V. Partitionnement d une image

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1 V. Partitionnement d une image 1 Partition d une image Soit I une image Soit P un prédicat d'homogénéité S = R1, R2,..., Rn est une partition de I selon P: a) I = È Ri, i Î [1, n] b) Ri est connexe, " i Î [1, n] c) P(Ri) est vrai, " i Î [1, n] d) P(Ri È Rj) est faux, pour tout couple (Ri, Rj) de régions connexes Segmentation unique? non! contrainte d'optimisation d'une fonction C caractérisant la qualité d'une segmentation e) parmi toutes les segmentations S vérifiant a), b), c) et d), on choisira S* qui vérifie : C(S) C(S*) Complexité trop forte => algorithmes sous-optimaux. 2 Segmentation par croissance de régions Regrouper de manière itérative des régions connexes. Il faut définir : - une partition initiale de l'image,

2 - un ensemble d'attributs caractérisant une région, - un ensemble de critères de regroupement de 2 régions voisines, - une heuristique pour maîtriser la complexité. Exemple : - définir une partition initiale : critère de "même intensité" - regrouper séquentiellement les régions adjacentes dont une partie significative de la frontière est peu contrastée - arrêt du processus : aucun couple ne vérifie les conditions de fusion Remarques : - la partition obtenue dépend de l'ordre de traitement des couples - impossible d'évaluer toutes les solutions pour choisir la meilleure. Une solution sous-optimale : - définir une fonction de qualité Q pour une région (ex : -variance des luminances) - parmi tous les couples (Ri, Rj) de régions "fusionnables", effectuer la fusion sur le couple qui maximise Q(Ri» Rj) - réitérer sur la nouvelle partition obtenue. Exemple de processus de croissance de région avec 3 critères hiérarchisés : - critère du max-min, - critère de la variance, - critère de faible gradient aux frontières

3 Image originale utilisation du critère max-min utilisation du critère variance utilisation du critère gradient

4 3 Partitionnement par quadtree 3.1 Localisation de nuages de Points : Il faut : - définir un voisinage pour évaluer une densité : densité = nbre de points / Surface du voisinage - fixer un seuil minimum de densité seuildensité - caractériser l homogénéité de la densité et un seuil : variance, max-min,... seuilhomogène

5 /* éclatement */ si max densité < seuildensité, alors fin eclatement évaluer l homogénéité (variance) sur l'espace si la variance > seuilhomogène, alors : découper en 4 parcelles Ri Ri+1 Ri+2 Ri+3 relancer l'éclatement sur chaque sous-espace fin si fin eclatement on privilégie le regroupement des zones de plus forte densité /* regroupement */ ne conserver que les régions Ri > seuildensité créer la liste des couples de voisins (Ri, Rj) ordonner les couples par densités décroissantes (1) : soit le premier couple (Ri,Rj) retirer (Ri, Rj) de la liste créer Rn = Ri» Rj si l écart de densité(rn) > seuil alors retourner en (1) mettre à jour la liste des régions : remplacer tous les (Ri, Rk) par (Rn, Rk) et réinsérer (Rn, Rk) suivant l ordre des densités même opération pour Rj retourner en (1) tant que la liste n est pas vide

6 3.2 Image en niveau de gris Exemple sur le critère max-min a) Représentation d'une parcelle Description d une parcelle : - coin inférieur gauche (Gx, Gy) - coin supérieur droit (Dx, Dy) (non inclus) - numéro unique qui deviendra plus tard un numéro de région - champ "suivant" pour s associer ultérieurement en région Créer un parcelle consiste à : - empiler une parcelle dans une table - "colorier" tous les pixels de la parcelle avec le numéro de cette parcelle. (carte des parcelles)

7 b) Eclatement critère d'arrêt : - surface d'une parcelle < seuil1 - max-min sur la parcelle < seuil2 action eclater(x1, y1, x2, y2) si (x2-x1)*(y2-y1)< surface minimum alors creerparcelle(x1,y1,x2,y2) ; fin action; si minmax(x1, y1, x2, y2)< seuil de gris alors creerparcelle(x1,y1,x2,y2) ; fin action; x3 = (x1+x2)/2 ; y3 = (y1+y2)/2 ; eclater(x1,y1,x3,y3) ; eclater(x3,y1,x2,y3) ; eclater(x1,y3,x3,y2) ; eclater(x3,y3,x2,y2) ; fin action c) Représentation d'une région Région : Liste de parcelles connexes et homogènes construire la table des couples de parcelles voisines pour gérer les fusions pour toutes les parcelles i parcourir la périphérie de la parcelle i si la parcelle voisine j est nouvelle alors si i<j alors empiler (i,j)

8 d) Regroupement ordre décroissant d'homogénéité min max tête parcelle Reg suiv Table des régions (listes chaînées de parcelles) fusion : création de la liste des parcelles voisines création des régions initiales : listes d'une parcelle pour tous les couples (i, j) de parcelles voisines : soit r1 la région de i soit r2 la région de j si r1 r2 et minmax(r1» r2) < e alors : concaténer les deux listes de parcelles faire pointer r1 sur la nouvelle liste faire pointer r2 sur -1 anciennes parcelles de r2 <- numéro de r1 mettre à jour min et max pour r1 fin si fin pour

