Durée : 1 heure 30 Correction Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série STI2D et STL Mercredi 13 mai 2015 SUJET DE MATHÉMATIQUES

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1 Durée : heure 30 Correction Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série STI2D et STL Mercredi 3 mai 205 SUJET DE MATHÉMATIQUES Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE Dans le plan complexe muni d un repère orthonormé. Déterminons la forme algébrique de z B. z B = i2 3 2i=2+2i 3 O, u, v, on considère les points A et B d affixes respectives z A = 2 3 2i et z B = iz A. 2. a. Déterminons les modules respectifs z A et z B de z A et z B. z A = = 4 z B = = 4 b. OA =4 et OB =4. 3. Le triangle OAB est tracé ci-dessous. 4 3 B 2 C K 2 O A 4. a. Soit θ A un argument de z A. Nous avons alors cosθ A = = 2 et sinθ A = 2 4 = 2 Par conséquent argz A = π 6. b. Soit θ B un argument de z B. Nous avons alors cosθ B = 2 4 = 2 et sinθ B = Par conséquent argz B = π 3. u c. Une mesure de, OA est π u 6 et une mesure de, OB est π Le triangle OAB est un triangle rectangle isocèle. Il est isocèle car OA=OB, il est rectangle #» car OA ; OB #» #» = OA ; #» u + #»u #» ; OB = π 6 + π 3 = π On considère le milieu K du segment [AB]. a. Déterminons l affixe z K de K. z K = 2 z A+ z B = i = i b. Le point K est placé sur la figure de la question

2 7. On note C le point tel que OACB soit un parallélogramme. a. Le parallélogramme OACB est tracé sur la figure de la question 3. b. Déterminons l affixe z C de C. Puisque K est le milieu de [AB] c est-à-dire d une diagonale et que OACB est un parallélogramme, par conséquent K est aussi le milieu de l autre diagonale [OC]. IL en résulte z C = 2z K. z C = i = i c. Le parallélogramme OACB est un carré puisque c est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même mesure OA=OB et possède un angle droit nous l avons montré précédemment. EXERCICE II On considère la fonction f définie par : pour tout réel x, f x= e 2x +. On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé Partie A. a. lim f x= car lim x x e2x = 0 et lim f x=0 car lim x + x + e2x + =+ et lim X + X = 0. b. On en déduit que C f admet deux asymptotes, notées et 2. O, ı, j est asymptote à C f au voisinage de et a pour équation y = 2 est asymptote à C f au voisinage de+ et a pour équation y = a. f désigne la dérivée de f. f = v par conséquent f = v v 2. En posant vx=e2x + nous obtenons v x=2e 2x pour tout réel x, f x= 2e2x e 2x + 2. b. Pour tout x R, f x < 0 comme opposé d un nombre strictement positif étant quotient de deux réels strictement positifs. Si pour tout x I f x<0 alors la fonction f est strictement décroissante sur I. Pour tout x R, f x<0 par conséquent f est strictement décroissante sur R Dressons le tableau des variations de f. 3. a. f 0= e 0 + = 2 x + f t Variation de f f 0= 2 e0 e = 2. b. Déterminons une équation de la tangente T 0 à C f au point d abscisse 0. L équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a est y = f ax a+ f a. Une équation de la tangente T 0 à C f au point d abscisse 0 est y = 2 x Les droites, 2, T 0 puis la courbe C f sont tracées ci-dessous.. 0 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH, correction 2 3 mai 205

3 , T 0,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, , Partie B On considère les intégrales I et J définies par I = e 2x +. On considère les fonctions h et H définies par : a. e 2x dx et J = e 2x + dx. pour tout réel x, hx= e2x e 2x et Hx= + 2 ln e 2x +. e 2 + e 2 + = e2 + + = e 2 + e 2 e 2 + +e 2 e 2 = e 2. La relation est justifiée. + e 2 e 2 = b. H est une primitive de h lorsque H =h. Calculons H x ; H x= 2 2 e2x e 2x + = e2x e 2x + = hx. H est une primitive de h sur R. c. Montrons que J =. e 2x [ J = e 2x + dx= 2 ln e 2x + 2. Calculons la somme I + J. I + J = e 2x + dx+ 3. Déterminons la valeur de I. ] e 2x e 2x + dx= = 2 ln e ln e 2 + = e 2 2 ln + e 2 + +e 2x e 2x + Nous savons que I + J = 2 et que J =. Par conséquent I =. [ ] dx= dx= x = 2 = 2 ln e2 = lne= 4. Sur [ ; ], f est une fonction positive, l aire du domaine plan délimité par la courbe, l axe des abscisses et les droites d équations x = et x = est en unités d aire e 2x dx c est-à-dire I. Par conséquent le domaine + dont l aire, en unités d aire, vaut I est la partie hachurée sur la figure de la question A 4. EXERCICE III Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH, correction 3 3 mai 205

