Décision et Prévision Statistiques. Test de vérification des acquis Durée : 3 heures. Thierry Verdel, Mines Nancy, 9 décembre 2014

Transcription

1 Décision et Prévision Statistiques. Test de vérification des acquis Durée : 3 heures. Thierry Verdel, Mines Nancy, 9 décembre 2014 ATTENTION, RENDRE UNE COPIE SÉPARÉE POUR CHAQUE EXERCICE Dans tout l énoncé, m et s désignent respectivement la moyenne et l écart-type des observations (empiriques) et n désigne la taille des échantillons. Quand ce n est pas précisé, on fera l hypothèse de normalité des populations dont sont issues les données et on choisira le risque 5%. Les données suivantes concernent la taille (cm) et la masse (kg) de la majeure partie des filles (F) et des garçons (G) de la promotion 2014 de Mines Nancy. Taille Masse G F G F n m s ) Tester la normalité de la taille des garçons à partir des effectifs et des classes de l histogramme suivant : Question sur 4 pts On estime : μ # = m = et σ #2 = n s2 n&1 = = d où σ # = On détermine alors les effectifs théoriques dans chaque classe après centrage et réduction des bornes de classes (u c donné ici pour la borne de droite). Attention aux classes extrêmes. 1.5 classes (borne max) obs u c &2.23 &1.43 & & -(U u c ) & -(classes) theo Il faut regrouper les classes où l effectif théorique est inférieur ou égal à classes < obs theo (obs&theo ) 2 theo A l hypothèse que la distribution observée obéit à une loi normale, la distance calculée est issue d une loi du χ 2 à 5 & 1 & 2 = 2 degrés de liberté 0.5 et ne devrait donc pas dépasser la valeur au risque 5%. L hypothèse passe largement. On ne peut pas le rejeter. 0.5 On donnera tous les points à ceux qui estimeraient la moyenne à partir de l histogramme (avec perte d information) à condition que cela mène à la même conclusion. Il y a une possibilité que les élèves contestent, avec raison, le choix des bornes des classes sur des valeurs entières (les données brutes étant également entières). En effet, la classe [ [ est en réalité la classe [ ] et il serait plus avisé de choisir des bornes demientières [164.5, 169.5] pour le calcul des effectifs théoriques... Cela peut conduire à une différence dans ce calcul. On mettra 1 POINT BONUS à ceux qui relèveraient ce point.

2 2 2) Considérant maintenant que la taille des garçons ainsi que la taille des filles sont des variables normales, peut-on confirmer le fait que, s agissant des populations qu elles représentent, les garçons sont plus grands que les filles? Question sur 3 pts Au préalable, il faut comparer les variances des populations. Sous H 0 : σ 2 G = σ 2 F, la quantité n G s 2 G (n G &1) doit suivre une loi de Snedecor à (n n F s 2 F (n F &1) G & 1, n F & 1) degrés de liberté On calcule f = = Avec les données de la table de Snédécor disponible et pour un risque symétrique de 5%, la région d'acceptation la plus conservatrice est l'intervalle 1 = 0.61, , tandis que l'intervalle véritable (Mathematica) est [0.58, 1.86]. f se trouvant dans la région d'acceptation, on ne peut donc pas conclure à une différence des variances Pour la suite, on pourra donc utiliser estimer la variance commune σ #2 = n G s 2 G +n F s 2 F = soit σ # = n G +n F &2 Il s'agit maintenant de tester H 0 : μ G μ F, soit H 0 : μ G = μ F avec un risque à droite (5%). 0.5 On sait que sous H 0, T = On calcule la quantité t = (M G &M F ) σ # 17n G +17n F est une loi de Student à (n G + n F & 2 = 112) degrés de liberté m G &m F = & σ # 17n G +17n F = > On peut donc rejeter l'hypothèse H O et conclure, avec moins de 5 chances sur 100 de se tromper, que les garçons sont plus grands que les filles dans cette tranche d'âge Si le test de comparaison des variances n est pas fait, on ne donnera que les points de la deuxième partie soit 1.75 pts (incluant l estimation de la variance commune). Il y a une possibilité que les élèves ne fassent aucune hypothèse sur les variances et utilisent la loi (M G &M F ) σ G n G +σ F n F qui est bien une loi normale centrée réduite à l hypothèse d égalité des moyennes. Ce faisant, remplaçant σ G et σ F par σ G # et σ F #, ou même pas s G et s F (statistique asymptotique) on peut conclure sur la différence des moyennes sans vérifier l égalité des variances. On donnera tous les points pour ce raisonnement

