CHAPITRE 1 : NUMÉRATION...

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2 @Matheur copyleft page 2 Mise à jour le 27/12/2012

3 TABLE DES MATIERES CHAPITRE 1 : NUMÉRATION... 5 COURS 1 : ECRIRE DES NOMBRES EN CHIFFRES... 6 COURS 2 : ECRIRE DES NOMBRES EN LETTRES... 8 COURS 3 : ECRIRE DES NOMBRES DECIMAUX EN CHIFFRES... 9 COURS 4 : ECRIRE DES NOMBRES DECIMAUX EN LETTRES CHAPITRE 2 : ORDRE COURS 1 : ORDONNER DES NOMBRES ENTIERS COURS 2 : ORDONNER DES NOMBRES DECIMAUX CHAPITRE 3 : OPÉRATIONS COURS 1 : ADDITION DE DECIMAUX COURS 2 : SOUSTRACTION DE DECIMAUX COURS 3 : MULTIPLICATION DES ENTIERS COURS 4 : DIVISION D ENTIERS SANS VIRGULE COURS 5 : DIVISION DE DECIMAUX COURS 6 : PROBLEMES CHAPITRE 4 : GÉOMÉTRIE COURS 1 : LES DROITES COURS 2 : LES ANGLES COURS 3 : LES TRIANGLES COURS 4 : QUADRILATERES COURS 5 : PERIMETRE ET AIRES FORMULAIRE : CALCUL DES PÉRIMÈTRES FORMULAIRE : CALCUL DES AIRES COURS 6 : LES SOLIDES CHAPITRE 5 : CONVERSION COURS 1 : CONVERSION DES UNITES DE LONGUEUR COURS 2 : CONVERTIR DES UNITES DE CAPACITES/MASSES COURS 3 : CONVERTIR LES UNITES DE TEMPS COURS 4 : CONVERSION DES UNITES DE MESURE D AIRES COURS 5 : CONVERSION DES UNITES DE MESURE DES VOLUMES CHAPITRE 6 : CALCUL D UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE COURS 1 : CALCULER LE CARRE OU LE CUBE D'UN NOMBRE COURS 2 : CALCULER UNE FORMULE CHAPITRE 7 : PROPORTIONNALITÉ COURS 1 : LA PROPORTIONNALITE COURS 2 : LE PRODUIT EN CROIX COURS 3 : POURCENTAGE CHAPITRE 8 : TABLEAUX COURS 1 : LIRE UN TABLEAU A DOUBLE ENTREECERTAINES SITUATIONS MATHÉMATIQUES PEUVENT SE TRADUIRE PAR UN TABLEAU CHAPITRE 9 : GRAPHIQUES COURS 1 : DROITE GRADUEE COURS 2 : LIRE UN GRAPHIQUE... copyleft page 3 Mise à jour le 27/12/2012

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5 Chapitre 1 : copyleft page 5 Mise à jour le 27/12/2012

6 COURS 1 : ECRIRE DES NOMBRES EN CHIFFRES Les nombres (il y en a une infinité) sont écrits avec 10 chiffres : Exemple 1: trois cent vingt-cinq chiffre des centaines chiffre des dizaines chiffre des unités On lit à partir de la gauche : trois cent vingt-cinq Pour écrire les grands nombres de façon plus "lisible", on fait des groupes de 3 chiffres à partir de la droite séparés par un espace. Exemple 2 : vingt-trois mille quinze ou On écrira donc : On lit à partir de la gauche : On lit à partir de la gauche : vingt-trois mille quinze Méthode Écrire deux cent trois mille cinq Aide : Les grands nombres peuvent se ranger dans un tableau : placer 203 dans la classe des mille placer 5 dans la classe des unités. Quand une classe (centaine, dizaine, unité) manque, on remplace par un zéro. Classe des mille mille Classe des unités centaine dizaine unité centaine dizaine unité On lit à partir de la gauche : soit deux cent trois mille cinq copyleft page 6 Mise à jour le 27/12/2012

7 Écrire cent six millions trois mille vingt-cinq. Utilisons le tableau ci-dessous : Classe des millions Classe des mille Classe des unités centaine dizaine unité centaine dizaine unité centaine dizaine unité placer 106 dans la classe des millions placer 3 dans la classe des mille placer 25 dans la classe des unités. Quand une classe (centaine, dizaine, unité) manque, on remplace par un zéro. Classe des millions Classe des mille Classe des unités centaine dizaine unité centaine dizaine unité centaine dizaine unité Le nombre cent six millions trois mille vingt-cinq s'écrit donc : On lit : soit cent six millions trois mille vingt-cinq millions copyleft page 7 Mise à jour le 27/12/2012

8 RAPPEL : nombres jusqu'à 100 COURS 2 : ECRIRE DES NOMBRES EN LETTRES 1 un 15 quinze 2 deux 16 seize 3 trois 17 dix-sept 4 quatre 18 dix-huit 5 cinq 19 dix-neuf 6 six 20 vingt 7 sept 30 trente 8 huit 40 quarante 9 neuf 50 cinquante 10 dix 60 soixante 11 onze 70 soixante-dix 12 douze 80 quatre-vingt 13 treize 90 quatre-vingt-dix 14 quatorze 100 cent Règle 1 Vingt ne prend pas de "s" lorsqu il est suivi par un autre nombre Règle 2 Cent ne prend pas de "s" lorsqu il est suivi par un autre nombre Règle 3 Mille est invariable : il ne prend jamais de "s". Règle 4 Il n y a pas de tiret avant ou après cent, mille, million Exemples quatre - vingts hommes quatre - vingt-deux marches sept cents marches. sept cent dix marches cinq cent trente six cent soixante-dix marches. trente mille francs. Pour les dates, on peut écrire mil ou mille. Exemple : l an mille ou l an mil. mille neuf cent dix cinq millions deux cent copyleft page 8 Mise à jour le 27/12/2012

9 COURS 3 : ECRIRE DES NOMBRES DECIMAUX EN CHIFFRES Tous les nombres s écrivent à l aide des chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), éventuellement d une virgule et de points de suspension. Exemples : 3,5 ; 1 004,36 ; 95,4 ; 0,3333.etc... Les nombres entiers ou naturels sont les nombres décimaux sans virgule. Exemples : 3 ; ; ; etc... Remarque : certaines calculatrices affichent des nombres avec un point à la place de la virgule. Cette écriture n'est pas admise à l'examen du CFG. Exemples : 6.5 doit s'écrire : 6,5 et doit s'écrire : 2 304,36 Un nombre décimal est formé de deux parties : la partie entière et la partie décimale. Les deux parties du nombre décimal sont séparées par un séparateur décimal (la virgule). Exemple Les dixièmes Un dixième c'est 1 unité partagée en 10 "morceaux" égaux. 1 unité = 10 dixièmes Le chiffre des dixièmes est le premier chiffre après la virgule. Exemple : Les centièmes et les millièmes Un centième c'est 1 dixième partagée en 10 "morceaux" égaux 1 centième = 10 dixièmes 1 unité = 100 centièmes Le chiffre des centièmes est le deuxième chiffre après la virgule. Exemple copyleft page 9 Mise à jour le 27/12/2012

10 On peut utiliser le tableau suivant : Classe des mille Partie entière Classe des unités Séparateur décimal (virgule) Partie décimale centaine dizaine unité centaine dizaine unité dixième centième millième 1 2 3, Lire les nombres décimaux Exemples : 0,04 se lit : quatre centièmes 1,5 se lit : quinze dixièmes 815,104 se lit : huit cent quinze et sept cent quatre millièmes Classe des mille Partie entière Classe des unités Partie décimale centaine dizaine unité centaine dizaine unité dixième centième millième Comment écrire vingt-six centièmes? - placer 6 dans la classe des centièmes - placer 2 dans la classe des dixièmes - les classes vides sont remplacées par des zéros Classe des mille Partie entière 0, 0 4 1, , Classe des unités Partie décimale centaine dizaine unité centaine dizaine unité dixième centième millième 0, 2 6 Les zéros inutiles Règle 1 On peut supprimer les zéros à gauche un nombre sauf si le nombre commence par 0, Exemples : 005 = ,03 = 04,03 0,42 = 0,42 Règle 2 On peut supprimer les zéros à droite d un nombre décimal s ils sont à la fin de la partie décimale. Exemple : 4,20 = copyleft page 10 Mise à jour le 27/12/2012

