Les expériences aléatoires, les résultats et les événements. Le dénombrement des résultats d une expérience aléatoire à plusieurs étapes

Transcription

1 Nom : Chapitre 7 Section manquante Groupe : RETOUR SUR LES PROBABILITÉS 2 E SECONDAIRE Les expériences aléatoires, les résultats et les événements Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du. Certaines expériences aléatoires nécessitent plusieurs étapes. L univers des résultats possibles d une expérience aléatoire est désigné par la lettre grecque : (oméga). Un événement est un sous-ensemble de Ω. Un événement élémentaire est un événement qui comporte un résultat. Exemples : Expérience aléatoire «Lancer un dé à six faces et noter le résultat» est une expérience aléatoire. est l ensemble des résultats possibles (Ω) de cette expérience aléatoire. {Obtenir un nombre pair} est un événement. Expérience aléatoire à plusieurs étapes «Lancer une pièce de monnaie deux fois et noter le résultat» est une expérience aléatoire à plusieurs étapes. est l ensemble des résultats possibles (Ω) de cette expérience aléatoire. {Obtenir FP} est un événement élémentaire. Remarque : On peut noter un événement ainsi : A = {Obtenir un nombre pair}. Le dénombrement des résultats d une expérience aléatoire à plusieurs étapes Il existe plusieurs moyens de dénombrer les résultats possibles d une expérience aléatoire à plusieurs étapes. On peut les représenter dans un tableau, à l aide d un diagramme en arbre, les énumérer de façon systématique, etc. Exemple : «Lancer deux fois une pièce de monnaie et noter le résultat» 2 e Tableau er 1 Pile Face Pile (P, P) (P, F) Face (F, P) (F, F ) Diagramme en arbre 1 er lancer 2 e lancer Résultat P P PP F PF F P FP F FF Énumération systématique Ω = {PP,PF,FP,FF} 1

2 Le calcul de la probabilité d un événement à partir d une stratégie de dénombrement On peut également utiliser un tableau, un diagramme en arbre, une énumération systématique, etc., pour calculer la probabilité d un événement. Exemple : En lançant une pièce de monnaie à deux reprises, calcule : a) P(Obtenir deux côtés pile) = b) P(Obtenir deux côtés différents)= P(A)= Les expériences aléatoires avec ou sans remise Une expérience aléatoire peut être «avec remise» ou «sans remise». Exemples : Expérience aléatoire avec remise On lance un dé à six faces trois fois. Cette expérience aléatoire est «avec remise», car l ensemble des résultats possibles demeure le même lors des trois étapes de l expérience aléatoire. Expérience aléatoire sans remise On tire successivement trois cartes d un jeu de 52 cartes sans les remettre dans le paquet. Cette expérience aléatoire est «sans remise», car le nombre de résultats possibles change à chaque étape. À la première étape, il y a 52 cartes, à la deuxième, 51, à la troisième, 50. L ordre des résultats d une expérience aléatoire à plusieurs étapes Lorsqu une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on peut tenir compte ou non de l ordre dans lequel les résultats sont obtenus. Exemples : Expérience aléatoire où l on tient compte de l ordre On lance un dé à six faces trois fois. On s intéresse à l événement : A = {Le dernier nombre obtenu est plus grand que le premier}. Expérience aléatoire où l on ne tient pas compte de l ordre On lance un dé à six faces trois fois. On s intéresse à l événement : B = {Obtenir un total de 13}. 2

3 7.5 ARRANGEMENT, PERMUTATION ET COMBINAISON Arrangement Un arrangement d'un ensemble de n éléments correspond à une disposition ordonnée d'un certain nombre d'éléments de cet ensemble. Deux arrangements se distinguent par l'ordre dans lequel les éléments sont disposés. Exemple: On choisit au hasard deux nombres dans l'ensemble {1,2,3,4}. a) Quel est le nombre d'arrangements possibles sans remise? b) Quel est le nombre d'arrangements possibles avec remise? Permutation Une permutation d'un ensemble de n éléments correspond à une disposition ordonnée de n éléments de cet ensemble. Deux permutations se distinguent par l'ordre dans lequel les n éléments de cet ensemble sont disposés. On détermine le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments conne suit: Nombre de permutations = n x (n-1) x (n-2) x...x 3 x 2 x 1 Exemples: a) On tire successivement 3 bonbons d'un pot contenant 1 bonbon rouge, 1 bonbon bleu et 1 bonbon jaune. Quel est le nombre de permutations possibles? b) Il y a 5 livres à ranger sur une étagère. En combien de façons différentes peut-on le faire? c) Lors d'un sommet diplomatique tenu en Amérique de Nord, cinq Américains, quatre Canadiens et trois Mexicains doivent s'asseoir sur 12 chaises alignées. De combien de façons différentes peuvent-ils s'asseoir si les personnes de même nationalité doivent s'asseoir les unes à côtés des autres? (En ne tenant pas compte de qui est assis à côté de qui pour un même pays) d) Si ces mêmes personnes peuvent se mélanger? 3

