Université de Bourgogne Année L3 de mathématiques - Statistique. TD de statistique descriptive

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1 Université de Bourgogne Année L3 de mathématiques - Statistique TD de statistique descriptive Exercice 1 : Variable qualitative nominale : On s intéresse à la variable état-civil notée X et à la série statistique des valeurs prises par X sur 20 personnes. La codification est : célibataire (C), divorcé(d), marié (M), veuf (V). En langage R : 1. Définition de X : X=c( M, M, D, C, C, M, C, C, C, M, C, M, V, M, V, D, C, C, C, M ) 2. Vérification X 3. Tableau statistique : 4. T1 T1=table(X) 5. Effectifs et fréquences : data.frame(eff=c(t1),freq=c(t1)/sum(c(t1))) 6. Diagramme en secteurs : pie(t1) 7. Plus gros : pie(t1,radius=1) 8. Diagramme en barres : barplot(t1) 9. Mieux : barplot(t1, ylim=c(0,max(t1)+1)) Exercice 2 : Variable qualitative ordinale : On interroge 50 personnes sur leur dernier diplôme obtenu (variable Y ). La codification est : sans diplôme (Sd), primaire (P), secondaire (S), Supérieur non-universitaire (Su), Universitaire (U). Les résultats sont donnés dans le fichier ordinale.txt. En langage R : 1. Importer le fichier de données ordinale.txt (Import Data set, fenêtre en haut à droite) 2. attach(ordinale) 3. Vérification : Y 4. Tableau statistique : 5. T2 T2=table(Y) 1

2 6. V2=c(T2) 7. Effectifs, fréquences et fréquences cumulées : data.frame(eff=v2,effcum=cumsum(v2),freq=v2/sum(v2),freqcum=cumsum(v2/sum(v2))) 8. Diagramme en secteurs : pie(t2) 9. Diagramme en barres des effectifs : barplot(t2) 10. Diagramme en barres des effectifs cumulés : barplot(cumsum(t2)) Exercice 3 : Variable quantitative discrète : Un quartier est composé de 50 ménages et la variable Z représente le nombre de personnes par ménage. En langage R : 1. Z=c(rep(1,5),rep(2,9),rep(3,15),rep(4,10),rep(5,6),rep(6,3),rep(8,2)) 2. Vérification : Z 3. Tableau statistique : T4=table(Z) 4. Effectifs, fréquences et fréquences cumulées : V4=c(T4) data.frame(eff=v4,effcum=cumsum(v4),freq=v4/sum(v4),freqcum=cumsum(v4/sum(v4))) 5. Diagramme des effectifs en bâtonnets : plot(t4) 6. Fonction de répartition : plot(ecdf(z)) 7. Mieux : plot(ecdf(z),xlab="",ylab="",main="",frame=0) Exercice 4 : Variable quantitative continue : On mesure la taille en centimètres de 50 élèves d une classe : Importer le fichier de données quantitative.txt. 2. attach(quantitative) 3. Vérification : 2

3 S 4. Tableau statistique T5=table(cut(S, breaks=c(151,155,159,163,167,171))) 5. T5 6. T5c=c(T5) 7. Effectifs, fréquences et fréquences cumulées data.frame(eff=t5c,effcum=cumsum(t5c),freq=t5c/sum(t5c),freqcum=cumsum(t5c/sum(t5c))) 8. Histogramme des fréquences : hist(s,breaks=c(151,155,159,163,167,171), freq=false,xlab="",ylab="",main="",xaxt = "n") 9. Ajout des graduations de l axe (Ox) : axis(1, c(151,155,159,163,167,171)) 10. Graphe de la fonction des fréquences cumulées : y=c(0,cumsum(t5c/sum(t5c))) x=c(151,155,159,163,167,171) plot(x,y,type="b",xlab="",ylab="",xaxt = "n") axis(1, c(151,155,159,163,167,171)) Exercice 5 : Une étude sur un échantillon d individus a permis de donner la répartition suivante des personnes ayant déjà joué aux jeux vidéo, par tranche d âge : Age [0; 10[ [10; 20[ [20; 30[ [30; 45[ [45; 60[ [60; 80] Fréquence 30% 35% 18% 12% 3% 2% 1. Construire un histogramme de cette série. 2. Tracer la courbe des fréquences cumulées. 3. Donner une valeur approchée de la médiane. Exercice 6 : 1. Supposons que les taux d intérêt pour 4 années consécutives soient respectivement de 5, 10, 15, et 10%. Que va-t-on obtenir après 4 ans en plaçant 100 euros? On appelle taux d intérêt moyen sur les 4 ans le taux d intérêt t qu il faudrait mettre chacune des 4 années pour obtenir le même résultat. Que vaut t? Faire le lien avec l une des moyennes. 2. Un cycliste parcourt 4 étapes de 100km. Les vitesses respectives pour ces étapes sont de 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h, 20 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne? Faire le lien avec l une des moyennes. Exercice 7 : Ecrits CAPES 2013 Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul et (x 1,..., x n ), un n-uplet de réels. On définit sur R les deux fonctions G et L par : n n G(x) = (x x i ) 2 L(x) = x x i. i=1 i=1 3