11 Classe des mille COURS 4 : ECRIRE DES NOMBRES DECIMAUX EN LETTRES APPLICATION AUX EUROS Euros ( ) virgule centaine dizaine unité centaine dizaine unité dixième centime millième 3 5, 7 8 Ce nombre se lit : 35 euros 78 centimes Classe des mille APPLICATION GENERALE Classe des unités virgule centaine dizaine unité centaine dizaine unité dixième centième millième 5 6, 1 2 1, 5 Ce nombre se lit : 56 unités 12 centièmes ou 56 virgule 12 COMMENT REMPLIR UN CHÈQUE? Pour bien remplir un chèque il faut : 1. remplir le talon du chèque (partie qui reste accrochée au chéquier) : calcul du nouveau solde : Nouveau solde = ancien solde - montant du chèque Talon du chèque DATE ORDRE OBJET N CHEQUE ANCIEN NOUVEAU SOLDE 247,50 MONTANT SOLDE 2. remplir le chèque en complétant la somme en chiffres, puis en lettres (c'est la somme en lettres qui compte en cas d'erreur) 3. remplir l'ordre (c'est le nom de la personne à qui on donne le chèque) 4. remplir le lieu et la date 5. signer le copyleft page 11 Mise à jour le 27/12/2012

12 Chapitre 2 : copyleft page 12 Mise à jour le 27/12/2012

13 COURS 1 : ORDONNER DES NOMBRES ENTIERS 1. Les symboles = signifie : égale < signifie : «plus petit que» ou «inférieur à» > signifie : «plus grand que» ou «supérieur à» On écrit par exemple : 3 < 4 On lit : «3 est plus petit que 4» ou «3 inférieur à 4» petit nombre < grand nombre On écrit par exemple : 5 > 4 On lit : «5 est plus grand que 4» ou «5 supérieur à 4» Grand nombre > petit nombre Une idée pour retenir : 2. Comparer des nombres entiers 4 est plus petit que 7 Règle 1 : un nombre entier est plus grand qu'un autre s'il a plus de chiffres que celui-ci. Exemple : 325 > 23 Règle 2 : si les deux nombres ont le même nombre de chiffres, on les compare chiffre à chiffre à partir de la gauche. Exemple 1: 456 et 742 4<7 ; 4 "est plus petit que" 7 donc 456 < 742 Exemple 2 : et Les 2 nombres ont le même nombre de chiffres (4). On regarde donc le 1 er chiffre à partir de la gauche : 1 = 1. On regarde le chiffre suivant 2>1 donc > 1 copyleft page 13 Mise à jour le 27/12/2012

14 3. Classer en ordre croissant (du plus petit au plus grand) Exemple : classer dans l'ordre croissant les nombres ci-dessous : 12 ; ; 989 ; 123 ; 567 ; 321 ; ; 65 On regarde d'abord les nombres à un chiffre. Il n'y en a pas. on regarde les nombres à deux chiffres : 12 et <65. On classe 12 < 65. On regarde ensuite les nombres à trois chiffres : 989 ; 123 ; 567 ; 321 et on les classe en comparant les chiffres de gauche (donc le chiffre des centaines) et on les classe : 123 < 321 < 567 < 989. On classe ensuite les nombres à quatre chiffres : < et on obtient le classement final : 12 < 65 < 123 < 321 < 567 < 989 < < Classer en ordre décroissant (du plus grand au plus petit) Exemple : classer dans l'ordre décroissant les nombres ci-dessous : 23 ; ; ; ; 956 ; 58 On recherche les nombres qui ont le plus grand nombre de chiffres : et (5 chiffres). On compare les chiffres à partir de la gauche : 1 = 1. donc on compare le chiffre suivant 0 = 0. On continue 0 = 0. On continue encore : 0<3. Donc < Le plus grand nombre est : On classe donc : > Ensuite on cherche les nombres à 4 chiffres et on les classe etc... On obtient le classement final suivant : > > > 956 > 58 > 23 Vérification : il faut vérifier qu'on a autant de nombres à classer et après classement (6 nombres à classer dans copyleft page 14 Mise à jour le 27/12/2012

15 COMPARER DES NOMBRES DÉCIMAUX COURS 2 : ORDONNER DES NOMBRES DECIMAUX Règle 1 On compare d'abord les parties entières. Celui qui a la plus grande partie entière est le plus grand. Exemple : 12,563 et 135, > 12 donc 135,001 > 12,563 Règle 2 Les nombres à comparer ont la même partie entière On compare d'abord les chiffres des dixièmes. S'ils sont égaux, on compare les chiffres des centièmes, puis celui des millièmes etc... Exemple : 35,41 et 35,62 Les parties entières sont égales : 35 = 35 donc on regarde les chiffres des dixièmes : 4 < 6 donc 35,41 < 35,62 Autre méthode Pour ordonner des nombres décimaux facilement et sans se tromper, il suffit de rajouter des zéros pour que les nombres aient tous autant de chiffres après la virgule. On compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, on compare les parties décimales. Exemple : ordonner les nombres suivants : 3, ,8-2,25 On peut écrire : 3,20-3,00-2, 80-2,25 On classe ensuite plus facilement : 2,25 < 2,80 < 3,00 < copyleft page 15 Mise à jour le 27/12/2012

16 Chapitre 3 : copyleft page 16 Mise à jour le 27/12/2012

17 COURS 1 : ADDITION DE DECIMAUX Règle Pour additionner des nombres décimaux (nombres à virgule), il faut aligner les chiffres des unités les uns sous les autres, les virgules sous les virgules, les dixièmes sous les dixièmes,..., les dizaines sous les dizaines etc. Ensuite, il faut additionner les nombres en colonnes comme pour l addition d entiers en n'oubliant pas les retenues. Exemples d'opérations en ligne : 32,4 + 26,71 = On pose l'opération en colonnes pour effectuer le calcul. retenue 1 on pose l opération : 3 2, , , 1 1 Résultat : 32,4 + 26,71 = 59,11 45, =? on pose l'opération : Aligner les virgules Aligner les virgules Résultat : 45, = 185,2 4 5, , 1 8 5, 2 Vocabulaire de l'addition AJOUTER J ai 15 litres d eau. J ajoute 3 litres. J ai donc : = 18 litres METTRE ENSEMBLE Claude a 5 livres et Andrée en a 7. Ils les mettent ensemble. Ils ont donc au total : = 12 livres GROSSIR Pierre pesait 66 kg, il a grossi de 3 kg. Il pèse donc à présent : = 69 kg AUGMENTER Les cigarettes coûtaient 1,50. Elles ont augmenté de 1,60. Elles valent donc à présent : 1,50 + 1,60 = 3,10 MAJORER le billet de train pour aller à Lyon valait 8,15. Il a été majoré de 5 euros. Il coûte donc maintenant : 8, = copyleft page 17 Mise à jour le 27/12/2012

18 COURS 2 : SOUSTRACTION DE DECIMAUX Règle Pour soustraire des nombres décimaux (nombres à virgule), il faut aligner les virgules les unes sous les autres. Ensuite, il faut soustraire les nombres en colonnes comme pour la soustraction d entiers. Premier cas : soustraction simple 19,8-5,3 = Aligner les virgules on pose : 1 9, 8-5, 3 1 4, 5 19,8-5,3 = 14,5 Deuxième cas : soustraction avec retenue 52,4-26,91 = Aligner les virgules on pose : 5 2, , , ,4-26,91 = 25,49 Troisième cas : l'un des nombres est un entier ,87 = Faire comme si le nombre s'écrivait 140,00 Aligner les virgules on pose : 1 4 0, retenue , , 1 3 Calcul de la colonne de droite : 10-1=9. Je pose 9 et je retiens 1 que je pose dans la colonne juste après etc ,87 = copyleft page 18 Mise à jour le 27/12/2012

19 COURS 3 : MULTIPLICATION DES ENTIERS 1. MULTIPLIER DES ENTIERS PAR 10, 100, Règles : pour multiplier un nombre entier par 10 : ajouter 1 zéro à droite du nombre pour multiplier un nombre entier par 100 : ajouter 2 zéros à droite du nombre pour multiplier un nombre entier par : ajouter 3 zéros à droite du nombre etc. Exemples : 78 x 10 = x 100 = x 1000 = MULTIPLIER DES ENTIERS Exemple calculer 316 x MULTIPLIER UN DÉCIMAL PAR UN AUTRE DÉCIMAL Exemple : 35,20 x 1, multiplier le multiplicande (316) par le chiffre des unités du multiplicateur (5). Le résultat est multiplier le multiplicande (316) par le chiffre des dizaines du multiplicateur (2) en s'alignant sur les dizaines. Le rang des unités est remplacé par un point. Le résultat est multiplier le multiplicande (316) par le chiffre des centaines du multiplicateur (1) en s'alignant sur les dizaines. Les rangs des dizaines et des unités sont remplacés par des points. Le résultat est Faire la somme des résultats obtenus. Le produit est Avant de commencer une multiplication, il faut supprimer les zéros inutiles. 35,20 x 1,340 devient : 35,2 x 1,34 Ensuite, il faut poser la copyleft page 19 Mise à jour le 27/12/2012

