Vous avez défini en S3 l intégrale de Riemann d une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b], notée R b

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1 Chpire 2 Inégrles générlisées (ou impropres) Vous vez défini en S3 l inégrle de Riemnn d une fonion oninue pr moreu sur un inervlle [, b], noée R b f(), omme l ire (ve un signe posiif ou négif, selon le signe de l fonion) de l ourbe représenive de l fonion à inégrer sur e inervlle. On souhie dns e hpire donner un sens à des inégrles du ype R b f() lorsque l fonion f n es plus définie sur l inervlle [, b] ou enier ou lorsqu on souhie luler une inégrle sur un inervlle de longueur infinie (e qui es fréquen en physique ou en probbiliés). Z Z On souhie pr eemple svoir si on peu donner un sens u inégrles p, Z Définiion e eemples d inégrles impropres ou 2 On se donne un inervlle réel I =[, b[ ve <<bpple + e une fonion f :[, b[! R oninue (pr moreu). L fonion f es oninue sur [, ] pour ou <be on peu définir l primiive F :[, b[! R qui s nnule en pr Définiion 2.. F () = f()d. L inégrle de f sur [, b[ es die onvergene (on noe R b f onverge) si F dme une limie finie en b. Dns e s on pose f() = lim!b F (). De même si f es définie sur ], b] ve pple <b<, l inégrle impropre R b f es bien définie si lim f()! + eise. Enfin, si f es définie sur ], b[, l inégrle de f enre e b es die onvergene si lim! +,y!b Z y f() eise. Lorsqu on si luler epliiemen une primiive, une première mnière de vérifier qu une inégrle impropre es onvergene es don d eminer l limie de l primiive u poin à problème. 9

2 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne On peu églemen uiliser l définiion séquenielle de l limie d une fonion e le rière de Cuhy pour eprimer qu une inégrle impropre es bien définie (onvergene) ou ps. 2.. Eemples Inégrle R /2 L fonion f :], ]! R elle que f() =/ p es oninue e pour 2], ], F () = Z /2 = h2 /2i = 2( p ). L fonion F () dme don une limie lorsque! velim!+ F () =2. L inégrle R /2 onverge e vu 2. Inégrle R + os() L fonion 7! os() es oninue e une primiive es sin(). Pr onséquen, pour, os() =sin(). L inégrle R + os() es divergene, puisque l fonion sin() ne onverge ps lorsque end vers l infini. Inégrle R + ep( ) L fonion 7! ep() es oninue sur R e une primiive de f() =ep( )esf () = ep( ). On don ep( ) = ep( ) qui onverge vers qund! + e on R + ep( ) =. Inégrle R + p L fonion f :[, +[! R elle que f() =/ p es oninue e F () = 2( p limie finie en plus l infini. L inégrle impropre diverge. ) n ps de Inégrle R p 2 L fonion f() =( p 2 ) es oninue sur [, [. Elle pour primiive F () = R p = 2 rsin() rsin() = rsin() qui pour limie /2 lorsque!. L inégrle es don onvergene e Inégrle R 2 p 2 Z p 2 = 2. L fonion f() =( p 2 ) es oninue sur ], 2]. L fonion F () = R 2 p 2 = rg osh(2) rg osh() pour limie rg osh(2) = ln(2 + p 3) lorsque! +. L inégrle es don onvergene.

