ln(u) et exp(u) Chapitre ln(u) 8.2 exp(u) Sommaire

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "ln(u) et exp(u) Chapitre ln(u) 8.2 exp(u) Sommaire"

Transcription

1 Chapitre 8 ln(u) et ep(u) Sommaire 8. ln(u) ep(u) Eercices Technique Lectures graphiques Tableau de variations Études de fonctions du tpe ln(u) Études de fonctions du tpe e u Ajustements non affines Repère semi-logarithmique ln(u) Propriété 8.. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et telle que u> 0. Alors : (ln(u)) = u u u et ln(u) ont les mêmes variations Preuve. On sait que (v u) = u v (u). En posant v()=ln(), il vient (ln(u)) = u u = u u. Comme u> 0, (ln(u)) est du signe de u, donc u et ln(u) ont les mêmes variations. Propriété 8.. Une primitive d une fonction f pouvant s écrire sous la forme f = u u où u> 0 est F = ln(u). Preuve. Cela découle de la propriété précédente. 8. ep(u) Théorème 8.. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction définie par e u est dérivable sur I et (e u ) = u e u. Toute fonction pouvant s écrire sous la forme u e u admet une primitive de la forme e u k où k est un réel quelconque. Preuve. On sait que (v(u)) = u v (u). En posant v()=e, on a v ()=e et donc (e u ) = u e u. (e u k) = u e u On a la conséquence suivante : Propriété 8.. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction définie par e u a les mêmes variations que u. Preuve. On sait que la dérivée de e u est u e u et que e u > 0 donc le signe de u e u est le même que celui de u. e u a donc les mêmes variations que u.

2 8. Eercices Terminale ES 8. Eercices 8.. Technique EXERCICE 8.. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sur quel intervalle elle est définie puis calculer sa dérivée :. f ()=ln( ). f ()= ln ( ) 7. f ()=ln()ln( ). f ()=ln(). f ()=ln ( ) 5. f ()=ln ( 6. f ()= ln() ) 8. f ()=ln [( )] 9. f ()= ln() EXERCICE 8.. Montrer que, pour tout > 0, on a ln( ) ln()=ln ( ). Calculer, de deu façons différentes, la dérivée de la fonction f, définie sur ]0; [ par : f ()=ln ( ). EXERCICE 8.. ( Soit f définie sur [0; [ par f ()=ln () ) Calculer f () et étudier son signe. En déduire les variations de f. EXERCICE 8.. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de f.. f ()= sur ] ; [.. f ()= 5 sur ] 5 ; [.. f ()= 5 5 sur ] ; 5[. EXERCICE 8.5. On considère la fonction f définie par : f ()= pour >. (). Montrer qu il eiste des réels a, b, c et d tels que f ()= a b c d (). En déduire l epression de la primitive de f qui prend la valeur en 0. EXERCICE Calculer d et d.. Démontrer que pour tout > 0 on a : () =.. En déduire la valeur de ( ) d EXERCICE 8.7. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :. f ()=e. f ()=e ( ). f ()=(e ).. f ()=e 5. f ()=e 5e 6. f ()= e EXERCICE 8.8. Déterminer une primitive de la fonction f dans chacun des cas suivants :. f ()= sur ]; [. 5. f ()= sur ]0; [. 6. f ()= sur ] ; [. () 7. f ()=( )e 8. f ()=e ( ) 9. f ()= 8e. f ()=e. f ()=e. f ()=e. f ()=e 5. f ()= e ( ) http ://perpendiculaires.free.fr/

3 Terminale ES 8. Eercices 8.. Lectures graphiques EXERCICE 8.9 (France Juin 009). Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; 5], décroissante sur chacun des intervalles [ ; 0] et [; 5] et croissante sur l intervalle [0; ]. On note f sa fonction dérivée sur l intervalle [ ; 5]. La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée sur la figure 8. de la présente page dans le plan muni d un repère orthogonal. Elle passe par les points A ( ; 9), B(0; ), C(;,5), D(; 5) et E(; 0). En chacun des points B et D, la tangente à la courbe Γ est parallèle à l ae des abscisses. On note F le point de coordonnées (; 6). La droite (CF ) est la tangente à la courbe Γ au point C. A FIGURE 8. Figure de l eercice F 6 C B D O 5 E 6 8. À l aide des informations précédentes et de la figure, préciser sans justifier : (a) les valeurs de f (0), f () et f (). (b) le signe de f () suivant les valeurs du nombre réel de l intervalle [ ; 5]. (c) le signe de f () suivant les valeurs du nombre réel de l intervalle [ ; 5].. On considère la fonction g définie par g () = ln( f ()) où ln désigne la fonction logarithme népérien. (a) Epliquer pourquoi la fonction g est définie sur l intervalle [ ; [. (b) Calculer g ( ), g (0) et g (). (c) Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction g sur l intervalle [ ; [. (d) Déterminer la limite de la fonction g lorsque tend vers. Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction g. (e) Dresser le tableau de variations de la fonction g. EXERCICE 8.0. Sur la figure 8. page suivante, on a tracé la courbe représentative C d une fonction f dérivable sur ] ; [. Les points J ( ; ), K ( ; 0), A (; e) et B (; ) sont des points de C ; La tangente à C en A est parallèle à l ae des abscisses. La tangente à C en B passe par T (; 0). La droite d équation = est asmptote à C en. La droite d équation = est asmptote à C en. La fonction f est strictement croissante sur ] ; [ et strictement décroissante sur [; [.. (a) Donner les valeurs de f ( ), f ( ), f (), f () ainsi que les limites de f au bornes de son ensemble de définition. (b) Donner, en justifiant vos réponses, les nombres f () et f ().. Soit g la fonction définie par g () = ep[ f ()] et Γ sa représentation graphique. (a) Déterminer l intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g au bornes de I. En déduire les asmptotes à la courbe Γ en précisant une équation pour chacune d elles. (b) Eprimer g () à l aide de f () et f (). En déduire le tableau de variations de g. (c) Déterminer g () et g (), puis une équation de la tangente à Γ au point B d abscisse. David ROBERT

4 8. Eercices Terminale ES FIGURE 8. Figure de l eercice 8.0 A J K j O ı B T 5 6 C EXERCICE 8.. On a représenté sur la figure 8. de la présente page, dans un repère orthonormal, la courbe représentative Γ d une fonction g définie et dérivable sur R. La courbe Γ passe par les points O(0; 0) et A(; ). La droite (AB) est la tangente en A à la courbe Γ. La tangente à Γ au point C d abscisse est parallèle à l ae des abscisses.. Déterminer graphiquement les valeurs de g (0), g (), g () et g ().. Une des représentations graphiques présentées sur la figure 8. page suivante, représente la fonction dérivée g de g et une autre représente une primitive G de g sur R. Déterminer la courbe associée à la fonction g et celle associée à G ; vous justifierez votre choi à l aide d arguments basés sur l eamen des représentations graphiques. FIGURE 8. Figure de l eercice 8. j C A O i B On suppose que la fonction g est la forme : g ()=( a)e bc, où a, b et c sont des nombres réels. (a) Démontrer que a= 0 et que c = b. (b) Déterminer g () en fonction de b et de. (c) Calculer alors les valeurs de b et de c.. Démontrer que la fonction G définie par G()= ( )e est une primitive de g sur R. 5. Calculer l aire K, eprimée en unités d aire, de la partie du plan comprise entre l ae des abscisses, la courbe Γ et les droites d équations = et =. http ://perpendiculaires.free.fr/

