2. Espace de probabilité fini équilibré

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1 36 2. Esace de robabilité fii équilibré Esace de robabilités fii équilibré (résumé)...37 Esace de robabilités fii équilibré (défiitio)...38 Le modèle de Maxwell-Boltzma...39 Les ragemets de objets discerables das boites...40 O fixe le ombre des atécédets d u élémet...4 Quatre situatios modélisées ar des alicatios...42 Le modèle de Bose-Eistei...43 Les réartitios d objets idiscerables das des boites...44 Les ragemets qui laisset u ombre fixé de boites vides...45 Le modèle de Fermi-Dirac...46 Les robabilités équilibrées selo les trois modèles de la hysique...47 Le aradoxe du hevalier de Méré...48 Visualisatio du Paradoxe du hevalier de Méré...49

2 37 Esace de robabilités fii équilibré (résumé) Si Ω est u esemble fii ( Ω, Parties( Ω),P) est u esace de robabilités fii card(a) équilibré lorsque our A Ω : P(A). card( Ω) Le modèle de Maxwell-Boltzma E est esemble fii. F est u esemble fii. L esemble Ω est l esemble des alicatios E F. P est la robabilité équilibrée sur Ω. card ( Ω ) card(f) card(e) card(arrivée) card(déart) Si card (E) et card(f) les ragemets de objets discerables das boites corresodet aux alicatios f : E F( E est l esemble des objets F est l esemble des boites). Le modèle de Bose-Eistei O rage objets idiscerables das boites, Ω est l esemble de tous ces ragemets ossibles. Il existe + + ragemets de objets idiscerables das boites (u tel ragemet eut être evisagé comme la réartitio de ièces de euro armi ersoes : les ièces sot idiscerables). Le modèle de Fermi-Dirac O rage objets idiscerables das boites, avec au lus u seul objet ar boite (il faut ), Ω est l esemble de tous ces ragemets ossibles. Il existe ragemets de objets idiscerables das boites avec au lus u seul objet ar boite (c est le ombre de maières de distribuer ièces de euros armi ersoes chaque ersoe e ouvat recevoir lus que euro). Le aradoxe du hevalier de Méré Lorsque 3 dés sot lacés, il y a la même robabilité d obteir que d obteir 2. ette affirmatio est cotredite ar l aalyse de la situatio.

3 38 Esace de robabilités fii équilibré (défiitio) ) Ω est u esemble fii card(a) 2) our A Ω : P(A) card( Ω) Lorsque ), 2) sot vérifiée ( Ω, Parties( Ω), P) est u esace de robabilités fii équilibré, c est «l esace de robabilités équilibré associé à Ω». Toute artie de Ω est u évéemet. Vocabulaire O dit que P est la robabilité équilibrée sur Ω. O dit souvet que «les choix sot faits au hasard». Remarque Si Ω ω est u évéemet uisque { ω} Parties( Ω) et : ω alors { } P ({ ω }) card( Ω) Vocabulaire Lorsque Ω, ω s aelle «u évéemet élémetaire». P ar P( ω ). card(a) O vérifie facilemet que P(A) défiit bie ue robabilité, e card( Ω) articulier P ( A B) P( A) + P( B) lorsque A B φ uisque : card(a B) card(a) + card(b) si A B φ. Proriété évidete Das u esace de robabilités fii équilibré, la somme des robabilités des évéemets élémetaires est égale à. Exercice ω { } S il y a as d ambiguïté o désige souvet ({ ω} ) ) Ω E E avec card (E) ; A {( a,b) / a E et b E a b}. Vérifier que our la robabilité équilibrée P sur Ω : P(A). 2) Ω {( a,b,c )/ a {,2,3} b {,2,3} c {,2,3} }. P est la robabilité équilibrée sur Ω. A Ω et B {( a,b,c )/ a + b + c 4 }. alculer P (B). Réoses ) 2 2 ( ) card( Ω ) card(a) ( ) et. 2 2) P (B)