3 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne Inégrle R Avn de rier e eemple, enonçons le résul suivn. Soi f une fonion oninue sur ], b[ ve pple <bpple + Théorème 2.. (relion de Chsles pour les inégrles impropres) Soi f une fonion oninue [, b[7! R e soi 2], b[. L inégrle R b f() onverge si e seulemen si les inégrles R f() e R b f() onvergen. S il y onvergene, lors f() = Z e le résul ne dépend ps du poin hoisi. f() + f() Preuve L preuve es une onséquene diree de l relion de Chsles pour les inégrles définies. On en e e, pour ou 2], b[, e ou 2], b[ f() = Z f() + f() inégrle de Riemnn e don l inégrle onverge R b f() ssi lim!b R f() eise, d où le résul nnoné. R Appliquons le héorème prééden ve = e éudions l onvergene des inégrles impropres + e R L primiive F () = R De même, pour <, G() = R l inégrle R + Inégrle R = rn e lim!+ F () = /2. On don Z es onvergene e vu. + 2 = = rn() elim! G() = /2. Pr onséquen Appliquons de nouveu le héorème prééden pour vérifier l eisene de ee inégrle. On R = 2 /2 e don R + diverge. Aenion, on pourn bien R + = mis ei n ssure ps l onvergene d une inégrle générlisée : l onvergene doi voir lieu pour oues les suies (y n )e( n )quiendenvers e b. Inégrle R + L fonion f : 7! es oninue sur ], [ e ], +[. Eudions séprémen les deu inégrles impropres R e R +. Pour l première inégrle impropre, une primiive es F () = R =ln. On lim! F () =. Pr onséquen l inégrle diverge même si un risonnemen rop rpide uri pu nous fire penser qu elle vli. 2.2 Clul des inégrles impropres Nous énonçons les propriéés suivnes qui monren que les inégrles impropres (onvergenes) possèden les mêmes propriéés de linérié, d ddiivié e de roissne que les inégrles de Riemnn. Propriéé 2.2.

4 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne Linérié. Sif e g on des inégrles onvergenes sur ], b[ lors 8(, onverge e ) 2 R 2, R b f + g f + g = f + g. Croissne. Sif es posiive sur [, b[ e si R b f onverge lors R b f. L preuve es diree e repose sur les propriéés de linérié e de roissne de l inégrle de Riemnn e un pssge à l limie. Les hngemens de vrible e l inégrion pr pries doiven êre e eués ve préuion. On onsidérer oujours des inégrles de Riemnn en fisn endre vers le poin à problème. Théorème (hngemen de vribles) Soien f :], b[! R oninue e ' :], [!], b[, C e bijeive lors f()d e Z f '()' () son deu inégrles impropres de même nure e si elles onvergen Z f()d = f '() ' () Preuve L preuve es similire à l preuve du hngemen de vrible pour les inégrles de Riemnn ve en plus un pssge à l limie. Le fi que ' soi bijeive perme d ssurer l équivlene une inégrle onverge () l ure inégrle onverge. L vleur bsolue perme de ompenser l inerversion des limies d inégrion lorsque l fonion ' es déroissne. Eemple de hngemen de vrible Clul de l inégrle Z + ( + (ln) 2 ). L fonion f() = (+(ln) 2 ) es oninue sur [ + [. Pr omprison ve les inégrles de Berrnd, on remrque que l inégrle es onvergene. On onsidère le hngemen de vrible = '() =ln(). L fonion ' :[+[![, +[ esc e roissne, ' () = e on obien don Z + Z + ( + (ln) 2 ) = ='() d = lim +2 u!+ [rn(u)]u = 2. Une ure ehnique lssique es l inégrion pr pries (uile pr eemple lorsque l fonion à inégrer es un produi de fonions ep ou rigo e de polynômes). Théorème (inégrion pr pries) Soien f e g deu fonions C sur ], b[. Si l fonion fg deslimiesfiniesen e en b lors f ()g() e f()g ()

