni. 3. Théorème des valeurs intermédiaires éventuellement. 4. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : Si f est une fonction continue strictement monotone sur [a; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution unique dans [a; b]. 5. Unicité de la fonction dérivable sur R telle que f = f et f(0) = Principe de la démonstration de la dérivée d'une fonction composée. 7. Détermination de la limite en + de ex x et de ex, on en déduira x la limite en de xe x 2

3 8. Si f est continue sur un intervalle I, et si a est un point de I, la fonction F dénie par F(x) =Zx f(t) dt est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a. Démonstration uniquement dans le cas où f est continue et croissante. 9. Existence et unicité de la solution de y = ay + b passant par un point donné. 10. La fonction θ cos(θ) + i sin(θ) vérie l'équation fonctionnelle caractéristique des fonctions exponentielles. A contrario, il n'y a pas de liste de propriétés ou de théorèmes dont la démonstration est admise. Par exemple, concernant le théorème de la convergence monotone, le programme stipule : "L'équivalence avec le théorème des suites adjacentes pourra faire l'objet d'un problème" Mais il n'indique pas si sa démonstration directe est admise ou non, c'est ainsi qu'un ouvrage (Transmath édition Nathan ) en propose une démonstration!! a 3

4 Exemples de sujets pour les R.O.C en classe de TS 1 Nombres complexes sujet n 1: Prérequis Si z et z sont deux nombres complexes non nuls, alors avec k entier relatif. arg(z z ) = arg(z) + arg(z ) + 2kπ Pour tout vecteur w non nul d'axe z on a : avec k entier relatif. arg(z) = ( u, w ) + 2kπ Le module d'un nombre complexe z quelconque, noté z vérie z 2 = z z où z est le conjugué de z. Démontrer que : 1. Soient z et z deux nombres complexes non nuls, démontrer que : arg z z =arg z arg z [2π] 2. Démontrer que si A,B,C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'axe respective a, b, c, on a a argc AB, AC [2π] b a= 3. Pour tous nombres complexes z 1 et z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 4. Pour tout nombre complexe z non nul,1 z = 1 z BAC 4

5 sujet n 2: Prérequis (i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante : :z = r (cos θ + i sin θ) r > 0 8< 8<: z = r arg z = θ [2π] (ii) Pour tous nombres réels a et b : 8<:cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Soient z 1 et z 2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations : z 1 z 2 = z 1 z 2 et arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) [2π] BAC sujet n 3: Prérequis 8<: ΩM On dit que le point M d'axe z est l'image du point M, par la rotation de centre Ω d'axe ω et d'angle θ, si pour M Ω on a = ΩM ΩM, ΩM = θ Démontrer que l'écriture complexe de cette rotation est z ω = e iθ (z ω) sujet n 4: Prérequis l'écriture complexe de la rotation de la rotation de centre Ω d'axe ω et d'angle θ, est z ω = e iθ (z ω) Soient deux points M et N distincts, et soient M et N leur image par cette rotation, démontrer N = MN MN, M N = θ que : 8< : M 5

6 sujet n 5: Prérequis Tout nombre complexe z non nul à une écriture exponentielle sous la forme z = re iθ Démontrer que le point M(z) appartient au cercle de centre A(z A ) si et seulement si z = z A + re iθ sujet n 6: Prérequis On suppose connu la dénition de la notation exponentielle suivante : e iθ = cos θ +i sin θ Montrer que e iθ e iθ = e i(θ+θ ) En déduire que e iθn = e inθ 2 Fonctions exponentielle et logarithme népérien sujet n 7: Prérequis La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, + [ et sa fonction dérivée est la fonction inverse x 1 x ln(1) = 0 1. Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x : ln(ax) = ln(a) + ln(x) 2. utiliser le résultat précédent pour démontrer que : ln1 b pour tous réels strictement positifs a et b. = ln(b) et que ln a b =ln(a) ln(b) BAC 6