5 Terminale ES 8. Eercices FIGURE 8. Courbes de l eercice 8. Courbe Courbe j O i j O i Courbe Courbe 5 j O i 5 6 j O i David ROBERT 5

6 8. Eercices Terminale ES EXERCICE 8. (Polnésie 006). On sait que la courbe C f d une fonction numérique f définie sur ] ; [, passe par les points O(0 ; 0) et A( ; 0), que la tangente à C f en O a pour coefficient directeur ln() et la tangente à C f en A a pour équation =.. (a) À l aide des données ci-dessus, donner la valeur de f (0), de f (0), de f ( ) et de f ( ). (b) Donner une équation de la tangente en O à C f.. Nous savons qu il eiste des réels a, b et c tels que pour tout > : f ()= ( a b c ) ln( ). (a) Eprimer f (0) à l aide de a, b et c. (b) Eprimer f () à l aide de a, b et c. (c) En déduire f (0) et f ( ) à l aide de a, b et c. (d) En déduire les valeurs de a, b et c. 8.. Tableau de variations EXERCICE 8. (D après Nouvelle Calédonie 006). On donne ci-dessous le tableau de variations d une fonction g définie et dérivable sur l intervalle ] ; [ g () 0. On note f la fonction définie sur l intervalle ] ; [ par : f () = ln[g ()]. (a) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle ] ; [. (b) Déterminer la limite de f en ( ) et la limite de f en, puis donner le tableau de variations de f.. Soit G la primitive de la fonction g sur l intervalle ] ; [ qui est telle que : G( ) = 0. Démontrer que la fonction G admet un minimum en ( ). EXERCICE 8. (Amérique du Nord 007). Les deu parties peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. Première partie On considère une fonction g définie sur l intervalle ] ; [ par : g ()= a ln( b), où a et b sont deu réels. Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d un repère ( O ; ı, j ) passe par l origine du repère et admette une tangente parallèle à l ae des abscisses au point d abscisse. Deuième partie Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; [ par : f ()= ln( ). On admet que f est dérivable et on note f sa dérivée. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant : 0 Signe de f () 0 0 ( ) ln Variations de f 0. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.. (a) Montrer que l équation f ()=0 admet une unique solution α dans l intervalle [ ; ]. (b) Donner un encadrement de α d amplitude 0.. Déterminer le signe de f () sur l intervalle ] ; [. 6 http ://perpendiculaires.free.fr/

7 Terminale ES 8. Eercices 8.. Études de fonctions du tpe ln(u) EXERCICE 8.5 (France 007). Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, eprimée en kilogrammes, est limitée à 0 kilogrammes. Partie I : Étude des coûts hebdomadaires de production. Le coût marginal de production est fonction de la quantité de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction C m définie pour les nombres réels de l intervalle [0 ; 0] par : C m ()= 6. (C m() est eprimé en centaines d euros, en kilogrammes). Étudier les variations de la fonction C m, puis dresser le tableau de variations de la fonction C m sur l intervalle [0 ; 0].. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction C m. Déterminer la fonction C, primitive de la fonction C m sur l intervalle [0 ; 0] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 0 kilogrammes, sachant que C(0) = 0. Partie II : Étude du bénéfice hebdomadaire On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d au moins kg et que tout ce qui est produit est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (eprimé en centaines d euros) dépend de la masse (eprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l intervalle [ ; 0] par : B()=9 0,5 6ln( ). La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d un repère orthogonal est la courbe (Γ) donnée par la figure 8.5 de la présente page FIGURE 8.5 Graphique de l eercice 8.5 (Γ) (a) On admet que la fonction B est strictement croissante sur l intervalle [ ; 7] et strictement décroissante sur l intervalle [7 ; 0]. En déduire la quantité de médicaments que l entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d euros) soit maimal. (b) Calculer ce bénéfice hebdomadaire maimal en centaines d euros (arrondir à l euro).. (a) Utiliser la courbe (Γ) pour déterminer un encadrement d amplitude 0,5 de la plus petite quantité 0 de médicaments que l entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d argent. (b) Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de 0 approchée au centième. David ROBERT 7

8 8. Eercices Terminale ES EXERCICE 8.6 (Pondicher 006). Partie Soient les fonctions f et g définies sur [0 ; 9] par f ()= 0 et g ()=.. Résoudre algébriquement l équation : f () = g ().. Calculer l intégrale : I= 9 f ()d ; on donnera la valeur eacte de I. Partie Un produit conditionné en boite est mis sur le marché. On désigne par le pri d une boîte de ce produit en dizaines d euros. On admet que la quantité achetée par les consommateurs, en fonction du pri appliqué sur le marché, est donnée par f () en centaines de boîtes. On admet que la quantité proposée sur le marché par les producteurs, en fonction du pri de vente auquel les producteurs sont disposés à vendre, est donnée par g () en centaines de boîtes. Sur le graphique de la figure 8.6, de la présente page, sont tracées dans un repère orthonormal les courbes représentatives des fonctions f et g.. On pourra utiliser le graphique pour conjecturer les réponses au questions suivantes, puis on les justifiera algébriquement. (a) Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs si le pri de vente est de 0 euros la boite? (b) Lorsque l offre est égale à la demande, le marché a atteint son équilibre. Donner le pri d équilibre, en euros, et le nombre de boîtes correspondant.. (a) D après le graphique, les producteurs étaient disposés à vendre les boîtes à un pri inférieur au pri d équilibre. On appelle surplus des producteurs le gain réalisé en vendant les boîtes au pri d équilibre. Ce gain est donné en milliers d euros par l aire du triangle OAE ( unité d aire = millier d euros). Calculer ce surplus en euros. (b) Le surplus des consommateurs est l économie réalisée par les consommateurs qui étaient prêts à paer plus cher que le pri d équilibre. Ce surplus est donné, en milliers d euros, par l aire de la partie grisée du plan sur le graphique ( 9). Préciser quelle intégrale permet de calculer ce surplus et en donner l arrondi à l euro. FIGURE 8.6 Graphique de l eercice quantités = f () = g () 0 E A pri http ://perpendiculaires.free.fr/

9 Terminale ES 8. Eercices EXERCICE 8.7 (Centres étrangers Juin 009). On considère la fonction f définie sur R par f ()= 5e e On désigne par f la fonction dérivée de f et par F la primitive de f sur R qui vérifie F (0)=0. Dans le repère orthonormal d unité cm de la figure 8.7 de la présente page, la courbe C f tracée représente la fonction f et la droite D est sa tangente au point A ( 0 ; 5 ). Première partie. La courbe C f admet pour asmptotes en la droite d équation = 0 et en la droite d équation = 5. En déduire lim f () et lim f ().. Démontrer que, pour tout nombre réel, f ()= 5e (e ).. Étudier le signe de f () suivant les valeurs de et en déduire le sens de variation de f sur R.. En utilisant le résultat de la question., déterminer une équation de la droite D. Deuième partie. Pour tout réel, eprimer F () en fonction de.. Vérifier que F ()=5ln ( ) e.. Sur la figure 8.7 de la présente page, le domaine grisé est délimité par la courbe C f, les aes de coordonnées et la droite d équation =. Calculer l aire, en unités d aire puis en cm, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au diième. FIGURE 8.7 Figure de l eercice C f O D David ROBERT 9

