Projet expérimental de Physique Statistique AIMANTATION

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1 Master de Physique Fondamentale Université Paris Sud Projet expérimental de Physique Statistique AIMANTATION Les domaines de Weiss d un matériau ferromagnétique observés en microscopie à effet Kerr. Les zones magnétiques polarisées (bit 0 ou 1) à la surface d un disque dur

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3 Projet expérimental de Physique Statistique AIMANTATION 1 Description du projet 1.1 Objectifs Ce TP constitue une approche expérimentale des concepts fondamentaux du magnétisme ainsi que des transitions de phase par l étude détaillée de la transition paramagnétique-ferromagnétique du Gadolinium et permet de s initier aux méthodes classiques de magnétométrie. L expérience consiste à étudier l aimantation d un corps en fonction de sa température. L analyse des variations de l aimantation permet ensuite d extraire des grandeurs caractéristiques du matériau telles que la température de Curie, la constante de champ moléculaire, le facteur de Landé, etc. 1.2 Mode de travail Au cours des journées préparatoires réparties sur le premier semestre, un cahier de TP permet à chaque binôme de retracer la mise au point de l'expérience, y compris la recherche bibliographique sur le sujet. Le cahier doit refléter la progression du travail du binôme. C'est un outil de travail, et en aucune façon il ne doit être considéré comme une œuvre d'art! Avant le début des séances du second semestre, chaque binômes rendra une étude bibliographique sur l expérience à mener. On pourra s inspirer du chapitre 5 de ce polycopié pour rédiger cette étude. Les mesures proprement dites sont également consignées dans le cahier de TP au fur et à mesure de leur déroulement, ainsi que les algorithmes de traitement employés et les résultats obtenus. Le but de ce cahier est de vous permettre de vous retrouver dans vos différentes mesures : dans quelles conditions les mesures ont-elles été faites, avec quelle méthode, etc. A la fin du dernier jour de cette période groupée, chaque binôme rédige un compte-rendu écrit du TP (trois copies doubles maximum, figures non comprises), dans lequel il présente l'expérience, décrit le montage et les algorithmes de prise de données et de traitement, puis fournit les grandeurs caractéristiques extraites des données expérimentales. Une journée supplémentaire est ensuite consacrée aux présentations orales des projets de chaque groupe. L'exposé d'un binôme ne doit pas dépasser 20 minutes, suivies d'une discussion d'une dizaine de minutes portant sur les divers aspects du projet (bibliographie, montage, analyse, etc.). Le compte-rendu et le cahier seront remis aux enseignants le jour de l'exposé oral. Remarques Il est vivement conseillé de garder trace du numéro de PC sur lequel vous travaillez. Cela peut permettre de récupérer vos fichiers en cas d'erreur du système de sauvegarde. De plus, effectuez régulièrement des sauvegardes sur l'ordinateur PC30 (via le réseau). Il est formellement interdit de copier les programmes sur disquette La communication entre binômes est encouragée, mais ne doit pas aller jusqu'au pompage optique. 2

