JOUER EFFICACEMENT AU

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1 Ls mtémtqus sont un ju qu l on xr slon s rèls smpls n mnpulnt s symols ou s onpts qu n ont n so, uun mportn prtulèr Dv Hlrt ( ) JOUER EFFICACEMENT AU 24 Mr Lorst Éol Polytnqu Montrél DossrApplton L prox u Suoku st qu l smplté ss ontrnts nnr tout mêm un ss-têt un étonnnt omplxté Slon l strutur l soluton u Suoku t s ss qu sont vs u éut, on put s rtrouvr sot v un ss-têt tqunnt l éutnt, sot v un ss-têt xspérnt l xprt Bn qu l sot souvnt possl ns utrs jux, omm ls és t ls motsrosés, nr un vu nsml n mémorsnt un rton s omnsons, n rvn, u Suoku, l nlys rt touts ls omnsons épss rpmnt ls ultés s plus oués Toutos, l xst un rn nomr tnqus élémntrs qu prmttnt rpmnt réur l nomr omnsons mssls C st râ à s stus, t uoup prtqu, qu n 2012 Jn Mrozowsk omplété 10 Suokus n 4 mnuts t 4 sons, l ouronnnt ns Cmpon u Mon u Suoku À prtr s rèls u Suoku, nous éurons un mll tnqus qu nous prmttront xlur rtns nts s ss vs Cs rèls xluson sont prm lls utlsés pr ls xprts, ms nous n nous ttrrons qu à un éntllon rprésntt s tnqus t à lur ormulton mtémtqu Toutos, lls qu nous présntront vrnt prmttr u ltur ssu lmnt omplétr l mjorté s Suokus nos omrs réonux Ls rèls u Suoku L ju u Suoku ommn v un ur ormé 81 ss ornsés n 9 rnés t 9 olonns D plus, ls ss sont uss ornsés n 9 los 9 ss, ronsrt pr ls lns plus onés ns l ur Il st outum pplr Suoku l ur un ju Suoku t r qu ls los, ls rnés, t ls olonns ormnt ls rnés vrtulls u Suoku Un os résolu, qu s u Suoku ontnt xtmnt un r ntr 1 t 9, ms ls ss u Suoku sont u éprt mjortmnt vs L ojt u Suoku st éur ls rs s ss vs l ontrnt onmntl : Cqu rné vrtull ot ontnr ls rs 1 à 9 un t un sul os Mlurusmnt, tt prsrpton n nous nqu nullmnt ommnt proér Nous vrrons ommnt réntrprétr tt ontrnt n tnqus éutvs pour éouvrr l ontnu s ss vs Avnt ontnur, mntonnons qulqus onvntons qu ls mturs prtnt Ls lttrs à sont utlsés pour énumérr ls rnés u ut vrs l s Ls olonns sont ntés l u vrs l rot pr un r ntr 1 t 9 Pour ls los, ls jouurs utlsnt ls tros lttrs s rnés t ls tros rs s olonns qu s rnontrnt u lo n quston

2 Jour mnt u Suoku Mr Lorst Éol Polytnqu Montrél Exlusons nïvs Tous ls jouurs Suoku, u néopyt u mpon, éutnt l résoluton n pplqunt un tnqu xluson smpl ms qu onsst à xlur rtns possltés Ctt tnqu n tnt ps ompt touts ls ontrnts ms st tout mêm un xllnt pont éprt pour l pplton xlusons plus omplxs Sot un s v un Suoku t ls tros lsts rs onnus pprtnnt rsptvmnt à l rné, l olonn, t l lo qu s prtnt l s v Applons s lsts R = {ls rs onnus l rné}, C = {ls rs onnus l olonn}, B = {ls rs onnus u lo} À prtr unqumnt tt normton, l ontrnt onmntl nous prmt sulmnt onlur qu l nsml L s rs qu sont nts l s v, ou plus rèvmnt l nsml s nts L l s v, st présémnt l nsml s rs utrs qu ux éjà onnus, on L = R C B L ojt l xluson nïv st xlur {1, 2,, 9} ls rs qu pprssnt