Travaux Dirigés n 2 EXERCICE N 1 : ETUDE DE L ELIMINATION DU CALCIUM.
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- Denis Dubé
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1 EXERCICE N : ETUDE DE L ELIMINATION DU CALCIUM. EXERCICE N 2 : ETUDE DE LA GLYCÉMIE. On prélève dans une population P très grande, un échantillon E de 00 individus et on mesure, en mg par 24 heures, l élimination urinaire de calcium de chacun d entre eux : Quantité de calcium ( en mg ) en 24 heures [ 00 ; 40 [ [ 40 ; 80 [ [ 80 ; 220 [ [ 220 ; 260 [ [ 260 ; 300 [ [ 300 ; 340 [ ❶ Calculer les valeurs approchées de la moyenne m e et de l écart-type σ e cet échantillon, ( les résultats seront donnés à l unité près car le regroupement en classe ne permet pas une précision plus grande ) ; ❷ Estimer à partir des résultats la moyenne µ et l écart-type σ du calcium éliminé pour la population P : ❸ Déterminer untervalle de confiance, au seuil de confiance de 95%, de la moyenne µ ; ❹ Déterminer la taille minimale, n, de l échantillon pour que l intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, soit au maximum de 0 mg par 24 heures. : On tire au hasard un échantillon de 00 sujets et on mesure la glycémie Glycémie en mg pour 00 ml [ 75 ; 80 [ [ 80 ; 85 [ [ 85 ; 90 [ [ 90 ; 95 [ [ 95 ; 00 [ [ 00 ; 05 [ [ 05 ; 0 [ ❶ Calculer des valeurs approchées de la moyenne m e et de l écart-type σ e cet échantillon E ; ❷ Estimer à partir des résultats la moyenne µ et l écart-type σ de la glycémie dans la population P : ❸ Déterminer l intervalle de confiance, de la glycémie moyenne µ dans la population P au risque de % ; ❹ En supposant que l écart-type s estimé précédemment est l écarttype réelle de la population, quelle devrait être la taille minimale, n, de l échantillon pour connaitre avec un risque de 5% la glycémie moyenne µ à 0,5mg pour 00 ml près. ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page
2 EXERCICE N 4 : ETUDE DE LA FACULTÉ GERMINATIVE D UNE GRAINE. Une entreprise de production de graines veut vérifier la faculté germinative d une espèce de graine, c est à dire la probabilité p pour qu une graine prise au hasard dans la production, germe : Sur un échantillon de 400 graines, on observe que 330 graines germent : quel est l intervalle de confiance de p au risque 5%. EXERCICE N 5 : ETUDE DE D UNE CONSULTATION ELECTORALE. A la veille d une consultation électorale comprenant 2 candidiats, on a interrogé 00 électeurs, constituant un échatillon représentatif : 58% d entre eux ont déclaré avoir l intention de voter pour le candidat A ❶ Au risque de 5 %, le candidat A, peut-il considérer qu il serait élu si les opinions ne se modifient pas ; ❷ Avec la même fréquence observée d électeurs favorable à A, quelle devrait être la taille minimum de l échantillon pour pouvoir affirmer au risque 5% que A soit élu? EXERCICE N 6 : ETUDE DE LA LONGUEUR DES AXES DE MOTEURS ELECTRIQUES BTS MICROTECHNIQUES 994. Une unité de production effectue le réglage d une machine destinée à fabriquer en grand nombre des axes de moteurs électriques. ❶ Un échantillon de 00 axes est prélevé lors des premiers jours de production, leurs longueurs étant mesurées ( en mm ), on obtient le tableau suivant : a) En faisant l hypothèse que, dans chaque classe, les valeurs observées sont égales à celle du centre de la classe, calculer (à 0-3 mm près) une valeur approchée de la moyenne x et l écart-type s ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page 2 Longueur des axes ( en mm ) Nombre d axes [ 89,7 ; 89,8 [ 3 [ 89,8 ; 89,9 [ 4 [ 89,9 ; 90,0 [ 36 [ 90,0 ; 90, [ 33 [ 90, ; 90,2 [ 3 [ 90,2 ; 90,3 [ des longueurs des axes de l échantillon b) On suppose que la variable aléatoire X qui, à tout axe prélevé au hasard dans la production, associe sa longueur, suit la loi normale de moyenne m et d écart-type σ. On considère que la valeur de l écart-type trouvé à la question a) est une estimation de σ. Déterminer l intervalle de confiance à 0,95 centré sur x pour le paramètre inconnu m. ❷ On suppose désormais que X suit la loi normale de paramètres m = 90 mm et σ = 0, mm. Un axe est considéré défectueux si sa longueur est supérieure à 90,2 mm ou inférieure à 89,8 mm. Quelle est à 0-3 près, la probabilité qu un axe pris au hasard parmi la production soit défectueux? ❸ On suppose que 4,5 % des axes de la production sont défectueux. Les axes produits sont conditionnés en boites de cent, on assimile le prélèvement de 00 axes à un prélèvement aléatoire avec remise. On appelle Y la variable aléatoire qui, à chaque boite prélevée au hasard dans la production, associe le nombre d axes défectueux qu elle contient. a) Quelle est la loi suivie par Y? Justifier la réponse et donner les paramètres de cette loi. b) La loi de Y est appoximée par une loi de Poisson. Déterminer son paramètre puis calculer, à 0-3 près, la probabilitéque l on ait Y 3?