3 3 3) Supposant validée l homoscédasticité (égalité des variances) des sous-groupes. Peut-on établir une corrélation entre la couleur des yeux et la taille des garçons à partir des informations suivantes? vert bleu marron noir n m s Question sur 3 pts La taille est corrélée à la couleur des yeux si une partie significative des variations de taille peut être expliquée par les variations des moyennes des tailles dans les différentes modalités. Or on voit bien que les moyennes ne varient pas beaucoup. Pour le vérifier, on fait l hypothèse qu il n y a pas de corrélation (tous les α i sont nuls dans le modèle y ij = μ + α i + ε ij ) et on calcule : SCA = j n j y j 2 & n y 2 = & = (vraie valeur avec les données sources) SCT = j i ( y i j & y) 2 = n s 2 = = et par différence, SCR = SCT & SCA = 3159 & = Puis on dresse le tableau d analyse suivant : Variation DL SC MC f calculé F(3,77) à 5 % SCA = f A = = SCR = SCT f A < 2.7 = On ne peut pas rejeter l hypothèse qu il n y a pas d influence du facteur. Le rapport de corrélation est d ailleurs très faible SCA SCT = =

4 4 4) A partir des données suivantes peut-on conclure que la couleur des cheveux dépend du sexe? cheveux clairs cheveux bruns filles garçons On procède au calcul des effectifs théoriques à l hypothèse d indépendance de ces deux variables qualitatives. o cheveux clairs cheveux bruns t cheveux clairs cheveux bruns filles > filles = = garçons garçons = = On calcule ensuite la distance du χ 2 = ij (o&t) 2 χ 2 cheveux clairs cheveux bruns filles garçons t. On obtient : 0.5 S il y a indépendance, la valeur 2.82 doit être la réalisation d une loi du χ 2 à (2 & 1) (2 & 1) = 1 degré de liberté Au risque 5%, une telle loi ne peut dépasser la valeur Puisque 2.82 < 3.84, on ne peut pas rejeter l hypothèse d indépendance ) On s intéresse maintenant à l indice de masse corporelle, noté imc, et défini comme le rapport entre la masse (en kg) et le carré de la taille (en m). Et l on représente l imc (noté y) en fonction de la masse (noté x) pour l échantillon de départ (filles et garçons). On a également reporté la droite des moindres carrés sur la figure et donné quelques statistiques sur x et y. x y s 2 (x) s 2 (y) s(x,y) ) Calculez les coefficients de la droite des moindres carrés, le coefficient de corrélation, son carré et estimez la variance résiduelle. On calcule a = r = s(x, y) = s 2 (x) = ; b = y & a x = & = s(x, y) s(x) s( y) = = ; r2 = ; 0.5 σ #2 = 1&r2 n s 2 ( y) n&2 = 1& = > σ # =

5 5 5.2) Peut-on confirmer statistiquement l augmentation de l imc avec la masse? Il s agit de tester l hypothèse α 0 (test à droite) 0.5. On sait que A&α σ # (A) = T[n & 2] On calcule σ# (A) = σ #2 n s 2 (x) = = Sous l hypothèse α 0, on calcule a&0 σ # (A) = & = > (t 5 % à droite) On peut rejeter l hypothèse α 0 et conclure avec moins de 5% de chances de se tromper que α > Si l étudiant répond correctement par un test symétrique sans dire qu il en serait de même pour un test à droite, on enlèvera la moitié des points. Il faut a minima qu il soit fait allusion à un test à droite (par exemple s il dit qu ayant rejeté l hypothèse par un test symétrique, il en sera de même pour un test à droite, on pourra mettre la totalité des points 5.3) Quel est l intervalle de confiance à 95% de l imc pour une masse de 60 kg? Il s agit de calculer l intervalle de confiance des observations 0.5 pour cette valeur de x. On a besoin de l écart-type des observations, estimé par σ # (Y) = σ # n + (x&x)2 n s 2 (x) σ #. 0.5 Sachant que Y&(ax+b) σ # (Y) = T[n & 2] 0.25, on arrive aisément à : ax + b & t α72 σ # (Y) Y ax + b & t α72 σ # (Y) Avec t α72 = , t α72 σ # (Y) = = 3.23 et ax + b = = on arrive finalement l intervalle recherché [17.01, ] 0.25 Sans approximation on obtient : σ # (Y) = (60& ) = qui conduit à l intervalle [ , ] (ou [ , avec les données brutes). On donnera tous les points à ces deux approches. 5.4) Quelle est la valeur du poids à partir de laquelle la probabilité que l imc dépasse 25 (seuil du surpoids) est supérieure à 5%? On cherche la valeur de x telle que ax + b + t α72 σ # (Y) = 25, avec t α72 = soit x = 25&b&t α72 σ # = 25& & = a Sans l approximation, c est plus difficile à calculer sauf avec un solveur. On trouve On donnera tous les points à un étudiant qui ferait le calcul sans approximation, à condition qu il soit correct.