10 8. Eercices Terminale ES 8..5 Études de fonctions du tpe e u EXERCICE 8.8 (France métropolitaine, Réunion Septembre 009). On considère la fonction f définie pour tout nombre réel par f ()= ( ) e. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal.. (a) Déterminer la limite de la fonction f en. (b) En remarquant que, pour tout nombre réel, f () = e e e, déterminer la limite de la fonction f en. Interpréter graphiquement le résultat.. On note f la fonction dérivée de la fonction f. (a) Démontrer que, pour tout nombre réel, f ()= ( ) e. (b) Établir le tableau de variations de la fonction f sur l ensemble des nombres réels.. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f en son point d abscisse 0.. On prend comme unités graphiques : cm sur l ae des abscisses et 0 cm sur l ae des ordonnées. Tracer la droite T et la courbe C f sur l intervalle [0; 8] dans le plan. 5. (a) Déterminer graphiquement le nombre de solutions sur l intervalle [0; 8] de l équation f ()=0,. (b) À l aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de la plus grande des solutions de l équation considérée à la question 5. a. EXERCICE 8.9 (Polnésie Septembre 007). Les parties A et B sont indépendantes. Partie A On considère la fonction f définie sur [0; [ par f ()=(a b)e où a et b sont deu réels. On désigne par f la fonction dérivée de f sur [0; [ et on note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.. On sait que (C ) passe par le point E (0; ) et qu elle admet au point d abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire f (0) et f (0).. Vérifier que f ()=( a a b)e. En utilisant les résultats précédents, déterminer a et b. Partie B Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur [0 ; [ par : f ()=( )e.. (a) Vérifier que pour tout de [0; [, f ()= e e. (b) Déterminer la limite de la fonction f en. (c) En déduire que (C ) possède une asmptote dont on précisera une équation.. (a) Calculer f (). (b) Étudier le signe de f () sur [0; [ puis dresser le tableau de variations complet de f.. (a) Montrer que l équation f () = 0, 5 possède une unique solution α dans l intervalle [0; ]. (b) Déterminer un encadrement de α à 0 près.. On considère la fonction g définie sur [0; [ par g ()= ( )e. Montrer que g est une primitive de f sur [0 ; [. 5. Calculer la valeur moenne de f sur l intervalle [0; ]. On donnera la valeur eacte puis la valeur arrondie au millième du résultat. b Rappel : la valeur moenne d une fonction f sur un intervalle [a ; b] est égale à f () d. b a Partie C Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de [0; ]. Le pri de revient d une pièce, eprimé en euros, dépend de q et est donné par l epression : f (q)=(q )e q.. Combien coûte, en moenne, à l euro près, la production de 000 pièces?. À partir de quelle quantité de pièces produites le pri de revient d une pièce est-il inférieur à 0,5 euro? a 0 http ://perpendiculaires.free.fr/

11 Terminale ES 8. Eercices EXERCICE 8.0 (Métropole La Réunion Septembre 007). La courbe (C ) donnée sur la figure 8.8 de la présente page, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f sa fonction dérivée. Les points A (; e) et B (; ) appartiennent à cette courbe. La tangente à la courbe en A est parallèle à l ae des abscisses et la tangente (T ) à la courbe en B coupe l ae des abscisses au point d abscisse 6. Partie I : Lectures graphiques Par lecture graphique, répondre au questions suivantes, sans justifier.. Pour quelles valeurs du nombre réel de l intervalle [; 0] a-t-on f ()?. Déterminer f () et f (). Partie II : Étude de la fonction La fonction f représentée sur la figure 8.8, est la fonction définie sur l intervalle [0; [ par f ()=( )e ( ).. (a) Calculer f (0). Donner la valeur décimale arrondie à l unité. (b) On donne lim f ()=0. Donner une interprétation graphique de ce résultat.. (a) Pour tout nombre réel de l intervalle [0; [, calculer f () et montrer que f ()=( )e ( ). (b) Sur l intervalle [0; [ étudier le signe de f (), puis dresser le tableau de variations de la fonction f.. On admet que la fonction g définie sur l intervalle [0; [ par g ()=( )e ( ) est une primitive de la fonction f sur l intervalle [0; [. En déduire la valeur moenne m de f sur l intervalle [; 0]. On donnera la valeur eacte, puis la valeur décimale arrondie au millième. Rappel : Soit f une fonction et [a ; b] un intervalle sur lequel f est définie et dérivable. La valeur moenne m de f sur un l intervalle [a ; b] est le nombre m tel que : m= b b a f () d. a Partie III : Étude d un bénéfice Une entreprise vend centaines de litres de parfum par jour,8,5. Le bénéfice en milliers d euros réalisé, par jour, par l entreprise lorsqu elle vend centaines de litres est donné par f () pour [, 8;, 5]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l entreprise vend au moins 80 litres et au plus 50 litres.. Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 00 litres (soit centaines de litres).. Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maimal. Quel est ce bénéfice maimal en euros? (Donner la réponse arrondie à ).. À partir de quelle quantité journalière l entreprise ne vend-elle pas à perte? FIGURE 8.8 Figure de l eercice 8.0 A B O (C ) (T ) David ROBERT

12 8. Eercices Terminale ES 8..6 Ajustements non affines EXERCICE 8.. Un éditeur spécialisé en ouvrages d art diffuse sur une année 000 livres dont les pri varient de 5 à 75. On désigne par le pri d un livre, par p le nombre de livres disponibles et par q le nombre de livres demandés. Les résultats figurent dans le tableau ci-dessous : p q On a tracé sur la figure 8.9 de la présente page les nuages de points ( i ; p i ) et ( i ; q i ) dans un repère orthogonal du plan. FIGURE 8.9 Repère de l eercice On pose = ln p. (a) Recopier et compléter le tableau (les résultats seront arrondis au millième) : p ln p (b) Dans cette question, le détail des calculs statistiques n est pas demandé. À l aide de la calculatrice, donner une équation de la droite D d ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). En déduire une epression de p en fonction de. (c) En utilisant cette epression, donner une estimation du nombre de livre disponibles pour un pri unitaire de 0 (résultat arrondi à la centaine).. On pose z = ln q et on admet l égalité suivante : z = 0,0 8,7. En utilisant cette relation, donner une estimation du pri correspondant à une demande de 800 livres (résultat arrondi à l unité).. Le pri pour lequel l offre est égale à la demande s appelle le pri d équilibre ; il est noté 0. (a) Déterminer par le calcul le pri d équilibre, arrondi à l unité. (b) Les calculs précédents permettaient-ils de prévoir le résultat? http ://perpendiculaires.free.fr/