éjà ns R, C ou B t érr l ourt lst L ns l s v Slon L = R C B, l lul L ot ommnr v l lul l unon R C B vnt pssr à l ntton s rs 1 t 9 qu n pprtnnnt ps à R C B C xrt qu l on érv l nsml R C B llurs sur un ppr roullon vnt érr l lst L ns l s v, un proéur très pu ommo L lo D Morn or un ltrntv lultor qu vous urz put-êtr éjà vné Applqunt tt lo à notr xprsson préént pour l lst L s nts, on éut qu L = R C B = R C B Notons l téor s nsmls Sot un nsml A, t ux sous-nsmls B t C A On ért B A t C A Il xst plusurs opértons élémntrs qu l on put tur sur s nsmls L omplémnt B ns A, noté B, st l sousnsml s élémnts A qu n sont ps ns B L unon B t C, noté B C, st l nsml s élémnts qu pprtnnnt sot à B, sot à C L ntrston B t C, noté B C, st l nsml s élémnts qu pprtnnnt à l os à B t à C Cs opértons sont lés ntr lls pr ls los D Morn, qu sont n t omplètmnt évnts B C = B C t B C = B C L onvnton st snr l nsml v pr l symol 2

3 DossrApplton 26 1, 2, 3, 6, 7, 9 2, 3, 6, 7, 8, 9 Ctt nouvll xprsson pour L nqu qu l st possl lulr L n vérnt systémtqumnt, pour ls rs 1 à 9, qu ls n pprtnnnt n à R, n à C, t n à B Pour qu r 1 à 9, un tll vérton put s r vsullmnt n survolnt ls tros rnés vrtulls, t s l r pprtnt à L, on put mmétmnt l érr n ptt rtèrs ns l s v vnt pssr u pron r l lst On résum on tt tnqu xluson nïv l mnèr suvnt Pour qu s v, t pour qu r ntr 1 t 9, érvz r ns l s v s l n pprît ns uun s tros rnés vrtulls uqul pprtnt l s v L résultt tt proéur st un Suoku smll à lu l ur 1 C st un opérton répéttv ms smpl t qu l on n à prtqur Pour l uré u rst t rtl, nous prnrons pour qus qu tout jouur Suoku éut l résoluton son Suoku v tt tnqu , 3, 6, 7, 9 1, 2, 7, 9 4 2, 3, 4, 6, , 6, 7 3, 6, 9 2, 3, 4,, , 3, 4,, 6 2, 3, 6, 8 2, 3, 6, 8 2, 3, 6 2, 3,, 8 2, 3,, 6, 8 1, 3,, 7, 9 2, 7, 9 2, 3, 4, 7 2, 3, 4, 6, 7 3, 7, 9 1, 7, 9 3, 7 1, 3, 7 1, 2, 7, 9 2, 7, 9 1, 4, 7, 9 2, 7 1, 2, 7, 6, 7, 8 6, 7, 8 1, 6, 7, 7, 8 2,, 7, 8, 9 2, 6, 7, 8, 9 2, 4, 6, 7, 8, 9 2,, 7, 9 2, 7, 9 2, 3, 7 2, 3, 7 2, 3, 7 7, 8 6, 7 3, 6, 8, 9 2, 3, 7 1, 2,, 7, 7 1, 7 1,, 7 1, 3, 6, 8 2, 3, 7, 8 3, 8, 9 1, 6, 7, 8 1, 3, 8, 9 3, 4, 7 8, 9 2, 3, 4, 6, 8 1,, 7, 8 3, 4,, 7, 8 1, 3, 4, 7, 8 ur 1 : Un Suoku v l lst s nts otnus à prtr l xluson nïv Exlusons nus t és Qun vous êts nux, l xluson nïv prout ns qu s v un lst n ontnnt qu un sul nt, qu s ppll un smplt nu Toutos, l xst très souvnt un utr stuton prmttnt ntr mmétmnt l r é un s S un nt un s n s rtrouv ns uun utr s un s rnés vrtulls ontnnt l s, lors r st l sul posslté pour tt s, un stuton nommé un smplt é , 9 2, 8, 9 1, 2, 8, 1, 2,, Smplt nu Un s v un sul nt s ppll un smplt nu ur 2 : L 2 st un smplt nu n t l st un smplt é n 7 L noton smplt é s xplqu n à l un xmpl Dns l rné l ur 2, ls nts s ss vs sont C 1 = {2, 9}, C 3 = {2, 8, 9}, C 4 = {1, 2, 8}, C = {2}, C 7 = {1, 2,, 8, 9} S l on rr l sptèm s, on rmrqu