4 39 Le modèle de Maxwell-Boltzma ) E est esemble fii. F est u esemble fii. 2) Ω est l esemble des alicatios E F. 3) P est la robabilité équilibrée sur Ω. Rael ) Ω F E est l esemble des alicatios E F. 2) Le ombre des élémets de Ω est card ( Ω ) card(f) card(e). card(a) 3) Si A Ω alors P(A). Si ω Ω alors P( { ω }) card( Ω) card( Ω) Exemle E est comosé de élémets, F est comosé de élémets. L esemble Ω F E des alicatios de E vers F est comosé de élémets. Si ω Ω alors P ({ ω }) Alicatio à la hysique O cosidère la réartitio de certaies articules (hotos, électros,...) das «l esace des hases» qui est u esace à K dimesios (chaque articule est caractérisée ar K doées umériques). Le modèle de Maxwell-Boltzma our la hysique U système hysique est modélisé ar : ) U esemble fii E de articules. 2) L esemble PHASE qui désige l esace des hases de ces articules. 3) Il existe ue artitio fiie de l esemble PHASE. F est l esemble des élémets de cette artitio. U état du système est la doée d ue alicatio f : E F A chaque articule a E il corresod la artie f (a) F das laquelle se trouve le oit de PHASE doé ar les K caractéristiques de la articule a. Pour u esemble E de articules si l esace des hases est artitioé e u esemble F de élémets, il y a états ossibles du système. haque état admet la même robabilité :. Exercice card (E),car(F), Ω F E. P est la robabilité équilibrée sur Ω. Si y F et f : E Falors f (y) { x / x E et f (x) y} (l esemble des atécédets de y ar f). b F et B { f / f : E F,f (b) φ} doer P(B). Réose

5 40 Les ragemets de objets discerables das boites E et F sot des esembles fiis tels que : card (E), card(f). E corresod à u esemble d objets (ar exemle: des articules), F corresod à u esemble de boites (ar exemle : les élémets d ue artitio fiie de l esace des hases). haque objet de E est ragé das ue boite de F. U tel ragemet est comlètemet détermié ar ue alicatio f : E F: si a E alors f (a) F est la boite das laquelle est ragé l objet a. 2 si v F alors f (v) E est l esemble des objets ragés das la boite v. Rael E et F sot des esembles fiis doc card F E card(f) card(e) L esemble des alicatios E F est oté F E. Proriété Il existe ragemet ossibles de objets das boites. 3 objets ragés das 3 boites I II III ) Ω F E est l esemble de tous les ragemets ossibles des objets de E das les boites de F. 2) Il existe ragemets ossibles. 3) Pour l esace de robabilités équilibré (Ω,T,P) la robabilité de chaque ragemet est. Ragemets articuliers Il existe ( )...( + ) ragemets tels que chaque boite cotiee au lus objet (u tel ragemet est ue ijectio E F).! Rael ( )...( + ) ( )! (Les ragemets 22 à 27 de 3 objets das 3 boites) Probabilité our que chaque boite cotiee au lus objet :! ( )...( + ). ( )! Remarque Si le ombre d objets est le même que le ombre de boites si chaque boite cotiet au lus u objet, chaque boite cotiet objet (toute ijectio équivaut à ue surjectio). Exercice Quelle est la robabilité our qu ue boite cotiee au lus objet quad 3 objets sot ragés au hasard das 6 boites? Réose 0, 55555

6 4 O fixe le ombre des atécédets d u élémet ) E est u esemble fii de élémets, F est u esemble fii de élémets. 2) Ω est l esemble des alicatios E F doc card( Ω). 3) P est la robabilité équilibrée sur Ω. Problème Soit b u élémet de F. Soit Bk l esemble des alicatios f : E F telles que { e / f (e) b} cotiee exactemet k élémets. Le ombre des élémets de B k ) Pour k > il est évidet que Bk φ. 2) Soit 0 k, our fabriquer ue alicatio de Bk o choisit k élémets de E dot les images serot fixées à b uis ue alicatio g : E' F' où E est l esemble des ( k) élémets de E o choisis et F l esemble des ( ) élémets de F différets de b. Il y a k choix des k élémets de E ; il y a ( ) k choix d ue alicatio g : E' F'. Le ombre des élémets de Bk our 0 k est doc k ( ) k La robabilité our qu ue alicatio f choisie au hasard soit telle que b admette exactemet k atécédets. La robabilité demadée est : P k. 0 si k > k k ( ) si 0 k k k k Remarque k ( ) k (se souveir de la loi biomiale). Exercice Parmi 0 ersoes quelle est la robabilité qu exactemet ersoes soiet ées u Dimache? Réose 45 0,

