Mathématiques Stage n

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1 Mathématiques Stage n CFA du bâtiment Ermont 1

2 Le prisme droit Un prisme droit est un volume défini de la façon suivante : Deux faces (surfaces) parallèles et superposables, que l on appelle bases B du prisme. Une hauteur H (longueur) qui sépare les deux bases. 2 bases B qui sont superposables (et donc parallèles) Hauteur H Exercice : Indiquer sur les prismes droits suivants où se trouvent les bases B et hauteurs H : Une hauteur (H) au sens mathématique est-elle nécessairement verticale? 2

3 Volume d un prisme droit : Une fois que, pour un prisme donné, nous avons identifié sa base B (surface) et sa hauteur H (longueur), le calcul du volume de ce prisme est très simple, cela tient en 1 formule V = B x H Bien entendu, multiplier B par la hauteur H est un jeu d enfant, mais encore faut-il avoir bien calculé B auparavant. Nous voyons donc que le calcul du volume d un prisme se fait en deux parties : Une première partie : calcul de l aire de la base B du prisme Une seconde partie vraiment simple : la multiplication de B par H Remarque importante : toute la leçon du volume des prismes repose donc sur la leçon précédente : celle des calculs d aires. Dans la pratique, on peut arriver à tout faire avec trois formules (et même deux, mais évitons trop de difficulté) : La formule de l aire du rectangle La formule de l aire du triangle La formule de l aire du cercle 3

4 Reconnaitre les volumes usuels 4

5 Pour ceux qui veulent aller plus loin Attention, les notions suivantes ne sont pas obligatoires, mais elles offrent à peu de frais un savoir-faire bien plus important. On considère les trois volumes usuels suivant : Un prisme droit (1) Un prisme quelconque (2) Une pyramide (3) Ils ont tous une base et une hauteur identiques. On notera B la surface de la base et H la longueur de la hauteur. H (2) B B (1) B (3) Pour calculer le volume de ces solides usuels, on utilise les formules générales suivantes : Pour les prismes (droits ou non) : V = B x H Pour les pyramides : V = B x H : 3 Remarque : un cône peut être considéré comme une pyramide dont le prisme droit correspondant est un cylindre : 5

6 Formulaires On peut également avoir recours à un formulaire, dont je conseille tout de même de savoir se passer au maximum. Comme nous venons de le voir, les calculs des volumes de prismes commencent au départ par un calcul d aire (aire de la base B), que l on multiplie ensuite par la hauteur H du prisme. 6

7 7

8 Conversion des volumes 1 dm 3 = 1 dm x 1 dm x 1 dm Attention : les préfixes sont donc comptés trois fois, ce qui se retrouve dans les conversions : 1 dm 3 = 1 dm x 1 dm x 1 dm 1 dm 3 = 10 cm x 10 cm x 10 cm (car 1 dm = 10 cm) 1 dm 3 = cm 3 (et non 1 dm 3 = 10 cm 3!!!) Comme on peut le voir, le préfixe «déci» est compté 3 fois. Pour les conversions de volumes, on peut utiliser ce tableau «à colonnes triples» : km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm Dans l exemple ci-dessus, le tableau nous permet de dire que : 2010 m 3 = 2,01 dam 3 = 0, km 3 ou encore que 2010 m 3 = dm 3 = cm 3 8

9 Exercice 1: Un parpaing peut-être assimilé à un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 50 cm de long, 20 cm de large et 20 cm de haut. 1) Calculer le volume V en cm 3 d un parpaing : 2) Convertir ce volume V en L puis en m 3 : 3) Combien de parpaings faut-il pour faire un «rang de parpaings» pour un muret de 16 m de long? 4) Si le muret est composé en hauteur, de 5 rangs de parpaings, combien cela fait-il de parpaings en tout pour ce muret? 5) Chaque parpaing a une masse de 17 kg. Votre véhicule vous permet de transporter 600 kg maximum à la fois. Combien de voyages prévoyez-vous pour le transport de tous les parpaings? 9