qu l r n st nt ns uun utr s Mtémtqumnt, s résum n érvnt qu n pprtnt ps à l nsml C 1 C 3 C 4 C ms qu l pprtnt qun mêm à C 7, {} = ( C C C C ) C Slon rsonnmnt, tous ls smplts és u Suoku puvnt êtr ntés n vstnt qu s v t, pour qu nt l s, n vérnt qu l nt n s rtrouv ps llurs ns qu rné vrtull l s Vo un uxèm mnèr uoup plus rp ntr tous ls smplts és, qu nous justrons plus lon, Pour qu rné vrtull t pour qu r ntr 1 t 9, ntz s l st nt un sul s S st l s, l ot êtr l r é l s

4 Jour mnt u Suoku Mr Lorst Éol Polytnqu Montrél En xmnnt l pplton tt méto à l xmpl préént, on put omprnr son équvln v ll suéré pr l xprsson ntl Pour l rné l ur 2, supposons qu l on r à svor s st un smplt é qulqu prt ns l rné En un oup ol, on not ls ss où st nt, {} C 1 = C1 {} C 3 = C 3 {} C 4 = C4 {} C = C {} C 7 = {} C 7 On éut lors qu l r pprtnt ux ntrstons C C, C C, C C, C C À l l lo D Morn, on onlut qu st un smplt é l sptèm s, r {} = ( C C ) ( C C ) ( C C ) ( C C ) = ( C C C C ) C En onluson, ls ux ppros èrnt ns l orr ns lqul l rr s t t ns ls qustons qu on ot s posr, ms l résultt st l mêm , 2, 4, 6 3, 9 2, 6 1, 3, 8 4, 8 2, 7 2, 7, 9 3, 6 ur 3 : Ls rs {1, 4, 8} ormnt un trplt é n 1,, 6 Ls notons smplt nu t smplt é ont s notons ousns prs, trplts t plus énérlmnt k-tuplt, nus ou és Un k-tuplt nu un rné vrtull st un nsml T k rs pour lqul l xst k ss vs ont ls nts stsont C 1 T, C 2 T,, C k T Étnt onné qu ls rs u k-tuplt nu sont ls suls oupnts possls k ss, ls n puvnt ps pprîtr ns ls utrs ss t on put xlur ls mmrs T nts touts ls utrs ss Un k-tuplt é un rné vrtull v k + j ss vs st un nsml T k rs pour lqul ls k + j lsts nts C 1,,C k, C k+1,,c k+j puvnt s énumérr mnèr à qu T C 1 C k T (C k+1 C k+j ) = Étnt onné qu ls k rs u k-tuplt é ovnt oupr ls k prmèrs ss vs, on put xlur tous ls utrs rs C k+1 C k+j s lsts C 1,,C k Contrrmnt ux notons smplt nu ou é, l ojt n st ps éouvrr l poston rtns rs ms plutôt r où ls n puvnt ps pprîtr D plus qu xluson put vor un t oul n t vous mnr à éouvrr nouvux k-tuplts nus ou és Vo l métoolo à suvr s vous ésrz ntr s xlusons 1 Proéz un rné vrtull à l os 2 Élmnz ls rs s smplts nus t és s utrs ss s rnés vrtulls s prtnt ls ss s smplts ntés 3 Détrmnz vsullmnt s l xst ux ss vs v s lsts ntqus ux nts Élmnz s oults nus touts ls utrs lsts nts 4 Prm ls lsts ontnnt 3 nts ou plus, rz ux rs qu n pprssnt qu ns ux ss Élmnz vos ux ss ls rs utrs qu ux u oult é Contnuz sussvmnt v ls k-tuplts nus t és, k 3 27

