Calculer la raison d une suite arithmétique dont la somme des trois premiers termes est 18 et e septiemme terme est 19

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1 Suites EXERCICE N 1 O cosidère la suite ( u ) défiie par : Pour tout etier aturel : u = 2-2 a) Calculer u 1,u 2,u 3 et u 4 b) Calculer pour tout etier aturel u +1, u +1, (u ) 2, u 2, u 2+3,u 2 +3 EXERCICE N 2 Calculer la raiso d ue suite arithmétique dot la somme des trois premiers termes est 18 et e septiemme terme est 19 EXERCICE N 3 (u) est ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r 1- Sachat que r=3 et u 6 =32 Calculer u 0 et u Sachat que u 2 =4 et u 0 + +u 5 =30 Calculer r et u 0 EXERCICE N 4 (u) est ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r 1- Sachat que u 5 =11et u 8 =41 Calculer u 0 et r 2- Sachat que r=-3 u 1 =6 et u 0 + +u =-90 Calculer EXERCICE N 5 La somme des sept premiers termes d ue suite arithmétique est 56 et le deuxièmme terme est 5 ; calcuer le dixème terme EXERCICE N 6 Détermier trois termes cosécutifs d ue suite arithmétique tems que leur somme est 30 et leur produit est 910 1

2 EXERCICE N 7 Ue suite arithmétique à pour premiers termes 1 et 3 ; trouver le cetième terme et la some des cet premiers termes EXERCICE N 8 u est ue suite géométrique de premier terme u 0 =12 et de raiso p=1/4 Calculer les ciq premiers termes de la suite u puis la somme des dix premiers termes de cette suite EXERCICE N 9 u est ue suite géomérique de premier terme u 0 et de raiso q 1- Calculer q sachat que u 0 =2 et u 3 = Calculer q et u 0 sachat que u 2 =4 et u 6 =64 3- Calculer sachat que u 0 =q=2 et u 0 +u 1 +.+u -1 =62 EXERCICE N 10 Soit x u réel. calculer x sachat que 3x+3 et 2x-4 et x-3 so trois termes cosécutifs d ue suite géométrique EXERCICE N 11 x, y et z sot trois termes cosécutifs d ue suite géométrique tels que x+y+z=26 et xyz=216 calculer x et y et z EXERCICE N 12 Calculer trois réels x et y et z sachat que : x,y et z sot trois cosécutifs termes d ue suite arithmétique. 8-x, y et 18-z sot cosécutifs trois termes d ue suite arithmétique. x, 2y-7 et z sot trois cosécutifs termes d ue suite géométrique. EXERCICE N Motrez que les réels A,B et C sot 3 termes d'ue cosécutifs d'ue suite arithmétique A= B= C = a IR\ {1,2} 2

3 2- Détermier das chacu des cas suivats trois termes d'ue cosécutifs d'ue suite géométrique tels que : a+b+c=63 a+b+c= 312 abc =1728 c-a = Motrer que si a,b et c sot trois termes d'ue suite géométrique alors (a+b+c)(a-b+c) =a+ b+c EXERCICE N 14 U est ue suite arithmétique telle que u 10 =9 et u 17 = Calculer u Calculer la somme S telle que : S = u 10 +u u 21 EXERCICE N 15 Soit u la suite arithmétique telle que : u 4 + u 6 + u 8 + u 10 = -8 et u 1 + u 11 = -3 Détermier la raiso r et so premier terme u 0 EXERCICE N 16 Soit u la suite géométrique de raiso 2/3 et de premier terme u tel que : u 0 = 9 Calculer S,où S = u 3 + u u 10 u est ue suite géométrique de raiso positive, telle que : u 4 = 44 et u 10 = 352. Calculer u 13 EXERCICE N 17 Soit ue suite u défiie par : u 0 =0 et U +1 = Motrer que pour tout de IN o a 0 u 2 EXERCICE N 18 Soit u la suite défiie sur IN par u 0 =0 et pour tout >0 u +1 = 3