7 42 Quatre situatios modélisées ar des alicatios ) Le lacer de dés dot les faces sot umérotées de à 6 L esemble E des objets est l esemble des dés. L esemble des boites est l esemble F {,2,3,4,5,6 }. U résultat est ue alicatio f : E F {,2,3,4,5,6 } qui associe à chaque dé sa face vue arès le lacer. Il y a 6 résultats ossibles. Si les dés sot équilibrés la robabilité de chaque résultat est la même :. 6 2) Les cofiguratios des aiversaires des ersoes d ue etrerise (our ue aée de 365 jours) L esemble E des objets est l esemble des ersoes. L esemble F des boites est l esemble des 365 jours (o suose ue aée de 365 jours). U résultat est ue alicatio f : E F qui associe à chaque ersoe so aiversaire. Il y a 365 cofiguratios ossibles. Si chaque ersoe a la même robabilité de aissace our chaque jour de l aée la robabilité est équilibrée et vaut our chaque cofiguratio ) La classificatio de ersoes de 8 à 60 as ar «âge, sexe, rofessio» (k rofessios état ossibles) L esemble E des objets est l esemble des ersoes. L esemble F des boites est l esemble F reréseté ar { 8,...,60} {,2} {,...,k}, il y a doc ( 86k) idetités ossibles sur la base de cette classificatio. 4) Les différetes cofiguratios de descetes de ersoes au déart d u asceseur desservat étages Il y a cofiguratios, ue cofiguratio est ue alicatio f :{,..,} {,..,} f (i) est l étage où descedra la ersoe i. Exercice ) Ue ièce de moaie eut tomber sur ile ou face, doer l esemble de déart et l esemble d arrivée des alicatios rerésetat u lacer de 00 ièces de moaie et le ombre de toutes les situatios ossibles. 2) U trai art avec 00 assagers et s arrête das 5 gares (termius comris), combie y-a-t-il de situatios qui fot que le trai arrive au termius sas aucu des assagers motés au déart? 3) 6 dés équilibrés sot lacés, quelle est la robabilité qu aucu e tombe sur? Quelle est la robabilité que les 6 résultats obteus soiet différet? 00 2) ! 4. 3), Réoses ){,..,00} {,2},2.

8 43 Le modèle de Bose-Eistei O cosidère la réartitio de certaies articules (hotos, électros,...) das «l esace des hases» qui est u esace à K dimesios (chaque articule est caractérisée ar K doées umériques). Le modèle de Bose-Eistei our la hysique U système hysique est modélisé ar : ) U esemble fii E de articules. 2) L esemble PHASE qui désige l esace des hases de ces articules. 3) Il existe ue artitio fiie de l esemble PHASE. F est l esemble des élémets de cette artitio. Le ombre de articules est, le ombre des élémets de la artitio est. card (E),card(F). U état du système est la doée du ombre de articules qui se trouvet das chaque artie de la artitio et o quelles articules elle cotiet. Les articules sot idiscerables. Précisio La situatio est la même que celle-ci: o réartit ièces de euro etre ersoes, c est le ombre d euros que chaque ersoe reçoit qui imorte et o quelles ièces récisémet elle reçoit. Proriété Le ombre de réartitios ossibles de objets idiscerables das boites est : suivate) Exemle 3, 3. I II III *** 2 *** 3 *** 4 * ** 5 * ** 6 * ** 7 ** * 8 ** * 9 ** * 0 * * * Exemle 3 2 I II *** 2 *** 3 * ** 4 ** * 5! ! 2! 3 4! !! + + (voir la reuve age Exercice ) Vérifier que le ombre de réartitios ossibles de objets idiscerables das 2 boites discerables est toujours +. 2) Vérifier que le ombre de réartitios ossibles de objets idiscerables das 3 boites discerables est Idicatio Se souveir de l exressio de (Rael).