4 2 Théorie simplifiée de l aimantation 2.1 Définitions et relations Les équations de Maxwell décrivent le comportement des champs électriques et magnétiques dans le vide. Le comportement de ces champs dans la matière est plus délicat à modéliser, de part la densité de particules chargées présentes (électrons et protons). Microscopiquement, il faut employer la théorie quantique pour décrire les diverses interactions et expliquer l origine des moments magnétiques dans la matière. Macroscopiquement, une description phénoménologique est possible : dans le cas du champ électrique, cela passe par l introduction du vecteur polarisation P ; dans le cas du champ magnétique, cela passe par l introduction du vecteur aimantation M. On définit l aimantation M (A/m) d un corps comme le moment magnétique (A.m 2 ) par unité de volume présent dans la matière. Cette aimantation va participer au champ magnétique total ; la matière magnétique agit sur ellemême! On définit ainsi le champ magnétique total B (T) par B = µ 0 (H + M), où H (A/m) est l excitation magnétique ; µ 0 M est la contribution du magnétisme de la matière au champ magnétique, µ 0 H représente les autres contributions (par exemple, dans le cadre de ce TP, le champ créé par l aimant permanent). Note : attention, nous travaillons ici en unités SI. Ces quantités sont définies différemment dans d autres systèmes d unités, dont le plus connu est le système cgs : vous pouvez donc trouver des formules différentes dans des livres, à vous de faire attention au système utilisé. On définit également la susceptibilité magnétique χ par la relation suivante: M = χh. Cette relation n a de sens que dans la mesure où M est directement proportionnel à H. On parle alors de milieu linéaire. Ce n est pas toujours le cas, notamment dans le cas du ferromagnétisme, qui sera étudié dans ce TP, où une aimantation spontanée peut apparaître en l absence de champ appliqué. Note : Plusieurs effets sont négligés ici : l influence de la forme de l échantillon (facteur de forme), une éventuelle anisotropie du matériau (χ devient alors un tenseur), les effets non-linéaires (source de l optique nonlinéaire dans le cas de la susceptibilité de polarisation par exemple). Ainsi, dans ce cas, le champ total dans la matière vaut : B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ)h = µ 0 µ r H, où µ r = 1+χ est la perméabilité relative du milieu et µ 0 la perméabilité du vide. 2.2 Classification des matériaux Le comportement des corps dans un champ magnétique permet de les classer en deux catégories : les corps qui présentent un ordre magnétique en dessous d une certaine température et les corps qui ne s ordonnent pas Matériaux sans ordre magnétique Matériaux diamagnétiques L intensité d aimantation est antiparallèle au champ et est très faible. La susceptibilité magnétique χ est négative et de l ordre de 10-5 à 10-6 en valeur absolue à l exception notable des supraconducteurs qui sont de parfaits diamagnétiques (χ=-1). Tous les matériaux sont à un certain degré diamagnétiques en raison de la réponse des électrons orbitaux à un champ magnétique qui est de type diamagnétique. Exemples : Silicium, or, halogènes alcalins Matériaux paramagnétiques L intensité d aimantation est parallèle au champ et faible. La susceptibilité magnétique χ est positive et de l ordre de 10-4 à Exemples : Sels de manganèse, de cobalt, de fer-oxygène. 3

5 2.2.2 Ordres magnétiques Matériaux ferromagnétiques Au-dessous d une température critique (dite température de Curie T C ), les porteurs de moment magnétique sont parallèles dans de grandes régions du matériau (appelées domaines de Weiss). L intensité d aimantation peut être très élevée, mais n est pas une fonction linéaire du champ ; elle tend vers une limite M S. Cette intensité d aimantation à saturation M S varie avec la température et s annule au dessus de T C. On notera qu au-dessus de leur température critique ces matériaux présentent un régime linéaire paramagnétique comme en décrit en Exemples : Fer (Fe), Cobalt (Co), Nickel (Ni), Gadolinium (Gd) Matériaux anti-ferromagnétiques En deçà d une certaine température (dite température de Néel T N ), les spins sont antiparallèles et l intensité d aimantation M S à saturation est nulle. La susceptibilité magnétique χ est positive, sensiblement constante au dessous de la température de Néel et, comme dans le cas ferromagnétique, elle est de type paramagnétique audessus de T N Autres structures magnétiques Il existe d autres types de structures magnétiques plus complexes : les matériaux ferri-magnétiques (superposition d un ferromagnétique et d un anti-ferromagnétique), les matériaux hélimagnétiques (les porteurs de moments sont disposés selon des hélices), etc. Ces dernières années, la recherche dans le domaine du magnétisme s est orientée vers des états encore plus exotiques en jouant sur la nature des couplages microscopiques entre moments pour obtenir des verres, glaces ou encore liquides de spins, analogues magnétiques des états de la matière. 2.3 Le paramagnétisme Un composé paramagnétique développe, en présence d une excitation magnétique H, une aimantation qui lui est proportionnelle et qui est orienté dans le même sens. Le champ magnétique total s écrit donc B = µ 0 (1+χ)H, avec χ positif. La façon classique de décrire le paramagnétisme est de considérer le matériau comme un ensemble de dipôles magnétiques identiques µ, sans interaction entre eux. Soit N le nombre de dipôles par unité de volume, on a alors M = N<µ>, où <µ> représente la moyenne de µ selon toutes les directions de l espace. Note : Formellement M est une grandeur locale, qui décrit l aimantation en un point de l espace. On est donc ici dans une échelle intermédiaire, où l aimantation est locale par rapport à la taille de l échantillon (macroscopique), mais représente une valeur moyenne par rapport à la distance entre les dipôles (typiquement une distance inter atomique) : à l échelle où l on travaille, le matériau est supposé continu et les détails atomiques ne sont pas discernables. En absence de champ magnétique, les dipôles sont orientés de façon aléatoire puisqu il n y a aucune interaction : l aimantation moyenne M est donc nulle. L énergie magnétique d un dipôle en présence d un champ magnétique est E = -µ.b = -µbcosϕ, où ϕ est l angle entre µ et B. Le champ magnétique va donc avoir pour effet de favoriser la direction ϕ = 0 pour chacun des dipôles. La température en revanche va favoriser une distribution aléatoire et va être en compétition avec l alignement des dipôles. La distribution de l orientation des dipôles va donc être statistique et suivre la distribution de Boltzmann. Il va en résulter une aimantation M non nulle, qui aura la même direction que B (par symétrie) et l amplitude M de la composante de l aimantation suivant B, est donnée par : M E / k BT E / k BT = N( µ cos( ϕ) e dω) /( e dω), où µcosϕ représente la composante d un dipôle selon la direction de B, et dω l angle solide élémentaire. La résolution de ces intégrales donne : M = NµL(y), avec y = µb/k B T et où L(y) est la fonction de Langevin définie par L(y)=coth y 1/y (voir figure). 4