3 EXERCICE N 3 : ETUDE DU NOMBRE DE BOULES BLANCHES DANS UNE URNE. On tire au hasard une boule de l urne, on note sa couleur, on la remet dans l urne. sachant que dans une suite de 300 tirages, on a obtenu 84 fois une boule blanche, donnez une estimation de la proportion p de boules blanches dans l urne et l intervalle de confiance de p au risque 5%. EXERCICE N 7 : ETUDE DU POURCENTAGE D ÉCHEC D UN VACCIN ANTI-GRIPPAL. Version René SEROUX On sait que le pourcentage d échec d un vaccin anti-grippal est de 5%. Le service chargé en Loire-Atlantique voudrait connaitre à % près le pourcentage de sujet nommunisé après vaccination. En acceptant un coefficient de risque de 5%, sur combien de sujets doit porter au minimum l observation? ETUDE DU POURCENTAGE D ÉCHEC D UN VACCIN ANTI-GRIPPAL. Version Médecine En acceptant un coefficient de risque de 5%, on voudrait connaître à plus ou moins % près, le pourcentage de sujets nommunisés après une certaine vaccination. Sur combien de sujets, au minimum, l observation doit-elle porter? On sait par avance que le pourcentage d échecs à cette vaccination est compris entre 0 et 5 pour cent. ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page 3
4 EXERCICE N 9 : PARTIE I ETUDE STATISTIQUE DE LA LONGUEUR DES ABEILLES. On a mesuré la longueur de chacune des abeilles d un échantillon de taille 00 pris aléatoirement parmi la population d une ruche donnée? On a obtenu les résultats suivants : Longueur en mm [ 3,5 ; 4,5 [ [ 4,5 ; 5,5 [ [ 5,5 ; 6,5 [ [ 6,5 ; 7,5 [ [ 7,5 ; 8,5 [ [ 8,5 ; 9,5 [ [ 9,5 ; 0,5 [ Dans cette PARTIE I, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au centième le plus proche. ❶ Calculer des valeurs approchées de la moyenne notée m e et de l écart-type σ e de la longueur des abeilles de cet échantillon ; donner untervalle de confiance de la moyenne µ de la population concernée au risque 5% ; PARTIE II Dans cette PARTIE II, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième le plus proche. ❺ On suppose que la variable aléatoire L qui à chaque abeille associe sa longueur suit la loi normale N ( 7, 0,9 ). Quelle est la probabilité pour qu une abeille, prise au hasard dans la ruche, soit géante, c est-à-dire ait une taille supérieure à 9 mm? ❻ On prélève au hasard, dix abeilles de la ruche. On suppose que la variable qui prend pour valeur le nombre des abeilles géantes parmi les dix considérées, suit la loi binomiale B ( 0, 0,03 ) Calculer la probabilité d avoir au moins deux géantes parmi les dix abeilles prélevées? ❷ A partir des résultats, donner une estimation de la moyenne µ et l écart-type σ de la longueur d une abeille de la ruche considérée ; On appelle L la variable aléatoire qui, à chaque abeille de cette ruche associe sa longueur en mm. On admet que L suit une loi normale de moyenne µ et d écart-type σque l on pourra remplacer par sa valeur estimée. ❸ On désigne par L la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille 00 associe sa moyenne. Quelle est la loi de L? ; ❹ En utilisant les résultats obtenus pour l échantillon étudié, ELSA Productions NANTES Septembre 2002 Page 4
5 EXERCICE N 0 : DOSAGE ET QUALITÉ On a contrôlé le dosage d un produit dans un mélange à la sortie d une chaîne de conditionnement. Pour un échantillon de 00 lots ( tirés au hasard et avec remise) de 5 kg de mélange analysés, on a obtenu les résultats suivants où P i représente la masse du produit exprimé en grammes et l effectif correspondant : ❷ Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n=00 prélevé au hasard et avec remise parmi l ensemble des lots sortant de la chaîne de conditionnement, associe le pourcentage de lots de qualité supérieure de l échantillon. On suppose que F suit la loi normale Déterminer une estimation de p par untervalle de confiance centré en f, au seuil de confiance de 98%. Masse du produit P i en g [ 4 ; 43 [ [ 43 ; 45 [ [ 45 ; 47 [ [ 47 ; 49 [ [ 49 ; 5 [ [ 5 ; 53 [ [ 53 ; 55 [ [ 55 ; 57 [ [ 57 ; 59 [ [ 59 ; 6 [ Un lot de 5 kilogrammes de mélange est dit de «qualité supérieure» s il contient entre 47 grammes et 55 grammes de produit. ❶ Déterminer pour cet échantillon de taille n=00 le pourcentage f de lots de qualité supérieure ; ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page 5
