Janvier 07 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 1/9

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1 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 1/9 Exercice 1 Enoncé Un jeune enfant range ses 2 CD dans leurs coffrets (1 CD par coffret) Ne sachant pas encore très bien lire les titres figurant sur les CD, il les range au hasard Quelle est la probabilité pour qu aucun des coffrets ne contienne l unique CD qui lui correspond? Calculez cette probabilité si le nombre de CD augmente indéfiniment Résolution Soit A : "Aucun des coffrets ne contient le CD qui lui correspond" A : "Au moins un des coffrets contient le CD qui lui correspond" p(a) = 1 p(a) Définissons les événements auxiliaires suivants : A 1 : "Le coffret 1 contient le CD 1" A 1 : "Le coffret 2 contient le CD 2" A 2 : "Le coffret 2 contient le CD 2" Dès lors, A = A 1 A 2 A 2 et Ainsi et p(a) = 2 p(a i A j ) + p(a i ) i=1 i<j i<j<k = C C ! = ! 1 4! + 1 2! p(a i A j A k ) p(a 1 A 2 A 2 ) p(a) = 1 p(a) = ! + 1 4! 1 5! + 1 2! = 2 k=,3678 ( 1) k k! lim p(a) = ( 1) k n + k! k= = e 1

2 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 2/9 Exercice 2 Enoncé 1 Pour un certain type d ordinateurs, la probabilité qu un "bon" réparateur règle une panne est de,8 Si un tel technicien s occupe de 1 pannes indépendantes, quelle est la probabilité qu il remette en ordre au moins 8 ordinateurs? 2 Pour le même type d ordinateurs, la probabilité qu un réparateur "moyen" règle une panne est de,5 Parmi un groupe de réparateurs composé de 3% reconnus comme "bons", les autres étant réputés "moyens", on en choisit un au hasard pour régler 5 pannes indépendantes Sachant que 3 des ordinateurs ont été remis en ordre, quelle est la probabilité d avoir choisi un "bon" réparateur? 3 Les statistiques nous informent qu il existe aussi de "mauvais" réparateurs désignés comme tels si la probabilité de réparer une panne est de,25 On choisit 1 réparateurs, on leur confie à chacun la réparation de 5 pannes indépendantes et on note les résultats suivants : Pannes réparées Nbre de réparateurs Effectuer un test χ 2 d ajustement au seuil de 5% pour vérifier si ces résultats reflètent ceux de "mauvais" réparateurs Les probabilités théoriques seront déterminées à 1 3 près Résolution { succès = ordinateur remis en ordre : p (ou π) =,8 1 échec = ordinateur non remis en ordre : q = 1 p (ou 1 π) =,2 Le nombre X d ordinateurs remis en ordre suit une loi binomiale B(1;,8) avec On demande p k = C k 1,8 k,2 1 k, k {,1,,1} P B (X 8) = p 8 + p p 1 Puisque V ar(x) = npq = 16 > 1, nous pouvons approcher cette loi par la loi normale N(np, npq) = N(8,4) P B (X 8) = P N (X 79,5) 79,5 8 = P G (Z ) 4 = P G (Z,125) = 1 P G (Z <,125) = 1,452 =,5498

3 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 3/9 2 Désignons par A et B les événements : Diagramme en arbre du type : { A = on a choisi un "bon" réparateur B = 3 pannes sur 5 ont été réparées BAYES : P(A/B) = P(A)P(B/A) P(A)P(B/A) + P(A)/P(B/A) Puisque les probabilités des pannes réparées par un "bon" technicien sont régies par le loi B(5;,8) et celles traitées efficacement par un technicien "moyen" par la loi B(5;,5), on a : P(A/B) =,3C 3 5,8 3,2 2,3C 3 5,83,2 2 +,7C 3 5,53,5 2,22 3 Les pannes réglées par les "mauvais" réparateurs suivent la loi B(5;,25) c est-à-dire que : p k = C k 5,25 k,75 5 k T k = 1p k p =,75 5 =,237 T = 23,7 p 1 = 5,25,75 4 =,396 T 1 = 39,6 p 2 = 1,25 2,75 3 =,264 T 2 = 26,4 p 3 = 1,25 3,75 2 =,88 T 3 = 8,8 p 4 = 5,25 4,75 =,15 T 4 = 1,5 p 5 = 1 p p 4 = T 5 = En tenant compte que chaque T k 5, on regroupe les 3 dernières valeurs 1 2 3, 4 ou 5 O k T k 23,7 39,6 26,4 1,3 Or ν = 4 1 = 3 : χ 2,95 = 7,81 χ 2 obs = 4 (O i T i ) 2 i=1 T i = 86,49 23,7 +,16 39,6 + 19,36 26,4 + 28,9 1,3 = 7,11 Puisque χ 2 obs < χ2,95, on accepte que l échantillon choisi est composé de "mauvais" réparateurs NB : Si pour le calcul de χ 2 obs, on regroupe seulement les 2 dernières valeurs du tableau, on obtient χ 2 obs = 7,17