5 DossrApplton 28 Exlusons J Dns tt onurton u Suoku, l or st l loqu Sot qutr ss vs à l ntrston ux rnés t ux olonns On t qu ls ormnt un l-x 1 s l xst un r n qu n st nt ns ls ux rnés qu à l ntrston s ux olonns Bn qu l énton un l-x xlu éjà l présn n ns ls utrs ss s ux rnés, omm nous xplqurons plus tr, tt onurton xlut uss n s utrs ss s ux olonns On urt uss pu énr un l-x n nvrsnt l rôl s rnés t s olonns t l xluson urt u lu ns ls utrs ss s ux rnés L xluson J s xplqu sémnt ns un xmpl onrt omm lu u Suoku l ur 4 À l ntrston s rnés, t s olonns 2, 7, on osrv qu l r L xprsson l-x st un truton X-Wn, l élèr vssu Luk Skywlkr ns l sér Str Wrs 7 1, 2, 6 3, 6 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 3, 9 3 n st nt qu ns ux ss s rnés t Sot qu 3 pprtnn à 2, sot qu l pprtnn à 7 Dns l prmr s, l 3 st lors xlu 7 t touts ls utrs ss l olonn 2 Dns l rné, l 3 n put on plus pprtnr à 2 t l ot on pprtnr à 7 L éson plr l 3 n 2, prmt l xlur touts ls ss s olonns 2 t 7 su 2 t 7 V vrs, s l r 3 étt or plé ns l s 7, lors un nlys smll émontrrt qu 3 n put pprtnr à uun s ss s olonns 2 t 7 su 7 t 2 En onluson, l présn un l-x xlut l 3 s lsts nts ux ss 2, 7 t 7 L vlur un xluson épn n rn prt l lté v lqull ll put êtr utlsé Pour un xluson typ, l tnqu st ntqu à s ormulton Dns qu rné, ntz ls rs qu n sont nts qu ns ux ss Pour qu r, vérz s l st nt à l ntrston s ux olonns v un utr rné S r n st ps nt llurs ns tt nouvll rné, lors vous pouvz l xlur s utrs ss s ux olonns 1, 6, 9 1, 3 3, 6 1, 3, 4 3, 4, , 9 2, 3, 9 2, 3, 9 4 1, 9 1, 3,, ,, 9 3, 9 1, 2,, 9 2, 3, 9 1, 3 2, 3 1, 2, 9 6 2, 3 1, 2 2, 9 1, 9 3, 4, 3, 4 Ls jouurs urrs u Suoku rnt uss pour l présn un r n qu sot nt à l ntrston k rnés t k olonns, ms ps llurs sur s k rnés Comm uprvnt, tt onurton prmt xlur l r n s nts ns touts ls ss s k olonns à l xtérur s k rnés En nls, l onurton v k = 3 s nomm Swors t v k = 4, ll s nomm Jllys Toutos, un onurton v k st sns ntérêt r l st possl montrr qu ls utrs 9 k 4 olonns t rnés ormront un xluson J néssrmnt plus smpl ur 4 : Un xluson J

6 Jour mnt u Suoku Mr Lorst Éol Polytnqu Montrél L strutur Tulj Plutôt qu présntr un rnèr tnqu xluson, t rtl s trmnr v l présntton un résultt énérl Grory Tulj, rtur u Wllston Nortmpton Sool, onrnnt l strutur l soluton un Suoku Téorèm Tulj Supposons qu un jouur t réuss à rmplr touts ls ss vs u ss-têt ntl, tout n stssnt l ontrnt onmntl, t qu l ou ll mr joyusmnt son œuvr L ontnu un trplt orzontl los possè l un s ux proprétés suvnts ) Il xst un suvson {1, 2,, 9} n tros nsmls C 1, C 2, C 3 tros rs, tll qu qu trplt ss orzontls un lo st l un s tros nsmls ) Il xst un suvson {1, 2,, 9} n qutr nsmls, ls tros prmrs C 1, C 2, C 3 ontnnnt un ux rs t l rnr ontnt ls tros rnrs rs L = C1 C2 C 3 Cqu trplt ss orzontls un lo st l unon un s nsmls C t un s rs L Grâ à l symétr s Suokus, l st évnt qu résultt s pplqu utnt ux trplts orzontux los qu ux trplts vrtux los Dns l ur, l prmr s s pplqu ux los s rnés Plus présémnt, ns l lo, on C 1 = {1, 2, 3}, C 2 = {4,, 6}, C 3 = {7, 8, 9} t l trplt C 1 pprît n 123, 46 t 789 L uxèm s s pplqu ux trplt los s rnés C très jol résultt put uss êtr utlsé ns l résoluton Suoku n qu l n s prêt ps à un émr lortmqu omm ls tnqus préénts ur Un llustrton u téorèm Tulj