9 44 Les réartitios d objets idiscerables das des boites F est u esemble fii de boites discerables : F { b,...,b }. E est u esemble de objets idiscerables. O cosidère l esemble d etiers {,2,..., + }. Les ragemets des objets das boites sot les arties de élémets de {,2,..., + }. Justificatio Soit R ue artie de élémets de {,2,..., + }: R {,2,..., + } tel que card(r). O rage les élémets de R : R { r,...,r } avec : 0 < r < r2 <... < r < +. O ote r0 0, r + : r0 R et r R. Pour k {..., } : k card{ i / i {,2,..., + } et rk < i < rk} (Doc : k (r k r k ) ). Exemles i / i {,2,..., + } et 0 < i < r } card{ i / i {,2,..., + } et r < i < + } Défiitio k est le ombre d objets lacés das la boite b k. Proriété Il existe exactemet + + ragemets ossibles de objets idiscerables das boites discerables. Exemles 4, 6, 5, + 9, + 0 Il existe ragemets ossibles de 4 objets idiscerables das 6 boites discerables. Quelques ragemets ossibles ( : objet, : boite ) R * * * * )r,r2 4,r3 6,r4 7,r5 8 * * * * 2 )r 2,r2 4,r3 5,r4 8,r5 9 * * * * 3 )r,r2 4,r3 6,r4 8,r5 9 Ragemet 0,2 2,3,4 0,5 0,6 Ragemet 2,2,3 0,4 2,5 0,6 0 Ragemet 3 0,2 2,3,4,5 0,6 0 Exercice ombie y-a-t-il de ragemet ossibles de 4 objets idiscerables das 6 boites discerables? Réose

10 45 Les ragemets qui laisset u ombre fixé de boites vides Le ombre d objets idiscerables est le ombre de boites discerables est. ombie de ragemets ossibles e laissat aucue boite vide? ) Si < alors le ombre de ragemets e laissat aucue boite vide est 0. 2) Si alors le ombre de ragemets e laissat aucue boite vide est. 3) Si > alors le ombre de ragemets e laissat aucue boite vide est : Preuve O lace objet ar boite das les boites, il reste esuite à lacer objets das les boites ce qui eut être effectué de + maières. ombie de ragemets ossibles laissat exactemet k boites vides? ) Si < k alors le ombre de ragemets laissat exactemet k boites vides est 0. 2) Si k alors le ombre de ragemets laissat exactemet k boites vides est : k k Preuve Il y a k choix des k boites qui doivet être vides. A chaque choix de ces k k boites o associe les ragemets ossibles de objets armi k boites e laissat aucue de ces boites vide. Remarque Si k 0 o retrouve ragemets laissat exactemet 0 boites vides si > uisque 0. Si, et o obtiet seul ragemet. Exercice De combie de maières eut-o rager 000 objets idiscerables das 000 boites avec ue et ue seule boite vide? Avec autat de boites vides que de boites o vides? Réoses ;

11 46 Le modèle de Fermi-Dirac O cosidère la réartitio de certaies articules das «l esace des hases» qui est u esace à K dimesios (chaque articule est caractérisée ar K doées umériques). Le modèle de Fermi-Dirac our la hysique U système hysique est modélisé ar : ) U esemble fii E de articules. 2) L esemble PHASE qui désige l esace des hases de ces articules. 3) Il existe ue artitio fiie de l esemble PHASE. F est l esemble des élémets de cette artitio. Le ombre de articules est, le ombre des élémets de la artitio est. card (E),card(F) et card(e) card(f) haque artie de la artitio cotiet au lus ue articule et les articules sot idiscerables. Les articules sot idiscerables. Précisio La situatio est la même que celle-ci: o réartit ièces de euro etre ersoes, de telle maière que chaque ersoe reçoive au lus euro (o e s itéresse as à la ièce qu elle reçoit). Il faut que. Proriété Le ombre de réartitio ossibles de objets idiscerables das boites si avec au lus u objet ar boite est le ombre des sous-esembles de objets das u esemble de objets : Exercice O distribue au hasard ièces de euro armi ersoes umérotées de à avec au lus euro ar ersoe. Vérifier que la robabilité our la ersoe i d obteir euro est our tout i {,...,}. Idicatio ( )!!( )! ( )!( )!!