4 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 4/9 Exercice 3 Enoncé On souhaite connaître le poids moyen des pains mis en vente ce jour par un boulanger artisanal Sa production est de 1 pains par jour Un contrôle est effectué sur un échantillon aléatoire exhaustif de 3 pains Poids en gr/pain Nbre de pains Il est à noter que la taille de l échantillon est non négligeable par rapport à la taille de la population 1 Faites une estimation par IC, à moins de 3 chances sur 1 de se tromper, du poids moyen des pains produits 2 Quelle aurait dû être la taille minimale à donner à l échantillon de manière à obtenir une précision de 6 gr avec un risque d erreur de 7% L échantillon ci-dessus sert alors de pré-échantillon Résolution 1 α =,3 z 1 α 2 = z,985 = 2,17 Pour l échantillon fourni : x = 975,67 et s nc = 31,8 µ = x = 975,67 E( µ) = µ σ σ 3 σ = 29 s nc = 32,34 ET( µ) = σ n 3 N n N 1 = 32, = 4,965 ε = z 1 α ET( µ) = 1,7745 1,78 2 IC,97 : 964,89 µ 986,45 avec risque α = 3% Le poids moyen de la production de 1 pains est compris entre 964,89 gr et 986,45 gr Le risque que cette conclusion soit fausse est α = 3% 2 α =,7 z 1 α 2 = z,965 = 1,81 µ = x E( µ) = µ ET( µ) = 32,34 n ε = 1,81 32,34 n 1 n 99 = 6 1 n 99 σ 32,34 de l échantillon utilisé comme pré-échantillon

5 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 5/9 D où 6 = 1,81 32,34 n 1 n 99 6 = 1,81 32,34 1 n 99 n n 1,8132,34 = n 1,4 = 1 n n n = 49 L échantillon devra donc contenir au moins 49 pains

6 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 6/9 Exercice 4 Enoncé On considère la fonction f(x) = { kx(1 x) si x 1, sinon 1 Déterminer le paramètre réel k pour que f(x) soit la densité de probabilité d une variable aléatoire continue X 2 Déterminer la fonction de répartition de X 3 Calculer E(X) et V ar(x) 4 On considère la fonction Calculer lim t g(t) Interpréter le résultat obtenu (NB : On a sin t t, t [,1]) Résolution g(t) = P(X sin t X t), t [,1] 1 La fonction f doit vérifier les conditions suivantes : (1) : f(x), x R (2) : + f(x)dx = 1 La condition (1) implique que k ; pour (2), on note que + f(x)dx = 1 kx(1 x)dx = k 1 (x x 2 )dx = k( ) = k 6 d où + f(x)dx =1 k = 6 Afin que f soit la ddp d une variable aléatoire continue X [,1], on prendra k = 6 2 La fonction de répartition de X est définie par F X (t) = P(X t), t R Comme X [,1], on a donc Dans le cas où t [,1], il vient F X (t) = { si t < 1 si t > 1 F X (t) = t f(x)dx = 6 t (x x 2 )dx = 3t 2 2t 3

7 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 7/9 3 D une part, D autre part, E(X) = + xf(x)dx = 6 1 (x 2 x 3 )dx = 6( ) = 1 2 V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = = x 2 f(x)dx 1 4 (x 3 x 4 )dx 1 4 = 6( ) 1 4 = On a successivement g(t) = puisque t, sin t [, 1] Il s ensuit que d où P(X sint et X t) P(X t) = P(X sint) P(X t) g(t) = 3sin2 t 2sin 3 t 3t 2 2t 3 = sin2 t(3 2sin t) t 2 (3 2t) ( ) 2 sint lim g(t) = lim = 1 t t t = F X(sin t) F X (t) Ce résultat s explique par le fait que plus t est proche de, plus sint est proche de t

8 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 8/9 Exercice 5 Enoncé Une firme garantit que la durée de vie moyenne des très nombreuses ampoules qu elle produit est strictement supérieure à 112 heures Un controleur de Test-Achats veut vérifier cette affirmation en extrayant un échantillon de 5 ampoules ; il relève une durée de vie moyenne de 1145 heures et un écart-type de 126 heures Dans son rapport, le contrôleur va-t-il ou non faire confiance à la firme au seuil de signification α =,5? Précisez la règle de décision Résolution Soit X la durée de vie d une ampoule; testons les hypothèses (H ) µ = 112 (la firme a tort) (H 1 ) µ > 112 (la firme a raison) au seuil de signification α =,5 Sous (H ), c est-à-dire si µ = 112, déterminons X c : Introduisons la variable auxiliaire qui montre que X N(112,18) Comme il vient c est-à-dire P(X X c ) =,95 Z = X 112 n s c = X 112 n 1 s nc = X P(Z 1,645) =,95 P( X ,645) =,95 P(X 1149,61) =,95 Comme la valeur observée de X est de 1145 heures, on accepte (H ), ce qui signifie que la firme a tort Le contrôleur ne lui fera donc pas confiance

9 Janvier 7 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 - Page 9/9 (Variante) : Soir X la durée de vie moyenne d une ampoule Testons les hypothèses H : µ = 112 (la firme a tort) H 1 : µ > 112 (la firme a raison) a) Il s agit d un test unilatéral droit au seuil de 5% : z c = z 1 α = z,95 = 1,645 Si z obs 1,645, alors on accepte H Si z obs > 1,645, alors on rejette H et on accepte H 1 b) L échantillon est de taille n = 5; ainsi la distribution d échantillonnage est normale puisqu il s agit d un grand échantillon : n > 3 Pour l échantillon de taille 5, on a x = 1145 heures et s nc = 126 heures σ étant inconnu, on a Et donc, Puisque z obs < 1,645 on accepte H Règle de décision : z obs = x µ σ n σ = s c = n n 1 s nc σ n σ n = s nc n 1 = = 18 z obs = = 1,39 z = x 112 x = z 18 Borne z c = 1,645 Borne x = ,645 = 1149,61 Si la durée de vie moyenne dans l échantillon est 1149,61 heures alors on accepte H sinon on rejette H et on accepte H 1