7 sujet n 8: Prérequis Les fonctions logarithme népérien et exponentielle possèdent les propriétés suivantes Pour tout x strictement positif et tout y, ln x = y x = e y Pour tout a et b dans R, e a+b = e a e b et e 0 = 1. Montrer que pour tous réels strictement positifs x et y : ln(xy) = ln(x) + ln(y) En déduire que ln x yœ=ln(x) ln(y) sujet n 9: Prérequis La fonction logarithme népérien est dénie sur ]0, + [ et vérie ln(1) = 0, de plus pour tous réels strictement positifs a et b ln(ab) = ln a + ln b Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et b ln a b =ln(a) ln(b) sujet n 10: Prérequis Le théorème des gendarmes lorsque la variable tend vers + : On suppose que pour tout x [1, + [ on a g(x) f(x) h(x) et que lim g(x) = lim h(x) = L, alors x + x + lim f(x) = x + lim g(x) = x + lim h(x) = L x + A l'aide de l'étude des variations de la fonction ϕ dénie sur [1, + [ par ϕ(x) = x ln x, montrer que ln x lim x + x = + IGEN sujet n 11: Prérequis La fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes : exp est une fonction dérivable sur R. Sa fonction dérivée, notée exp, est telle que, pour tout nombre réel x, exp (x) = exp exp(0) = 1 Démontrer que 1. Pour tout nombre réelx, exp(x) exp( x) = 1 2. Pour tout nombre réel a, et tout nombre réel x, exp(a + x) = exp(a) exp(x) 7

8 IGEN sujet n 12: Prérequis La fonction exponentielle, notée exp, vérie les propriétés suivantes : Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) exp(y) La fonction exponentielle est distincte de la fonction nulle. En utilisant que ces deux propriétés de la fonction exponentielle, démontrer successivement que : 1. La fonction exponentielle ne s'annule pas sur R. 2. exp(0) = Pour tout réel x, exp( x) = exp(x). 4. Pour tous réels x et y, exp(x y) = exp(x) exp(y). sujet n 13: Prérequis La fonction exponentielle, notée exp, vérie les propriétés suivantes : i) La fonction exponentielle est dérivable sur R avec exp = exp. ii) Pour tout réel x, exp(x) exp( x) = 1 Démontrer que la fonction exponentielle est l'unique fonction dénie et dérivable sur R qui vérie les conditions i) et ii) IGEN sujet n 14: Prérequis La fonction exponentielle, notée exp, est l'unique fonction dérivable sur R qui vérie exp = exp et exp(0) = 1 Soit f une fonction dérivable sur R qui vérie pour tout réel a et b, Montrer que f est la fonction exponentielle. f(a + b) = f(a) f(b) et f(0) = 1 sujet n 15: Prérequis La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique fonction dérivable sur ]0, + [ qui vérie, pour tout x ]0, + [, ln (x) = 1 x et ln(e) = 1 Soit f une fonction dérivable sur ]0, + [ qui vérie pour tout réel a et b, appartenant à ]0, + [ f(a b) = f(a) + f(b) et f(e) = 1 Montrer que f est la fonction logarithme népérien. 8

9 sujet n 16: Prérequis La fonction exponentielle, notée exp, est une fonction dérivable sur R qui vérie exp = exp et exp(0) = 1 Monter que pour tout réel a et b exp(a + b) = exp(a) exp(b) sujet n 17: Prérequis La fonction exponentielle, notée exp, est une fonction dérivable sur R, qui vérie exp = exp Pour tout x R, exp(x) > 0 exp(0) = 1 1. Démontrer que lim x + exp(x) = + et que lim exp(x) = 0 x 2. En étudiant les variations sur [0, + [ de x ϕ(x) = e x x2, montrer que : 2 lim x + e x x = + sujet n 18: Prérequis Les fonctions logarithme népérien et exponentielle possèdent les propriétés suivantes Pour tout x strictement positif et tout y, ln x = y x = e y La fonction exponentielle est dérivable sur R avec exp = exp La fonction logarithme népérien est continue sur ]0, + [ 1. Montrer que la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, + [ et que pour tout x ]0, + [ on a (ln x) = 1 x. 2. Donner une autre démonstration du fait que pour tout x ]0, + [, (ln x) = 1 x suppose de plus que la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, + [., si l'on 9