10 Exercice 2 : 1) Calculez le volume en m 3 de cette table en béton. Pour un pied : Longueur L = 30 cm =.. m Largeur l = 20 cm =.. m Hauteur H = 40 cm =.. m Pour le plateau : Longueur L = 180 cm =.. m Largeur l = 90 cm =.. m Epaisseur e = 10 cm =.. m 10

11 2) Calculez le volume en m 3 de ce mobilier d extérieur en béton Chaque tabouret a un diamêtre de 40 cm et une hauteur de 50 cm. Le pied de la table a lui aussi un diamètre de 40 cm, mais une hauteur de 65 cm. Le plateau a un diamètre de 1,20 m et une épaisseur de 12 cm. 11

12 Exercice 3 : (Schéma approximatif) 0,40 m 4,60 m 1) Quel renseignement nous manque-t-il pour calculer le volume de cette chambre? 2) Calculez le volume V en m 3 de cette chambre sachant que sa longueur vaut 9,20 m : 3) Vous devez installer deux radiateurs (convecteurs électriques). En utilisant la formule en encadré, calculez la puissance totale nécessaire pour chauffer cette chambre et quel tarif vous devez prévoir pour l achat de ces deux convecteurs. Calcul de puissance pour un radiateur : P = 40 x V P est la puissance du radiateur en Watts V est le volume de la pièce à chauffer en m 3 Désignation Puissance Tarif unitaire T.T.C Modèle standard 1000 W 280,00 euros Modèle standard 1500 W 330,00 euros Modèle standard 2000 W 380,00 euros Modèle standard 3000 W 430,00 euros 12

13 Exercice 4 : Pour recycler l air d une cuisine, un particulier fait installer une hotte d aspiration. Vous avez ci-dessous le plan de la cuisine (le plan n est pas à l échelle) : 3,90 m 2,60 m 3,60 m 3,40 m 1) Calculez l aire de la cuisine : 2) Calculer le volume de la cuisine si sa hauteur est de 2,5 m : 3) La hotte d aspiration doit renouveler 12 fois le volume de la pièce en une heure. Calculer le débit de la hotte en m 3 /h. 4) Pour un débit d air de 9,5 m 3 /min, calculer le temps nécessaire pour recycler une fois le volume d air total de cette cuisine. 13

14 Problème : Un client contacte un maçon afin pour réaliser un bac à plantes de jardin en s inspirant d un modèle des années 60 qu il possède déjà. La figure ci-dessous vous indique les plans à suivre pour la fabrication : Il faut du carrelage sur le pourtour extérieur de la cuve, comme sur la photo. 1) Quelle surface de carrelage va-t-il falloir prévoir? 2) L épaisseur de la cuve (le fond et les parois) est de 15 cm. Quelle est la contenance de cette cuve en m 3 et en L? 14

15 3) Quel est le volume de béton nécessaire pour fabriquer la cuve? 4) Sachant qu un litre de béton a une masse de 2,3 kg et qu un litre de terre a une masse de 1,25 kg, calculer la masse du pot vide et la masse du pot plein. 15

16 Problème : Pour éviter l inondation d un atelier situé dans une vallée, une cuve de récupération des eaux de pluies est installée : La cuve est cylindrique et elle a les dimensions suivantes : Diamètre : 4 m Hauteur : 3 m Tous les résultats seront arrondis au Litre (L) Rappel : 1 m 3 = 1000 L 1) Calculer le volume V en m 3 de la cuve. 2) Calculer le volume d eau contenu dans la cuve si le niveau est monté à 50 cm. 3) Montrer que, dans le cas où R = 2 m, la relation entre V et h peut s écrire V = 4..h 4) Les grandeurs V et h sont-elles proportionnelles? Si oui, combien vaut le coefficient? 5) Complétez le tableau de valeurs suivant : Hauteur de l eau h en m 0 0,1 0,5 2 3 Volume de l eau V en m 3 1,26 12,6 37,7 16

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