5 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne son de même nure e si elles onvergen f()g () =lim b fg lim fg f ()g(). Preuve. L preuve es omise. Elle es similire à l preuve de l inégrion pr pries ve les inégrles de Riemnn, ve en plus un pssge à l limie. Eemple : R + e d L fonion h() =e es oninue sur R + e posiive. E euons une inégrion pr pries pour luler ee inégrle en posn f() = e g () =e. On, pour >, Z e d = e Z = e (e ) ( e )d On lim! e =elim! e =, l inégrle onvergene vu don. 2.3 Crières généru de onvergene d une inégrle impropre On ne si ps oujours luler epliiemen (rremen en fi) l primiive de l fonion à inégrer. On pourr ependn déerminer dns bien des s si l inégrle onsidérée es onvergene ou non Comprison de fonions posiives (ou de signe onsn) Les propriéés suivnes pourron êre ppliquées à des fonions qui son de signe onsn uour du poin à problème. Commençons pr présener quelques inégrles de référene Propriéé 2.3. L inégrle L inégrle Z + es onvergene ssi >. Z es onvergene ssi <. Preuve Si =, une primiive de f() := es l fonion ln e les deu inégrles divergen. Si 6= lors pple + F () := = + =.

6 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne L limie de F () qund!es finie ssi < soi >. Pr illeurs Z pple + G() := = + =. Or une limie finie qund! ssi >, soi <. On rerouve ii les rières de onvergene des séries de Riemnn ( P n n ) qui son onvergenes ssi >. Nous pouvons minenn énoner le héorème suivn, qui es souven uilisé : Théorème (héorème de omprison) Soien f e g deu fonions [, b[! R + q 8 2 [, b[, pple f() pple g(). Si R b g onverge lors R b f onverge e Si R b f diverge lors R b g diverge pple f() pple g() Avn de fire l preuve, rppelons ou d bord le résul imporn suivn : si F es une fonion roissne de I =[, b[ dns R e si F es mjorée (-à-d 9M el que 8 2 [, b[, F() pple M), lors l fonion F dme une limie finie en b. Preuve On pr l roissne de Riemnn ppliquée à g f, pour 2 [, b[, e pr linérié F () := (f() g())d f() pple g() := G(). Si R b g = M<, lors l fonion F roissne sur [, b[ es mjorée pr M, elle dme une limie finie en b e qui hève l preuve du premier poin. Si R b f es divergene, pr posiivié e roissne on lim!b F () =+lors lim!b G() = + e l divergene de R b g(). Eemple R e 2 L fonion f() =e 2 es posiive e pour ou on f() pple g() :=e. Comme R + g() es une inégrle onvergene, on pr le héorème de omprison que l inégrle R e 2 es onvergene. On peu même en déduire que Z e 2 pple + e. (On peu monrer pr un ure ype de lul que ee inégrle vu p /2.) Fonions posiives équivlenes On rppelle l définiion d un équivlen en un poin b (qui peu êre l infini) pour deu fonions f e g f b g signifie 9h :[, b[! R elle que f = hg e lim!b h() =.

7 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne Propriéé Soien f,g deu fonions oninues de [, b[! R + vérifin f b g. Alors les inégrles R b f e R b g son de même nure. Cee propriéé es rès uile pour monrer l onvergene lorsqu on si rouver des équivlens simples (don les primiives son onnues). Preuve Le fi que lim!b h() = enrine qu il eise 2 [, b[ elque82 [, b[, /2 pple h() pple 3/2. Pr onséquen, on 8 2 [, b[, pple g() pple 2f() pple 3g() On don ve le héorème de omprison des fonions posiives que insi que On ussi insi que f onverge ) f onverge ) f diverge ) g onverge ) f diverge ) g diverge ) 2f onverge ) f onverge. 3 2 g diverge ) f diverge. g onverge ) g diverge g onverge Eemple : R ln(+) p ( ) Nous llons monrer que ee inégrle es onvergene à l ide d équivlens. L fonion f() = pln(+) es oninue e posiive sur ], [. ( ) Eminons le omporemen f en e en. En +,ln( + ) e ( p ( que R /2 es onvergene. En, f() Eemple : R )) 3/2. Pr onséquen, f() /2 en. Or on vu p ln2 e R p p =lim! 2 =2es onvergene. sin() 2 L fonion f() = sin() 2 es oninue e posiive sur ], ]. Eminons le omporemen f en. En, sin() e f(). L inégrle es don divergene. Eemple : R + rn( ) Monrer que ee inégrle es divergene à l ide d équivlens : à fire en TD. Eemple : onvergene R + e /2 L fonion f() =e /2 es posiive e oninue sur [, +[. A l infini, elle es négligeble devn l fonion g() =ep( ) don l inégrle R + ep( ) es onvergene. Voii minenn un résul imporn qui perme de rériser l onvergene de séries numériques e d inégrles générlisées.