20 1. Disposer les nombres en alignant virgule sous virgule, unités sous unités etc. 2. Effectuer la multiplication comme pour les entiers, sans tenir compte de la virgule. 3. Placer la virgule dans le produit en comptant autant de chiffres après la virgule. Dans l'exemple, il y a 1 chiffre après la virgule au multiplicande et 2 chiffres après la virgule au multiplicateur, donc 3 chiffres en tout après la virgule. 4. CAS PARTICULIERS A. zéros terminaux. Exemple : 34,2 x 200 Disposer les nombres en alignant virgule sous virgule, unités sous unités etc. Effectuer la multiplication comme pour les entiers, sans tenir compte de la virgule. On peut aussi éviter de multiplier par 0 et écrire de façon plus simple : 342 x 2 = 684 puis ajouter les deux zéros et mettre la virgule. Placer la virgule dans le produit en comptant autant de chiffres après la virgule. Dans l'exemple, il y a en tout 1 chiffre après la virgule. B. Zéros intercalés. Exemple : 43 x 2,06 1. Disposer les nombres en alignant virgule sous virgule, unités sous unités etc. 2. Effectuer la multiplication comme pour les entiers, sans tenir compte de la virgule. 3. Le deuxième point remplace la multiplication par zéro 4. placer la copyleft page 20 Mise à jour le 27/12/2012

21 5. MULTIPLIER DES DÉCIMAUX PAR 10, 100, Règles pour multiplier un décimal par 10 : déplacer la virgule de 1 chiffre vers la droite. Exemple : 12,5 x 10 = 125 pour multiplier un décimal par 100 : déplacer la virgule de 2 chiffres vers la droite en ajoutant des zéros si nécessaire. Exemple : 12,5 x 100 = pour multiplier un décimal par : déplacer la virgule de 3 chiffres vers la droite en ajoutant des zéros si nécessaire. Exemple : 12,5 x = copyleft page 21 Mise à jour le 27/12/2012

22 1. DIVISER DES ENTIERS PAR 10, 100, Règles pour diviser par 10 : enlever 1 zéro pour diviser par 100 : enlever 2 zéros pour diviser par 1000 : enlever 3 zéros Exemples : 580 : 10 = : 100 = : 1000 = 20 Définitions : COURS 4 : DIVISION D ENTIERS SANS VIRGULE reste = 3 Raisonnement «dans la tête» Je pose l'opération Il y a 1 chiffre au diviseur, je prends 1 chiffre au dividende En 5, combien de fois 4? 1 fois car 4 X 1 = copyleft page 22 Mise à jour le 27/12/2012

23 J écris 1 au quotient Je calcule : 4 X 1 = 4 Je pose la soustraction 5-4 = 1 J abaisse le 9 En 19, combien de fois 4? 4 fois car 4 X 4 = 16 J'écris 4 au quotient Je pose la soustraction = 3 59 : 4 = 14 reste copyleft page 23 Mise à jour le 27/12/2012

24 2. DIVISION A 3 CHIFFRES AU DIVIDENDE OU PLUS Poser l'opération Exemple : 247 : 3 = Raisonnement «dans la tête» Je pose l'opération Il y a 1 chiffre au diviseur, je prends 1 chiffre au dividende En 2 combien de fois 3? 0 fois Alors je regarde en 24 combien de fois 3? 8 fois car 3 x 8 = 24 J écris 8 au quotient Je pose la soustraction = 0 J'abaisse le 7 En 7, combien de fois 3? 2 fois car 3 X 2 = 6 Je pose la soustraction et je calcule le reste 7-6 =1 247 : 3 = 82 reste copyleft page 24 Mise à jour le 27/12/2012

25 COURS 5 : DIVISION DE DECIMAUX 1. DIVISER UN DECIMAL PAR 10, 100, 1000, Règles Pour diviser par 10 : décaler la virgule de 1 rang vers la gauche pour diviser par 100 : décaler la virgule de 2 rangs vers la gauche pour diviser par 1000 : décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche pour diviser par : décaler la virgule de 4 rangs vers la gauche etc Exemples : 4,5 10 = 0,45 5,8 100 = 0,058 25, = 0, = 0,1254 virgule décalée de 4 rangs vers la gauche 2. DIVISION A VIRGULE Poser une division à virgule Raisonnement "dans la tête" Poser la division en laissant de la place entre le dividende et le diviseur pour continuer la division après la virgule. En 5 combien de fois 7? 0 fois En 59 combien de fois 7? 8 fois car 7 x 8 = 56 J'écris 8 au quotient Je pose et je calcule la soustraction = copyleft page 25 Mise à jour le 27/12/2012

26 J'abaisse le 8 En 38 combien de fois 7? 5 fois car 7 x 5 = 35. J'écris 5 au quotient Je pose et calcule la soustraction = 3 Le résultat de la division à l'unité près vaut : 598 : 7 = 85 Il n'y a plus de chiffres au dividende. J'abaisse un 0 (chiffre des dixièmes) et je pose la virgule au quotient. En 30 combien de fois 7? 4 fois car 4 x 7 = 28. J'écris 4 au quotient Je pose et je calcule la soustraction = 2 Le résultat de la division au dixième près vaut : 598 : 7 = copyleft page 26 Mise à jour le 27/12/2012

27 Il n y a plus de chiffres au dividende. J abaisse un 0 (chiffre des centièmes) En 20 combien de fois 7? 2 fois car 2 x 7 =14 J écris 2 au quotient Je pose et je calcule la soustraction = 6 Le résultat de la division au centième près vaut : 598 : 7 = 85,42 Il n'y a plus de chiffres au dividende. J'abaisse un 0 (chiffre des copyleft page 27 Mise à jour le 27/12/2012

28 En 60 combien de fois 7? 8 fois car 8 x 7 = 56. J'écris 8 au quotient Je pose et je calcule la soustraction = 4 Le résultat de la division au millième près vaut : 598 : 7 = 85, DIVISION D'UN DECIMAL PAR UN ENTIER Poser la division : 4,5 : 5 = Raisonnement : en 4, combien de fois 5? 0 fois Donc je regarde en 45, combien de fois 5? 9 fois. Lorsque je rencontre la virgule au dividende, je pose la virgule au quotient. Puis, je continue la division en posant la soustraction =0 4. DIVISION D'UN DECIMAL PAR UN DECIMAL Poser la division : 4, 0 3 : 1, 3 = Pour diviser par un nombre décimal, on doit supprimer la virgule du diviseur en multipliant le dividende et le diviseur par 10, 100, 1000 selon le nombre de chiffres après la virgule. Dans le cas de l'exemple on devra multiplier par 10. Vérifions à la calculatrice que le résultat sera le même. 4, 0 7 : 1, 3 = 3,1 Multiplions le dividende et le diviseur par , 7 : 1 3 = 3,1 Ensuite la division se calcule comme la division d'un décimal par un copyleft page 28 Mise à jour le 27/12/2012

29 COURS 6 : PROBLEMES Conseil : pour suivre ce cours, il est préférable d'avoir travaillé les cours sur la proportionnalité. 1. RAISONNEMENT Pour résoudre un problème, il faut 1. lire l'énoncé avec beaucoup d'attention, 2. repérer les données : informations ou nombres, 3. organiser les données, 4. résoudre le problème. Exemple : Madame Martin organise un goûter d'anniversaire pour 6 enfants. Elle achète 6 tartelettes à 1,50, 3 paquets de biscuits variés à 3,80 et 5 bouteilles de jus de fruits à 2,10. Combien a-t-elle dépensé? 1. lire l'énoncé avec beaucoup d'attention, 2. repérer les données (informations ou nombres) : 6 enfants - 6 tartelettes - 1,50-3 paquets de biscuits - 3,80-5 bouteilles de jus de fruits - 2,10 3. organiser les données c'est-à-dire regrouper les données qui vont ensemble : 6 enfants 6 tartelettes avec 1,50 (prix d'1 tartelette) 3 paquets de biscuits avec 3,80 (prix d'1 paquet de biscuits) 5 bouteilles de jus de fruits avec 2,10 (prix d'1 bouteille) 5. résoudre le problème : 6 enfants est une donnée inutile pour résoudre le problème posé. calculer le prix de 6 tartelettes : 6 x 1,50 = 9 calculer le prix de 3 paquets de biscuits : 3 x 3,80 = 11,40 calculer le prix de 5 bouteilles de jus de fruits : 5 x 2,10 = 10,50 calculer la dépense totale : , ,50 = 30,90 2. CHOISIR L OPÉRATION L ADDITION : permet de calculer un total, une somme. La SOUSTRACTION : permet de calculer le reste, la différence. La MULTIPLICATION : permet de calculer la valeur de plusieurs éléments identiques. La DIVISION : permet de calculer la valeur d une partie. Les PRODUITS EN CROIX : s utilisent chaque fois qu il y a proportionnalité. Ils permettent de calculer le prix au mètre, au kilogramme, copyleft page 29 Mise à jour le 27/12/2012