10 3 Equations différentielles sujet n 19: Prérequis La fonction x e ax est une solution de l'équation diérentielle (E) : y = ay. 1. Démontrer que toutes les solutions sur R de l'équation (E) sont les fonctions de la forme x ke ax, où k est un nombre réel quelconque. 2. Démontrer que toutes les solutions sur R de l'équation (E ) : y = ay + b sont de la forme x ke ax b, où k est un nombre réel quelconque. a 3. Démontrer qu'il existe une unique solution f à l'équation (E ) vériant f(x 0 ) = y 0 où x 0 et y 0 sont deux réels xés. 4 Suites numériques IGEN sujet n 20: Prérequis Une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont à partir d'un certain rang, supérieur à A. Démontrer le théorème suivant : "Une suite croissante et non majorée tend vers + ". BAC sujet n 21: Prérequis i) Deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et que u n v n tend vers 0 lorsque n tend vers + ii) Si (u n ) et (v n ) sont deux suites adjacentes telles que (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a u n v n iii) Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante : "Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite." BAC 10

11 sujet n 22: Prérequis i) (u n ) est croissante, (v n ) est décroissante. ii) u n v n tend vers 0 lorsque n tend vers +. Montrer que pour tout n N, u n v n sujet n 23: Prérequis Une suite converge vers un réel l si, tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. 1. On suppose que (u n ) est convergente, monter qu'elle est bornée. 2. On suppose que (u n ) est majorée par M et qu'elle converge vers l, montrer que l M sujet n 24: Prérequis i) f est continue sur un intervalle I contenant l. ii) Pour tout n N u n I. iii) (u n ) converge vers l. Soit (u n ) une suite vériant u n+1 = f(u n ), démontrer que f(l) = l. sujet n 25: Prérequis Si (u n ) et (v n ) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n 0, u n v n et lim (v n ) = + alors lim (u n ) = + n + n + Démonter par récurrence que, pour tout entier naturel n et tout réel x positif (1 + x) n 1 + nx En déduire que si q > 1 alors lim q n = + n + 11

12 5 Limites, continuité et dérivabilité sujet n 26: Prérequis i) Soit f une fonction dénie sur un intervalle du type [A, + [, où A est un réel positif, et soit L un réel.on dit que f a pour limite L en + si tout intervalle contenant L contient tous les nombres f(x) pour x assez grand. ii) f, g, et h sont trois fonctions dénies sur l'intervalle [A, + [ telles que, pour tout x [A, + [, g(x) f(x) g(x) iii) Les fonctions g et h ont pour limite L en + Démontrer que f a pour limite L en + IGEN sujet n 27: Prérequis i) Soit I un intervalle de R et f une fonction dérivable sur I, si f 0 sur I, alors f est croissante sur I ii) soit g une fonction positive sur un intervalle contenant x 0 telle lim g(x) = x x0 L, alors L est positif. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. 1. Démontrer que f est continue en x 0 2. Démontrer que si f 0 sur I, alors f est décroissante sur I. 3. Démontrer que si f est croissante sur I alors f 0 sur I. sujet n 28: Prérequis Soit f une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle [a, b], soit k un réel quelconque de l'intervalle [f(b), f(a)], alors il existe au moins un c appartenant à l'intervalle [a, b] tel que f(c) = k Démonter l'unicité de ce réel c. sujet n 29: Prérequis i) lim (u v) (x) = lim u(x) x a où b = lim v(x) X b x a ii) f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant a telle que pour tout x a, f(x) f(a) et g est une fonction dérivable sur un intervalle contenant f(a) Montrer que la fonction g f est dérivable en a avec (g f) (a) = f (a) g (f(a)) 12