4 La victoire de l équipe féminine espagnole, le 2 août 203, aux championnats du monde de water-polo a été fortement médiatisée en France. Il s ensuivit une forte augmentation du nombre de filles licenciées dans tous les clubs français de water-polo à partir de septembre 203. Au er septembre 203, les clubs français de water-polo comptaient filles licenciées. L évolution du nombre de filles licenciées est modélisée par une suite u n n N de la façon suivante : u 0 représente le nombre de filles licenciées, exprimé en milliers, au er septembre 203. Ainsi u 0 = 4,5. Pour tout n, u n représente le nombre de filles licenciées, exprimé en milliers, n mois plus tard. Ainsi u désigne le nombre de filles licenciées au er octobre 203, u 2 désigne le nombre de filles licenciées au er novembre 203, etc. On constate que la suite u n n N vérifie : pour tout entier n, u n+ = 2+0,8u n.. a. Calculons le nombre de filles licenciées à chacune des dates suivantes : au er octobre 203, u = 2+0,8 4,5=5,6. Il y a donc à cette date filles licenciées. au er novembre 203 u 2 = 2+0,8 5,6=6,48. Il y a donc à cette date filles licenciées. au er décembre 203 u = 2+0,8 6,48=7,84. Il y a donc à cette date 7 84 filles licenciées. b. p désigne le pourcentage d augmentation du nombre de filles licenciées entre le er septembre et le er octobre 203. p 2 désigne le pourcentage d augmentation du nombre de filles licenciées entre le er octobre et le er novembre 203. p 3 désigne le pourcentage d augmentation du nombre de filles licenciées entre le er novembre et le er décembre 203. valeur finale valeur initiale Le taux d évolution t est défini par t = valeur initiale p = 5,6 4,5 0, ,5 Le pourcentage d augmentation du nombre de filles licenciées entre le er septembre et le er octobre 203 est d environ 24,44 % p 2 = 6,48 5,6 0,574. 5,6 Le pourcentage d augmentation du nombre de filles licenciées entre le er octobre et le er novembre 203 est d environ 5,7 % p 3 = 7,84 6,48 0, ,48 Le pourcentage d augmentation du nombre de filles licenciées entre le er novembre et le er décembre 203 est d environ 0,86 % 2. On considère la suite v n n N définie par : pour tout entier n, v n = 0 u n. a. Donnons la valeur de v 0. v 0 = 0 u 0 v 0 = 0 4,5=5,5. b. Montrons que la suite v n n N est une suite géométrique de raison q = 0,8. v n+ = 0 u n+ = 0 2+0,8u n =8 0,8u n = 0,80 u n =0,8v n. Quel que soit l entier naturel n, pour déterminer le terme suivant v n+, nous multiplions le terme v n toujours par le même nombre 0,8. Il en résulte que la suite v n est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 5,5. c. Exprimons, pour tout entier n, v n en fonction de n. Le terme général d une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q est u n = u 0 q n. v n = 5,5 0,8 n 3. Montrons alors que, pour tout entier n, u n = 0 5,5 0,8 n. Puisque pour tout n, v n = 0 u n, nous pouvons alors écrire u n = 0 v n et en remplaçant v n par le résultat précédent u n = 0 5,5 0,8 n. 4. Déterminons lim u n. n + lim u n = lim 0 lim n + n + n + 5,5 0,8n = 0. En effet lorsque la raison d une suite géométrique est telle que q <, la suite tend alors vers a. Déterminons la plus petite valeur n 0 de l entier n tel que : 5,5 0,8 n. Pour ce faire, résolvons cette inéquation. Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH, correction 4 3 mai 205

