ELEMENTS D ARITHMETIQUE DANS L ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS TD N 3 - CORRIGE

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1 ELEMENTS D ARITHMETIQUE DANS L ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS TD N - CORRIGE Exercice Les ombres divisibles par sot : ; 4 ; ; 4 9 ; 9 ; 4 ; Exercice Les ombres divisibles par sot : ; 6 ; ; 4 ; 4 ; 9 ; 4. Exercice Les ombres divisibles par 4 sot : ; ; 44 ; 9 46 ; 64. Exercice 4 Les ombres divisibles par sot : ; ; ; ;. Exercice Les ombres divisibles par 9 sot : 9 ; ; ; 96 ; 4 ; 9. Exercice ) Divisible par : ; ; 4 ; 6 ;. ) Divisible par : ; ; 6 ; 9. ) Divisible par 4 : ; 6. 4) Divisible par : ;. ) Divisible par 9 : 6. Exercice ) Divisible par : ; ;. ) Divisible par 9 :. Exercice ) Divisible par : ; ;. ) Divisible par 4 : ; ; ; ; 4 ; ; 6 ; ; ; 9. Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux

2 ) Divisible par : ; ; ; ; 4 ; ; 6 ; ; ; 9. 4) Divisible par 9 :. Exercice 9 est à la fois divisible par et par si le chiffre maquat est ou. Exercice... est divisible à la fois par et par Si le chiffre des uités est alors le chiffre des cetaies est ; 4 ou. Si le chiffre des uités est alors le chiffre des cetaies est ; ou. Exercice Les ombres pairs sot multiples de, doc de la forme. Les ombres impairs sot de la forme +. ombres pairs ombres impairs ombres cosécutifs somme + = ( + ) La somme est u ombre pair. ( + ) + ( + ) = ( + + ) La somme est u ombre pair. p + (p + ) = p + La somme est u ombre impair. différece - = ( - ) La différece est u ombre pair. ( + ) - ( + ) = ( - ) La différece est u ombre pair. (p + ) p = La différece est u ombre impair. produit x = ( x ) Le produit est u ombre pair. ( + ) x ( + ) = ( + + ) + Le produit est u ombre impair. Des deux ombres p et p +, l u est pair doc s écrit. p (p + ) = (p + ) Le produit est u ombre pair. Exercice Décompositio de 6 6 e facteurs premiers : 6 6 = ² x x. Le ombre de diviseurs de 6 6 est doc égal à : ( + ) x ( + ) x ( + ) = 4 Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux

3 Recherche des diviseurs : Facteur Facteur Facteur Diviseurs = = = 49 = 4 = = = 4 = = = 4 = 9 = 646 = = = 49 = 4 = 4 = = 96 = = = 4 = 9 = 6 6 Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux

4 Exercice Exercice 4 ) Première méthode : décompositio e facteurs premiers 4 = 4 x = 9 x x 4 x = ² x ² x = 4 x = ² x x 9 = ³ x x 6 = ³ x x x = ³ x ³ x Doc PGCD (4 ; ) = ² x ² = 6 Deuxième méthode : soustractios successives PGCD (4 ; ) = PGCD ( 9 ; ) = PGCD ( 46 ; ) = PGCD ( 46 ; 6) = PGCD ( 44 ; 6) = PGCD ( 44 ; 6) = PGCD ( 6 ; 6) = = PGCD (6 ; 6) = 6 Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé 4 / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux

5 Troisième méthode : divisios successives Divisio Quotiet Reste 4 par 46 par par 6 4 Doc PGCD (4 ; ) = 6 ) PPCM (4 ; ) = ³ x ³ x ³ x = 9. Exercice Décompositio e facteurs premiers 6 = ² x ² = ² x PGCD (6 ; ) = ² = 4 PPCM (6 ; ) = ² x ² x = 4 = x ³ = x ² PGCD (4 ; ) = PPCM (4 ; ) = x ³ x ² = 4 = ² x 96 = ² x ² PGCD (4 ; 96) = ² = 4 PPCM (4 ; 96) = ² x ² x = = ²x 6 9 = x PGCD (6 ; 9) = PPCM (6 ; 9) = ² x x 6 = 9 6 = ² x ² = x ² 6 = ²x 6 PGCD (6 ; ; 6) = PPCM (6 ; ; 6) = ² x ² x ² x 6 = 6 Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux

6 Exercice 6 ) Le ombre recherché doit être divisible par et (car par 6) et par et 9 (car par 4). Divisible par, il se termie par ou. Divisible par, il se termie par, doc b =. Divisible par 9, il faut que + + a ou + a soit divisible par 9, d où a =. Le ombre est doc. ) Regardos le chiffre des uités des puissaces successives de. le même chiffre des uités que. 4 a e effet Puissace Uités O costate la répétitio du chiffre des uités : - pour - 4 pour - pour - 6 pour Lorsque l exposat est u multiple de 4, ce qui est le cas de, le chiffre des uités est 6. Exercice ) A = cdu = c + d + u B = cud = c + u + d C = dcu = d + c + u D = udc = u + d + c A B = (c + d + u) (c + u + d) = 9d - 9u = 9 (d - u) = doc d u = doc u = d C A = (d + c + u) (c + d + u) = 9 d 9c = 9 (d c) = 6 doc d c= 4 doc c = d 4 D A = (u + d + c) (c + d + u) = 99u 99c = 99 (u c) Or u c = (d ) (d 4) = Doc D A = 99 x = 9. Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé 6 / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux

7 ) A = c + d + u = (d 4) + d + (d ) = d 4 + d + d A = d -4 = x (d 4) Doc A est multiple de. ) Pour que A soit multiple de 9, il faut que d 4 soit multiple de. d c = 4 ce qui implique d 4. De plus d 9. Il y deux valeurs possibles : et. D où si d =, o a u = et c = ; A = et si d =, u = 6 et c = 4 ; A = 46. Exercice L arête du cube doit être u diviseur commu à 4, 6 et 6. 4 = ³ x 6 = ² x ² 6 = ² x x Le PGCD de ces trois ombres est ² x =. Les diviseurs de sot {,,, 4, 6, }. D où les dimesios du cube (diviseurs commus) et le ombre de cubes das la boîte : Dimesios d u cube (e cm) 4 6 Nombre de cubes sur le côté de 4 cm Nombre de cubes sur le côté de 6 cm Nombre de cubes sur le côté de 6 cm 6 Nombre de cubes das la boîte Exercice 9 Soit N le ombre cherché : N = mcdu = m + c + d + u. Le ombre de cetaies de N est égal à mc. O sait : mc = x u u = d u est pair Puisque u est u chiffre, d est u etier compris etre et 9 doc d est u etier compris etre et. Mais d est o ul sio u serait ul et N aussi. De plus, d est pair sio u serait impair (N est pair). Doc d est égal à. O a alors : d = u = x = 6 mc = x 6 = soit N = 6. Le ombre cherché est 6. Exercice Soit N u ombre etier quelcoque de chiffres. N = cdu = c + d + u = 99c + c + 9d + d + u = x (c + d) + c + d + u Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux

8 x (c + d) est multiple de. Propriété : la somme de ombres etiers multiples de a est multiple de a. Doc cdu est multiple de si et seulemet si c + d + u est multiple de. Exercice (Motpellier, ) 6 4 est divisible par 6 4 est divisible par (car c'est u ombre pair) et par 9 (car la somme des chiffres qui costituet 64 est, c'est-à-dire u ombre divisible par 9). Comme et 9 sot des ombres etiers aturels premiers etre eux, o peut coclure que x 9 = est égalemet u diviseur de 6 4. Exercice Soit d la distace etre deux piquets avat la tempête. O sait que d est u ombre etier et que d est diviseur de et de. Cherchos les diviseurs commus de et. Il faut d abord calculer leur PGCD. = x x et = ² x x doc PGCD ( ; ) = x = Les diviseurs de sot,, et. Ce sot les quatre valeurs possibles de d. Les valeurs et sot les plus réalistes au regard du problème posé. Si d = mètres alors la distace etre A et C valat + = 9 mètres, il y a itervalles de mètres etre A et C. Il faut u piquet de plus que d itervalles (celui qui ferme le derier itervalle). Il y avait doc piquets. Si d = mètres, il y a 49 itervalles de mètres etre A et C. Il y avait doc piquets. Exercice ) Cherchos les diviseurs de = 4 x. L esemble des diviseurs de 496 est { ; ; 4 ; ; 6 ; ; 6 ; 4 ; 4 ; 496}. La somme de ces ombres est 99, c'est-à-dire le double de 496. ) p est premier. A = p x est doc la décompositio de A e facteurs premiers. A dispose doc de x ( + ) diviseurs. La liste des diviseurs de A est : { ; ; ² ; ³ ; ; ; p ; p x Soit S la somme de ces diviseurs. ; p x ² ; p x ³ ; ; p x } Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux

9 S = ( + D où S = ( + + ² + ³ + + Soit S = (p + ) x ( + + ² + ³ + + ) + (p + p x ) + p x ( + + ² + ³ + + ) + p x ² + p x ³ + + p x + ² + ³ + + ) ) + ) Si + est u ombre premier, o peut poser p =. O a alors N = x ( ) = + x p D après la questio précédete, la somme des diviseurs de N est : S = (p + ) x ( + + ² + ³ + + ) Soit S = + x ( + + ² + ³ + + ) = + + x ( ) + S = x x ( ) = x N Doc N est u ombre parfait. Exercice 4 Le déomiateur de la fractio est = x ². La fractio désigera u ombre décimal si elle est équivalete à ue fractio irréductible dot le déomiateur e comporte que des facteurs et. 6a Il faut doc simplifier la fractio par 9. O cherche pour quelles valeurs de a, 6a est divisible par 9. La somme a doit être divisible par 9. Comme a est u chiffre, la seule valeur de a qui vérifie cette propriété est a = Vérificatio : = 9 9 = Elémets d arithmétique das l esemble des etiers aturels TD - Corrigé 9 / 9 Sup de Cours - Etablissemet d'eseigemet privé RNE 9 L -, rue de Marseille - Bordeaux