ANALYSE DE DONNEES : TP3

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1 Sébastien Arcanger Master2 Statistique -Économétrie, ANALYSE DE DONNEES : TP3 Nous allons travailler sur des données concernant les départements français divisées en trois grands thèmes : la démographie (variables suivantes: AGE, JEUN, ETRA, FE90, TXCR, URBR) l'emploi (PROF, OUVR, EMPL, CADR, ARTI, AGRI, CHOM) la fiscalité (FISC) la criminalité (CRIM) 1/ Analyse en Composante Principale Nous allons travailler sur un nombre important de données : 15 variables et 87 observations. L ACP va donc nous permettre d étudier simultanément toutes les données en réduisant l espace de dimension initial (dimension 15). Afin de réduire cet espace, nous devons choisir le nombre d axes sur lesquels nous allons travailler tout en gardant le maximum d information. L étude sera entièrement réalisée à l aide du logiciel SAS. Sélection du nombre d axes : Il existe plusieurs critères pour sélectionner le nombre d axes sur lesquels on décide de travailler afin de conserver le maximum d information. Le premier critère consiste à garder les premiers axes qui permettent de conserver 80% de l inertie. k lamb da pctvar cump ct Afin de garder 80% de l information, il est nécessaire ici de travailler sur les 4 premiers axes. En effet, à eux quatre, ils représentent 82% de l information (inertie cumulée en bleu dans le tableau).

2 Le second critère consiste à ne sélectionner que les axes dont leur inertie est supérieure à l inertie «moyenne» des axes. Pour cette ACP, 15 axes sont nécessaires à la restitution de la totalité de l information. L inertie «moyenne» est donc de : 1/15, soit environ 6.7% de l inertie. Nous pouvons remarquer que les quatre premiers axes ont une inertie supérieure à 6.7% (inertie en vert sur le tableau), puis le cinquième axe passe à 4%. Les quatre premiers axes sont donc préconisés pour ce critère également. Le troisième critère est le «Scree-Test». Il consiste à calculer les différences premières des inerties et de s arrêter lorsque celle-ci es négative. k Lambda Diff. 1ière Diff. 2nd Diif. 3ème 1 0,45 2 0,22 0,23 3 0,09 0,13 0,1 4 0,07 0,02 0,11-0,01 Pour k=4, la différence troisième devient négative, il faut donc retenir 3 axes. Enfin le dernier critère est le critère du coude. Cela consiste à analyser graphiquement les contributions des axes dans cette ACP, et de s arrêter quand l inertie d un axe devient faible tout en restant proche de celle de l axe précédent. pctvar Nous remarquons qu à partir du troisième axe les inerties des axes suivants sont peu élevés et décroissent faiblement. Trois axes sont donc nécessaires à l analyse. Finalement nous allons effectuer notre analyse sur les trois premiers axes seulement car ils contiennent 76% de l information ce qui est très proche des 80% requis. Le quatrième axe n apporte pas beaucoup d information supplémentaire (+6% en inertie cumulées et à peine au dessus de l inertie moyenne : 7% pour 6.7% d inertie moyenne), son analyse ne serait alors pas pertinente. Les deux premiers critères s accordent donc au fait que seuls les trois premiers axes sont nécessaires à notre analyse. Nous allons donc analyser les trois premiers axes les uns après les autres : Coordonnées des variables sur les trois premiers axes : k _NAME_ v1 v2 v3 txcr etra urbr jeun age chom

3 _NAME_ v1 v2 v3 agri arti cadr empl ouvr prof fisc crim fe Le même travail de relevé est effectué sur les individus. AXE1 : Opposition Citadins / Ruraux L axe s interprète en deux parties : tout d abord en analysant la répartition des variables sur l axe, puis en faisant de même avec les individus. Pour cela, les éléments qui ressortent sur l axe sont ceux qui ont des coordonnées extrêmes. L opposition se fait ensuite en fonction du signe. Nous n avons pas besoin de travailler à partir des contributions pour cette ACP car les masses des individus sont toutes identiques, donc seules les coordonnées suffisent pour analyser les axes. Sur cet axe nous pouvons remarquer qu il y a une opposition entre les zones rurales représentées par une population âgée avec une agriculture très présente, et les zones urbaines représentées plutôt par les professions d employés et professions intermédiaires. De plus les zones urbaines sont associées à un taux de criminalité plus important, ainsi qu à une forte concentration d étrangers. Cette répartition des variables est tout à fait représentative d une opposition citadins / ruraux. Les départements associés à cet axe sont également très représentatifs de cette disparité. En effet, à gauche de l axe nous retrouvons les départements de la Creuse, du Lot et du Gers qui sont plutôt ruraux, alors qu à droite il s agit des départements urbains englobant les grandes agglomérations comme Paris, Lyon et Marseille. 3