6 Devoir n EXERCICE N 8 : ETUDE STATISTIQUE D UNE POPULATION D INDIVIDUS HOSPITALISÉS. On prélève, auhasard, dans une population P très grande, un échantillon E de 00 individus et on mesure, en mm de mercure, la pression artérielle diostalique ( P.A.D. ) Pression p ( en mm de Hg ) [ 4 ; 6 [ [ 6 ; 8 [ [ 8 ; 0 [ [ 0 ; 2 [ [ 2 ; 4 [ normale de moyenne M et d écart-type σ. ❸ On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille 00 associe sa moyenne. Quelle est la loi de X? ; ❹ En utilisant les résultats obtenus pour l échantillon étudié, donner untervalle de confiance, au seuil de confiance de 95%, de la moyenne M de la population concernée ; ❺ On prend dans cette question 9,4 pour valeur approchée de M et 2 pour valeur approchée de σ. Calculer les probabilités suivantes : P (X 7 ) et P ( 8 X < 2 ) ❶ Calculer des valeurs approchées de la moyenne p et de l écarttype s de la pression artérielle diostalique ( P.A.D. ) de cet échantillon, ( les résultats numériques sont demandés à 0-2 près ) ; ❷ A partir des résultats, donner une estimation de la moyenne M et l écart-type σ de la pression artérielle diostalique de la population P concernée ; On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque individu de la population associe sa pression artérielle diostalique. X suit une loi ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page 6
7 EXERCICE N 9 : PARTIE I ETUDE STATISTIQUE DE LA LONGUEUR DES ABEILLES. On a mesuré la longueur de chacune des abeilles d un échantillon de taille 00 pris aléatoirement parmi la population d une ruche donnée? On a obtenu les résultats suivants : Longueur en mm [ 3,5 ; 4,5 [ [ 4,5 ; 5,5 [ [ 5,5 ; 6,5 [ [ 6,5 ; 7,5 [ [ 7,5 ; 8,5 [ [ 8,5 ; 9,5 [ [ 9,5 ; 0,5 [ Dans cette PARTIE I, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au centième le plus proche. ❶ Calculer des valeurs approchées de la moyenne m et de l écart-type s de la longueur des abeilles de cet échantillon ; ❷ A partir des résultats, donner une estimation de la moyenne µ et l écart-type σ de la longueur d une abeille de la ruche considérée ; On appelle L la variable aléatoire qui, à chaque abeille de cette ruche associe sa longueur en mm. On admet que L suit une loi normale de moyenne µ et d écart-type σque l on pourra remplacer par sa valeur estimée. ❸ On désigne par L la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille 00 associe sa moyenne. Quelle est la loi de L? ; ❹ En utilisant les résultats obtenus pour l échantillon étudié, donner untervalle de confiance de la moyenne µ de la population concernée au risque 5% ; PARTIE II Dans cette PARTIE II, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième le plus proche. ❺ On suppose que la variable aléatoire L qui à chaque abeille associe sa longueur suit la loi normale N ( 7, 0,9 ). Quelle est la probabilité pour qu une abeille, prise au hasard dans la ruche, soit géante, c est-à-dire ait une taille supérieure à 9 mm? ❻ On prélève au hasard, dix abeilles de la ruche. On suppose que la variable qui prend pour valeur le nombre des abeilles géantes parmi les dix considérées, suit la loi binomiale B ( 0, 0,03 ) Calculer la probabilité d avoir au moins deux géantes parmi les dix abeilles prélevées? ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page 7
8 EXERCICE N : ETUDE DE L ELIMINATION DU CALCIUM. On prélève dans une population P très grande, un échantillon E de 00 individus et on mesure, en mg par 24 heures, l élimination urinaire de calcium de chacun d entre eux : Quantité de calcium ( en mg ) en 24 heures [ 00 ; 40 [ [ 40 ; 80 [ [ 80 ; 220 [ [ 220 ; 260 [ [ 260 ; 300 [ [ 300 ; 340 [ ❷ Estimer à partir des résultats la moyenne µ et l écart-type σ du calcium éliminé pour la population P : ❸ Déterminer untervalle de confiance, au seuil de confiance de 95%, de la moyenne µ ; ❹ Déterminer la taille minimale, n, de l échantillon pour que l intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 %, soit au maximum de 0 mg par 24 heures. ❶ Calculer des valeurs approchées de la moyenne m e et de l écart-type σ e cet échantillon, ( les résultats seront donnés à l unité près car le regroupement en classe ne permet pas une précision plus grande ) ; ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page 8