30 Chapitre 4 : copyleft page 30 Mise à jour le 27/12/2012

31 COURS 1 : LES DROITES En géométrie, pour tracer des figures, on utilise des points, des droites, des demi-droites et des segments. 1. LIGNES COURBES une ligne courbe ouverte une ligne courbe fermée une ligne courbe particulière : le cercle. centre du cercle. Tous les points situés sur le cercle se trouvent à la même distance du 2. copyleft page 31 Mise à jour le 27/12/2012

32 La droite est une ligne droite de longueur illimitée. Elle n'a donc pas de longueur. (Sur la feuille de papier, on tracera un trait avec une règle qui sera forcément limité aux dimensions de cette feuille) Notation de la droite : d ou (AB). Propriétés : Par 1 point on peut faire passer une infinité de droites. Par 2 points, on ne peut faire passer qu'une seule droite. Exemple la droite (AB) 3. DEMI-DROITE Une demi-droite est une portion de droite limitée par un de ses points. Une demi-droite est illimitée. Elle n'a donc pas de longueur. Une demi-droite se note par exemple : copyleft page 32 Mise à jour le 27/12/2012

33 4. SEGMENT Un segment de droite est une portion de droite limitée par deux de ses points. On peut donc le mesurer. Il se note par deux lettres entre crochets. [AB]. On utilise les parenthèses pour montrer qu'il n'y a pas de limite, et les crochets pour montrer le contraire. 5. DROITES SÉCANTES Deux droites qui se coupent sont des droites sécantes. Elles se coupent en un point. d et d' sont sécantes en A. A est le point d'intersection de d et d'. d et d' sont sécantes, mais le point d'intersection n'est pas sur la figure. Deux droites sécantes forment 4 copyleft page 33 Mise à jour le 27/12/2012

34 6. DROITES PERPENDICULAIRES Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui forment un angle droit. L'angle droit est indiqué sur la figure par un petit carré rouge (un seul, alors qu'il y a quatre angles droits) Les droites d et d' sont perpendiculaires. d est perpendiculaire à d' ; d' est perpendiculaire à d. Notation : d d et d d Pour savoir si deux droites sont perpendiculaires, il faut vérifier à l'aide de l'équerre si elles forment un angle droit. 7. DROITES PARALLÈLES Les droites (AB) et (CD) sont parallèles car elles n'ont aucun point commun. Notation Parallèles s'écrit : // en abrégé. donc (AB) // (CD) Pour savoir si deux droites sont parallèles, il faut tracer 2 perpendiculaires aux droites puis mesurer les écartements (AA' et BB') des 2 droites. Si les écartements sont égaux : les droites sont parallèles Si les écartements ne sont pas égaux : les droites ne sont pas parallèles. Exemple : sécantes. d et d' copyleft page 34 Mise à jour le 27/12/2012

35 8. TRACER LA PARALLÈLE À UNE DROITE (D) PASSANT PAR UN POINT A Figure 1 Figure 2 Placez l'équerre comme ci-dessus, un côté passant par le point A, l'autre côté supporté par la droite (d) Figure 3 Sans bouger l'équerre, placer la règle comme cidessus. Figure 4 Sans bouger la règle, faire glisser l'équerre pour que le côté supporté par la droite (d) se retrouve passant par A. Figure 5 Enlever la règle et sans bouger l'équerre tracer la droite passant par A comme ci-dessus. (Exercice adapté de Figure 6 La droite tracée est parallèle à la droite (d) et passe par le point copyleft page 35 Mise à jour le 27/12/2012

36 7. SAVOIR UTILISER UNE REGLE GRADUEE Exercice 1. Mesurer les distances entre les points : A B C D Exemple : AB = 5 cm BC = cm CD = cm AD = cm CA = cm BD = cm BA = cm 8. TRACER UN SEGMENT DE LONGUEUR DONNÉE Exercice 2. Tracer à la règle des segments de longueur donnée. [AB] = 7 cm [CD] = 8 cm [EF] = 5 cm [GH] = 4 cm [JK] = 10 copyleft page 36 Mise à jour le 27/12/2012

37 Exercice 3. Mesurer les longueurs des segments : A B C D E Exemple : [AB] = 4 cm et 3 mm. On écrit plutôt : [AB] = 4,3 cm [BC] = cm [DE] = cm [AD] = cm [CD] = cm [AC] = cm [CE] = copyleft page 37 Mise à jour le 27/12/2012

38 COURS 2 : LES ANGLES DÉFINITIONS Sommet de l angle Notation de l angle : ou bien l'angle Ô La lettre du milieu, O, est le sommet de l angle. Les demi-droites [Ox) et [Oy) sont les côtés de l angle. IDENTIFIER LES ANGLES PARTICULIERS angle droit angle aigu L angle droit mesure 90 1 D = 90 angle obtus L angle aigu est plus petit qu un angle droit. L angle aigu est < 90. angle plat L angle obtus est plus grand qu un angle droit. L angle obtus est > 90. Un angle plat = 180. Un angle plat = 2 angles droits. 180 = 2 copyleft page 38 Mise à jour le 27/12/2012

39 MESURER UN ANGLE À L'AIDE D'UN RAPPORTEUR Le rapporteur sert à mesurer les angles. Le rapporteur est gradué en degrés. Sur le rapporteur ci-dessous, on lit sur les grandes graduations : zéro degré (0 ), dix degrés (10 ), vingt degrés (20 ) etc... Sur les petites graduations, on lit les degrés : par exemple : un degré (1 ), deux degrés (2 ), etc Le rapporteur a 2 graduations pour faciliter la lecture des angles : une graduation extérieure, une graduation intérieure. COMMENT UTILISER LE RAPPORTEUR? 1. Placer le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle. 2. Faire tourner le rapporteur pour amener le zéro sur un des côtés de l copyleft page 39 Mise à jour le 27/12/2012

40 3. Lire la mesure à partir du zéro. L angle bleu mesure 31. Remarque : Il est parfois nécessaire de tourner complètement le rapporteur pour mesurer un copyleft page 40 Mise à jour le 27/12/2012

41 COURS 3 : LES TRIANGLES IDENTIFIER UN TRIANGLE Définition Le triangle est un polygone a 3 côtés, et 3 sommets. Le triangle quelconque À connaître par cœur La somme des angles d un triangle vaut 180 IDENTIFIER UN TRIANGLE RECTANGLE Matériel nécessaire : une équerre une règle Le triangle rectangle a : 3 côtés 1 angle droit angle droit Exemples : angle copyleft page 41 Mise à jour le 27/12/2012

42 Un triangle rectangle est la moitié d un rectangle FORMULAIRE : LES TRIANGLES Les triangles particuliers triangle rectangle : - 1 angle droit triangle isocèle : - 2 côtés égaux - 2 angles égaux triangle équilatéral : - 3 côtés égaux, - 3 angles égaux à copyleft page 42 Mise à jour le 27/12/2012

43 1. IDENTIFIER UN QUADRILATERE COURS 4 : QUADRILATERES ABCD est une figure géométrique formée de 4 côtés et de 4 sommets : c est un quadrilatère Le segment qui joint deux sommets opposés est la diagonale. 2. IDENTIFIER DES QUADRILATÈRES PARTICULIERS a - Le trapèze quelconque Le trapèze est un quadrilatère particulier. Il a : 4 côtés 2 côtés opposés parallèles appelés : petite base (b) et grande base (AB // CD ) b - Les trapèzes particuliers Le trapèze rectangle a : 4 côtés 2 côtés // (AB //CD) 2 angles droits Le trapèze isocèle a : 4 côtés 2 côtés // (DE //GF) 2 côtés égaux (DG = EF) les angles sont égaux deux à deux. c - Le parallélogramme Le parallélogramme a : 4 côtés les côtés opposés sont parallèles (AB//DC et AD//BC) les côtés opposés sont égaux (AB=DC et AD=BC) les diagonales (AC et BD) se coupent en leur milieu O les angles opposés ont même copyleft page 43 Mise à jour le 27/12/2012