4 AXE2 : Opposition d âge Cet axe nous permet de distinguer deux générations. En effet, à gauche de l axe il s agit d une population jeune et active (notamment dans le domaine ouvrier) dont le taux de fécondité est bien évidemment élevé ; alors qu à droite de l axe il s agit d une population plus âgée où l artisanat est plus présent. Nous retrouvons cette distinction à travers les départements. A droite, nous remarquons la présence de départements du sud de la France (Hérault, Corse, Alpes Maritimes ) où la population retraitée est très importante, alors qu à gauche de l axe ce sont des départements du Nord (Oise, Haut-Rhin ) réputés pour être des départements plutôt industriels et jeunes. Notre axe nous permet donc d opposer clairement une population jeune au Nord de la France, à une population plus vieillissante dans le Sud. AXE3 : L axe du chômage Cet axe est celui qui représente le chômage. Il oppose d un côté une population jeune et ouvrière confrontée au chômage, à une population plus aisée (cadre). Nous remarquons que cet axe retient moins d information car les coordonnées des variables sont beaucoup plus proche de l origine que pour les deux premiers axes, seules quelques variables se distinctes. Cette distinction est clairement visible en analysant les départements. Nous retrouvons clairement d un côté les départements réputés pour être confrontés à un taux de chômage beaucoup plus important que dans le reste de la France (Nord, Pas de Calais), alors que de l autre il s agit de départements où l emploi est nettement plus conséquent, notamment dans la région parisienne (Ile de France, Yvelines, Hauts de Seine). Nous pouvons retrouver ces analyses graphiquement. 4

5 Ce graphique projète les variables et les individus sur le plan (1,2). Nous retrouvons donc bien les interprétations des deux premiers axes, avec une opposition citadins / ruraux sur l axe 1 et une opposition jeune / âgée sur l axe 2. Le cercle des corrélations nous permet également de représenter très clairement les variables qui ressortent (les plus proches du cercle) tout en s opposant. Nous retrouvons là encore les disparités constatées sur les deux premiers axes. 5

6 2/ Analyse Factorielle Discriminante L AFD peut se concevoir comme la recherche de l axe sur lequel l inertie interclasses du nuage se trouve maximisée en projection. La différence entre ACP et AFD est donc la suivante : l ACP recherche la combinaison linéaire des variables d origine maximisant l inertie totale du nuage projeté (restitution de la forme globale du nuage) tandis que l AFD recherche la combinaison linéaire des variables d origine maximisant la seule inertie entre les classes (restitution optimale de la séparation induite par la partition). class Nom de variable Class Level Information Fréquence Pondérati on Proportion CE CE CN CN CW CW Es Es Nd Nd SE SE SW SW Ws Ws Afin de mettre en évidence des disparités inter-régionales, des regroupements de départements sont procédés pour utiliser l AFD. Pour simplifier, des régions ont été regroupées en fonction de leur situation géographique, en permettant également d obtenir des classes équilibrées avec un nombre de département semblable. D autre part, la région «Ile de France» est laissée volontairement à part pour ne pas fausser les résultats. Statistiques multivariées et Approximations F S=7 M=3.5 N=31.5 Statistique Valeur Valeur F Ddl num. Ddl denom. Pr > F Lambda de Wilks <.0001 Trace de Pillai <.0001 Trace de Hottelling-Lawle <.0001 Plus grande racine de Roy <.0001 NOTE : la statistique F pour la plus grande racine de Roy est une borne supérieure. Les quatre tests précédents sont équivalents, ils nous permettent de tester l hypothèse Ho selon laquelle il n existe pas de différences entre les classes au sens des variables et donc que les moyennes des variables sont égales. Les p-values sont inférieurs à , l hypothèse Ho est donc rejetée. Nous pouvons alors en conclure que les classes sont différentes, l analyse factorielle discriminante est donc réalisable. 6