8 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne Théorème (omprison série-inégrle pour les fonions posiives) Soi f une fonion oninue e posiive, f : [, b[! R + e ( n ) n une suie roissne de poins de [, b[ qui onverge vers b, L inégrle R b f es onvergene ssi l série P R n+ n n f() es onvergene. Preuve On noe, pour 2 [, b[, F() = R f(). Uilisons l définiion séquenielle de l limie d une fonion roissne. On onsidère une suie roissne ( n ) n d élémens de [, b[ qui onverge vers b. Pr l posiivié de l fonion f sur [, b[ e l roissne de l suie ( n ) on, pour n, pple n f() = F ( n ) pple F ( n )= e pr l relion de Chsles (fire un dessin) nx pple k= k+ k n f() = F ( n ) pple f() nx k= k+ k où on hoisi = f(). Si l série de erme générl ( R n n f()) n onverge vers une limie ` lors (F ( n )) es une suie bornée. Elle es roissne don elle onverge églemen. Réiproquemen, si l inégrle es onvergene, lors l suie (F ( n )) onverge vers R b f() e l première inéglié nous di que l série de erme générl ( R n n f()) es ussi onvergene (série mjorée e à ermes posiifs). Ave le même ype de risonnemen il es pr eemple immédi de monrer que l série P k k es divergene en l omprn ve l inégrle de l fonion f : 7! don une primiive es F () = ln(). On rerouve ussi direemen les rières de onvergene des séries de Riemnn. Aenion : on si qu une ondiion néessire pour qu une série numérique onverge es que son erme générl ende vers. Dns le s des fonions oninues, l onvergene de R + f()d n implique ps que f ende vers à l infini. On peu onsruire des eemples simples de fonions oninues don l inégrle onverge e qui ne enden ps vers à l infini (9M >elque8u2r, 9 >uel que f() >M). On peu onsidérer pr eemple une fonion qui sur hque inervlle [n, n + ] es nulle suf sur un sous inervlle de lrgeur 2n 2 qui défini un ringle de hueur M : l surfe du ringle es don Mn 2 e on monre filemen que l inégrle onverge r l série P n n 2 es onvergene. (fire le dessin u bleu). Il es églemen possible de hoisir une fonion posiive e oninue qui n es ps bornée (en remplçn M pr nm e n 2 pr n 3 dns l eemple prééden) mis don l inégrle es onvergene sur R Crières de onvergene dns le s générl On ne suppose plus minenn que le signe de l fonion à inégrer es onsn u voisinge du poin à problème, elle osille. On peu uiliser un rière générl de onvergene de l primiive : le rière de Cuhy (qui implique que l primiive onverge u poin à problème). Il es ussi uile pour démonrer qu une inégrle impropre n es ps onvergene en risonnn pr l bsurde. Théorème (rière de Cuhy pour les inégrles indéfinies) Soi f une fonion oninue sur [, b[. L inégrle R b f() es onvergene ssi pour ou >, ileise 2 [, b[.q. pour ous, y 2], b[ on Z y f() pple. Il s gi bien du rière de Cuhy pour les fonions, en remrqun que F (y) F () = R y f. On rppelle l définiion séquenielle de l limie d une fonion dns le s générl. L fonion g :[, b[! R dme une limie ` en b ssi pour oue suie (u n )d élémensde[, b[ qui onverge vers b, lsuieg(u n ) onverge vers `.