44 Propriétés : les diagonales (AC et BD) se coupent en leur milieu O OA = OC et OB = OD les angles opposés ont même mesure. d - Les parallélogrammes particuliers Le rectangle est un parallélogramme particulier. Il a : les côtés opposés sont parallèles et égaux les diagonales (AC et BD) se coupent en leur milieu O 4 angles droits Le carré est un rectangle particulier. Il a : 4 côtés égaux les diagonales (AC et BD) se coupent en leur milieu O 4 angles droits L s'appelle la longueur et l s'appelle la largeur. Propriétés les diagonales (AC et BD) se coupent en leur milieu et ont même longueur AC = BD les 4 angles mesurent 90 Le losange est un parallélogramme particulier. Il a : 4côtés égaux les angles opposés ont même mesure les diagonales (AC et BD) sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu O. AC s appelle : la grande diagonale et BD, la petite diagonale. Propriétés les diagonales (AC et BD) se coupent en leur milieu et ont même longueur AC = BD les 4 angles mesurent 90 le carré est un rectangle particulier : longueur = largeur = copyleft page 44 Mise à jour le 27/12/2012

45 CONSTRUIRE UN CARRÉ CONNAISSANT LA LONGUEUR D UN CÔTÉ Utilisation de l équerre et de la règle. Exemple : tracer un carré de côté 1,8 cm. 1 - Tracer un segment [AB] de longueur 1,8 cm 2 - A l aide de l équerre, tracer un angle droit en A., mesurer 1,8 cm, on obtient le point D 3 - A l aide de l équerre, tracer un angle droit en D., mesurer 1,8 cm, on obtient le point C 4 - Joindre, par un trait, les points D et C. 5 - Marquer les côtés égaux et les angles droits. Remarque : le principe de la construction est le même pour le tracé du copyleft page 45 Mise à jour le 27/12/2012

46 FORMULAIRE : LES QUADRILATERES Un polygone qui possède 4 côtés est un quadrilatère. Un parallélogramme est un quadrilatère particulier qui possède : - 4 sommets - des côtés opposés parallèles deux à deux, - des côtés opposés de même longueur, - des diagonales qui se coupent en leur milieu. parallélogramme losange rectangle 4 côtés de même longueur 4 angles droits carré 4 côtés de même longueur 4 angles copyleft page 46 Mise à jour le 27/12/2012

47 FORMULAIRE : LES TRAPEZES TRAPEZE QUELCONQUE Un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés parallèles appelés : grande Base [AB] et petite base [CD] TRAPEZE RECTANGLE Trapèze avec deux angles droits. TRAPEZE ISOCELE - Les deux côtés sont égaux : AD = BC - Les angles sont égaux deux à deux. DAB ˆ ABC ˆ et ADC ˆ BCD copyleft page 47 Mise à jour le 27/12/2012

48 COURS 5 : PERIMETRE ET AIRES CALCUL DU PERIMETRE DU RECTANGLE Voici un rectangle. Mesurer sa longueur : L = ; Mesurer sa largeur : l =. L l Le périmètre (P) est la longueur du tour de ce rectangle. L l P = + + L + l P = L + l + L + l P = ( L + l ) + ( L + l ) P = ( L + l ) x 2 Exercice 4. En utilisant les mesures de l exercice précédent, calculer le périmètre du rectangle P = CALCULER UNE AIRE 1 Calculer l aire d un carré Le dessin ci-dessous représente un carré de 10 cm de côté. Mesurer son aire, c est trouver combien de carrés de 1 cm de côté (1cm 2 ) peuvent la recouvrir. En comptant on trouve : 10 cm 2 sur la première ligne, 10 cm 2 sur la deuxième ligne, 10 cm 2 sur la troisième ligne, etc. soit au total 10 fois 10 = 100 cm 2. 1 cm copyleft page 48 Mise à jour le 27/12/2012

49 La mesure d une surface serait donc une mesure très complexe. Plus simplement, l aire de ce carré se calculera donc à l aide de la formule suivante : aire du carré = côté x côté ou bien : A = c x c ou bien : A = c 2 Le dessin ci-dessous représente un carré de 10 cm de côté soit 1 dm. Calculons sa surface : Aire = côté x côté Aire = 1 dm x 1 dm = 1 dm 2 On en déduit donc que 1 dm 2 = 100 cm 2. 1 dm cm d m CONNAÎTRE LES UNITÉS DE SURFACES L'unité légale utilisée pour mesurer les aires (ou surfaces) est le mètre carré : notation : m 2 CONVERTIR DES UNITÉS D AIRES kilomètre carré hectomètre carré décamètre carré mètre carré décimètre carré centimètre carré millimètre carré km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm copyleft page 49 Mise à jour le 27/12/2012

50 Attention, 1 dm 2 = 100 cm 2 Il faut donc utiliser le tableau avec 2 chiffres par colonnes Exemples: (voir tableau) - Convertir : 1 m2 en cm2 1 m2 = 100 cm2 - Convertir : 103 m2 en dam2, en dm2 et en cm2 103 m2 = 1,03 dam2 = dm2 = cm2 - Convertir : cm2 en dam2, en m2 et en dm cm2 = 0, dam2 = 0,4 857 m2 = 48,57 dm2 - Convertir 1,8 dam2 en m2, en cm2 et en km2 1,8 dam2 = 180 m2 = cm2 = 0,00018 km2 LES MESURES AGRAIRES Les mesures agraires sont d'anciennes mesures de surfaces. L are et le centiare ne sont plus utilisés. L hectare est toujours utilisé notamment dans l immobilier. L'hectare (ha) = 100 ares = m 2 L' are (a) = 1 dam 2 = 100 m 2 Le centiare (ca) = 1 m 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 ha a ca 2 CALCULER L AIRE D UN RECTANGLE Le dessin ci-dessous représente un rectangle de 7 cm de long et 5 cm de large. Mesurer son aire, c est trouver combien de carrés de 1 cm de côté (1cm 2 ) peuvent la recouvrir. En comptant on trouve : 7 cm 2 sur la première ligne, 7 cm 2 sur la deuxième ligne, 7 cm 2 sur la troisième ligne, etc. soit au total 5 fois 7 = 35 cm 2. Longueur 1 cm l a 2 r g 3 e u copyleft page 50 Mise à jour le 27/12/2012

51 r 5 Comme pour le carré, on calculera donc l aire de ce rectangle à l aide de la formule suivante : aire du rectangle = Longueur x largeur ou bien : A = L x l 3 CALCULER L AIRE D UN PARALLÉLOGRAMME En observant la figure, on comprend que l aire du parallélogramme peut se calculer comme l aire du rectangle. Aire = base x hauteur(relative à ce côté) Ou bien A = B x h 4 CALCULER L AIRE D UN TRAPÈZE Aire = (Grande Base + petite base) x hauteur 2 ou bien A = B b 2 h 5 CALCULER L AIRE D UN LOSANGE Grande diagonale petite diagonale Aire = 2 ou bien A = D h copyleft page 51 Mise à jour le 27/12/2012

52 6 CALCULER L AIRE D UN TRIANGLE Aire = base x hauteur(relative à cette base) 2 ou bien A = B h 2 Cas particulier du triangle rectangle : Aire = aire du rectangle 2 L ou bien A = L l 2 l 7 CALCULER L AIRE D UN DISQUE Aire = x R x R Ou bien Aire = x R 2 Ou bien Aire = R 2 Attention : diamètre 2 x R On pourra également trouver : Aire = D CALCULER L AIRE D UN SECTEUR ANGULAIRE Aire = x R 2 n x copyleft page 52 Mise à jour le 27/12/2012

53 FORMULAIRE : CALCUL DES PÉRIMÈTRES Définition du périmètre : c est la longueur du contour d une figure (clôture d un terrain par exemple) Périmètre : P = Somme des côtés de la figure CARRE L RECTANGLE Périmètre du carré P = c x 4 TRIANGLES Périmètre du rectangle P = ( L + l ) x 2 LOSANGES Périmètre du losange P = côté x 4 Périmètre du triangle P = Somme des côtés TRAPEZE PARALLELOGRAMME Périmètre du trapèze Périmètre du parallélogramme P = somme des côtés P = somme des côtés CERCLE Longueur du cercle ou périmètre du cercle définition : La longueur du contour du cercle (ou son tour) s appelle le périmètre du cercle.). P = 2 x x R est une lettre grecque qui se lit : pi. n prendra = 3,14 Le nombre se trouve également sur certaines calculatrices. C. Velay copyleft page 53 Mise à jour le 27/12/2012