13 6 Dénombrements, probabilités, variables aléatoires sujet n 30: Prérequis On dit que deux événements A et B sont indépendants si p(a B) = p(a) p(b) Soient A et B deux événements indépendants, on désigne par B l'événement contraire de B, démontrer que A et B sont indépendants. BAC sujet n 31: Prérequis Soient n et p deux entiers naturels tels que 1 p < n, C p n = n! p!(n p)! Soient n et p deux entiers naturels tels que 1 p < n, démontrer que C p 1 n 1 + C p n 1 = C p n sujet n 32: Prérequis Soient n et p deux entiers naturels tels que 1 p n,cn p n! = p!(n p)! Soit n un entier naturel non nul, démontrer par nx récurrence sur n que, pour tout nombre réel a et b (a + b) n = Cn p a n p b p p=0 sujet n 33: Prérequis Deux événements A et B sont incompatibles lorsque A B = 1. Rappeler la dénition de deux événements indépendants. 2. Démonter les propriétés suivantes. (a) Si deux événements de probabilité non nulles sont incompatibles, alors ils ne sont pas indépendants. (b) A et B sont deux événements incompatibles, si A et C sont indépendants et si B et C sont indépendants, alors A B et C sont indépendants. sujet n 34: Prérequis Toutes les propriétés des probabilités avec en plus les résultats suivants concernant les probabilités conditionnelles. p(a B) Si p(b) 0, alors p B (A) = et (A B) (A B) = B p(b) Démontrer que : 0 p B (A) 1 et p B (A) + p B (A) = 1 13

14 sujet n 35: Prérequis Soit B un événement de probabilité non nulle, on dénit la probabilité conditionnelle de A sachant B par p(a B) p B (A) = p(b) Soit B un événement de probabilité non nulle et diérente de 1, démontrer que p(a) = p B (A) p(b) + p B (A) p(b) sujet n 36: Prérequis i) T est une variable aléatoire qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tous réels positifs t et h p T t (T t + h) = p(t h) ii) La fonction f dénie sur [0, + [ par f(t) = p(t t) est une fonction dérivable. iii) Les solutions de l'équation diérentielle y = ay sont données par y(t) = Ce at Montrer que p(t t) = 1 e λt sujet n 37: Prérequis où λ est un réel strictement positif. T est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, c'est-à-dire que pour tout réel positif t, p(t t) = 1 e λt Soient t et h deux réels positifs, démonter que p T t (T t + h) = p(t h) sujet n 38: Prérequis L'espérance mathématique d'une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0 est : Zx E(X) = λte λt dt lim x + 0 Démontrer que E(X) = 1 λ 14

15 7 Géométrie sujet n 39: Prérequis Dénition et propriétés du produit scalaire dans le plan, dénition et coordonnées d'un vecteur normal à une droite dans le plan. Le plan P est muni d'un repère orthonormé direct (O,, ). Soient u, v deux réels tels que u 2 + v 2 0. Établir une formule donnant la distance du point M 0 de coordonnées (x 0, y 0 ) à la droite d'équation ux + vy + ww = 0 IGEN sujet n 40: Prérequis Soit [K, L] un segment de l'espace, on note I son milieu. On appelle plan médiateur de [K, L] le plan perpendiculaire en I à la droite (KL). Démontrer que le plan médiateur de [K, L] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de K et L. BAC sujet n 41: Prérequis Soient a, b, c et d des réels tels que (a, b, c, d) (0, 0, 0, 0). Le vecteur n de coordonnées (a, b, c) est un vecteur normal au plan P d'équation ax + by + cz + d = Soit I le point de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ), et soit la droite passant par I et orthogonale au plan P. Déterminer en fonction de a, b, c, x 1, y 1, z 1 un système d'équations paramétriques de 2. On note H le point d'intersection de et de P. a) Justier qu'il existe un réel k tel que IH = k. n b) Déterminer l'expression de k en fonction de a, b, c, x 1, y 1, z 1. c) En déduire que la distance du point I au plan P est égale à ax 1 + by 1 + cz 1 + d a2 + b 2 + c 2 BAC 15