4 Motrer que pour tout IN o a : u 1 EXERCICE N 19 Soit la suite (u ) défiie par u 0 =0 et Pout tout IN o a : Motrer que pour tout IN o a: 0u 3 EXERCICE N 20 O cosidère la suite u défiie sur IN par : u 0 IR et u +1 = Motrer que pour tout de IN o a u >0 EXERCICE N 21 Soit la suite u défiie sur IN par : u 1 =6/5 et Motrer que pour tout de IN* u >1 EXERCICE N 22 Soit la suite (u ) défiie pour etier o ul par :u 1 =-3 et u +1 = 1- Calculer u 2, u 3, u Soit (v ) la suite défiie pour >0 par v = u +12. Motrer que (v ) est ue suite géométrique. Exprimer v e foctio de puis u e foctio de 3- Calculer v11,e utilisat ue calculatrice EXERCICE N 23 O cosidère la suite qui à tout etier > 0 associe le ombre u défiie par : u 1 =11/2 et puis la suite qui à associe v =-1+2 u. 1- Calculer v 1 4

5 2- Démotrer que la suite qui à associe v est ue suite géométrique de raiso 1/2 3- Exprimer v,puis u, e foctio de 4- Calculer u Calculer v 1 +v v, puis u 1 +u u e foctio de EXERCICE N 24 Etat doé u réel a, o cosidère les suites réelles (u ) et (v ) défiies par : u 0 est u réel et pour tout etier aturel o a et v = u + a 1- Calculer v +1 e foctio de v et a.commet choisir a pour que (v ) soit ue suite géométrique? 2- Calculer u e foctio de u 0 et 3- Calculer u 10 quad u 0 =1 EXERCICE N 25 Soit ue suite (u ) réelle défiie par les relatios u 0 =1 et 2u +1-5u =3 1- Evaluer u 1,u 2 et u 3 2- O cosidère la suite(v ) dot le terme gééral défiie par v =u +1. Motrer que (v ) est ue suite géométrique dot vous détermierez le premier terme v 0 et la raiso 3- Calculer le terme gééral v e foctio de.déduisez-e u e foctio de 4- Calculer S =v 0 +v v ; puis S' = u 0 + u u e foctio de 1. Calculer le 21 ème terme de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raiso Calculer le 18 ème terme de la suite arithmétique de premier terme 5 et de raiso 1,7. 3. Calculer le 32 ème terme de la suite arithmétique de premier terme 8 et de raiso Calculer la somme des 15 premiers termes cosécutifs d ue suite arithmétique, le premier état 3 et le derier 21,2. 5. Calculer la somme des 20 termes cosécutifs d ue suite arithmétique de premier terme 10 et de raiso 2,5. 6. Calculer le 8 ème terme d ue suite géométrique de premier terme 3 et de raiso Calculer le 7 ème terme d ue suite géométrique de premier terme 1,1 et de raiso 5. 5

6 8. Calculer le 6 ème terme d ue suite géométrique de premier terme et de raiso 0,5. 9. Calculer la somme des 8 termes cosécutifs de la suite géométrique de premier terme 2 et de raiso Calculer la somme des 6 termes cosécutifs de la suite géométrique de premier terme 1000 et de raiso 1, Détermier les termes d ue suite arithmétique de 6 termes, le premier état u1 17 et le derier u Calculer la somme des ombres impairs supérieurs à 20 et iférieurs à Quelle est la raiso d ue suite arithmétique de premier terme u1 5 terme est u 5, Calculer la somme de ces 10 termes. et dot le dixième 14. Calculer le rag du ombre 46,9 das la suite arithmétique de premier terme u1 7 raiso 1,9 et de 15. Calculer le ombre de termes d ue suite arithmétique de premier terme 17, de raiso 3 et dot la somme des termes est égale à Ue etreprise produisat uités par a. La productio baisse de uités par a. Lorsque la productio sera ulle, combie aura-t-elle produit d uités e tout? 17. Ue usie assure, e 2000, ue productio de articles. Elle s egage à augmeter sa productio de 3 % pedat 5 as. Quelle sera sa productio e 2005? Combie d articles au total aurot été fabriqués de 2000 à 2005? 18. La productio mesuelle d appareils électroméagers d ue etreprise costitue ue suite arithmétique. Le sixième mois, la productio atteit appareils (u 6 = ) et la productio totale de l etreprise au cours de 6 deriers mois est de appareils. calculer la productio u 1 du premier mois et la raiso r de la suite. Au bout de combie de mois la productio mesuelle aura-t-elle dépassé le double de la productio du premier mois? Exercice19 Ue etreprise fabrique des pots de cofiture emballés e gros coditioemets que ous appelos "uités". E 2001, l'etreprise "Fruits du Sud" a produit uités. cette productio augmete régulièremet. Le ombre d'uités produites pour l'aée ( ) est doé par : 1 u (1,07) 1. Calculer la productio e 2005, puis e Motrer que la suite de terme gééral u est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso. 3. Détermier la plus petite valeur de l'etier pour laquelle u >