4 1. Minimisation de G a) En écrivant G(x) sous la forme d un trinôme du second degré, démontrer que la fonction G admet un minimum sur R et indiquer pour quelle valeur de x il est atteint. b) Que représente d un point de vue statistique la valeur de x trouvée à la question précédente? 2. Minimisation de L On supposera dans cette question que la série est ordonnée, c està-dire que : x 1 x 2 x n. a) Représenter graphiquement la fonction L dans le cas où : n = 3, x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 4. b) Représenter graphiquement la fonction L dans le cas où : n = 4, x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4 = 7. c) Démontrer que la fonction L admet un minimum m sur R et indiquer pour quelle(s) valeur(s) de x il est atteint.on distinguera les cas n pair et n impair. d) Que représentent d un point de vue statistique les valeurs de x trouvées à la question précédente? Exercice 8 : En langage R, on charge des données de R nommées anscombe et on représente les nuages de points avec les instructions suivantes : data(anscombe) attach(anscombe) par(mfrow=c(2,2)) plot(x1,y1) plot(x2,y2) plot(x3,y3) plot(x4,y4) Quel est, à votre avis, le couple (x i, y i ) qui a le plus grand coefficient de corrélation linéaire? le plus petit? Le vérifier. Exercice 9 : Régression linéaire simple On mesure la taille et le poids de 20 individus. En langage R : 1. Importer le fichier regression.txt et l attacher. 2. Moyennes : mean(taille);mean(poids) 3. Variances (corrigées) : var(taille); var(poids) 4. Régression linéaire (on donne le nom m à la sortie) : m=lm(poids ~ taille) 5. Un résumé des sorties de la fonction lm : 4

5 summary(m) 6. Liste des noms des sorties de la fonction lm : names(m) 7. Ordonnée à l origine et pente de la droite de régresion : a=m$coefficients[1];b=m$coefficients[2] 8. Tracé du nuage de point : plot(taille,poids) 9. Tracé de la droite : abline(a,b) Exercice 10 : Liaison entre deux variables qualitatives Les données proviennent d une société d assurance automobile. Les deux variables retenues pour l analyse sont : Le mode de règlement : annuel, mensuel, semestriel ou trimestriel ; La situation maritale : célibataire, concubin, divorcé, marié ou veuf. En langage R : 1. Définition du tableau de contingence : M = matrix(c(209, 1483, 41, 320, 60, 34, 151, 1, 70, 10, 535,2448, 33, 897, 135, 77, 245, 4, 139, 9), byrow = T, ncol = 5) colnames(m) = c("celibataire", "concubin", "divorce", "marie","veuf") rownames(m) = c("annuel", "mensuel", "semestriel", "trimestriel") 2. Vérification : M 3. Profils lignes proflignes = prop.table(m, 1) 4. Profils colonnes profcol = prop.table(m, 2) 5. Calcul du χ 2 et sortie dans res : res=chisq.test(m) 6. Liste des noms des sorties de la fonction chisq.test : names(res) 7. Valeur du χ 2 : chi2=res$statistic Exercice 11 : Neuf étudiants émettent un avis pédagogique vis-à-vis d un professeur selon une échelle d appréciation de 1 à 20. On relève par ailleurs la note obtenue par ces étudiants l année précédente auprès du professeur : Y=Avis X=Note

6 1. Représenter graphiquement les deux variables. 2. Calculer le coefficient de corrélation 3. Déterminer la droite de régression de Y en fonction de X. 4. Etablissez sur la base du modèle l avis pour un étudiant ayant obtenu la note 12/20 Exercice 12 : Que se passe-t-il? 1. Pour la moyenne : quand on change d unité la variable (X devient ax)? quand on translate la variable (X devient X+a)? 2. Mêmes questions pour la variance et l écart-type. 3. Mêmes questions pour le coefficient de corrélation linéaire. Exercice 13 : n individus ont été classés de 1 à n selon deux critères (pas d ex aequo). On note par X et Y les variables statistiques représentant les rangs des n individus selon les deux critères. Montrer que le coefficient de corrélation linéaire des deux variables X et Y est donné par : r(x, Y ) = 1 6 n i=1 (x i y i ) 2 n(n 2 1) Ce coefficient est appelé coefficient des rangs de Spearman.. 6