Cosinus d un angle aigu

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1 Cosinus d un angle aigu Chapitre G4 du livre I. Le cosinus d un angle aigu : 1.) Côté adjacent a. Définition Le côté adjacent à un angle aigu dans un triangle rectangle est le côté qui forme cet angle avec l hypoténuse. Dans le triangle OAB rectangle en A [OB] est l hypoténuse [OA] est le côté adjacent à l angle b. Constatation : 1

2 c. Propriété Pour un même angle aigu dans un triangle rectangle il y a proportionnalité entre le côté adjacent à cet angle aigu et l'hypoténuse. Remarque : Le coefficient de proportionnalité dépend de la valeur de l angle. L application du théorème de Thalès à cette configuration permet de démontrer cette propriété. En effet, (AA ), (BB ), (CC ) sont parallèles donc : 2.) Cosinus d'un angle a. Définition Dans un triangle rectangle, le cosinus d un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à cet angle par l hypoténuse. Remarque Le cosinus est le coefficient de proportionnalité entre le côté adjacent et l hypoténuse b. Notation et exemple : Dans le triangle ABC rectangle en A : L hypoténuse est le côté [BC]. Le côté adjacent à l angle est le côté [AB]. Le côté adjacent à l angle est le côté [AC]. Le cosinus de l angle se note égal à : et est Le cosinus de l angle se note égal à : et est 2

3 c. Utilisation de la calculatrice Attention : Vérifier que la calculatrice est bien réglée en degré Pour obtenir la valeur du cosinus d un angle, il faut taper sur la touche puis la valeur de l angle. COS Le cosinus de 50 : COS 5 0 Résultat : Remarque : Le plus souvent, on obtient des valeurs approchées Pour obtenir la valeur d un angle à partir de son cosinus, il faut taper puis la valeur du cosinus ou du calcul qui permet de le calculer 2nde COS L angle dont le cosinus est 0,75 : 2nde COS Résultat : 3.) A quoi sert le cosinus d un angle aigu Le cosinus d un angle aigu dans un triangle rectangle, sert à calculer une longueur (quand on connait un angle) ou à calculer un angle aigu (quand on connait des longueurs). 4.) Conditions à satisfaire pour l utiliser a. Pour calculer une longueur Il faut : un triangle rectangle la longueur d un côté et la mesure de l angle aigu formé par ces deux côtés. b. Pour calculer la mesure d un angle aigu : Il faut : un triangle rectangle les longueurs des deux côtes formant cet angle. 3

4 II. Applications 1.) Calcul de la longueur d un segment Pour calculer la longueur d un côté de l angle droit dans un triangle rectangle, il est nécessaire de connaître la mesure d un angle aigu et la longueur de l hypoténuse. Exemple 1 : Le triangle ROI est rectangle en I, Calculer la longueur du segment [IO]. On sait que, ROI est un triangle rectangle en I tel que. Or, dans un triangle rectangle le cosinus d un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à cet angle par l hypoténuse. D où, La longueur du segment [OI] est égal à 3,5cm. Exemple 2 : MOT est un triangle rectangle en O tel que Calculer la longueur de l hypoténuse du triangle MOT. On sait que, MOT est un triangle rectangle en O tel que et OT=5,6cm. Or, dans un triangle rectangle le cosinus d un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à cet angle par l hypoténuse. D où 4

5 La longueur du segment [MT] est à peu près égale à 7,5 cm valeur approchée au dixième près par défaut. 2.) Calcul de la mesure d un angle Pour calculer la mesure d un angle aigu dans un triangle rectangle, il est nécessaire de connaître la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l hypoténuse. LAC est un triangle rectangle en C tel que LA = 5 cm et CA = 3 cm. Calculer les mesures des deux angles aigus du triangle LAC. Calcul de la mesure de l angle. On sait que, LAC est un triangle rectangle en C tel que et. Or, dans un triangle rectangle le cosinus d un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à cet angle par l hypoténuse. La mesure de l angle aigu est d environ 53, valeur arrondie au degré près par défaut. Calcul de la mesure de l angle. On sait que, LAC est un triangle rectangle en C tel que. Or, dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires. Par conséquent, La mesure de l angle aigu est d environ 37, valeur arrondie au degré près par excès. 5