6 Si l énergie magnétique domine l énergie thermique (µb >> k B T), alors les dipôles sont alignés et l aimantation sature M = M s = Nµ. Pour de petits y, le développement limité de la fonction de Langevin donne L(y) = y/3 + o(y 3 ). Dans ces conditions (c est-à-dire pour µb < kt), on obtient : M = Nµ 2 B/3k B T. L aimantation diminue quand la température augmente, à cause de l augmentation de l agitation thermique. L aimantation augmente quand le champ magnétique augmente, car cela favorise l alignement. Dans ces conditions (y << 1), l aimantation est petite devant H, et donc B ~ µ 0 H. On peut alors calculer la susceptibilité χ = M/H ~ µ 0 M/B = µ 0 Nµ 2 /3k B T. C est la loi de Curie, que l on écrit χ= C Curie /T, où C Curie est la constante de Curie. Dans cette approche, nous avons considéré que les dipôles magnétiques pouvaient prendre n importe quelle orientation dans l espace (approche classique). Un traitement quantique des dipôles va restreindre cette hypothèse puisque la projection du moment angulaire d un atome dans une direction est quantifiée. Le moment angulaire total est décrit par le nombre quantique J. On a la relation J = L+S, ou L décrit le magnétisme orbital et S le magnétisme de spin. L état fondamental d un atome est obtenu par la règle de Hund : on forme l état S maximum compatible avec le principe d exclusion et à l intérieur de cet état on forme la combinaison de L maximale. La valeur du moment angulaire total est L-S quand la couche électronique externe est moins qu à moitié pleine, et L+S quand elle est plus qu à moitié pleine. Quand elle est exactement à moitié pleine, on a L = 0 et J = S. En continuant de négliger les interactions entre dipôles, mais en tenant compte des restrictions quantiques sur le moment magnétique des dipôles, on obtient : χ = C/T, avec C = Nµ 0 µ eff 2 /3k B µ eff est le moment effectif, il va dépendre des nombres quantiques J, L et S. On introduit µ B = eh le magnéton 2me de Bohr (µ B = 9, A.m 2 ), et g le facteur de Landé : 3 S( S+ 1) L( L+ 1) g = +. On a alors : 2 2J( J+ 1) µ = g J( J+1). On a g = 1 si le magnétisme est purement orbital, et g = 2 s il est purement intrinsèque. eff µ B 2.4 Le ferromagnétisme Jusqu à présent, nous avons négligé les interactions entre dipôles. Dans cette hypothèse, il est impossible d expliquer l apparition d un ordre magnétique (ferromagnétique, antiferromagnétique, ou plus compliqué). Dans un solide, les interactions entre les moments magnétiques µ i et µ j des ions i et j peuvent se traduire par un potentiel V(µ i, µ j, r ij ) où r ij est la distance les séparant. Le problème est a priori extrêmement complexe. Une hypothèse simplificatrice (hypothèse du champ moléculaire théorie de Weiss) consiste à écrire le champ efficace agissant sur un porteur de moment µ i sous la forme : 5