54 FORMULAIRE : CALCUL DES AIRES CARRE RECTANGLE A = c x c = c 2 PARALLELOGRAMME A = L x l TRAPEZE (b) A = B x h TRIANGLE (B) A = B b 2 h LOSANGE A = B h Grande diagonale petite diagonale Aire = 2 2 DISQUE SECTEUR ANGULAIRE A = R 2 Aire = x R 2 x n 360 C. Velay copyleft page 54 Mise à jour le 27/12/2012

55 COURS 6 : LES SOLIDES 1. LE PAVÉ DROIT OU PARALLÉLÉPIPÈDE RECTANGLE Le pavé droit est un solide qui a : 6 faces planes rectangulaires, 8 sommets. Comment tracer un pavé sur un quadrillage? C. Velay copyleft page 55 Mise à jour le 27/12/2012

56 Comment faire le patron d'un pavé? Déplier chaque face pour obtenir la figure ci-dessous. On aurait pu tracer le patron du pavé de cette façon également. Volume du pavé ou parallélépipède rectangle V = L x x h C. Velay copyleft page 56 Mise à jour le 27/12/2012

57 2. LE CUBE Le cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés. Volume du cube V = c x c x c = c 3 Patron du cube Les 6 faces sont des carrés. C. Velay copyleft page 57 Mise à jour le 27/12/2012

58 3. LE CYLINDRE C'est un solide limité par 2 disques égaux et parallèles (les bases) et une surface latérale. Volume du cylindre Volume = aire de la base x hauteur (h) Aire de la base = aire du disque = x R² Volume du cylindre = x R² X h Patron du cylindre Les 2 bases sont des disques et la surface latérale un rectangle C. Velay copyleft page 58 Mise à jour le 27/12/2012

59 Chapitre 5 : Conversion C. Velay copyleft page 59 Mise à jour le 27/12/2012

60 COURS 1 : CONVERSION DES UNITES DE LONGUEUR L unité de mesure des longueurs est : le mètre (symbole : m) Cette unité peut s'avérer trop petite pour mesurer la longueur d'une route par exemple. Dans ce cas, on mesurera en kilomètres. Inversement le mètre peut être trop grand pour mesurer une longueur sur une feuille de papier et on utilisera une règle graduée en centimètres. Sur la règle graduée ci-dessous, chaque nombre représente un centimètre. Pour chaque mesure, on utilise une unité adaptée. Il y a une correspondance entre ces unités. 1 mètre représente 100 centimètres. 1 kilomètre représente mètres. Lorsqu'on passe des kilomètres aux mètres, on dit qu'on convertit les kilomètres en mètres. Convertir c'est donc changer d'unité. Pour convertir les unités de longueur, il faut utiliser le tableau ci-dessous Nom : kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre Symbole km hm dam m dm cm mm Exemple 1 : comment convertir 52 décimètres en millimètres? placer «2» dans la case des décimètres (puisque l unité donnée est le décimètre), «5» se place automatiquement devant, compléter les cases par des zéros (jusqu à la case des mm) km hm dam m dm cm mm Donc 52 dm = mm Exemple 2 : comment convertir 613 décimètres en mètres? placer «3» dans la case des décimètres (puisque l unité donnée est le décimètre),«1» se place automatiquement devant le 3 et «6» se place automatiquement devant 1, mettre la virgule à droite des mètres puisque la nouvelle unité est le mètre. km hm dam m dm cm mm 6 1, Donc 613 dm = 61,3 m C. Velay copyleft page 60 Mise à jour le 27/12/2012

61 Exemple 3 : comment convertir 25 mètres en kilomètres? placer «5» dans la case des mètres (puisque l unité donnée est le mètre), «2» se place automatiquement devant, compléter les cases par des zéros (jusqu à la case des km), placer la virgule à droite du chiffre des kilomètres puisque la nouvelle unité demandée est en kilomètre. km hm dam m dm cm mm 0, virgule Donc 25 m = 0,025 km Exemple 4 : comment convertir 0,7 hm en mètres? placer «0,» dans la case des hectomètres (puisque l unité donnée est l hectomètre), placer le «7» dans la case suivante, mettre des «0» dans les cases jusqu aux mètres, placer la virgule à droite du chiffre des mètres puisque la nouvelle unité demandée est en mètre. km hm dam m dm cm mm 0, , virgule Donc 0,7 hm = 70 m C. Velay copyleft page 61 Mise à jour le 27/12/2012

62 COURS 2 : CONVERTIR DES UNITES DE CAPACITES/MASSES CONVERSION DES UNITES DE CAPACITES L unité de capacité est le Litre. Le symbole du litre peut être : L ou l. Dans ce document nous utiliserons le symbole L pour ne pas confondre avec le 1 ou le I majuscule. Pour convertir les mesures de capacité, il faut utiliser le tableau ci-dessous. Nom : hectolitre décalitre litre décilitre centilitre millilitre symbole hl dal L dl cl ml Ce tableau s utilise comme le tableau de conversion des longueurs. Sur ce tableau, on voit que : 1 L = 10 dl 1 L = 100 cl 1 L = ml Les kilolitres n'existent pas CONVERSION DES UNITES DE MASSES L'unité de base de la masse est le kilogramme (kg) et non pas le gramme (g). On utilise également la tonne égale à kg. L unité de base, le kilogramme, correspond à la masse exacte d un litre d eau. Pour convertir les unités des masses, on utilise le tableau suivant : C. Velay copyleft page 62 Mise à jour le 27/12/2012

63 Tableau des unités de masses Nom : kilo- hecto- déca- déci- centi- milligramme gramme gramme gramme gramme gramme gramme symbole : kg hg dag g dg cg mg Conversions utiles 1 kg = 10 hg = 100 dag = g 1g = 10 dg = 100 cg = mg Les instruments de mesure de masses La mesure de la masse s'appelle le pesage, bien que ce terme provienne du mot «poids». Pour mesurer une masse, on la compare à une autre masse ; c'est le principe des balances. Une balance de Roberval Un pèse-personne C. Velay copyleft page 63 Mise à jour le 27/12/2012

64 COURS 3 : CONVERTIR LES UNITES DE TEMPS 1. LES INSTRUMENTS DE MESURE Pour mesurer et exploiter le temps, on peut utiliser différents instruments: - Pour les périodes longues : le calendrier, l agenda,... - Pour les périodes courtes : le sablier, le chronomètre, la montre, LES UNITES DE MESURES - Les équivalences de longue durée (supérieure à 1 jour) - 1 siècle = 100 ans = jours - 1 an = 12 mois = 52 semaines = 365 jours - 1 semestre = 6 mois = 26 semaines = 182 jours - 1 trimestre = 3 mois = 13 semaines = 91 jours - 1 mois = 30, 31, 28 ou 29 jours - 1 semaine = 7 jours - 1 jour = 24 heures - Les équivalences de courte durée (inférieure à 1 jour) - 1 jour = 24 heures - 1 heure (1 h) = 60 minutes = secondes - 1 demi-heure = 30 minutes = secondes - 1 quart d heure = 15 minutes = 900 secondes - 1 minute (1 min) = 60 secondes - 1 seconde (1 s) = 10 dixièmes de seconde 3. LA CONVERSION DES DIFFERENTES UNITES Pour convertir des heures en minutes, il faut multiplier le nombre d heure par 60 (soit le nombre de minutes contenu dans une heure). Exemple : 4 h = 4 x 60 min = 240 min Pour convertir des minutes en heures, il faut diviser le nombre de minutes par 60. (Le reste éventuel correspond au nombre de minutes restantes) Exemples : 180 min = 180 : 60 h = 3 h 190 min = 3 h 10 min Pour convertir des minutes en secondes, il faut multiplier le nombre de minute par 60 (soit le nombre de secondes contenues dans une minute). Exemple : 50 min = 50 x 60 s = s Pour convertir des secondes en minutes, il faut diviser le nombre de secondes par 60. (le reste éventuel correspond au nombre de secondes restantes) Exemple : 360 s = 360 : 60 min = 6 mn 500 s = 500 : 60 min = 8 min 20 s C. Velay copyleft page 64 Mise à jour le 27/12/2012