13 Terminale ES 8. Eercices EXERCICE 8. (Centres étrangers Juin 009). Une eploitation minière etrait un minerai rare dans ses gisements depuis l année 96. Le tableau suivant indique la quantité etraite i en tonnes durant l année désignée par son rang i : Année Rang i de l année Quantité etraite i en tonnes 8, 5,7, 9, 7,8 7, 6, 5,, Le nuage de points associé à cette série statistique à deu variables est représenté dans le repère orthogonal ( O; ı, j ) de la figure 8.0 page suivante. Les unités graphiques de ce repère sont unité = cm en abscisse et unités =,5 cm en ordonnée. Dans cet eercice, on désigne par la variable la quantité etraite en tonnes et par la variable le rang de l année. Première partie En première approimation, on envisage de représenter en tant que fonction affine de. La droite D d ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation =,5 6,5 dans laquelle les deu coefficients sont des valeurs arrondies au diième.. Déterminer les coordonnées du point moen G du nuage et placer ce point dans le repère de la figure 8.0 page suivante.. Tracer la droite D dans le repère de la figure 8.0 page suivante.. En considérant cet ajustement affine, quelle quantité de minerai, au diième de tonne près, l eploitation peutelle prévoir d etraire durant l année 0? Deuième partie On admet que la courbe tracée sur la figure 8.0 page suivante représente un ajustement eponentiel de en fonction de et que son équation est de la forme = ke p où k est un entier naturel et p un nombre réel.. En utilisant cette courbe, lire la quantité de minerai etrait, au diième de tonne près, que l ajustement eponentiel laisse prévoir pendant l année 0.. En supposant que la courbe passe par les points A(0 ; 8) et B( ;,), calculer l entier naturel k et le réel p dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième. Troisième partie On effectue le changement de variable z = ln et on pose z i = ln i.. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième : i z i. À l aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d ajustement affine de z en obtenue par la méthode des moindres carrés.. En déduire l epression de en fonction de sous la forme = ke p et retrouver ainsi, en arrondissant k au diième, les coefficients k et p calculés à la question. de la deuième partie. David ROBERT

14 8. Eercices Terminale ES quantité en tonnes FIGURE 8.0 Figure de l eercice rang de l année EXERCICE 8. (Polnésie Juin 009). Le tableau suivant donne l évolution du marché des capteurs solaires installés en France métropolitaine entre 000 et 007. Année Rang de l année : i, i 8 Surface de capteurs solaires in- stallés en milliers de m : i, i 8 Source : ENERPLAN (Association professionnelle de l énergie solaire) L objectif gouvernemental est d atteindre un marché d un million de m en 00.. (a) Calculer le pourcentage d augmentation de la surface des capteurs solaires installés entre les années 006 et 007. (b) Si ce pourcentage reste le même d année en année jusqu en 00. l objectif gouvernemental sera-t-il atteint?. (a) Sur une feuille de papier milimétré, représenter le nuage de points associé à la série statistique ( i ; i ) ; i 8, dans un repère orthogonal du plan (on prendra cm pour une année eu abscisse et en ordonnée cm pour 0 milliers de m de capteurs solaires installés). La forme du nuage suggère de faire un ajustement eponentiel. Pour cela on pose z i = ln ( i ). (b) Après l avoir recopié, compléter le tableau suivant où les valeurs z i seront arrondies au centième. Rang de l année : i, i 8 z i = ln ( ) i, i 8,79 (c) En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d ajustement de z en. Les coefficients seront arrondis au centième. (d) On suppose que l évolution se poursuit de cette façon jusqu en 00. À l aide de cet ajustement eponentiel, estimer en m la surface de capteurs solaires installés en 00. Si l évolution se poursuit selon ce modèle, l objectif gouvernemental sera-t-il atteint? http ://perpendiculaires.free.fr/

15 Terminale ES 8. Eercices EXERCICE 8. (Antilles Guane 008). Le tableau suivant donne l évolution du nombre d adhérents d un club de rugb de 00 à 006. Année Rang i 5 6 Nombre d adhérents i On cherche à étudier l évolution du nombre d adhérents en fonction du rang de l année. Partie A : un ajustement affine.. Dans le plan muni d un repère orthogonal d unités graphiques : cm pour une année sur l ae des abscisses et cm pour 0 adhérents sur l ae des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série ( i ; i ).. Déterminer une équation de la droite d ajustement de en obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent (aucune justification n est eigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis à l unité).. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d adhérents en 007. Partie B : un ajustement eponentiel. On pose z = ln.. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de z i au millième. i 5 6 z i,8. Déterminer une équation de la droite d ajustement de z en obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n est eigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis au millième).. En déduire une approimation du nombre d adhérents en fonction du rang de l année.. En prenant l approimation 57,e 0, et en supposant qu elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d adhérents en 007. Partie C : comparaison des ajustements. En 007, il a eu 80 adhérents. Lequel des deu ajustements semble le plus pertinent? Justifier la réponse. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. David ROBERT 5

16 8. Eercices Terminale ES 8..7 Repère semi-logarithmique EXERCICE 8.5. On considère deu fonctions f et g croissantes données par les tableau de valeurs : 0,7 5, 7, 9, f () ,,8,,5 7 g () Représenter les fonctions f et g dans le repère de la figure 8. page ci-contre.. Le repère de la figure 8. page suivante est appelé repère semi-logarithmique. La graduation sur l ae (O ) n est pas «régulière». Elle est réalisée proportionnellement au logarithme népérien. Par eemple un point d ordonnée = est placé à la hauteur z = ln = 0 unités graphiques, un point d ordonnée = 0 est placé à la hauteur z = ln 0, unités graphiques (et ici unité graphique = cm). Remarque. Dans le cadre de cet eercice, pour une meilleure lecture des hauteurs en unités graphiques, un ae a été ajouté à droite. Pour l utilisation d un tel repère on pourra s aider du tableau suivant : Point A B z = ln... Où z est la hauteur en unités graphiques dans le repère semi-logarithmique. (a) Placer dans ce repère les points suivants : A (;,5) B (5; 5) C (5; 9) D (; 75) (b) Déterminer les coordonnées des points E, F, G et H. Indication : on mesurera z avec une règle avant de déterminer par le calcul. (c) Représenter les courbes de f et de g dans ce repère. Que remarque-t-on pour la courbe de f? (d) Représenter dans les deu repères les courbes des fonctions définies sur R par, respectivement, h()=e et l()=e. Que remarque-t-on? (e) Une fonction k est représentée dans le repère semi-logarithmique une droite passant par les points (0; ) et (; 000). i. Tracer cette droite. ii. À l aide d une règle compléter la ligne z du tableau ci-dessous et compléter par la ligne par le calcul. iii. Représenter alors k dans le premier repère z = (f) Démontrer que lorsqu une fonction positive est représenté dans un repère semi-logarithmique par une droite passant par l origine, cette fonction est de la forme f ()=e k. Indication : On posera z = m, où z est la hauteur en unités graphiques dans le repère semi-logarithmique et on déterminera alors une epression de en fonction de. En utilisant l égalité f () = 5 donner l epression de f (). Déterminer l epression de k(). (g) Démontrer que lorsqu une fonction positive représentée dans un repère semi-logarithmique par une droite d équation z = m p où z est la hauteur en unités graphiques, cette fonction est de la forme f ()=K e k. Eprimer alors K et k en fonction de m et p. 6 http ://perpendiculaires.free.fr/

