ASBL «Cercle d Etudes du Borinage et des Hauts-Pays DU SOLIDE AU POINT

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1 ASBL «Cercle d Etudes du Borinage et des Hauts-Pays» DU SOLIDE AU POINT Syllabus de géométrie active à l usage des élèves du 4 ème cycle (Seconde étape) EDITION REVUE Alain FILLEUL - Inspecteur honoraire de l Enseignement primaire Guy DEBERG Agrégé de l Enseignement secondaire inférieur Professeur de Mathématiques 2013

2 REMERCIEMENTS Cette nouvelle édition a été réalisée en collaboration avec Monsieur Guy DEBERG, professeur de mathématique à l Athénée provincial Jean d Avesnes à Mons. S occupant, avec tout le dévouement qu on lui connaît, des élèves de 1 ère différenciée, il était la personne ressource idéale pour la mise à jour de cet ouvrage conçu il y a une dizaine d années. Tous les dessins ont, cette fois été réalisés avec le logiciel CABRI-GEOMETRE. La précision est surprenante et le soin impeccable. Merci à mon ami Guy pour ce travail précieux et surtout pour les conseils avisés du spécialiste qu il est. Août 2013 Alain Filleul A mon ami Gilbert AUDIN Directeur honoraire Cheville ouvrière de l ASBL Décédé le 4 novembre 2002

3 PRELIMINAIRES. Ce syllabus se compose d'une succession d'activités de géométrie destinées aux élèves du quatrième cycle de l enseignement fondamental. Si le vocable "succession" a été utilisé, c'est que les notions présentées dans les pages qui suivent sont structurées et organisées en partant du solide, vers le point, sans oublier, bien sûr les diverses transformations du plan. Pour chaque activité, le lecteur ou l'utilisateur trouvera: - le sujet traité; - l'objectif poursuivi; - une ou plusieurs feuilles de travail; - la synthèse; - des exercices. La progression des matières présentées ici se veut cohérente avec l'appropriation de l'espace par l'enfant. En effet, avant de découvrir les lignes et les formes, combien d'objets (solides de l'espace) l'enfant n'a-t-il pas eu l'occasion de manipuler? De plus, solides et figures ne seront jamais étudiés pour eux-mêmes mais toujours en relation avec d'autres solides, d'autres figures. C'est la raison pour laquelle une place plus qu'importante est réservée aux classifications et aux conditions qui les régissent. Quant à l'étude du calcul des périmètres, aires ou volumes, ces savoir-faire, bien qu'en liaison très étroite avec la géométrie font avant tout partie de l'étude des grandeurs. Je tiens enfin à remercier les quelques générations d'élèves du degré supérieur qui, dans ma classe, puis dans les classes de mon canton scolaire, ont suivi ces activités et qui m'ont permis, grâce à leurs réussites et leurs erreurs d'ajuster et parfois même de revoir complètement la conception de certaines parties. Les auteurs.

4 PROGRESSION DES ACTIVITES. 1. Du solide au point. Module 1 2. Connaissance et classement des solides: Module 2 - classifications - nomenclature - établissement d'un tableau de classification - exercices 3. Connaissance et classement des surfaces planes: Module 3 - classifications - nomenclature - établissement d'un tableau de classification - exercices 4. La famille des quadrilatères: Module 4 - conditions et graphes - exercices 5. La famille des parallélogrammes: Module 5 - conditions et graphes - classements et inclusions - propriétés comparées - tracés - calculs des périmètres et aires 6. La famille des triangles: Module 6 - définition et liaison avec les autres polygones - classifications: - selon les côtés - selon les angles - combinée selon les côtés et les angles - tracés - calculs des périmètres et aires 7. La famille des trapèzes: Module 7 - relations avec les autres polygones - que de trapèzes...!!! - sortes de trapèzes et propriétés comparées - tracés - calculs des périmètres et aires

5 8. La famille des polygones réguliers: Module 8 - du triangle équilatéral au polygone à x côtés - conditions pour être appelé "polygone régulier" - évolution de l'amplitude des angles au centre par rapport au nombre de côtés - tracés - calculs des périmètres et aires 9. Disque et cercle: Module 9 - du polygone régulier au disque (avec Cabri-Géomètre ou Géogébra) - éléments du disque et définitions utiles - rapport rayon-diamètre - découverte du calcul de la mesure du cercle (le nombre PI) - découverte de la formule de calcul de l'aire du disque (par le passage à la limite infinie de la formule du calcul de l'aire des polygones réguliers) 10. La famille des prismes: Module 10 - rappel de la classification - développements et calcul de l'aire totale - calcul du volume des prismes droits 11. La famille des pyramides régulières: Module 11 - rappel de la classification - développement et calcul de l'aire totale - calcul du volume des pyramides régulières 12. Cylindre et cône: Module 12 - rappel de leur classification - développements et calculs des aires totales - calculs des volumes respectifs 13. Les angles: Module 13 - angles de l'espace et angles du plan - sortes d'angles et mesures au rapporteur - tracés d'angles aux instruments 14. Plan - points - droites: Module 14 - origines des droites et des points - types de lignes - positions des droites - droite et segment

