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1 Chapitre 4 Suites Sommaire 41 Activités 31 4 Suites arithmétiques Définition 34 4 Terme général est fonction de n Représentation graphique Sens de variation Limite Somme des termes Suites géométriques Définition Terme général en fonction de n Représentation graphique Sens de variation Limite Somme des termes Activités Activité 41 (Définir une suite) au suivant : (a) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; ; (b) 0 ; 4 ; 8 ; 1 ; 16 ; ; ; (c) 1 ; 3 ; 9 ; 7 ; ; ; 1 Compléter les listes de termes suivantes et expliquer comment on passe d un terme On considère la fonction u définie sur N par : u(n) = 3 5n (a) Calculer u(0) ; u(1) ; u() et u(3) (d) ; 3 ; 7 ; 11 ; ; ; (e) 1 ; 1 ; ; 3 ; 5 ; 8 ; ; ; (f) 1 ; ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ; ; ; (b) Quand il s agit d une fonction définie surn(ou sur une partie den), on dit que u est une suite et on note u(n) sous la forme u n Avec cette nouvelle notation, réécrire les résultats précédents 3 Le terme général d une suite se note souvent u n et l entier naturel n est appelé indice (a) Quel est le terme qui précède u 1? u 10? u n? (b) Quel est le terme qui suit u 1? u 10? u n? (c) Quel est l indice du terme situé trois rangs après u n? deux rangs avant u n1? 4 A n désigne le nombre d habitants de la ville A en l an 000n (a) Que représente A 0? (b) Comment désigne-t-on le nombre d habitants de la ville A en 010? en 017? 5 Le nombre d habitants de la ville B a été recensé tous les 10 ans depuis On désigne par B n le nombre d habitants de la ville B l année du n ième recensement (a) Que représente B 1? B? 31

2 41 Activités Terminale STG (b) Comment désigne-t-on le nombre d habitants de la ville B en 010? 6 (a) Soit la suite (u n ) définie surnpar : u n1 = 3u n 4 et u 0 = 4 Calculer u 1, u, u 3 et u 4 (b) Soit la suite (u n ) définie surn\{0} par : u n = 3u n 1 4 et u 0 = 4 Calculer u 1, u, u 3 et u 4 (c) Que remarque-t-on? Remarque Vous avez pu constater qu on retrouve la même suite dans plusieurs exemples On pourra retenir qu une suite peut s écrire sous des formes différentes Activité 4 (Suite arithmétique) On dit d une suite qu elle est arithmétique, si chaque terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant toujours un même nombre que l on appelle la raison 1 On donne ci-dessous les premiers termes d une suite arithmétique Calculer les cinq suivants : (a) ; 5 ; 8 ; (b) 10 ; 8 ; 6 ; (c) ;,4 ;,8 ; (a) Zoé possède un aquarium qui ne peut contenir plus de 500 poissons Le 1 er janvier, elle a trois poissons dans son aquarium Elle ajoute cinq poissons tous les jours Dans combien de jours son aquarium sera-t-il complet? (b) Arthur a travaillé pendant les vacances Il possède sur un compte en banque Il n ajoute plus d argent sur son compte mais il retire 0 toutes les semaines Dans combien de semaines ne lui restera-t-il que 500? 3 Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison r = 4 (a) Exprimer u n1 en fonction de u n (b) Calculer u 1, u et u 3 (c) Compléter : u 1 = 1 u = =1 u 3 = =1 donc u 1 = u 0 u = u 0 u 3 = u 0 (d) En déduire : u 10 = u 0 = = u n = u 0 = = 4 (a) On considère la suite définie par : u n = n 5 i Exprimer u n1 en fonction de n ii Calculer u n1 u n iii En déduire que la nature de la suite (u n ) On précisera le premier terme u 0 et la raison r de cette suite (b) On considère la suite arithmétique définie par : u n1 = u n 3 et u 0 = 10 Déterminer sa raison r et écrire u n sous la forme : u n = u 0 nr 5 Parmi les suites suivantes, indiquer celles qui sont arithmétiques et préciser leur raison (a) u 0 = 0 et u n1 = u n (b) u n = 5n 1 (c) u n = 5n (d) u n = n 3 6 (a) On considère la suite (u n ) telle que : u 0 = 1 et u n1 = un 3 i Expliquer pourquoi c est une suite arithmétique ii Calculer : (e) u n = n 1 (f) u 0 = 0 et u n1 = u n 1 u 1, u, u 3, u 4, u 5 et u 6 u 1u 3, u u 4, u 3u 5 et u 4u 6 (b) Mêmes questions avec la suite (u n ) telle que u n = n 5 (c) Que remarque-t-on dans les deux cas? Activité 43 (Suite géométrique) On dit d une suite qu elle est géométrique, si chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant toujours un même nombre que l on appelle la raison 1 On donne ci-dessous les premiers termes d une suite géométrique Calculer les cinq suivants : (a) ; 1 ; 7 ; (b) 10 ; 5 ; 5 ; (c) 1 ; 1 6 ; (a) Dans un jeu télévisé, un candidat répond à des questions S il répond correctement à la première question il gagne 10 S il répond correctement à la deuxième, il gagne le double, et ainsi de suite S il ne répond pas correctement à une question, il perd tout À combien de questions doit-il répondre juste pour gagner au moins ? 3 http ://perpendiculairesfreefr/