16 sujet n 42: Prérequis i) La dénition et les propriétés usuelles du produit scalaire dans l'espace. ii) Le plan médiateur d'un segment [M, N] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de M et N. Soient deux points distincts A, B et I leur milieu,démontrer que pour tout point M de l'espace on a l'égalité MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + AB2 2 En déduire que le plan médiateur du segment [M, N] est le plan perpendiculaire en I à la droite (MN). sujet n 43: Prérequis Pour tout point M de l'espace : M [A, B] il existe t [0, 1] tel que AM = t AB Démontrer que le segment [A, B] est l'ensemble des barycentres de {(A, a); (B, b)} où a et b décrivent l'intervalle [0, + [ et a + b 0. sujet n 44: Prérequis i) La dénition et les propriétés usuelles du produit scalaire dans l'espace. ii) Le point I est le milieu du segment [A, B] Démontrer que la sphère de diamètre [A, B] est l'ensemble des points M de l'espace tels que sujet n 45: Prérequis MA. MB = 0 i) La dénition et les propriétés usuelles du produit scalaire dans l'espace. ii) Le vecteur n (a, b, c) est un vecteur normal au plan P d'équation ax+by+cz+d = 0 Soit M 0 un point n'appartenant pas au plan P, déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point M 0 (x 0, y 0, z 0 ) sur le plan P d'équation ax + by + cz + d = 0 sujet n 46: Prérequis La dénition du barycentre de trois points A, B, C de l'espace Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace, montrer que le plan (ABC) est l'ensemble de tous les barycentres des points A, B et C 16

17 8 Intégration sujet n 47: Prérequis Dénition de la dérivabilité d'une fonction en un point et dénition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle. On considère la fonction f continue et croissante dénie sur [1, + [ par f(t) = et t. On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique ci dessous ( gure1). Pour tout réel x 0 de [1, + [ on note A (x 0 ) l'aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = x 0. On se propose de démontrer que la fonction ainsi dénie sur [1, + [ est une primitive de f. 1. Que vaut A (1)? 2. Soit x 0 un réel quelconque de [1, + [ et h un réel strictement positif. justier l'encadrement suivant : f(x 0 ) A (x 0 + h) A (x 0 ) f(x 0 + h) h 3. Lorsque x 0 > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x 0 + h 1? 4. En déduire la dérivabilité en x 0 de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en x 0 de la fonction A. 5. Conclure. 4 3 e 2 1 O 1 x 0 x 0 + h 2 BAC

18 sujet n 48: Prérequis Soit f une fonction continue sur un intervalle I, pour tous réels a et b de I Zb a f(t) dt = F(b) F(a) où F est une primitive quelconque de f sur I Démontrer que si u et v sont deux fonctions dérivables sur I de dérivées continues, on a Zb a u(t)v (t) dt = u(b)v(b) u(a)v(a) Zb u (t)v(t) dt a sujet n 49: Prérequis Le théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue et croissante sur [a, b], montrer qu'il existe un réel c [a, b] tel que Zb a f(t) dt = f(c)(b a) sujet n 50: Prérequis Le volume d'un solide de révolution d'axe (Oz) compris entre les plans de côtes z = a et z = b, dont l'aire de la section par un plan horizontal est une fonction de z notée z S(z) est égal à Zb S(z) dz Démontrer que le volume d'une boule de rayon R est a V = 4 3 π R3 18

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