7 4. E déduire l'aée au cours de laquelle la productio doublera. Exercice 26 u Soit la suite réelle U défiie par u 1/ Motrer que 0 u 1 IN 0 1 0,1 1 u 2, pour tout IN 2/ O pose u0 cos avec 0, 2 a/ Motrer par recurrece que u cos pour tout IN 2 b/ Calculer alors cos 6 3/ Calculer S 1 cos (cos ) (cos ) (cos )... (cos ) avec IN Exercice 27 Soit U la suite défiit par u, u 1et 2u u u IN , u 1 u avec ( S ) IN est 1/ O pose S IN a/ Motrer que b/ écrire S e foctio de ue suite géométrique que l'o présera. puis détermier 2/ O pose v 1) u et t v v, IN Exprimer t ( 1 e foctio de S 3/ Exprimer v puis u e foctio de. Exercice 28 Motrer par récurrece que : * 1/ IN 2 2 / IN / IN 0,1 2 1 k 2 est divisible par 7 ( [k(k -1)] ( 1) 4 / IN k k 0 4 Exercice 29 Calculer les sommes suivates : 1/ 2 / 3/ 25 k 5 25 k 5 25 k 5 (3k 2) 3 x k 3k avec x réel différet de1 2 1) 3 lims 4 / w( ) (2 5) avec IN 7

8 Exercice 30 Soit la suite U défiie par U 0 3 et U U 1 2U avec 1) Calculer U1 et U 2 la suite U est elle arithmétique? Est elle ue suite géométrique? 1 2) O pose V U a/ Calculer V0, V1 et V2 Pouvez- vous émettre ue cojecture au sujet de la suite V? b/ Motrer que V 1 2 V Quelle est alors la ature de la suite V? IN 3) Calculer e foctio de e déduireu e foctio de Puis calculer U 25. Exercice 31 U 0 1 O cosidère la suite U défiie par U 1 2U pour tout IN.et ue suite V défiie par V U pour tout IN 2 1 1/ a/ Motrer que V est ue suite géométrique de raiso 2.b/ Exprimer e focto de et V 80 V k k 10.c/ Calculer e foctio de la somme d/ Discuter suivat la limite : Lim V 1 2/ Soit la suite W défiie par W V où IN V Exprimer e foctio de 0 S w k k 0 Exercice 32 La suite (u ) est ue suite arithmétique de raiso r. 1. u 5 = 7, r = 2. Calculer u 1, u 25, u u 3 = 12, u 8 = 0. Calculer r, u 0, u 18. et 1 1 IR, u 7 =, u 13 =. Calculer u 0. Exercice 33 La suite (u ) est ue suite géométrique de raiso b. 1. u 1 = 3, b = -2. 8

9 Calculer u 4, u 8, u u 3 = 2, u 7 = 18. Calculer u 0, u 15, u 20. Exercice 34 Ue suite arithmétique (u ) est telle que u 2 + u 3 + u 4 = 15 et u 6 = 20. Calculer u 0 et la raiso. Exercice 35 Détermier sept ombres impairs cosécutifs dot la somme est 7³. Exercice 36 Ue suite arithmétique (u ) de raiso 5 est telle que u 0 = 2 et, état u ombre etier, Calculer. Exercice 37 Détermier quatre termes cosécutifs d'ue suite arithmétique sachat que leur somme est 12 et la somme de leur carré est 116. Exercice 38 Ue suite géométrique v est croissate et ses termes sot strictemet égatifs. 1. Justifier que la raiso b de la suite est telle que 0 < b < O suppose que v 1 v 3 = et v 1 + v 2 + v 3 =. Calculer v 1, v 2, v 3 et b. Exercice 39 Calculer les sommes S et S'. S = S' = 2 + Exercice 40 Au cours d'ue bourse aux livres, u mauel scolaire perd chaque aée 12% de sa valeur. U livre a été acheté euf e 1985, il coûtait alors 150F. Quel est so prix à la bourse aux livres de 1990? de 1995? Exercice 41 La suite (u ) est ue suite arithmétique de raiso r. 1. O doe : u 5 = 7, r = 2. Calculer u 1, u 25 et u O doe : u 3 = 12, u 8 = 0. Calculer r, u 0 et u O doe : u 7 =, u 13 =. Calculer u 0. 9