5 5,5 0,8 n 0,8 n 5,5 0,8 n 2 2 n ln 0,8 ln la fonction ln est une fonction strictement croissante sur ]0 ; + [ n ln 0,8 ln 2 ln ln a = ln a lnb b a> 0; b > 0 ln 2 ln n ln 0,8 car ln 0,8<0 ln ln 2 n ln 0,8 n 7,6367 Par conséquent le plus petit entier n 0 tel que 5,5 0,8 n est 8. b. Déterminons la date à partir de laquelle le nombre de filles licenciées dans les clubs français de water-polo aura doublé par rapport à celui du er septembre 203. Déterminons n tel que u n 2u 0 c est-à-dire 0 5,5 0,8 n 2 4,5 ou en simplifiant 5,5 0,8 n. Nous avons montré à la question précédente que le plus petit entier vérifiant cette inégalité est 8, par conséquent à partir du er mai 204, le nombre de filles licenciées dans les clubs français de water-polo aura doublé par rapport à celui du er septembre 203. EXERCICE IV Dans tout l exercice, pour chaque probabilité ou chaque pourcentage demandé, on donnera une valeur approchée à 0 3 près. Partie A Une étude sur tous les nageurs français de haut niveau a montré que leur taille, mesurée en centimètres, pouvait être représentée par une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne m= 90 et d écart-type σ=7. On choisit au hasard un nageur français de haut niveau.. Donnons la probabilité P que ce nageur mesure plus de 95 cm. p = px 95= 0, , Donnons la probabilité P 2 que ce nageur mesure moins de 80 cm. p 2 = px 80 0, Donnons la probabilité P 3 que ce nageur mesure entre 80 cm et 95 cm. p 3 = p80 X 95 0,686. Partie B Le tableau ci-dessous donne la taille, en centimètres, et le poids, en kilogrammes, d un échantillon de 4 nageurs français de haut niveau. La taille et le poids de chaque nageur sont arrondis à une unité près. Nom Agnel Bernard Bousquet Coelho Giot Horth Joly Poids en kg Taille en cm Nom Lacourt Lefert Leveaux Manaudou Ress Sauvage Steimetz Poids en kg Taille en cm Donnons le poids moyen m p et la taille moyenne m t des nageurs de cet échantillon m p = = m t = = 9, Donnons le pourcentage Q de nageurs de cet échantillon qui mesurent entre 86 cm et 90 cm. Il y a 2 nageurs mesurant entre 86cm et 90cm sur un total de 4 d où 2 4 0,429. Q 4,29%. 3. Donnons le pourcentage Q 2 de nageurs de cet échantillon qui pèsent plus de 9 kg. Il y a 2 nageurs pesant plus de 9kg sur un total de 4 d où 2 4 0,429. Q 2 4,29%. 4. Donnons le pourcentage Q 3 de nageurs de cet échantillon qui pèsent moins de 9 kg et mesurent plus de 86 cm. Il y a 7 nageurs pesant moins de 9kg et mesurant plus de 86cm sur un total de 4 d où 7 4 = 0,50. Q 3= 50%. Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH, correction 5 3 mai 205

6 Partie C On considère maintenant la population totale des nageurs français ayant une licence de natation. On suppose que la probabilité qu un nageur, choisi au hasard dans cette population, pèse plus de 9 kg est égale à 0,3. Un entraineur doit constituer, pour une compétition amicale, une équipe de 0 nageurs. Pour cela, il choisit au hasard 0 nageurs dans la population décrite ci-dessus. On suppose que cette population est suffisamment importante pour que les choix des nageurs puissent être supposés indépendants les uns des autres. On note Y la variable aléatoire représentant, parmi les 0 nageurs choisis, le nombre de nageurs pesant plus de 9 kg.. Y suit la loi binomiale de paramètres 0 ;0,3. 2. Donnons la probabilité R que l équipe ne contienne aucun nageur pesant plus de 9 kg. R = py = 0 0, Donnons la probabilité R 2 que l équipe contienne au moins un nageur pesant plus de 9 kg. R 2 = py = py = 0 0,972. Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH, correction 6 3 mai 205