17 Terminale ES 8. Eercices 50 FIGURE 8. Premier repère de l eercice FIGURE 8. Repère semi-logarithmique de l eercice 8.5 7,0 z 6, , ,5 F 5,0 00, ,0,5 0 E,0 0 H,5,0 5,5,0 G 0, David ROBERT 7

Chapitre 6. Logarithme népérien. 6.1 Activités. Sommaire

Chapitre 6. Logarithme népérien. 6.1 Activités. Sommaire Chapitre 6 Logarithme népérien Sommaire 6. Activités............................................ 77 6. Un peu d histoire....................................... 80 6.3 Logarithme népérien : définition et

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 15 juin 2009

Baccalauréat ES Centres étrangers 15 juin 2009 Durée : 3 heures Baccalauréat ES Centres étrangers 15 juin 009 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions proposées,

Plus en détail

1. À partir des informations portées sur le graphique, reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant : x f (x) f (x) - 2 e²

1. À partir des informations portées sur le graphique, reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant : x f (x) f (x) - 2 e² BACCALAUREAT BLANC n Epreuve: MATHEMATIQUES Série : ES Durée : 3 heures Coefficient : 5 L énoncé est constitué de 6 pages (I/6 à 6/6). Les eercices peuvent être traités dans n'importe quel ordre. La qualité

Plus en détail

1, x R (Très utilisés dans les exercices).

1, x R (Très utilisés dans les exercices). Leçon 04 : La fonction eponentielle (f() = e ) L eponentielle naturelle (à base e). f() = e est définie pour tout réel. C est une fonction positive, R, e > 0. e 0 = 1 et e 1 = e.718. Si < 0 alors 0< e

Plus en détail

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui :

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Sommaire SAMEDI 28 JANVIER 2012 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les séries statistiques à deux variables

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane septembre 2010

Baccalauréat ES Antilles Guyane septembre 2010 Durée : 3 heures Baccalauréat ES Antilles Guyane septembre 2010 EXERCICE 1 5 points Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires du commerce équitable en France, exprimé en millions d euros.

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Propriétés algébriques Exercice 1 Ecrire sous la forme d une puissance de les expressions suivantes : a) e7 e 2 b) (e-1 ) 4 c) (exp(e e 2 )) -3 d) e 2 exp(-3) e) e -3 exp(2) f) exp(1) exp(-2) Exercice

Plus en détail

2 mars calculatrice autorisée

2 mars calculatrice autorisée DS type Baccalauréat T(L)/ES 2 mars 202 - calculatrice autorisée EXERCICE Durée : 3 heures 5 points Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires du commerce équitable en France, exprimé en

Plus en détail

Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice 1 (BAC ES national 2010). Classe de terminale ES Mathématiques

Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice 1 (BAC ES national 2010). Classe de terminale ES Mathématiques Classe de terminale ES Mathématiques Sujet abordé : exponentielle (lecture graphique) Exercice (BAC ES national ). Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit x la quantité

Plus en détail

Exercice 1 Problème 10 points

Exercice 1 Problème 10 points On révise... Eercice 1 Problème 10 points Partie A Soit g la fonction définie sur l intervalle ]0 ; [ par : g ()= 2 2 2ln() 1. Déterminer la fonction dérivée g de la fonction g et montrer que cette dérivée

Plus en détail

Devoir surveillé n 5 19 janvier 2011

Devoir surveillé n 5 19 janvier 2011 Devoir surveillé n 5 19 janvier 2011 Term ES Eercice 1 : (4 points) Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On a tracé ci-contre sa courbe représentative C dans un repère orthonormal. On note f

Plus en détail

Baccalauréat ES France septembre 2003

Baccalauréat ES France septembre 2003 France septembre 23 Exercice Commun à tous les candidats 6 points Partie A Soit la fonction f définie sur ] ; + [ par f (x)= x 2 + 4 8ln x.. Étudier les limites de f en et en+. 2. a. Déterminer la dérivée

Plus en détail

Chapitre 2. Dérivation (rappels) Convexité. 2.1 Dérivation (rappels) Sommaire Fonctions affines. Tracés

Chapitre 2. Dérivation (rappels) Convexité. 2.1 Dérivation (rappels) Sommaire Fonctions affines. Tracés hapitre Dérivation (rappels) onveité Sommaire. Dérivation (rappels)..................................... 9.. Fonctions affines..................................... 9.. Nombre dérivé......................................

Plus en détail

Exercices d analyse type bac

Exercices d analyse type bac Eercices d analyse type bac Eercice 1: Partie A On considère la fonction g définie sur [1 ; + [ par 1. Étudier les variations de g sur [1 ; + [. 2. Résoudre l équation g() = dans [1 ; + [. g() = ln() 1

Plus en détail

DERIVATION PROBLEMES ECONOMIQUES

DERIVATION PROBLEMES ECONOMIQUES 1 Un artisan fabrique des objets et vend toute sa production. On appelle () le coût total de fabrication et R() la recette totale eprimée en fonction du nombre d objets fabriqués. () et R() sont eprimés

Plus en détail

calcul intégral Table des matières 1 intégrale d une fonction activité à retenir exercices évaluations...

calcul intégral Table des matières 1 intégrale d une fonction activité à retenir exercices évaluations... calcul intégral Table des matières intégrale d une fonction. activité.................................................... à retenir.................................................. 7. eercices...................................................

Plus en détail

La fonction exponentielle, notée exp, est définie sur l ensemble des réels. Pour tout réel x, on associe le réel y strictement positif tel que :

La fonction exponentielle, notée exp, est définie sur l ensemble des réels. Pour tout réel x, on associe le réel y strictement positif tel que : avril LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES I DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS De la continuité de la fonction ln et par application du théorème de la valeur intermédiaire, on en déduit que pour tout réel

Plus en détail

Annales Logarithme népérien

Annales Logarithme népérien Annales Logarithme népérien Antilles Guyane Juin 2012 (5 points) Commun à tous les candidats Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par 1) Calculer et. 2) a) Démontrer que, pour tout entier

Plus en détail

Annales Calcul intégral

Annales Calcul intégral Annales Calcul intégral Polynésie - Juin 2012 (5 points) Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal On considère les points et et la droite d équation. On note la fonction

Plus en détail

Fonction exponentielle TD Année

Fonction exponentielle TD Année Fonction exponentielle TD Année 009-010 Exercice 1 Sans l aide de la calculatrice, simplifier les nombres suivants : 1. ln(e 5 ) 3. ln( 5. eln+ln3. e ln7 4. e ln4 1 ) e 3 Exercice En utilisant notamment

Plus en détail

Leçon N 8 : La fonction ln (Logarithme népérien)

Leçon N 8 : La fonction ln (Logarithme népérien) Leçon N 8 : La fonction ln (Logarithme népérien) Dans les dernières leçons, nous allons voir des fonctions nouvelles qui seront utilisées dans les problèmes de BAC. La première est le logarithme népérien

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 11 juin 2010

Baccalauréat ES Centres étrangers 11 juin 2010 Durée : 3 heures Baccalauréat ES Centres étrangers 11 juin 2010 EXERCICE 1 On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan 4 points ( O, ı, j ), la courbe ( ) C f représentative d une fonction f

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAUREAT GENERAL Avril 2011 MATHEMATIQUES - Série ES - ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément

Plus en détail

fonction exponentielle de base q

fonction exponentielle de base q fonction eponentielle de base q Table des matières 1 fonction eponentielle de base q : q avec q > 0 2 1.1 activités.................................................. 2 1.2 à retenir..................................................