3 Terminale STG 41 Activités (b) Dans un laboratoire, on teste des insecticides qui détruisent tous les jours la moitié d une population de mouches On dispose de 1 04 mouches au départ Dans combien de jours restera-t-il une seule mouche? 3 Soit (v n ) la suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison q = 4 (a) Exprimer v n1 en fonction de v n (b) Calculer v 1, v et v 3 (c) Compléter : v 1 = v = = v 3 = = donc v 1 = v 0 v = v 0 v 3 = v 0 (d) En déduire : v 10 = v 0 = = v n = v 0 = 4 (a) On considère la suite (v n ) définie par : v n = 5 n i Exprimer v n1 en fonction de n ii Calculer v n1 v n iii En déduire que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme v 0 et la raison q (b) On considère la suite géométrique définie par : v n1 = 5 v n et v 0 = 10 Déterminer sa raison q et écrire v n sous la forme : v n = v 0 q n 5 Parmi les suites suivantes, indiquer celles qui sont géométriques et préciser leur raison (a) v 0 = 1 et v n1 = 5v n (b) v n = 5n 6 (a) On considère la suite (v n ) telle que : v 0 = 0,5 et v n1 = v n ; i Expliquer pourquoi c est une suite géométrique ii Calculer : (c) v n = 5n (e) v n = 35n 1 (d) v n = 5 n (f) v 0 = 3 et v n1 = v n 5 v 1, v, v 3, v 4, v 5 et v 6 v 1 v 3, v v 4, v 3 v 5 et v 4 v 6 (b) Mêmes questions avec la suite (v n ) telle que v n = 0,53 n (c) Que remarque-t-on dans les deux cas? Activité 44 On donne, sur la figure 41 de la présente page, la représentation graphique de quatre suites géométriques (u n ), (v n ), (w n ) et (t n ) dont le premier terme et la raison sont strictement positifs telles que : u n = 0,8 n ; v n = 0, n ; w n = 1,7 n ; t n = 1,4 n y FIGURE 41 Figure de l activité 44 y 10 u n = 0,8 n 00 w n = 1,7 n 08 v n = 0, n 150 t n = 1,4 n O x x O En observant chacune de ces représentations graphiques : 1 Indiquer le sens de variation de ces suites Que peut-on dire des termes de chaque suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes? David ROBERT 33

4 4 Suites arithmétiques Terminale STG Activité 45 (Somme de termes consécutifs) Partie A : Suites arithmétiques 1 (a) Calculer : d une part et 56 d autre part (b) Calculer : d une part et 113 (c) Proposer une formule permettant de calculer : 13 (n 1)n On considère la suite arithmétique (u n ) telle que : u n = u 0 nr (a) Exprimer en fonction de r et u 0 : u 0 u 1 ; u 0 u 1 u ; u 0 u 1 u u 3 (b) Vérifier que dans chacun des cas précédents, la somme obtenue est égale à : Partie B : Suites géométriques 1 (a) Calculer : d une part et (premier terme dernier terme) (nombre de termes) d autre part (b) Calculer : d une part et d autre part (c) Proposer une formule permettant de calculer : 1 x x 3 x n On considère la suite géométrique (v n ) telle que : v n = v 0 q n avec u 0 > 0 et q > 0 (a) Exprimer en fonction de q et v 0 : v 0 v 1 ; v 0 v 1 v ; v 0 v 1 v v 3 (b) Vérifier que dans chacun des cas précédents, la somme obtenue est égale à : nombre de termes 1 raison premier terme 1 raison Partie C : Application Un employé se voit proposer deux types de contrats d embauche Dans le cas du contrat A, on lui propose un salaire mensuel de et une augmentation de annuelle de 50 Dans le cas du contrat B, on lui propose un salaire mensuel de et une augmentation annuelle de 4 % Cet employé sait qu il voudra abandonner ce travail dans quelques années, pour retrouver sa région natale 1 S il doit rester cinq ans dans l entreprise, quelle somme percevra-t-il avec chacun des contrats? Quel contrat doit-il choisir? Même question s il doit rester quinze ans 4 Suites arithmétiques 41 Définition Définition 41 La suite (u n ) est arithmétique, si pour tout entier naturel n, u n1 = u n r, où r est un réel Le réel r s appelle raison de la suite arithmétique u 0 u 1 u u 3 u 4 u 5 u n 1 u n u n1 r r r r r r r r r r Remarque Pour démontrer qu une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que u n1 u n est constant Cette constante est alors la raison r { u0 = 3 Exemple 41 La suite définie par : est arithmétique de raison r = u n1 = u n 4 4 Terme général est fonction de n Propriété 41 Si (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r, alors pour tout entier naturel n, on a : u n = Exemple 4 Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 9 et de raison 5 Calculer u http ://perpendiculairesfreefr/