9 Stratégie : Privilégier la fusion de régions ayant le plus faible minmax, mettre à jour une liste des régions voisines à partir de la liste des parcelles voisines ordonner cette liste suivant ce critère décroissant. fusionner le couple de régions se trouvant en tête de liste arrêt si le critère n'est plus respecté sur ce premier couple. 4 Ligne de partage des eaux Transition rapide Transition lente Fenêtre d analyse Les frontières entre régions peu contrastées sont difficiles à détecter à travers une fenêtre d analyse réduite. La «ligne de partage des eaux» est une méthode efficace pour délimiter des régions peu contrastées. Principe : image en niveau de gris : un relief minima locaux dans l image : «cuvettes» montée progressive de l eau élévation de digues pour éviter que «les eaux ne se mélangent». digues : ligne de partage des eaux.

10 a) Sélection des minima locaux Difficulté principale : limitation du nombre de minima locaux. Une méthode de sélection : Ë lisser fortement l image Ë rechercher des minima locaux Ë éliminer des minima locaux dont la profondeur relative est < e Pour ce dernier point, trier les minima dans l ordre croissant des altitudes, et pour chaque minimum dans cet ordre : - croissance de région jusqu à atteindre min+ e - neutraliser les éventuels minima voisins qui ont été submergés (< min + e) A B e B est englouti par la cuvette issue de A. Abandon du minimum B trop peu profond. On construira ainsi une carte des cuvettes initiales (étiquettes spécifiques) qui servira de point de départ pour le processus de montée des eaux. b) Montées des eaux - processus itératif de croissance de régions jusqu à «contact», - sorte d amincissement homotopique du complémentaire des cuvettes initiales : le squelette constitue la ligne de partage des eaux.

11 dh : Gain d altitude entre deux lignes de niveau H <- minimum de l image + dh (altitude courante) Carte1 : Minima étiquetés de l image (cuvettes initiales) fond : table des profondeur de chaque minima Carte2 et LignePdE : type image pour tous les pixels P dans I, LignePdE(P)<-0 ; tant que le maximum de l image n est pas atteint : répéter pour tous les pixels P dans I si I(P)>H carte2(p)<-0 ; sinon si P est voisin d une cuvette C1 (carte1) si Carte1(P)=0 ou Carte1(P)=C1 Carte2(P)<-C1 ; Sinon Carte2(P)<-Carte1(P) ; si I(P)-fond(C1)>e et I(P)-fond(C2)>e LignePdE(P)<-1 ; sinon fusionner(carte1,carte2,p,c1,c2) ; fin si fin si sinon Carte2(P)<-0 ; fin si fin pour carte1<-carte2 ; jusqu à stabilité H <- H + dh fin tant que

12 Deux manières d aborder la fusion fusionner(carte1,carte2,p,c1,c2) : colorier(carte1,p,c1,c2) colorier(carte2,p,c1,c2) fusionner(carte1,carte2,p,c1,c2) : rendre C1 et C2 équivalents (gestion d une table d équivalence) Suivant le type d application : - ne conserver que les contours cycliques : frontières des régions 5 Partitions adaptatives 5.1 Rappel : Métriques et ultra-métriques Axiomes définissant une métrique. Soit d : ExE -> R + d(x,x) = 0 d(x,y) = d(y,x) d(x,y) d(x,z) + d(z,y) Axiomes définissant une ultra-métrique. Soit d : ExE -> R + d(x,x) = 0 d(x,y) = d(y,x) d(x,y) max( d(x,z), d(z,y) )

13 B C A A est «plus proche» de B que de C 500 kg 500 kg Ces deux chaînes ont la même résistance 5.2 Partitions adaptatives Le principe consiste à faire évoluer des régions à partir de «centres» qui se déplacent au fur et à mesure du processus jusqu à trouver une position d équilibre. Soit d une ultra-métrique sur un ensemble fini E, soit P = {C1,C2,...,Ck } une partition de E en k classes soient k éléments de E choisis respectivement dans chaque classe : a1,..., ak ai est dit "descripteur" de Ci Algorithme a Effectuer un groupement en appliquant la relation : " x Œ E, x Œ Ci si " j i, d(ai, x) < d(aj, x) S adapter en évaluant un nouvel ai optimum pour chaque Ci (ex : le barycentre) Retourner au groupement si un ai a changé.

14 Algorithme b - groupement : soit x Œ E, x Œ Ci si " j i, d(ai, x) < d(aj, x) - adaptation : évaluation d'un ai optimum pour Ci arrêter lorsque tous les éléments de E sont affectés à une classe. Mieux adapté à une arrivée séquentielle de nouvelles données. Algorithme des nuées dynamiques ou généralisation de l'algorithme a les descripteurs ai sont des n-uplets, on utilise : - un indice de dissemblance D(x, ai) pour effectuer le regroupement - un indice de ressemblance R(ai, Ci) pour l'adaptation