Plus en détail

3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x.

3. En donner une interprétation graphique. 3 [ par f(x) = ln(-2x + 3) + 2x. T ES Mathématiques DS 5 le 18/01/01 Exercice 1 (5,5 POINTS ) On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [- ; 4]. On note f la fonction dérivée de la fonction f. La courbe C f, tracée

Plus en détail

Bac ES Liban juin 2009

Bac ES Liban juin 2009 Bac ES Liban juin 29 EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est eacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre

Plus en détail

Fonctions de deux variables

Fonctions de deux variables Chapitre Fonctions de deu variables Sommaire. Rappels.......................................................... 75.. Généralités..................................................... 75.. Représentation

Plus en détail

NOM : Terminale ES Devoir n 9 Mardi 19 mai 2015

NOM : Terminale ES Devoir n 9 Mardi 19 mai 2015 NOM : Terminale ES Devoir n 9 Mardi 9 mai 5 Eercice. QCM sur 4 points Cet eercice est un questionnaire à choi multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse. Pour chacune de

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 2008

Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 2008 Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 2008 EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses

Plus en détail

Sujets de bac : Intégration

Sujets de bac : Intégration Sujets de bac : Intégration Sujet n 1 : Liban juin 2006 Partie A : étude d une fonction Soit la fonction définie sur l intervalle 0; par ln 1 Sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; est

Plus en détail

La fonction f n est définie sur [1;3] f n est pas continue sur R. = lim(x a) lim

La fonction f n est définie sur [1;3] f n est pas continue sur R. = lim(x a) lim Lcée Camille SEE I CONTINUITÉ D UNE FONCTION DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.. Dire que f est continue en a signifie que lim a f()= f(a). Dire

Plus en détail

Baccalauréat ES Métropole 23 juin 2010

Baccalauréat ES Métropole 23 juin 2010 Baccalauréat ES Métropole 23 juin 2010 EXERCICE 1 Commun tous les candidats 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour

Plus en détail

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre

Plus en détail

Sujet de Bac 2009 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Polynésie

Sujet de Bac 2009 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Polynésie Sujet de Bac 2009 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Polynésie Exercice 1 : 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes quatre réponses sont proposées,

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles-Guyane 19 juin 2012

Baccalauréat ES Antilles-Guyane 19 juin 2012 Baccalauréat ES Antilles-Guyane 19 juin 2012 Exercice 1 On donne le prix moyen en euros d un litre de gasoil en France, entre 1998 et 2007 : Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang

Plus en détail

q 6 q 5 = q 4 q 6 q 4 q 3 q 2 q 1

q 6 q 5 = q 4 q 6 q 4 q 3 q 2 q 1 Lcée JANSON DE SAILLY 6 novembre 07 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES CONSTRUCTION EXPÉRIMENTALE DE LA FONCTION f : x q x, AVEC q > 0 Soit q > 0 un réel strictement positif. (u n ) est la suite géométrique

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Suites numériques

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Suites numériques Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 9 avril 008 Document diffusé via le site wwwbacamathsnet de Gilles Costantini fredericdemoulin

Plus en détail

Mathématiques en Terminale ES. David ROBERT

Mathématiques en Terminale ES. David ROBERT Mathématiques en Terminale ES David ROBERT 007 008 Sommaire Progression Généralités sur les fonctions : Rappels et compléments 3. Généralités......................................................... 3..

Plus en détail

Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com

Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Intégrale et aire On considère la fonction affine f dont la courbe ci-contre passe par les points A et B. ) Déterminer l epression de f(). ) En déduire une primitive F de f. ) a) Déterminer l intégrale

Plus en détail

Exercices sur la fonction logarithme népérien - Corrigé

Exercices sur la fonction logarithme népérien - Corrigé Lycée Secondaire El Ksour Année Scolaire 213-214 Exercices sur la fonction logarithme népérien - Corrigé ExerciceN 1 Soient et les fonctions définies sur l intervalle par et On note C et C les courbes

Plus en détail

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé TS. Contrôle 4 -Correction 8 points ) Sur le graphique de l annee, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

Baccalauréat ES La Réunion juin 2007

Baccalauréat ES La Réunion juin 2007 Baccalauréat ES La Réunion juin 27 EXERCICE 1 Commun tous les candidats Soit f une fonction définie sur l intervalle [ 5 ; 2] et (C ) sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal. Partie

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série : ES DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures COEFFICIENT : 5 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7 Ce sujet nécessite l utilisation d une feuille de

Plus en détail

(C f )

(C f ) BAC BLANC -.3.9 - Terminales ES, Lycée Newton Exercice 1 - Amérique du Sud 8 6 points On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l intervalle ] ; + [. Soit la fonction

Plus en détail

courbe n 1 courbe n 2 courbe n 3

courbe n 1 courbe n 2 courbe n 3 TES A-B Devoir n 7 mardi 0 mars 05 Eercice. sur.5 points Dans un terrain de camping il y a 3% de français et 68% d étrangers. 70% des français et 30% des étrangers savent jouer à la pétanque. On rencontre,

Plus en détail

Fonction dérivée. Table des matières

Fonction dérivée. Table des matières Fonction dérivée Table des matières fonction dérivée. activité................................................... corrigé activité............................................... à retenir.................................................

Plus en détail

EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Eercice 1 : Intégrer les équations différentielles suivantes y 1) y 5y = 0 ; y = ; 3y + 5y = 0 ; 9y =(y

Plus en détail

Classe : TES1 Le 19/12/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 3 ;0, 3 ;0. les tangentes à la courbe (C) aux points D et E sont parallèles à l axe des abscisses.

Classe : TES1 Le 19/12/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 3 ;0, 3 ;0. les tangentes à la courbe (C) aux points D et E sont parallèles à l axe des abscisses. Classe : TES1 Le 19/12/200 MATHEMATIQUES Devoir N Calculatrice autorisée Durée : h Eercice 1:,5 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur le graphique ci-contre, la courbe C) représente

Plus en détail

Annales Fonction Exponentielle. Table des matières. 1 Amérique du Nord Juin Lycée Marcel Pagnol TES2. Annales - exponentielles

Annales Fonction Exponentielle. Table des matières. 1 Amérique du Nord Juin Lycée Marcel Pagnol TES2. Annales - exponentielles Lycée Marcel Pagnol 216-217 TES2 Annales - exponentielles Annales Fonction Exponentielle Table des matières 1 Liban Juin 21 1 2 Asie Juin 21 2 3 Polynésie Septembre 21 2 4 Métropole La réunion Septembre

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie septembre 2006

Baccalauréat ES Polynésie septembre 2006 Baccalauréat ES Polynésie septembre 006 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, trois réponses sont proposées ; une

Plus en détail

Classe : TES1 Le 06/05/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 7. Calculatrice et formulaire autorisés

Classe : TES1 Le 06/05/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 7. Calculatrice et formulaire autorisés Classe : TES1 Le 06/05/2003 MATHEMATIQUES Devoir N 7 Calculatrice et formulaire autorisés Durée : 3h Exercice 1: (5 points) Une statistique publiée en l an 1998 donne le nombre d abonnés à Internet dans

Plus en détail

4 e série Exercices sur les études de fonctions

4 e série Exercices sur les études de fonctions e série Eercices sur les études de fonctions Pour les courbes, on vérifiera sur calculatrice graphique On rappelle également que les tableau de variations (tableau récapitulatifs) doivent comporter les

Plus en détail

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Introduction La fonction eponentielle est continue strictement croissante de R à valeurs dans ]0; + [. Le théorème des valeurs intermédiaires permet donc d affirmer que : Pour

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie juin 2007

Baccalauréat ES Polynésie juin 2007 Baccalauréat ES Polynésie juin EXERCICE Commun à tous les candidats points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule

Plus en détail

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min.