5 Terminale STG 43 Suites géométriques Remarque Dans le cas d une suite arithmétique (u n ), le terme u n est la moyenne arithmétique des deux termes qui l encadrent : u n = u n 1u n1 Propriété 4 Si (u n ) est une suite définie pour tout entier naturel n par le terme général u n = anb, avec a et b deux réels, alors (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 = et de raison r = Exemple 43 La suite (v n ) définie par : v n = n 5 est arithmétique de premier terme v 0 = et de raison r = 43 Représentation graphique Exemple 44 On considère la suite (u n ) arithmétique définie par : u 0 = 0,5 et r = 0,7 1 Calculer les termes u 1, u, u 3, u 4 et u 5 (a) Placer dans un repère les points M n de coordonnées (n ; u n ) (b) Que constate-t-on? Propriété 43 La représentation graphique d une suite arithmétique est constituée de points alignés 44 Sens de variation Propriété 44 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r Si r > 0, alors (u n ) est Si r < 0, alors (u n ) est Si r = 0, alors (u n ) est Exemple 45 On considère la suite (u n ) définie par : u n = 5n 7 (u n ) est une suite arithmétique de raison r = Donc la suite (u n ) est 45 Limite Propriété 45 Soit la suite arithmétique (u n ) telle que : u n = u 0 n r Si r < 0, alors lim u n = Si r > 0, alors lim u n = n n Exemple 46 On considère la suite (u n ) telle que : u n = 4n 7 (u n ) est une suite arithmétique de raison r = Donc lim u n = n 46 Somme des termes Propriété 46 Soit s n la somme des (n 1) premiers termes d une suite arithmétique (u n ) de raison r, alors on a : s n = u 0 u 1 u n = (n 1) (u 0 u n ) Exemple 47 Soit la suite (u n ) définie par u n = n 3 s n = u 0 u 1 u n = Remarque La somme s des termes consécutifs d une suite arithmétique est donnée par la formule : 43 Suites géométriques 431 Définition premier terme dernier terme s = (nombre de termes) Définition 4 La suite (v n ) est géométrique, si pour tout entier naturel n, v n1 = q v n, où q est un réel non nul Le réel q s appelle raison de la suite géométrique David ROBERT 35

6 43 Suites géométriques Terminale STG v 0 v 1 v v 3 v 4 q 5 v n 1 v n v n1 Remarque Pour démontrer qu une suite (v n ) est géométrique, il suffit de vérifier que v n1 v n est constant Cette constante est la raison q { v0 = 3 Exemple 48 Soit (v n ) la suite définie par est une suite géométrique de raison q = v n1 = v n 43 Terme général en fonction de n Propriété 47 Si (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 et de raison q, alors pour tout entier naturel n, on a : v n = Exemple 49 Soit (v n ) la suite géométrique de premier terme v 0 = 9 et de raison 3 Calculer v 5 Remarque Dans le cas d une suite géométrique (v n ), le terme v n est la moyenne géométrique des deux termes qui l encadrent : v n = v n 1 v n1 Propriété 48 Si (v n ) est une suite définie pour tout entier naturel n par le terme général v n = a b n, avec a et b deux réels, alors (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison q = Exemple 410 La suite (v n ) définie par : v n = 5 n est géométrique de raison q = 433 Représentation graphique Exemple 411 On considère la suite géométrique (v n ) définie par : v 0 = 1 et la raison q = 0,5 1 Calculer les termes v 1, v, v 3, v 4 et v 5 (a) Placer dans un repère les points M n de coordonnées (n ; v n ) Unités graphiques : 1 cm pour une unité en abscisses et 4 cm pour une unité en ordonnées (b) Que constate-t-on? La représentation graphique d une suite géométrique (v n ) est constituée de points situés sur une courbe qui n a pas été étudiée en seconde ni en première 434 Sens de variation Propriété 49 Soit la suite géométrique (v n ) telle que : v n = v 0 q n avec v 0 > 0 et q > 0 Si 0< q < 1, alors la suite (v n ) Si q = 1, alors la suite (v n ) est Si q > 1, alors la suite (v n ) est Exemple 41 Soit la suite (v n ) définie par v n = 30,8 n Déterminer le sens de variation de la suite (v n ) 435 Limite Propriété 410 Soit la suite géométrique (v n ) telle que : v n = v 0 q n avec v 0 > 0 et q > 0 Si 0< q < 1, alors lim v n = Si q > 1, alors lim v n = n n Exemple 413 On considère la suite (v n ) telle que : v n = 40,7 n (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison q = Donc lim v n = n 36 http ://perpendiculairesfreefr/

7 Terminale STG 43 Suites géométriques 436 Somme des termes Propriété 411 Soit s n la somme des (n 1) premiers termes d une suite géométrique (v n ) de raison q ( 1), alors on a : s n = v 0 v 1 v n = v 0 v n1 1 q = v 0 1 q n1 1 q Exemple 414 Soit (v n ) la suite géométrique de premier terme 5 et de raison 3 s n = v 0 v 1 v n = Remarque La somme s des termes consécutifs d une suite géométrique est donnée par la formule : de termes 1 qnombre s= premier terme 1 q David ROBERT 37

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