Fiche professeur Introduction de la fonction exponentielle en terminale S
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- Anne-Marie Audet
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1 1. Niveau Terminale S Fiche professeur Introduction de la fonction exponentielle en terminale S 2. Situation-problème proposée Introduction de la fonction exponentielle à partir de la radioactivité et de l équation différentielle y ' = y. 3. Support utilisé Tableur. 4. Contenu mathématique Méthode d Euler. Equation différentielle y ' = ky. Définition de la fonction exp. 5. Compétences mises en œuvre 5.1Compétences mathématiques Savoir tracer une courbe intégrale par la méthode d Euler. Connaître la définition du nombre dérivé et savoir calculer une dérivée. Connaître la notion d équation différentielle. Tracer une courbe représentative. 5.2Compétences TICE Saisir des formules dans un tableau et savoir les recopier. Maîtriser un adressage absolu et relatif. Faire varier un paramètre. Représenter un nuage de points et tracer une courbe à l aide d un tableur. 6. Stratégie pédagogique 1. En devoir d entrainement, on construit une courbe par la méthode d Euler. 2. Lors de la correction du devoir on reprend les tracés avec un tableur et on fait varier le pas. 3. Introduction de la fonction exp par la désintégration radioactive. 4. Définition de la fonction exp. 7. Place de l activité dans la progression des apprentissages Peut se faire très tôt dans l année, en liaison avec les professeurs de SVT, à propos de la datation absolue, et de Sciences Physique, à propos de la décroissance radioactive.
2 ACTIVITE TICE INTRODUCTION DE LA FONCTION EXP Première partie Devoir Maison METHODE d EULER Problématique : f étant une fonction dont on ne connaît que la valeur en un point x 0 et l expression de sa dérivée f pour tout réel x où f existe, il s agit de construire une approximation de la courbe représentative (C f ) de f sur un intervalle I contenant x 0. Principe : Soit (T) la tangente à (C f ) au point d abscisse x 0. A partir de la valeur f(x 0 ), on détermine f(x 0 + h) en considérant que f(x 0 + h) est «à peu près» égal à l ordonnée du point de (T) d abscisse x 0 + h. On utilise ainsi l approximation affine : f(x 0 + h) f(x 0 ) + h f (x 0 ). Ayant obtenu f(x 0 + h), on réitère l opération et on obtient f(x 0 + 2h) puis f(x 0 + 3h), etc. Il est évident (voir dessin ci-dessus) que les valeurs obtenues sont d autant plus précises que h est petit Application : Construction de l approximation de (C f ) sur [0 ; 4] sachant que f(0) = 0 et f (x) = 1 0,3x. 1. Exemple : h = 1. x f (x)= 1 0,3x Détails des calculs de f(x) ( f(x 0 + h) f(x 0 ) + h f (x 0 ) et x = x 0 + h ) f(x) 0 1 0,3 0 = ,3 1 = 0,7 f(1) = f(0) + 1 f (0) = a. Dans un repère orthonormé (1unité = 4cm) placer les points de coordonnées (x ; f(x)) obtenus dans le tableau de la question 1.. b. Joindre ces points de façon à obtenir une première approximation de la courbe (C f ) sur [0 ; 4]. 3. a. On prend h = 0,5. Construire et compléter un tableau analogue à celui de la question 1., puis, placer les points de coordonnées (x ; f(x)) obtenus dans le repère précédent. b. Joindre ces points de façon à obtenir une deuxième approximation de la courbe (C f ) sur [0 ; 4].
3 Deuxième partie En classe, Activité sur TABLEUR, séance animée par le professeur avec un vidéoprojecteur. 1. Reprendre l activité précédente à l aide d un tableur. Le tableau de calculs et la représentation graphique sont à faire dans une feuille de calcul automatisée. Dans un premier temps prendre un pas égal à 0,2. Puis faire varier ce pas et observer les courbes représentatives obtenues, sur l intervalle [0 ; 4], lorsque l on prend un pas de plus en plus petit. 2. Dans le repère précédent construire la courbe représentative de la restriction à [0 ; 4] de la fonction g : x a 0,15x² + x. Comparer avec les courbes obtenues à la question Démontrer que cette fonction g est l unique solution du problème posé (c est-à-dire la seule fonction vérifiant sur [0 ; 4] les deux conditions f(0) = 0 et f (x) = 1 0,3x.
4 Troisième partie En classe, leçon présentée par le professeur. Introduction de la fonction exponentielle. 1. Désintégration radioactive : On considère une population macroscopique de noyaux radioactifs. Les noyaux se désintègrent selon la loi suivante : si N(t) est le nombre de noyaux présents à l instant t, pendant la durée t, la variation N(t) du nombre de noyaux est proportionnelle à t et à N(t). Les physiciens écrivent : N(t) = λ N(t) t ( λ > 0). ( Le réel λ ne dépend pas du temps ; c est une mort sans usure, sans vieillissement) DN(t) Dt = - λ N(t) Si t est arbitrairement petit, on peut écrire l équation : dn ( t) = λ N(t). dt On obtient : N (t) = λ N(t) ou encore en écrivant y = N(t) : y' = λ y 2. Etude de l équation différentielle y ' = y avec y(0) = 1. Que cette équation admette des solutions n est pas évident. Il est bon de vérifier qu aucune fonction polynôme ne convient.
5 Quatrième partie En salle d informatique, les élèves sont en autonomie devant un ordinateur. Utilisation de la méthode d Euler. Méthode d Euler : Soit f une fonction dérivable sur IR et vérifiant : f(0) = 1 et pour tout réel x, f (x) = f(x). Pour tous réels a et h voisin de zéro, f(a+h) f(a) +h f (a), c est à dire f(a+h) (1+h) f(a). 1) En prenant d abord un pas h égal à 0,5, construire une approximation, par la méthode d Euler, de la représentation graphique d une solution de cette équation différentielle, y ' = y avec y(0) = 1, sur l intervalle [ 0 ; 2 ]. 2) Faire varier le pas h. Observer les courbes obtenues en prenant des valeurs de h de plus en plus proches de 0. Observer ce qui se passe en prenant un pas négatif. 3 ) Synthèse. Définition de la fonction exponentielle. Théorème-définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f =f et f(0) =1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp. 4 ) Sur le graphique de la question 2, tracer la représentation graphique de la fonction exp. 5 ) Faire ce même graphique en utilisant un grapheur (GeoGebra, Graph Easy )
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