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min. Durée en minutes x i [0; 20[ [20; 0[ [0; 40[ [40; 60[ [60; 90[ Nombre n i 4 10 14 6 6 TAB. 1 Traitement des dossiers. Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs). 0 10 20 0 40 50 60 70 80 90 Duree

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Sud 14 novembre 2012

Baccalauréat ES Amérique du Sud 14 novembre 2012 Baccalauréat ES Amérique du Sud 14 novembre 1 L utilisation d une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 3 points QCM Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte.

Plus en détail

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α.

TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α. Eercice 1: (7 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2010 TS4 DS5 19/01/11 Soit la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par ϕ() = 1+ 2 2 2 ln(). 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur

Plus en détail

Sachant que pour tout réel ( q>0 ) et. Pour tous entiers relatifs m et p, f(m) f(p)=q m q p = q m+p = f(m+ p)

Sachant que pour tout réel ( q>0 ) et. Pour tous entiers relatifs m et p, f(m) f(p)=q m q p = q m+p = f(m+ p) Lcée JANSON DE SAILLY 7 novembre 06 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES CONSTRUCTION EXPÉRIMENTALE DE LA FONCTION f : x q x, AVEC q>0 Soit q>0 un réel strictement positif. (u n ) est la suite géométrique définie

Plus en détail

Baccalauréat ES (spécialité) Polynésie septembre 2011

Baccalauréat ES (spécialité) Polynésie septembre 2011 Baccalauréat ES spécialité Polynésie septembre EXERCICE Le plan est muni d un repère orthonormal O, ı, j d unité graphique cm. 6 points On s intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l ensemble

Plus en détail

Continuité, dérivabilité et convexité

Continuité, dérivabilité et convexité Continuité, dérivabilité et conveité A) Fonction dérivée et sens de variation 1 Fonction dérivée Déinition : Soit une onction déinie sur un intervalle I et telle que, en toute valeur dérivée '( eiste La

Plus en détail

Exercices type bac. Exercice 1: Partie A. On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par :

Exercices type bac. Exercice 1: Partie A. On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par : Exercice 1: Partie A Exercices type bac On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par : f(x) = ( 4x +5 ) e x +3 On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. On

Plus en détail

Chapitre 9. Logarithmes. Exercices. Définition de la fonction ln et conséquences

Chapitre 9. Logarithmes. Exercices. Définition de la fonction ln et conséquences Chapitre 9 Logarithmes I Eercices Définition de la fonction ln et conséquences 9.1 Le logarithme népérien d un nombre réel est le nombre y tel que e y, autrement dit : lnpq y ðñ e y 1. Faisons un premier

Plus en détail

BTS domotique 1 -Équations différentielles

BTS domotique 1 -Équations différentielles BTS domotique -Équations différentielles Premier ordre 4. Déterminer la solution ϕ de l équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale ϕ() =. Exercice BTS (E) : y 2y = xε x où y est une

Plus en détail

2 : LIMITE ET CONTINUITE

2 : LIMITE ET CONTINUITE : LIMITE ET CONTINUITE LISTE DES COMPTENCES CODE L0 L0 L0 L04 L05 L06 L07 L08 L09 L0 DENOMINATION Savoir calculer la ite en un point d un monôme Savoir calculer la ite en l infini d un monôme Savoir calculer

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie 8 juin 2012

Baccalauréat ES Polynésie 8 juin 2012 Baccalauréat ES Polynésie 8 juin 12 Exercice 1 Commun à tous les candidats 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées

Plus en détail

Lycée Privé Catholique Maintenon TERMINALE FASCICULE MATHEMATIQUES M. MAGNE

Lycée Privé Catholique Maintenon TERMINALE FASCICULE MATHEMATIQUES M. MAGNE Lycée Privé Catholique Maintenon TERMINALE FASCICULE --------------- DE --------------- MATHEMATIQUES DEVOIRS MAISON Année 2010/2011 M. MAGNE Thème : Les Fonctions Devoir Maison à rendre le : Partie A

Plus en détail

Annales Dérivation. Terminale 8 STG /2011 Exercices 3

Annales Dérivation. Terminale 8 STG /2011 Exercices 3 Annales Dérivation Terminale 8 STG - 2010/2011 Exercices 3 Exercice 1 CGRH Antilles, juin 2010 On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 2,5;3]. On note f la fonction dérivée

Plus en détail

Baccalauréat STG Mercatique, CFE, GSI Antilles-Guyane 20 juin 2013

Baccalauréat STG Mercatique, CFE, GSI Antilles-Guyane 20 juin 2013 Durée : 3 heures Baccalauréat STG Mercatique, CFE, GSI Antilles-Guyane 20 juin 203 EXERCICE 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 2012

Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 2012 Baccalauréat ES Polynésie 13 septembre 01 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Le tableau ci-dessous représente l évolution de l indice du PIB de la Chine de 1985 à 005, base 100 en 1985 année

Plus en détail

Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives

Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives Amerinsa - Ecole d été Limites : Eercices Eercice : Notions intuitives Dans la figure ci-contre, vers quoi tend f() lorsque tend vers : a) - b) + c) 0 d) -4 e) 4 Eercice : Notions intuitives Vers quelle

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane juin 1999

Baccalauréat ES Antilles Guyane juin 1999 Baccalauréat ES Antilles Guyane juin 1999 Candidats n ayant pas choisi l enseignement de spécialité 4points Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les unités sont 1 cm sur chaque ae. Construire

Plus en détail

Page 1

Page 1 LSEl Riadh Eponentielles Mr Zribi Eercice : Partie I Soit g la fonction définie sur [ ; + [ par g() = e a) Montrer que, pour tout >, on a g () > En déduire le sens de variation de g sur [ ; + [ b) Calculez

Plus en détail

Statistiques à deux variables : les exercices

Statistiques à deux variables : les exercices Statistiques à deux variables : les exercices Exercice 1 (Dans tout cet exercice, les résultats concernant la population seront arrondis au million). Le tableau suivant donne l évolution de la population

Plus en détail

Baccalauréat L 2001 L intégrale de juin à septembre 2001

Baccalauréat L 2001 L intégrale de juin à septembre 2001 Baccalauréat L 2001 L intégrale de juin à septembre 2001 Antilles-Guyane juin 2001............................... 3 Métropole juin 2001..................................... 5 Métropole septembre 2001..............................