7 B = B+ avec B n M eff Bm où B est le champ extérieur, B m le champ moléculaire, M l aimantation moyenne et n la constante de champ moléculaire. B m est supposé proportionnel à M, puisqu il traduit l effet des moments environnants sur le moment considéré : on fait ici une hypothèse dite de «champ moyen». Cette hypothèse va permettre d expliquer l apparition du ferromagnétisme. Dans le cadre d une approche classique, le champ moléculaire B m est purement phénoménologique («tout se passe comme si»). Seule l approche quantique, à partir de l hamiltonien de Heisenberg, permet de justifier ce champ : les interactions entre dipôles sont alors décrites par l énergie d échange (selon le signe de cette énergie, l ordre magnétique résultant sera ferro ou antiferro). Dans le cadre de l hypothèse de champ moléculaire, on peut reprendre l approche classique développée lors du paragraphe précédent, en remplaçant B par B eff. Regardons d abord ce qui ce passe en absence de champ magnétique extérieur (B = 0). On obtient alors M/M s = L(y), avec y = µnm/k B T. Il n est pas possible d isoler facilement M dans cette équation, mais on peut la résoudre graphiquement en utilisant y comme variable intermédiaire, comme le montre la figure suivante : m = L aimantation d équilibre sera donnée par l intersection entre la courbe M/M s = L(y) et M/M s = k B Ty/µnM s. Cette dernière relation est l équation d une droite passant par l origine, dont la pente augmente proportionnellement avec la température. Il va donc exister une température critique T C au-dessus de laquelle les deux courbes auront pour seule intersection M = 0. En dessous de T C en revanche, il y aura trois intersections, dont deux avec une aimantation non nulle et opposée (voir figure). On peut montrer que dans ces conditions la solution M = 0 est instable : une aimantation spontanée apparaît donc, c est le ferromagnétisme. Graphiquement, on voit que cette aimantation spontanée va augmenter quand la température décroît, jusqu à atteindre la saturation. La température critique vaut T C = Nnµ 2 /3k B. Si on applique un champ magnétique B, on a alors M/M s = L(y), avec y = µ(b+nm)/k B T. La solution graphique est présentée sur la figure suivante : La loi que suit l aimantation devient complexe, mais le régime à haute température peut se simplifier. Si on suppose que l on applique un petit champ magnétique B à une température supérieure à T C telle que 6