10 Exercice 42 La suite (u ) est ue suite géométrique de raiso q. 1. O doe : u 1 = 3 et q = -2. Calculer u 4, u 8 et u O doe u 3 = 2 et u 7 = 18. Calculer u 0, u 15 et u 20. Exercice 43 (u ) est ue suite arithmétique telle que u 2 + u 3 + u 4 = 15 et u 6 = 20. Calculer so premier terme u 0 et sa raiso r. Exercice 44 Détermier sept ombres impairs cosécutifs dot la somme est 7 3. Exercice 45 Existe-t-il ue suite telle que les trois premiers termes u 0, u 1, u 2 soiet à la fois e progressio arithmétique et géométrique? Exercice 46 Soit (u ) ue suite telle que u 4 = -4 et u 7 =8. 1. O suppose que la suite (u ) est arithmétique. a) Calculer u 3, u 5, u 0. Plus gééralemet, exprimer u e foctio de u p et de la raiso r, pour et p etiers quelcoques. b) Calculer S 5 et S 10. c) Etudier la covergece de (u ). 2. Mêmes questios si (u ) est supposée géométrique. Exercice 47 Ue suite arithmétique u de raiso 5 est telle que u 0 = 2 et, état u ombre etier,. Calculez. Exercice 48 Détermier quatre termes cosécutifs d'ue suite arithmétique sachat que leur somme est 12 et la somme de leurs carrés est 116. Exercice 49 Ue suite géométrique v est croissate et ses termes sot strictemet égatifs. 1. Justifier que la raiso b de la suite est telle que 0<b<1. 2. O suppose que v 1 v 3 = et v 1 + v 2 + v 3 =. Calculer v 1, v 2, v 3 et b. Exercice 50 Calculer les sommes S et S'. S = S' =

11 Exercice 51 Ue horloge soe toutes les heures. Quel est le ombre de sos de cloche etedus e 24 heures? Exercice 52 Ciq persoes se trouvet das ue pièce. L'ue d'etre elles remarque que leurs âges sot e progressio arithmétique. Sachat que la somme des carrés de leurs âges est égale à l'aée où se passe cette histoire (à savoir 1980) et qu'à elles toutes, les persoes totaliset 90 aées, quel est l'âge de chacue des persoes? Exercice 53 La taille d'u éuphar double chaque jour. Au bout de 40 jours, il a recouvert tout l'étag. Au bout de combie de jours avait-il recouvert la moitié de l'étag? Exercice 54 Au cours d'ue bourse aux livres, u mauel scolaire perd chaque aée 12% de sa valeur. U livre a été acheté euf e 1985, il coûtait alors 150F. Quel est so prix à la bourse aux livres de 1990? de 1995? Exercice 55 O cherche à calculer l'aire A de la surface comprise etre la portio de parabole d'équatio y = -x² + 1 et les axes du repère (voir figure). Pour cela, o divise [0,1] e parties égales et l'o remarque que A est comprise etre l'aire A de la régio délimitée e oir et l'aire A' de la régio délimitée e couleur. a) Calculer A et A' e foctio de. (O admettra la formule : 1² + 2² ² = ). b) Calculer A et A' pour = 10, 10², 10³, 10 4, 10 5, à l'aide d'ue calculatrice. Quel résultat semble se dégager? c) Prouver ce résultat et e déduire la valeur de A. Exercice 56 Ue rosace O partage u cercle de rayo 1 e parties égales et o dessie ue rosace comme sur la figure ci-après. Soit l la somme des périmètres des petits cercles tracés et soit s la somme des aires des petits disques tracés. O se demade si : l va tedre vers 0 car les cercles sot de plus e plus petits ; 11