65 À connaître par cœur 1 année = 1 an = 12 mois = 365 jours 1 jour = 24 heures 1 heure = 60 minutes = 60 x 60 = secondes 1 minute = 60 secondes Temps en heures X 60 X 60 Temps en minutes 1 x 60 = 60 5 x 60 = x 60 = 600 Temps en secondes 60 x 60 = x 60 = x 60 = X 365 X 24 X 60 X 60 ANNEE JOUR HEURE MINUTE SECONDE 1 1 x 365 = x 24 = x 60 = x 365 = x 24 = x 60 = x 60 = x 60 = : 60 : 60 : 24 : 365 SECONDE MINUTE HEURE JOUR ANNEE : 60 = : 60 = : 60 = : 60 = : 24 = : 365 = : 24 = : 365 = 2 C. Velay copyleft page 65 Mise à jour le 27/12/2012

66 COURS 4 : CONVERSION DES UNITES DE MESURE D AIRES 1. DEFINITION L'aire mesure un espace à 2 dimensions comme le carré par exemple. L unité d'aire est le mètre carré noté : m² 1 m² correspond à l'aire d'un carré de 1 m de côté. 2. CONVERSION DES UNITES D'AIRES Exemple 1 Convertir 25 m² en cm². a) écrire le nombre 25 dans les m² b) compléter jusqu au cm² par des 0. kilomètre hectomètre décamètre carré carré carré mètre décimètre centimètre carré carré carré km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 a) 2 5 b) m² = cm² Exemple 2 Convertir 703 m² en dam². a) écrire le nombre 703 dans les m² b) placer la virgule à droite du chiffre des unités des dam². kilomètre carré hectomètre carré décamètre carré mètre carré décimètre carré millimètre carré centimètre carré km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 a) b) 7, m² = 7,03 dam² millimètre carré C. Velay copyleft page 66 Mise à jour le 27/12/2012

67 Exemple 3 Convertir 12 cm² en m² a) écrire le nombre 12 dans les cm² b) compléter jusqu au m² par des 0, c) placer la virgule à droite du chiffre des unités. kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre carré carré carré carré carré carré carré km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 a) 1 2 b) c) 0, cm² = 0, 0012 m² kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre carré carré carré carré carré carré carré km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 a) , 0 1 0, , m² = 100 dm² = cm² = mm² 1 m² = 0,01 dam² = 0,000 hm² = 0,00000 km² C. Velay copyleft page 67 Mise à jour le 27/12/2012

68 COURS 5 : CONVERSION DES UNITES DE MESURE DES VOLUMES 1. DEFINITION Le volume mesure un espace à 3 dimensions comme le cube par exemple. L unité de volume est le mètre cube noté : m 3 1 m 3 correspond au volume d'un cube de 1 m de côté. 2. CONVERSION DES UNITES DE VOLUMES Pour convertir, on procède comme pour les mesures d aires. Attention! Chaque unité comporte 3 colonnes. kilomètre cube hectomètre cube décamètre cube mètre cube décimètre cube centimètre cube millimètre cube km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm , Exemples : convertir m 3 en dm 3 18,3 dm 3 en m m 3 = dm 3 18,3 dm 3 = 0,0183 m 3 3. CORRESPONDANCE AVEC LES UNITÉS DE CAPACITÉ kilomètre cube hectomètre cube décamètre cube mètre cube décimètre cube centimètre cube millimètre cube km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 hl dal l dl cl ml C. Velay copyleft page 68 Mise à jour le 27/12/2012

69 Chapitre 6 : Calcul d une expression algébrique C. Velay copyleft page 69 Mise à jour le 27/12/2012

70 COURS 1 : CALCULER LE CARRE OU LE CUBE D'UN NOMBRE 1. LE CARRÉ D UN NOMBRE ENTIER Un peu d histoire des mathématiques : premier épisode! Il y a très longtemps Les hommes comptaient ainsi : L invention de l opérateur multiplier = 4 2 x 2 = = 6 2 x 3 = = 8 2 x 4 = = 10 2 x 5 = 10 Un peu d histoire des mathématiques, deuxième épisode! L invention de l opérateur Puissance Il y a un peu moins longtemps Les hommes comptaient ainsi 2 x 2 = = 2 x 2 =4 2 x 2 x 2 = = 2 x 2 x 2 = 8 Définition Le carré d un nombre est le produit de ce nombre par lui-même. 1 2 = 1 x 1 = = 2 x 2 = = 3 x 3 = 9 Notation : 3 2 = se lit : 3 "puissance 2" ou "3 au carré" Lecture deux puissance 2 ou deux au carré deux puissance 3 ou deux au cube Le nombre 1 représente son propre carré 1 au carré = 1 Les carrés parfaits 2 au carré = 4 3 au carré = 9 4 au carré = 16 1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 3 x 3 = 9 (d après S. Baruk) 4 x 4 = 16 C. Velay copyleft page 70 Mise à jour le 27/12/2012

71 Ces carrés parfaits se retrouvent sur le tableau de Pythagore (cases grise) X Utilisation de la calculatrice - pour les calculatrices scientifiques : taper le nombre puis la touche x 2 - pour les calculatrices normales : exemple : calculer 5² taper 5 ; taper x puis taper = (la calculatrice a gardé le nombre 5 en mémoire) On obtient : LE CUBE D UN NOMBRE ENTIER Définition Le cube d un nombre est égal au triple produit de ce nombre par lui-même. 1 3 = 1 x 1 x 1 = = 2 x 2 x 2 = = 3 x 3 x 3 = se lit : "3 au cube" ou "3 puissance 3" Utilisation de la calculatrice pour les calculatrices scientifiques : taper le nombre puis la touche y x, puis le nombre 3, puis la touche "=" C. Velay copyleft page 71 Mise à jour le 27/12/2012

72 - pour les calculatrices normales : exemple : calculer taper 5 ; taper x puis taper = (la calculatrice a gardé le nombre 5 en mémoire) On obtient : 25 taper x ; puis 5 ; puis =. On obtient CALCUL DU CARRÉ ET DU CUBE D UN DÉCIMAL Le carré et le cube d un nombre décimal se calcule comme le carré et le cube d un nombre entier. Exemples : 2,1² = 2,1 x 2,1 = 4,41 2,1 3 = 2,1 x 2,1 x 2,1 = 9,261 C. Velay copyleft page 72 Mise à jour le 27/12/2012

73 1. PROPRIÉTÉS DES OPÉRATIONS COURS 2 : CALCULER UNE FORMULE Propriété de l'addition : = = 11 Soustraction : attention! Propriété de la multiplication : 3 x 2 = 2 x 3 = 6 Division : attention! 4 : 2 2 : 4 Convention de priorité des opérations Pour calculer s il n y a ni parenthèses ni barres de fractions, il faut respecter des conventions ou priorités : la multiplication ou la division (selon l'ordre de rencontre lorsqu'on lit de gauche à droite), est prioritaire sur l'addition ou la soustraction. Idée : on repère l opérateur prioritaire avant de commencer le calcul Exemple : Calculer : 2 x 5 1 = a) Il faut effectuer en priorité la division (puisqu'elle arrive avant la multiplication) et on réécrit le reste du calcul : 2 x 5 1 = x 5 1 b) Effectuer ensuite la multiplication et on réécrit le reste du calcul : x 5 1 = c) Effectuer ensuite les opérations de gauche à droite, dans l ordre de rencontre = 13 1 = ORGANISER DES CALCULS COMPORTANT DES PUISSANCES (CARRÉS, CUBES) Pour calculer l'expression algébrique comportant des puissances (carré ou cube), les conventions de calculs ou «priorités» sont les suivantes : 1. calculer les puissances 2. calculer les multiplications ou les divisions 3. calculer les additions et les soustractions Exemple : 2 x 7² x 3 3 = 1. On calcule d'abord les puissances et on réécrit le reste du calcul : 2 x 7² x 3 3 = 2 x x 27 = 2. On calcule les multiplications ou les divisions 2 x x 27 = = 3. On calcule les additions et les soustractions dans l'ordre d'apparition : = = 230 C. Velay copyleft page 73 Mise à jour le 27/12/2012

74 3. CALCULER UNE FORMULE Pour calculer la valeur numérique d une expression littérale c est à dire contenant des lettres, il faut remplacer chaque lettre par sa valeur puis faire le calcul en respectant les règles de priorité des opérations. Exemple 1 : Calculer a + b pour a=5,4 et b = 0,9 a + b = 5,4 + 0,9 On effectue l'addition. a + b = 6,3 Exemple 2 : Calculer P = 2 x x R pour = 3,14 et R = 5 P = 2 x 3,14 x 5 On effectue la première multiplication. P = 2 x 3,14 x 5 P = 6,28 x 5 On effectue la deuxième multiplication. P = 6,28 x 5 P = 31,4 Exemple 3 : Calculer V = x R² x h pour = 3,14, R = 10 et h = 2 V = 3,14 x 10² x 2 On effectue d'abord le carré. V = 3,14 x 100 x 2 On effectue la première multiplication. V = 314 x 2 On effectue la deuxième multiplication. V = 628 Exemple 4 : calculer Pour B= 5 et h = 3 La barre horizontale signifie «divisé par». 1. Remplaçons les lettres par leur valeur : S = 5 x Calculons la partie supérieure : S = Effectuons la division de 15 par 2 : S = 7,5 C. Velay copyleft page 74 Mise à jour le 27/12/2012