9 : Travaux Dirigés n 2 EXERCICE N 2 : ETUDE DE LA GLYCÉMIE. On tire au hasard un échantillon de 00 sujets et on mesure la glycémie ❶ Calculer des valeurs approchées de la moyenne m e et de l écart-type σ e cet échantillon E ; ❷ Estimer à partir des résultats la moyenne µ et l écart-type σ dde la glycémie dans la population P : ❸ Déterminer l intervalle de confiance, de la glycémie moyenne µ dans la population P au risque de % ❹ En supposant que l écart-type s estimé précédemment est l écart-type réelle de la population, quelle devrait être la taille minimale, n, de l échantillon pour connaître avec un risque de 5% la glycémie moyenne µ à 0,5mg pour 00 ml près. Glycémie en mg pour 00 ml [ 75 ; 80 [ [ 80 ; 85 [ [ 85 ; 90 [ [ 90 ; 95 [ [ 95 ; 00 [ [ 00 ; 05 [ [ 05 ; 0 [ ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page 9
10 EXERCICE N 6 : ETUDE DE LA LONGUEUR DES AXES DE MOTEURS ELECTRIQUES BTS MICROTECHNIQUES 994. Une unité de production effectue le réglage d une machine destinée à fabriquer en grand nombre des axes de moteurs électriques. ❶ Un échantillon de 00 axes est prélevé lors des premiers jours de production, leurs longueurs étant mesurées ( en mm ), on obtient le tableau suivant : a) En faisant l hypothèse que, dans chaque classe, les valeurs observées sont égales à celle du centre de la classe, calculer (à 0-3 mm près) une valeur approchée de la moyenne x et l écart-type s des longueurs des axes de l échantillon b) On suppose que la variable aléatoire X qui, à tout axe prélevé au hasard dans la production, associe sa longueur, suit la loi normale de moyenne m et d écart-type σ. On considère que la valeur de l écart-type trouvé à la question a) est une estimation de σ. Déterminer l intervalle de confiance à 0,95 centré sur x pour le paramètre inconnu m. Longueur des axes ( en mm ) [ 89,7 ; 89,8 [ [ 89,8 ; 89,9 [ [ 89,9 ; 90,0 [ [ 90,0 ; 90, [ [ 90, ; 90,2 [ [ 90,2 ; 90,3 [ Nombre d axes ❷ On suppose désormais que X suit la loi normale de paramètres m = 90 mm et σ = 0, mm. Un axe est considéré défectueux si sa longueur est supérieure à 90,2 mm ou inférieure à 89,8 mm. Quelle est à 0-3 près, la probabilité qu un axe pris au hasard parmi la production soit défectueux? ❸ On suppose que 4,5 % des axes de la production sont défectueux. Les axes produits sont conditionnés en boîtes de cent, on assimile le prélèvement de 00 axes à un prélèvement aléatoire avec remise. On appelle Y la variable aléatoire qui, à chaque boîte prélevée au hasard dans la production, associe le nombre d axes défectueux qu elle contient. a) Quelle est la loi suivie par Y? Justifier la réponse et donner les paramètres de cette loi. b) La loi de Y est appoximée par une loi de Poisson. Déterminer son paramètre puis calculer, à 0-3 près, la probabilitéque l on ait Y 3? ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page 0
11 EXERCICE N 0 : DOSAGE ET QUALITÉ On a contrôlé le dosage d un produit dans un mélange à la sortie d une chaîne de conditionnement. Pour un échantillon de 00 lots ( tirés au hasard et avec remise) de 5 kg de mélange analysés, on a obtenu les résultats suivants où P i représente la masse du produit exprimé en grammes et l effectif correspondant : de qualité supérieure de l échantillon. On suppose que F suit la loi normale Déterminer une estimation de p par untervalle de confiance centré en f, au seuil de confiance de 98%. Un lot de 5 kilogrammes de mélange est dit de «qualité supérieure» s il contient entre 47 grammes et 55 grammes de produit. ❶ Déterminer pour cet échantillon de taille n=00 le pourcentage f de lots de qualité supérieure ; ❷ Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n=00 prélevé au hasard et avec remise parmi l ensemble des lots sortant de la chaîne de conditionnement, associe le pourcentage de lots ELSA Productions NANTES Septembre 2004 Page
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