12 l va tedre vers + car il y a de plus e plus de cercles ; l va tedre vers ue valeur fiie. Trouver le bo résultat par le calcul et faire le même travail pour s. (O admettra que pour x 0, x-.). Exercice 57 La pyramide de Saqqarah O cosidère ue pyramide à étages et o appelle p le ombre de cubes qui la composet. a) Trouver ue formule doat p comme ue somme de carrés etiers. Soit S = ². b) Exprimer p e foctio de S 2-1 et S -1. c) Calculer S 0, S 1, S 2, S 3. Trouver u polyôme P de degré 3, tel que P() = S pour 3. O admet que pour tout, P() = S. d) E utilisat b, exprimer p sous forme de polyôme. e) Applicatio umérique : la pyramide de Saqqarah à 6 étages. Calculer p. Exercice 58 Empilemets de billes a) Soit ABCDE ue pyramide à base carrée ayat toutes ses arêtes égales (AD = a). Calculer la hauteur AH de cette pyramide. 12

13 b) O empile des billes de même rayo R de telle sorte que chaque bille repose sur quatre billes dot les cetres défiisset u carré de côté 2R. Le iveau 1 cotiet ue bille, le iveau 2 cotiet quatre billes. Quel est le ombre de billes du iveau 3, du iveau 4, du iveau ( etier aturel)? c) O ote h la hauteur d'u empilemet à iveaux. Démotrez que (h ) est ue suite arithmétique et doez le premier terme et la raiso. Exercice 59 Motrer que chaque suite proposée a pour limite l a), l = 0, l = 0 b), l = +, l = + c), l = -, l = - d), l = 0, l = + e), l = -, l = 0 f), l = 2, l = - Exercice 60 Motrer que les suites proposées tedet vers ue limite à préciser. a) ; ; b) ; ; c) ; ; Exercice 61 Etudier d'abord la limite de la suite géométrique (u ), puis celle de la suite (v ). a) ; b) ; 13

14 c) ; d) ; Exercice 62 Motrer que la suite (u ) satisfait la relatio (R), puis e déduire la limite de cette suite. a) ; (R) : b) ; (R) : c) ; (R) : d) ; (R) : Exercice 63 a) Vérifier que la suite est croissate. b) E déduire de cela que ted vers +. c) Détermier la limite de. Exercice 64 Das chacu des cas ci-dessous, étudier le comportemet à l'ifii de la suite (u ), e utilisat des majoratios ou des mioratios. a) b) c) d) e) f) Exercice 65 E utilisat les opératios sur les limites, détermier le comportemet à l'ifii de la suite (u ) das chacu des cas ci-dessous: a) b) c) 14

15 d) e) Exercice 66 Soit la suite défiie par u 0 = 0 et u +1 =. a) Détermier les ciq premiers termes de cette suite. Quel semble être la limite de (u )? b) Motrer que la suite (v ) défiie par v = u ²-4 est géométrique. E déduire la limite de la suite (v ) puis celle de la suite (u ). Exercice 67 Soit la suite défiie par u 0 = 1 et u +1 =. a) Doer ue valeur approchée à 10-3 près de u 1, u 2, u 3, u 4, u 5. b) Motrer par récurrece que si 0 u 2, alors 0 u c) Résoudre l'iéquatio - x² + x Exprimer u +1 - u e foctio de u. Déduire de ce qui précède que u +1 - u etier. Quel est le ses de variatio de la suite (u )? 0 pour tout d) Motrer que pour tout,. E déduire que pour tout,. Que peut-o e coclure sur la covergece de la suite (u )? Exercice 68 Soit (u ) la suite défiie par a) Preos u 0 = 0. Costater, à l'aide d'ue calculatrice, que (u ) semble coverger vers ue valeur l dot o doera ue valeur approchée) Vérifier la même propriété e choisissat ue autre valeur iitiale u 0. b) Quelle valeur de u 0 faut-il predre pour que la suite (u ) soit statioaire? c) Nous allos maiteat prouver que (u ) coverge bie vers l. Motrer que (u +1 - l)( u +1 + l) = u - l pour tout etier. E déduire que puis que et coclure. 15

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