ANALOGIES ENTRE OSCILLATEURS MECANIQUE ET ELECTRIQUE

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1 ANAOGIES ENTRE OSCIATEURS MECANIQUE ET EECTRIQUE I. Enegistements de phénomènes oscillatoies Un oscillateu mécaniue est constitué d'un mobile autopoteu de masse M = 760 g, maintenu su une table hoizontale pa deux essots identiues de constante de aideu k = 8,3 N.m -1 et une longueu au epos l 0 (au epos, les deux essots sont étiés). Un montage potentiométiue, elié à un odinateu, pemet d'enegiste le déplacement du cente d'inetie du mobile en fonction du temps. e mobile est écaté de sa position d'éuilibe puis abandonné sans vitesse initiale ; il se déplace d'un mouvement ectiligne ; l'enegistement des difféentes positions du cente d'inetie donne la coube suivante : Un oscillateu électiue est constitué pa une bobine d'inductance = 1,0 H, de ésistance R inconnue, et un condensateu de capacité C = 1,0 µf. C,R Un voltmète, elié à un odinateu, pemet d'enegiste la tension aux bones du condensateu en fonction du temps. e condensateu est péalablement chagé à l'aide d'une pile ; l'enegistement de la tension à ses bones au cous de sa déchage donne la coube suivante : 1. A pati des enegistements, détemine la pseudo-péiode T de chaue phénomène. 80

2 . 'amplitude des oscillations diminue dans les deux cas étudiés ; donne les aisons de l'amotissement des oscillations dans les deux cas. II. Etude théoiue de l'oscillateu mécaniue Remaues : la position du cente d'inetie est epéée pa son abscisse x, mesuée à pati de sa position d'éuilibe. les deux essots estent étiés au cous du mouvement 1. En négligeant les foces de fottement, éalise l'inventaie des foces s'exeçant su le mobile et les epésente su la figue ci-apès. Quelle est la loi uantitative de la mécaniue ui pemet d'en déduie l'éuation difféentielle suivante : M + kx = 0 ui égit le mouvement du cente d'inetie du mobile?. a solution de cette éuation difféentielle est de la fome : x = A cos(ω 0 t + Φ) avec M k Calcule la pulsation ω 0 ; en déduie la péiode pope T 0. Compae cette péiode à celle du mouvement en I.1 ; conclue. III. Analogies ente ces expéiences en mécaniue et en électicité 1. 'éuation difféentielle décivant l'évolution de la chage est : d + 1 = 0 C Quelle caactéistiue du cicuit a-t-on négligé pou établi cette éuation? Donne, pa analogie avec les uestions II.1 et II., la solution généale de cette éuation difféentielle et calcule la féuence pope des oscillations. Compae cette féuence pope à la féuence ue l'on peut calcule à pati des mesues faites en I.1 ; conclue.. osue l'on tient compte des fottements, l'éuation difféentielle égissant le mouvement du cente d'inetie du mobile devient : M dx kx 0 + λ + = Etabli, pa analogie avec l'éuation pécédente, l'éuation difféentielle décivant l'évolution de la chage si l'on tient compte de la ésistance de la bobine. a notion d'analyse dimensionnelle pemetta d'identifie l'éuivalent électiue du teme λ. 3. Compléte le tableau ci-apès, en pécisant les unités de toutes les gandeus encontées. 81

3 Oscillateu mécaniue position x (m) vitesse masse constante de aideu (N.m -1 ) coefficient de fottement fluide (kg.s -1 ) pulsation pope v k λ Oscillateu électiue chage invese de la capacité C 1 (F -1 ) M k pulsation pope I.1. Pa lectue su les enegistements, on touve pou les oscillations mécaniues : T =,36 1 T = 1,4 s en tenant compte de la pécision des mesues 0,0 0,075 et pou les oscillations électiues : T = lectue faite su péiodes T = 6,.10-3 s. 'amotissement des oscillations est dû : - en mécaniue, aux faibles fottements du mobile autopoteu su la table hoizontale pa l'intemédiaie du coussin d'ai. Ces fottements entaînent une légèe dissipation d'énegie mécaniue. - En électicité, à l'existence de la ésistance R de la bobine ui entaîne une dissipation de l'énegie électiue pa effet Joule. II. 1. A et B donnent les positions du cente d'inetie du mobile supposé accoché successivement à chacun des deux essots non défomés, ACet BC sont les vecteus allongements des essots étiés. 8

4 Inventaie des foces s'exeçant su le mobile de cente d'inetie G : - le poids P = Mg du mobile - la éaction R de la table su le mobile, nomale à la table puisu'il n'y a pas de fottement. - la tension du essot A : FA = k(ac ) = k(ao + OC) - la tension du essot B : FB = k(bc) = k(bo+ OC) En appliuant le théoème du cente d'inetie : M g+ R + FA + FB = Ma Mg+ R k(ao+ OC+ BO+ OC) = Ma AO+ BO= 0 et OC= xi Pa pojection su l'axe : kx = M ; M + kx = 0 On touve l'éuation difféentielle ui égit le mouvement du cente d'inetie du mobile.. Calcul de ω 0 : T 0 = M k ω π T 0 = 1,35 s T 0 = 1,4 s 0 8,3 4,67 4,67 ad.s -1 En tenant compte de la pécision des mesues, péiode et pseudo péiode sont égales. III. 1. d + 1 = 0 C Dans l'éuation difféentielle n'appaaissent ue l'inductance de la bobine, et C la capacité. a caactéistiue du cicuit négligée est R la ésistance de la bobine. Pa analogie la solution généale de cette éuation est : = A cos(ω 0 t + Φ) 1 et la féuence pope N 0 = 1 N 0 = 1 C π C π 10 6 N 0 = 159 Hz soit N 0 = 1,6.10 Hz A pati des mesues su la coube, on a touvé T 0 = 6,.10-3 s N 0 = T 1 N 0 = 161 Hz ; N 0 = 1,6.10 Hz ; les valeus sont égales 0 M dx λ + kx =. Pa analogie avec + 0 en électicité l'éuation est : d d + λ ' + 1 = 0 C Analyse dimensionnelle de λ' : les difféents temes de l'éuation difféentielle sont des tensions ( C est la tension aux bones ) d est une intensité ; λ' I = U λ' a les dimensions d'une ésistance d 'éuation devient : d + R + 1 = 0 C 83

5 Remaue : on etouve cette éuation à pati de la loi d'additivité des tensions : u C = C u = di u C + u + u R = 0 d i = i R u R = Ri d + C d d + R = 0 ou : d + R + =0 on etouve bien λ' = R C 3.Tableau des éuivalences Oscillateu mécaniue position x (m) vitesse (m.s -1 ) v Oscillateu électiue chage (C) intensité d i = (A) masse (kg) constante de aideu (N.m -1 ) coefficient de fottement fluide (kg.s -1 ) pulsation pope (ad.s -1 ) m k λ inductance (H) invese de la capacité (F -1 ) ésistance (Ω) M k pulsation pope (ad.s -1 ) C 1 R 1 C 84