6 15. Relations entre les droites: parallélisme et perpendicularité Module 15 - relations entre droites et représentations par les graphes - savoir abaisser une perpendiculaire - savoir élever une perpendiculaire - savoir tracer une droite parallèle à une droite donnée 16. Les relations "est parallèle à" et "est perpendiculaire à" Module 16 dans un ensemble de droites du plan 17. Notions de symétrie. Module 17 La symétrie orthogonale: - notion d'axe de symétrie - tracés de figures symétriques par rapport à un axe - découverte des axes de symétrie des figures vues et tableau de synthèse La symétrie centrale. 18. Bissectrice et médiatrice: lieux géométriques Module 18 - notion de bissectrice d'un angle et tracé - notion de médiatrice d'un segment et tracé 19. Les transformations du plan: Module image d'une figure qui tourne autour d'un point fixe: ROTATION image d'une figure qui glisse dans un réseau de droites parallèles: TRANSLATION image d'une figure qui glisse dans un réseau de droites sécantes en un même point: HOMOTHETIES 20. Boule et sphère: Module 20 - précisons les termes 21. Formulaire général. Module 21 ***************************************

7 Activité n 3: EXERCICES DE CLASSIFICATION. Objectifs : En se servant du tableau de classification en arbre, les Es devront être capables de donner TOUS les noms qu'un solide proposé peut avoir, noms exprimés du plus général au plus particulier; justifier les noms proposés en se référant aux conditions de la nomenclature. Ces conditions peuvent être exprimées d'abord intuitivement, puis en habituant de plus en plus les Es à utiliser les termes mathématiques adéquats; montrer des objets concrets, montrer des représentations de solides, dessiner en perspective, à main levée, des solides répondant à des conditions exprimées, soit par le M, soit par d'autres condisciples. Durée préconisée: 2 séances Exercices: Voir pages 14 à 16 du syllabus

8 1. Qu'est-ce qu'un solide? Activité n 1 CLASSIFICATION DES SOLIDES Un SOLIDE est: - un objet matériel "que l'on peut prendre". - un objet matériel qui occupe une partie de l'espace. - une figure à TROIS DIMENSIONS de l'espace. 2. Des notions à bien connaître: Les FACES sont les morceaux de plan limitant un solide (polyèdre) Un cube a donc... faces. Les ARETES sont les lignes formées par l'intersection de deux faces Les BASES sont des faces parallèles et isométriques ayant un côté commun avec chaque autre face latérale... ou sont deux faces parallèles et isométriques fermant un SOLIDE de REVOLUTION ou est UNE FACE PLANE ayant un côté commun avec chaque autre face latérale...

9 ... ou est une FACE PLANE fermant un solide de révolution. Les FACES LATERALES sont toutes les autres faces qui ne sont pas des bases. 3. Classement des solides: Observe bien ces solides, puis réponds aux questions qui suivent :

10 Module 10 LA FAMILLE DES PRISMES 1. Objectifs : Les élèves devront être capables de : retourner au classement initial et donner aux prismes (droits ou non droits) la place qu ils occupent au sein du classement des solides ; pouvoir définir le plus exactement possible le concept de «prisme droit» ; parmi divers développements d un même prisme, distinguer ceux qui sont possibles de ceux qui ne le sont pas et en justifier la raison ; tracer avec exactitude le développement d un cube, d un parallélépipède rectangle, de même que tout prisme droit dont les élèves en connaissent la forme des bases ; calculer l aire totale de tout prisme droit ; calculer le volume de tout prisme droit. 2. Durée : Quatre séances. La première devant couvrir les 3 premiers objectifs ; La seconde devant amener les élèves à l exercice du tracé de développements de divers prismes droits courants ; La troisième étant dévolue à la découverte d un algorithme permettant de calculer l aire totale de tout prisme droit qu il s agisse d un cube ou d un prisme droit dont les élèves peuvent en calculer l aire de leurs bases ; La quatrième sera réservée à la construction d un algorithme permettant de calculer le volume de tout prisme droit. 3. Synthèse : Voir pages n 124 à 141 du syllabus.

11 La famille des prismes Activité n 1 La place des prismes dans la grande famille des solides Voici un diagramme de classement des solides que tu as déjà abordé au début de ce cours. Complète chaque étape manquante pour retrouver la place que doivent occuper les prismes. Solides Au cas où tu ne te souviendrais plus de ce classement, tu peux retourner à la page 13 de ce syllabus. Maintenant, sois un peu plus précis : quelle distinction faire entre PRISME DROIT et PRISME NON DROIT? Explicite ta réponse dans le tableau ci-dessous : Prisme droit Prisme non droit

12 Des prismes et de leur développement. Qu est-ce que le développement d un solide? Ta définition : Je retiens : Tracer le développement d un solide, c est.. l ensemble de ses faces dans un même A toi de découvrir les intrus. Voici 3 développements d un même cube. Entoure le développement incorrect.

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