Plus en détail

Fonction exponentielle Bac Série S

Fonction exponentielle Bac Série S Fonction exponentielle Bac Série S - 3 EXERCICE N Pondichéry 6 avril Partie On s intéresse à l évolution de la hauteur d un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-après représente cette évolution.,,8,6,4,,,8,6,4,

Plus en détail

Math Total On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes.

Math Total On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes. Lycée l'oiselet BOURGOIN JALLIEU TES Bac Blanc Mardi 4 Février 008: Epreuve de mathématiques SUJET NON SPECIALISTE Durée : heures La calculatrice est autorisée. Le sujet est à rendre avec la copie. NOM,

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 2005

Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 2005 Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 2005 EXERCICE 1 Soit la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [parf (x) = 3x 2x ln x. 1. On donne ci-dessous le tableau de variations de f. Recopier ce tableau

Plus en détail

EXERCICES SUR LES EXPONENTIELLES

EXERCICES SUR LES EXPONENTIELLES EXERCICES SUR LES EXPONENTIELLES EXERCICE 1 : Domaine de définition Déterminer le domaine de définition des fonctions eponentielles suivantes : a) f() = e - b) f() = e - c) f() = e (1/) c) f() = ep( 1

Plus en détail

Modélisation à l aide de fonction

Modélisation à l aide de fonction Exemples d exercices de type «bac» Série ST2S Modélisation à l aide de fonction EXERCICE 1 7 points On étudie le nombre de bactéries contenues dans un organisme à la suite d une infection. Il est donné,

Plus en détail

Fonction carré. Problèmes du second degré

Fonction carré. Problèmes du second degré Fonction carré. Problèmes du second degré FONCTIONS 7 Les savoir-faire du chapitre. Connaître et utiliser la fonction carré.. Reconnaître l epression d un polynôme du second degré.. Déterminer les variations

Plus en détail

BTS OPTICIEN LUNETIER Mathématiques - BTS Blanc - Décembre 2012

BTS OPTICIEN LUNETIER Mathématiques - BTS Blanc - Décembre 2012 ISO Paris 11 BTS OPTICIEN LUNETIER Mathématiques - BTS Blanc - Décembre 2012 Session 2012 Durée : 2 heures Coefficient : 2 Matériel autorisé : Toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices

Plus en détail

Baccalauréat ES France 15 juin 2006

Baccalauréat ES France 15 juin 2006 Baccalauréat ES France 15 juin 2006 EXERCICE 1 3 points Commun tous les candidats Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ 3 ; + [, croissante sur les intervalles [ 3 ; 1] et [2 ; +

Plus en détail

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie

Novembre 2008 Nouvelle Calédonie Novembre 2 Nouvelle Calédonie Pondichéry Avril 2 Centres étrangers Juin 2 Amérique du nord juin 2 Inde Pondichéry avril 2ds vos annales p 6) Sujets : Novembre 2 Nouvelle Calédonie PARTIE A On considère

Plus en détail

pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel α tel que e α = a

pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel α tel que e α = a 6 janvier 07 FONCTION LOGARITHME T le ES I FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et pour tout réel x, e x ]0;+ [. D après le corollaire du théorème

Plus en détail

Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010

Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010 Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010 Exercice 1 4 points Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant

Plus en détail

Révisions obligatoires Mathématiques 1ES à TES Déterminer les solutions dans R de l équation x² + x 2 = 0 et en déduire le domaine de

Révisions obligatoires Mathématiques 1ES à TES Déterminer les solutions dans R de l équation x² + x 2 = 0 et en déduire le domaine de Révisions obligatoires Mathématiques ES à TES 0 Préparation du premier dst de l année 0/0 Fonctions Eercice I : Second degré. Déterminer les solutions dans R de l équation + = 0 et en déduire le domaine

Plus en détail

Classe : TES1 Le 17/12/2002 MATHEMATIQUES Devoir N 4 Calculatrice et formulaire autorisés. Durée : 3h

Classe : TES1 Le 17/12/2002 MATHEMATIQUES Devoir N 4 Calculatrice et formulaire autorisés. Durée : 3h Classe : TES Le 7/2/2002 MATHEMATIQUES Devoir N 4 Calculatrice et formulaire autorisés Durée : 3h Eercice : (5,5 points) (correction) Dans cet eercice, les probabilités demandées seront données sous forme

Plus en détail

Baccalauréat SMS 1996 L intégrale de juin à septembre 1996

Baccalauréat SMS 1996 L intégrale de juin à septembre 1996 Baccalauréat SMS 1996 L intégrale de juin à septembre 1996 Antilles-Guyane juin 1996............................... 3 La Réunion juin 1996.................................... 5 Métropole juin 1996.....................................

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord mai 2004

Baccalauréat ES Amérique du Nord mai 2004 Durée : 3 heures Baccalauréat ES Amérique du Nord mai 24 L utilisation d une calculatrice est autorisée. Des éléments de formulaire sont joints au sujet. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2007

Baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2007 Baccalauréat ES Amérique du Nord mai 2007 EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L exercice consiste àa cocher la réponse exacte sans justification.

Plus en détail

Baccalauréat ES La Réunion juin 2004

Baccalauréat ES La Réunion juin 2004 Baccalauréat ES La Réunion juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 5 points. La fonction f représentée (graphique ) par la courbe (C ) est définie sur ] ; + [ par f (x)=(ax+ b)ln x où a et b sont deux

Plus en détail

Exercices : Intégration

Exercices : Intégration Eercices : Intégration Pour les eercices 4 à 43 il suffit de dériver F et de vérifier que F = f. Eercice 4 page 53 : Pour pouvoir dériver F il faut d abord développer ( 2) 3. F() = ( 2)( 2) 2 +2+ = ( 2)(

Plus en détail

Leçon N 6 : La fonction dérivée

Leçon N 6 : La fonction dérivée Leçon N 6 : La fonction dérivée En première, tu as appris la fonction dérivée d une fonction, il faut réapprendre tous les théorèmes vus mais avant revenant sur la définition du nombre dérivée d une fonction

Plus en détail

Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 11 juin 2015

Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 11 juin 2015 Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 11 juin 2015 La calculatrice (conforme à la circulaire n o 99-186 du 16 novembre 1999) est autorisée. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute

Plus en détail

Exercice 1 - Enseignement de spécialité - 5pts. u 0 = 7 et u n+1 = 2u n v n = u n 2. u n =

Exercice 1 - Enseignement de spécialité - 5pts. u 0 = 7 et u n+1 = 2u n v n = u n 2. u n = La maison Ecole d ' Devoir de type bac n o 4 Classe de terminale ES Variations, limites, continuité, asymptotes, fonction logarithme, suites... Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence

Plus en détail

Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 2005/2006

Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 2005/2006 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/00 L usage de la calculatrice est autorisée. Le prêt de calculatrice entre les candidats n est pas autorisé. La qualité de la rédaction et de la présentation,

Plus en détail

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h)

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h) Amerinsa - Ecole d été Dérivation : Eercices Eercice : Nombre dérivé de fonctions de base Soit 0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir 0 pour que la

Plus en détail

Correction du bac blanc N 1

Correction du bac blanc N 1 Exercice I : QCM. ( 4 points ) Correction du bac blanc N 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre

Plus en détail