8 l aimantation résultante soit petite (c est-à-dire y < 1). On peut alors faire le développement limité de la fonction de Langevin, et on obtient : M/Ms ~ µ(b+nm)/3k B T = (T C /nm s )(B+nM)/T De cette relation, on montre que le rapport M/B ne dépend pas de B : on peut donc définir la susceptibilité magnétique : χ = M/H ~µ 0 M/B = C / (T-T C ) avec C = µ 0 T C /n. C est la loi de Curie-Weiss. Si la température est supérieure à T C, un corps ferromagnétique aura donc un comportement paramagnétique. Si au contraire la température est inférieure à T C, le corps aura une aimantation non nulle lorsque le champ extérieur sera nul. Ce modèle de Weiss décrit bien les comportements expérimentaux des ferromagnétiques. Mais les valeurs de champs moléculaires obtenues (1000 T pour le fer, par exemple) sont trop élevées pour représenter un champ magnétique réel : pour décrire correctement ces phénomènes, il faut utiliser le formalisme de la physique quantique et modéliser les interactions entre dipôles par l énergie d échange. Qualitativement, on obtient alors les mêmes résultats, c est-à-dire l existence d une température de Curie T C, en dessous de laquelle une aimantation spontanée apparaît. Au-dessus de T C, l aimantation suit une loi paramagnétique et la susceptibilité peut également s écrire : χ = C T Tc avec µ 2 eff µ 0 C = N et T C = nc/ µ 0 3k B 2.5 Transition ferromagnétisme / paramagnétisme La détermination expérimentale de la température de Curie est assez délicate, la transition ferromagnétique / paramagnétique n étant pas aussi brusque que le prévoit la théorie. On peut montrer qu il existe une température de Curie ferromagnétique et une température de Curie expérimentale «paramagnétique». Dans la zone de transition, le matériau garde le souvenir de son état ferromagnétique. 3 Montage expérimental Lorsqu'on place un aimant au dessus d'un supraconducteur, celui-ci peut léviter dans certaines conditions. On observe de plus qu'il est en général stable. Cette lévitation et la stabilité mettent en jeux des forces que l'on se propose de mesurer et de comprendre dans ce TP. 1. La force magnétique Un échantillon possédant un moment magnétique M, en présence d un champ magnétique, va subir une force magnétique F. C est cette force qui, par exemple, maintient les magnets sur les portes des frigos. Cette force s'écrit : ou, si on projette sur un axe, r F F r V M gradb =, B V M z z z =, où V est le volume de l'échantillon supraconducteur, et B r le champ magnétique. Mesurer la force magnétique permet donc de mesure l aimantation. 7

9 2. Montage expérimental Le montage est représenté sur la figure ci-contre : azote liquide bras de hauteur réglable délivrant une tension électrique proportionnelle à sa hauteur échantillon aimant NdFeB balance L échantillon peut éventuellement être refroidi par de l'azote liquide afin de varier la température. L'aimant est placé au-dessus d'une balance. La force exercée par l échantillon sur l'aimant est donc mesurée via le poids exercé sur la balance. L'azote : Il est impératif de demander l autorisation à l enseignant avant toute manipulation impliquant l azote liquide. Ne prenez pas d initiative à ce sujet! La balance : ne jamais approcher d'aimant trop près du plateau de la balance. Choisir la balance adaptée à votre mesure (deux balances disponibles). On vous fournir l'interface de dialogue avec labview. Différents échantillons vous sont proposés, ayant tous des comportements différents. 4 Nature du travail à effectuer Différents échantillons vous sont proposés, de natures différentes. Testez qualitativement l amplitude et le signe des forces pour prendre un peu en main l expérience. Réalisez un programme pour mesurer le poids exercé sur la balance (le sous-programme de dialogue avec la balance sera fourni) en fonction de la hauteur du supraconducteur (lu grâce à une tension continue liée au déplacement du bras réglable). Dans ce programme, on doit pouvoir suivre en direct les variations de hauteur et de poids et choisir par action sur un bouton quand on souhaite sauver un point de mesure dans un fichier. 8

10 Mesure de l'effet de l'aimant : mesurez le champ magnétique (en réalité "l'induction" en Gauss ou en Tesla) créé par l'aimant en fonction de la hauteur au dessus de l'aimant grâce à une sonde Hall. En déduire un ajustement phénoménologique permettant de déterminer le champ magnétique si on connaît l'altitude. Introduire dans votre programme cette conversion hauteur-champ magnétique. Analysez qualitativement puis quantitativement les différents échantillons qui vous sont proposés. 5 Travail bibliographique Pour le travail bibliographique on pourra par exemple traiter l un des thèmes suivants : - traitement quantique du paramagnétisme, loi de Brillouin ; - cycle d hystérésis d un ferromagnétique, application à l enregistrement magnétique ; - les différents types de comportement magnétique ; - les interactions entre moments magnétiques à l échelle microscopique ; - magnétisme non conventionnel : les verres de spin. Quelques ouvrages de référence pour vous aider : - C. Kittel, Physique de l état solide, Dunod Université - Ashcroft/Mermin, Solid state physics, S+aunders college publishing - E. du Trémolet de Lacheisserie, Magnétisme I et II, collection Grenoble Sciences - S. Blundell, Magnetism in Condensed Matter, Oxford Press 9

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