4 Combinaison Une combinaison d'un ensemble de n éléments correspond à une disposition non ordonné d'un certain nombre d'éléments de cet ensemble. On détermine le nombre de combinaisons possibles d'une expérience aléatoire sans remise comme suit: Nombre de combinaisons possibles = Exemples: a) On forme au hasard des mots de 3 lettres sans remise à l'aide des lettres A, B, C et D. Quel est le nombre de combinaisons possibles? b) Donald propose a ses invités un choix de 5 condiments pour garnir leur hamburger: ketchup, mayonnaise, moutarde, sauce piquante et sauce du chef. Quels sont les combinaisons possibles si l'une des invités ne choisit que 4 condiments. 4

5 EXERCICES 1. Combien y-a-t-il de façons de composer un menu constitué d'une entrée, d'un plat principal et d'un dessert, si on a 2 choix d'entrées, 4 choix de plats principaux et de 3 choix de desserts? 2. Huit nageurs participent à la finale du 100 mètres nage libre. Combien y a-t-il de façons d'attribuer les médailles d'or, d'argent et de bronze? 3. Au Québec, normalement, les plaques d'immatriculation pour les voitures sont composées de 3 lettres majuscules suivies de 3 chiffres qui peuvent se répéter. Quel est le nombre de plaques différentes possibles? 4. On tire au hasard 7 cartes d'un jeu de 52 cartes. Détermine le nombre de résultats possibles pour chacun des cas suivants. On tire les 7 cartes... avec remise sans remise Avec ordre 5. Une danseuse doit effectuer trois mouvements de cha-cha-cha: 1) un New-York (NY); 2) un tour sous bras (TSB); 3) un pas de base (PDB). a) Écris toutes les permutations possibles de ces trois mouvements. (Elle ne peut faire 2 fois le même mouvement.) b) Combien de possibilité s'offrent à cette danseuse si l'on tient compte de l'ordre dans lequel les trois pas seront exécutés et si elle peut effectuer le même mouvement plus d'une fois? 5

6 6. Daphné ramasse les feuilles sur son terrain. Elle remarque que 40% des feuilles proviennent d'un érable, 30% d'un bouleau, 20% d'un pommier, et le reste, d'un chêne. Elle choisit une feuille au hasard sur le terrain, la remet par terre, puis en choisit une autre au hasard. a) Détermine la probabilité qu'elle choisisse une feuille d'érable suivie d'une feuille de chêne. b) De combien de façons différentes Daphné peut-elle choisir trois sortes de feuilles parmi les quatre sortes disponibles sur le terrain? 7. Dans un tournoi de volleyball, chacun des 8 membres de l'équipe gagnante reçoit un ballon de volleyball d'une couleur différente. Sachant que les membres de l'équipe se partagent les ballons de façon aléatoire, détermine le nombre de façons dont ils peuvent se partager les prix. 8. Trois couples de personnes s'assoient autour d'une table rectangulaire. a) Combien y a-t-il de permutations possibles? b) Combien y a-t-il de façons de placer ces personnes si les membres d'un même couple s'assoient l'un en face de l'autre? 9. Bébé Félix a 6 jouets pour le bain: un éléphant, un canard, une baleine, un bateau, un crocodile et un sous-marin. S'il choisit 3 jouets au hasard, quelles sont les probabilités qu'il ne choisisse pas le canard? 10. Pour se faire pardonner un oubli, un dieu grec offrit un bouquet de fleurs à une déesse. Il choisit 3 variétés de roses parmi les 9 variétés à sa disposition. Combien de bouquets différents ce dieu aurait-il pu offrir à la déesse? 6