75 Chapitre 7 : Proportionnalité C. Velay copyleft page 75 Mise à jour le 27/12/2012

76 COURS 1 : LA PROPORTIONNALITE 1. DÉFINITION Deux suites de nombres sont proportionnelles si on passe de l une à l autre en multipliant ou en divisant par un même nombre. Ce nombre s appelle le coefficient de proportionnalité. Exemple : le salaire d un employé est donné par le tableau ci-dessous. On obtient le salaire en multipliant le nombre d'heures par 8,50 salaire pour 1 h : 1 x 8,50 = 8,5 salaire pour 2 h : 2 x 8,50 = 17 salaire pour 5 h : 5 x 8,50 = 42,5 etc... Pour calculer le nombre d'heures travaillées, on divise le salaire par 8,50 nombre d'heures correspondant à 8,50 : 8,50 : 8,50 = 1 h nombre d'heures correspondant à 17 : 17 : 8,50 = 2 h nombre d'heures correspondant à 42,5 : 42,5 : 8,50 = 5 h etc... 8,50 est le coefficient de proportionnalité 2. CALCUL DU COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITÉ Exemple Une voiture consomme 8 litres d essence pour faire 100 kilomètres. La consommation d essence est proportionnelle à la distance parcourue. Pour compléter ce tableau, il faut connaître le coefficient de proportionnalité. Calcul : 100 : 8 = 12,5 On peut ensuite compléter le tableau : Vérification : 8 x 12,5 = 100 et 100 : 12,5 = 8 16 x 12,5 = 200 Attention pour le calcul suivant, je dois faire une division 300 : 12,5 =24. Dernier calcul : 32 x 12,5 = 400 C. Velay copyleft page 76 Mise à jour le 27/12/2012

77 Attention : tous les tableaux de nombres ne sont pas des tableaux de proportionnalité! Exemple : ce tableau représente le poids d'un jeune enfant en fonction de son âge. Pour savoir si c'est un tableau de proportionnalité, je calcule le coefficient de proportionnalité : 4,5 : 0 = impossible. On n'a pas le droit de diviser par 0! Donc il n'y a pas de proportionnalité. J'aurais pu calculer le coefficient de proportionnalité avec les autres colonnes : 5 : 1 = 5 7 : 3 = 2,33 9 : 6 = 3 Comme les coefficients sont différents, il n'y a pas de proportionnalité. Il suffit qu'un seul coefficient soit différent d'un autre pour qu'il n'y ait pas proportionnalité. 3. COMMENT COMPLÉTER UN TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ? Il suffit d'effectuer les calculs indiqués par l'opérateur. Exemple 1 Une voiture consomme 8 litres d essence pour faire 100 kilomètres. La consommation d essence est proportionnelle à la distance parcourue. Il faut regarder le coefficient multiplicateur et surtout le sens de la flèche. Il faut donc multiplier le nombre de litres d'essence par 1,10 pour obtenir le prix. C. Velay copyleft page 77 Mise à jour le 27/12/2012

78 COURS 2 : LE PRODUIT EN CROIX 1. DÉFINITION Les produits en croix sont l application directe de la proportionnalité. Les produits en croix sont utilisés pour calculer le prix au kilo, au litre etc. Exemple 1,5 litres de jus de fruits sont vendus 1,56. Dans ce cas, le prix est proportionnel à la quantité. Traçons un tableau de proportionnalité. Dans le cas du produit en croix, on n est pas obligé de calculer le coefficient de proportionnalité. On peut effectuer directement le calcul suivant : X représente le prix de 1 litre de jus de fruits 1,5 x X = 1,56 x 1 X = 1,56 x 1 : 1,5 C. Velay copyleft page 78 Mise à jour le 27/12/2012

79 COURS 3 : POURCENTAGE Un pourcentage s'écrit en utilisant le symbole : % Exemple 5 % de remise sur un prix en solde : on lit "cinq pour cent" de remise Ce qui signifie que si le prix est 100, on aura une remise de 5. Ou bien le taux de TVA (Taxe) est de 19,6 % : on lit "dix-neuf virgule six pour cent" de TVA. Ce qui signifie que si le prix est 100, on aura une taxe de 19,6. 1. CALCUL DU POURCENTAGE Exemple : calculer 20 % de matières grasses dans un fromage de 250 g. Calcul : 250 x 20 : 100 = 50 g de matières grasses 2. CALCUL D UNE REMISE Exemple : lors des soldes vous bénéficiez d une remise de 10 % à la caisse. Quel prix allezvous payer un pantalon qui est affiché 45? Calcul de la remise : 45 x 10 : 100 = 4,5 Prix à payer = prix affiché la remise Prix à payer : 45-4,5 = 40,50 3. CALCUL D UNE AUGMENTATION Exemple : calculer le montant de la T.V.A. ainsi que le prix Toutes Taxes Comprises d'une automobile coûtant Hors Taxes. (Taux de T.V.A. = 19,6 %) La TVA est une taxe qui s ajoute au prix Hors Taxe. PRIX HORS TAXES + TAXE A LA VALEUR AJOUTEE = PRIX TOUTES TAXES COMPRISES a) Calcul du montant de la T.V.A. : x 19,6 / 100 = 1 705,20 b) Calcul du prix Toutes Taxes Comprises ,20 = ,2 P H.T. + T.V.A. = P T.T.C. C. Velay copyleft page 79 Mise à jour le 27/12/2012

80 Chapitre 8 : Tableaux C. Velay copyleft page 80 Mise à jour le 27/12/2012

81 COURS 1 : LIRE UN TABLEAU A DOUBLE ENTREECERTAINES SITUATIONS MATHÉMATIQUES PEUVENT SE TRADUIRE PAR UN TABLEAU. Exemple : un tableau présentant les distances entre différentes villes. Exemples de lecture : Quelle est la distance entre Barcelone et Paris? Réponse : km Quelle est la distance entre Nice et Genève? Réponse : 483 km Quelle est la distance entre Bruxelles et Lisbonne? Réponse : km C. Velay copyleft page 81 Mise à jour le 27/12/2012

82 À l examen, on peut vous demander de compléter un tableau. Exemple : voici le tableau des médailles obtenues par les pays aux jeux olympiques d'athènes. Compléter le tableau. Vous devez faire les calculs correspondants et remplir le tableau. Calcul des médailles d'or pour la Chine : = 32 Calcul des médailles d'argent pour l'allemagne : = 16 Calcul des médailles d'argent pour la France : = 9 Total pour les USA : = 103 Réponse tableau complété : C. Velay copyleft page 82 Mise à jour le 27/12/2012

83 Chapitre 9 : Graphiques C. Velay copyleft page 83 Mise à jour le 27/12/2012

84 COURS 1 : DROITE GRADUEE Un segment de droite est gradué lorsqu'il est partagé en segments de même longueur. Un segment gradué s'appelle aussi une graduation. Exemple 1 : graduation de 1 en 1 Exemple 2 : graduation de 2 en 2 Exemple 3 : graduation de 0,3 en 0,3 Reprenons l'exemple 1 : Si l'on veut une graduation plus précise entre les points 0 et 1, on peut diviser ce segment en 10 parties égales par exemple, on obtient des dixièmes. 0,5 est le milieu du segment [0 ;1] C. Velay copyleft page 84 Mise à jour le 27/12/2012

85 COURS 2 : LIRE UN GRAPHIQUE Certaines situations mathématiques peuvent se présenter sous forme d'un graphique. Exemple : La figure de gauche représente la quantité d'eau de pluie tombée en une année à Fort de France (Martinique) Le tracé en bleu s'appelle un histogramme.. Le graphique de droite (en rouge) représente la courbe de température mesurée à Progresso (Mexique) pendant une année. La figure de gauche représente un diagramme en bâtons C. Velay copyleft page 85 Mise à jour le 27/12/2012

86 Cette figure s'appelle un diagramme circulaire ou diagramme en secteurs C. Velay copyleft page 86 Mise à jour le 27/12/2012