12 47 Les robabilités équilibrées selo les trois modèles de la hysique Le ombre des objets est ; o rage ces objets das boites. L esemble de tous les ragemets ossibles est Ω. O cosidère l esace de robabilités fii équilibré ( Ω, P( Ω),P). Modèle de Maxwell-Boltzma Si ω Ω alors : Modèle de Bose-Eistei Si ω Ω alors : ({ ω }) P P ({ ω }) + +!( )! ( + )! Modèle de Fermi-Dirac Il faut. Si ω Ω alors : P ({ ω })!( )!! Exercice O rage 4 objets das 0 boites umérotées de à 0. ) Doer our chacu des trois modèles de la hysique la robabilité équilibrée our que la boite soit vide Réoses 0,656; 2 0,6923; 9 0,

13 48 Le aradoxe du hevalier de Méré Le aradoxe O lace 3 dés équilibrés dot les faces sot umérotées de à 6. La robabilité que la somme des 3 faces vues soit est la même que la robabilité que la somme des 3 faces vues soit 2 car le ombre de ossibilités d obteir est le même que le ombre de ossibilités d obteir 2. Les ossibilités d obteir : 6 ossibilités : , , , , , Les ossibilités d obteir 2 : 6 ossibilités : , , , , , Le raisoemet est faux si o evisage la robabilité équilibrée sur l esemble Ω des résultats du lacer de ces 3 dés équilibrés : Ω {,2,3,4,5,6} {, 2,3, 4,5,6} {,2,3, 4,5,6} card ( Ω ) Le résultat du dé o i est oté d i our i,2,3. A {( d,d2,d3 ) / d + d2 + d3 } ) est obteu avec les 3! 6 résultats (les ermutatios de 3 objets) : ( d 6,d2 4,d3 ) ( d 6,d2,d3 4) ( d 4,d2 6,d3 ) ( d 4,d2,d3 6)( d,d2 6,d3 4)( d 6,d2 4,d3 6) 2) de même est obteu avec 3! 6 résultats : 3) est obteu avec 3 résultats (les ositios de armi 3 laces): ( d 5,d2 5,d3 )( d 5,d2,d3 5)( d,d2 5,d3 5) 4) de même est obteu avec 3! 6 résultats 5) de même est obteu avec 3 résultats 6) de même est obteu avec 3 résultats card (A) doc : {( ) + + 2} B d,d2,d3 /d d2 d3 De même, o trouve : card (B) 25doc : P (A) P (B) Exercice B {( a,b,c) / a {,..,6},b {,..,6},c {,..,6} a + b + c 2}. Vérifier que card (B) 25. {( a,b,c) / a {,..,6},b {,..,6},c {,..,6} a + b + c 2}, doer ard () Réose

14 49 Visualisatio du Paradoxe du hevalier de Méré La suite abc désige les valeurs das l ordre du remier dé au troisième dé. La somme est : La somme est 2 : Exercice Sk désige l évéemet : «la somme des 3 faces vues est égale à k». ) Quelle est la lus etite valeur et la lus grade valeur ossible de k? 2) Vérifier que le aradoxe du hevalier de Méré doe P ( S3) P( S4 ) P( S7 ) P( S8 ). 3) alculer P ( S3), P( S4 ), P( S7 ), P( S8 ) (P est la robabilité équilibrée). 3 3 Réoses ) 3 ; 8. 3) ; ; ;

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