9 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne Théorème (Comprison inégrles-séries dns le s générl) Soi f : [, b[! R une fonion oninue. L inégrle R b f() onverge ssi, pour oue suie ( n ) de poins de [, b[ qui onverge vers b qund n end vers l infini, l série de erme générl u n = n+ n Preuve On noe, pour 2 [, b[, f() es onvergene. F () = f(). Le fi que l inégrle R b f() soi onvergene signifie, pr définiion, que l fonion F unelimie finie noée F (b), en b. En dopn le poin de vue séqueniel de l définiion de l limie d une fonion, el signifie que pour oue suie ( n ),n, de poins de [, b[ qui onverge vers b, l suie (F ( n )) onverge vers une vleur finie F (b). En ppliqun l relion de Chsles à l inégrle de Riemnn R n f()d, on F ( n )= nx f() + k= k+ k f() (2.) nx = u k (2.2) k= L équivlene enre l onvergene des deu pries de l églié préédene es lors immédie. Ce héorème générl pourr êre uile pour monrer qu une inégrle diverge en l omprn à une série divergene mis ussi à monrer qu une série onverge (e obenir s vleur limie) à prir du lul d une inégrle. Pour monrer l divergene d une inégrle il su r d ehiber une suie ( n ) qui onverge vers b elle que l série (2.2) soi divergene. 2.4 Convergene bsolue, inégrles semi-onvergenes Théorème 2.4. (Convergene bsolue) Soi f : [, b[! R une fonion oninue (pr moreu). Si R b f() es onvergene lors R b f() es ussi onvergene e f() pple f(). Fisons quelques remrques vn de démonrer e résul Remrque 2 Un résul nlogue à elui vu pour les séries u semesre prééden. On peu ppliquer à f les résuls vus pour les fonions posiives Si R f onverge on di que R b f es bsolumen onvergene. Il eise des inégrles onvergenes qui ne son ps bsolumen onvergenes (voir l eemple R + sin() rié plus rd). Ces inégrles son ppelées semi-onvergenes Preuve Déomposons l fonion f en s prie posiive e s prie négive (fire un dessin) : f = f + f

10 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne ve f + () = m(f(), ) e f = m( f(), ). Les deu fonions f + e f son posiives e pour 2 [, b[, f() = f + ()+f () D près le héorème de omprison des fonions posiives ppliqué à pple f on En érivn, pour 2 [, b[, f onverge ) F () = f f() d = Pr onséquen l limie suivne eise e on Enfin, omme e, lim F () =lim!b!b e f + () +lim!b f + onvergen vers e. f + ()d + f ()d f + () = +. pple f e pple f + pple f, f() = pple + pple f(). Eemple R + sin() (inégrle de Dirihle) Monrons qu il s gi d une inégrle semi-onvergene. L fonion h() = sin()/ (ppelée sinus rdinl, voir Figure 2.) es oninue sur ], +[. En, sin() e don h() e l inégrle R h() es onvergene. Considérons minenn, pour, sin F () = e e euons une inégrion pr pries. On pose g () =sin e f() =, e on obien pple Z os F () = ( os ) 2 On liremen 2 os pple 2 e don l inégrle à droie es bsolumen onvergene don onvergene. Pr illeurs l limie lim! eise e es finie. L inégrle es don onvergene. os Monrons minenn qu elle n es ps bsolumen onvergene en uilisn le héorème de omprison R série-inégrle pour les fonions posiives. Ehibons pour el une suie ( n )ellequelsuie n sin / diverge. Sur hque inervlle [(n ), n ] on (on pose n = n ) (FAIRE UN DESSIN) sin sin n d où Z n (n ) sin n Z sin = 2 n r l fonion sin() / sin /(n ) sur[(n ), n ] e sin() es -périodique. Ainsi, n sin 2 nx k= k qui es une série divergene. L inégrle n es don ps bsolumen onvergene e elle es semi-onvergene.

11 Anlyse Mh4 Universié de Bourgogne sin()/ Figure 2. Fonion sinus rdinl

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