7 Corrélation canonique Corrélation canonique ajustée Erreur std approchée Corrélation canonique au carré Valeurs propres de Inv(E)*H = CanRsq/(1-CanRsq) Valeur propre Différence Proportion Cumulée L inertie cumulée du tableau nous indique que les trois premiers axes sont nécessaires à notre analyse, nous conservons ainsi 89% de l information. Les mêmes critères que ceux utilisés en ACP peuvent être appliqués ici, et nous indiquent également de conserver les trois premiers axes. Test de H0 : les corrélations canoniques de la ligne en cours et suivantes sont égales à zéro Rapport de vrais. Valeur de F approchée Ddl num. Ddl dénom. Pr > F < < < Un autre critère à partir des classes est également applicables lors de l AFD, c est le test du maximum de vraisemblance. La première ligne correspond au test précédent, à savoir tester si les moyennes sont égales. Puis la deuxième ligne teste si les moyennes sont colinéaires, c est à dire que l on ne travaille que sur un seul axe. Ainsi de suite pour les tests suivants. L hypothèse Ho est rejetée jusqu à la quatrième ligne, nous en déduisons donc que les quatre premiers axes sont nécessaire à l analyse. Nous retrouvons bien le même résultat que lors du critère précédent. Nous allons ainsi pouvoir commencer à analyser les axes : _NAME_ COL1 COL2 COL3 COL4 COL5 COL6 COL7 txcr etra urbr jeun age chom agri arti cadr empl

8 _NAME_ COL1 COL2 COL3 COL4 COL5 COL6 COL7 ouvr prof fisc crim fe Moyennes de classes sur les variables canoniques class Can1 Can2 Can3 Can4 Can5 Can6 Can7 CE CN CW Es Nd SE SW Ws AXE1 : Opposition Population jeune / Population âgée Nous retrouvons la même opposition que lors de l analyse du deuxième axe de l ACP. En effet, cet axe confronte clairement une population plutôt âgée et artisanale, à une population jeune et plutôt ouvrière. Les classes nous donnent les mêmes informations que lors de l ACP, elles permettent de regrouper les départements et facilitent l analyse. L opposition est très nette entre le Sud de la France avec une population âgée et le Nord, voir Est de la France avec une population plus jeune et ouvrière. 8

9 AXE2 : Opposition Citadins / Ruraux Là encore nous retrouvons la même opposition que pour le première axe de l ACP. L opposition citadins / ruraux est flagrante et se retrouve à travers l analyse des classes. Les régions du Centre Ouest et Ouest très ruraux sont opposés aux régions de l Est et Centre Est réputées pour être plus urbaines. Il est à noter que nous ne retrouvons pas la région parisienne car elle a été volontairement omise lors de la création des classes, sinon elle aurait clairement été présente à droite de l axe. Nous pouvons constater qu en ACP, c est l opposition ruraux-urbains qui retenait le plus d information sur les données car elle était présente sur l axe 1, alors que pour l AFD c est l opposition entre jeune et âgé qui ressort le plus. AXE3 : Axe du chômage La comparaison avec l ACP est là encore évidente. Nous retrouvons sur cet axe l importance du chômage dans les régions du Nord et de l Ouest de la France. Nous pouvons encore fortement supposer que la région parisienne aurait été fortement présente à gauche de l axe en tant que région moins touchée par le chômage. Ces analyses peuvent s appuyer sur les analyses graphiques. 9

10 Le cercle des corrélations nous permet d opposer clairement les variables sur les axes 1 et 2. Nous retrouvons donc bien les deux oppositions ruraux / urbains, et jeune / âgé. A x e A x e 1 c l a s s C E C N C W E s N d S E S W Ws De même ce graphique permet de bien retrouver l opposition des régions en fonction des deux axes. Une opposition Nord / Sud pour le premier axe et Ouest / Est pour le second. Finalement, nous pouvons constater que nous retrouvons bien les mêmes résultats entre l ACP et l AFD avec une petite différence entre l importance des oppositions. Cependant l AFD nous permet de classer plus facilement les départements, ce qui rend l analyse beaucoup plus claire et tranchée. 10

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