OUTILS EN INFORMATIQUE

Transcription

1 LAMSADE, Université Paris-Dauphine Initiation à la Recherche Opérationnelle

2 Outline 1 Présentation générale 2

3 Trois parties 1 Initiation à la Recherche Opérationnelle avec Excel: 3h de cours et 12h de TP () 2 Bases de Données élémentaires avec ACCESS: 3h de cours et 12h de TP (Daniela Grigori) 3 Outils de l Internet (initiation aux réseaux + HTML): 15h de cours et 15h de TP (Brice Mayag) Evaluation Notation finale: 0.5 partiel Exam Partiel: 50%RO + 50%BD Exam: 15%RO + 15%BD + 70%OI

4 Qu est-ce que la Recherche Opérationnelle? Le Recherche Opérationnelle (RO) est la discipline des méthodes scientifiques utilisables pour élaborer de meilleures décisions. Elle permet de rationaliser, de simuler et d optimiser l architecture et le fonctionnement des systèmes de production ou d organisation (ROADEF = discipline carrefour associant les mathématiques, l économie et l informatique. Domaines d application Méthodologie utilisée en RO Outils scientifiques et informatiques utilisés

5 Domaines d application Militaire: implantation optimale de radars de surveillance, gestion des convois d approvisionnement, gestion des forces policières... Transport terrestres et aériens: localisation d entrepôts, planification d une flotte de camions, ordonnancement d atterrissage, ravitaillement d un pays sinistré,... Industriel: Raffinage du pétrole, construction d un stade, planification de production de bicyclettes, affectation de ressources à des tâches, problèmes de distribution... Secteur public: gestion de projets, gestion des files d attente, problèmes de planification, Emplois du temps et gestion du personnel, surveillance des rues par des caméras. Finance: problèmes d investissement - maximiser le profit (ou l espérance de profit), gestion de portefeuille... Telecom/Informatique: localisation d émetteurs GSM et de serveurs, stockage des données, systèmes d exploitation...

6 Méthodologie utilisée en RO 1. Détection d un problème 3. Elaboration d un modèle 4. Collecte des données 2. Formulation du problème 7. Prise de décisions et implantation de la solution 6. Validation du modèle 5. Résolution du modèle

7 Problème de production Objectif: Maximiser le profit selon disponibilité de la main d oeuvre, demande du marché, capacité de production, prix de revient du matériau brut. Exemple de problème: les chaises de M. Eugène Maximiser le profit qu il pourra tirer, au cours des 3 semaines, de ces types de chaises en utilisant au mieux les ressources de son atelier.

8 LesNOP chaises Les chaises de M. de M. Eugène : description du contexte Produits et demande Type Description Commandes acceptées Marché potentiel A B en porte-à-faux Barcelone Résumé des données de fabrication Opération Brasage Laquage Cuisson Capitonnage Durée de fabrication d une chaise A Porte-à-faux 1,5 heure 30 minutes 8 heures 2 heures B Barcelone 2 heures 45 minutes 6 heures 3 heures Profit par chaise 450 $ 800 $ Nombre d heures disponibles Note pour les modèles de la section Vivien: Kana Les chaises OUTILS sont regroupées EN INFORMATIQUE par lot pour la cuisson. Le four peut

9 Le modèle NOP linéaire Les chaises sans cuisson : le modèle linéaire Variables de décision: x A = nombre de chaises A à fabriquer d ici 3 semaines x B = nombre de chaises B à fabriquer d ici 3 semaines Objectif : Max z = 450 x A x B Contraintes : x A 42 (1) x B 53 (2) x A 100 (3) x B 100 (4) 1,5 x A + 2 x B 250 (5) 0,5 x A + 0,75 x B 100 (6) 2 x A + 3 x B 327 (7) x A, x B 0 et entiers

10 Résolution sur EXCEL

11 Les problèmes de mélange Le modèle à construire doit permettre de répondre à la question suivante: Combien faut-il mettre de chacun des ingrédients disponibles dans chaque mélange de façon à maximiser les profits découlant de cette production ou à minimiser les coûts?

12 Problème de mélange NOP Un problème de mélange : description du contexte Données relatives aux liquides A, B, C et D Disp. (en L) Achat (en $/L) Vente (en $/L) Mélange E F G A B C D ,50 6,00 30 % 25 % 20 % ,50 5,00 10 % 20 % 15 % ,50 8,00 40 % 20 % 40 % ,25 11,75 35 % 10 % 20 % Données relatives aux liquides E, F et G Demande (en L) Vente (en $/L) Produit P E F G / /3 Le produit P se vend 22 $/L.

13 FIGURE 2.1 A B C D Ventes Ventes Ventes Ventes E F G Ventes Ventes Ventes P Ventes

14 LeNOP modèle Un problème linéaire: de mélange 1ère : le partie modèle linéaire Variables de décision : x IJ = nombre de litres du liquide I affectés à l usage J où I = A, B,..., G, P et J = E, F, G, P, V. Par exemple, x AE = nombre de litres du liquide A qui entrent dans la composition du mélange E x GV = nombre de litres du mélange G qui seront vendus sur le marché. On introduit également des variables d étape : x I = nombre de litres du produit I utilisés, où I = A, B, C, D, E, G. Fonction-objectif : Max z = Ventes Achats, où Ventes = 6 x AV + 5 x BV + 8 x CV + 11,75 x DV + 11 x EV + 15 x FV + 14 x GV + 22 x PV Achats = 5,50 x A + 4,50 x B + 7,50 x C + 11,25 x D Contraintes : Elles se regroupent Vivien en 5 Kana catégories.

15 Fonction-objectif : Max z = Ventes Achats, où Ventes = 6 x AV + 5 x BV + 8 x CV + 11,75 x DV + 11 x EV + 15 x FV + 14 x GV + 2 Achats = 5,50 x A + 4,50 x B + 7,50 x C + 11,25 x D Présentation générale Le modèle linéaire: 2ème partie Contraintes : Elles se regroupent en 5 catégories. (a) Disponibilité des liquides : x AV + x AE + x AF + x AG = x A et x A x BV + x BE + x BF + x BG = x B et x B x CV + x CE + x CF + x CG = x C et x C x DV + x DE + x DF + x DG = x D et x D (b) Pour un mélange, quantité vendue ou utilisée = quantité fabriquée : x AE + x BE + x CE + x DE = x E et x E = x EV + x EP x AF + x BF + x CF + x DF = x FV x AG + x BG + x CG + x DG = x G et x G = x GV + x GP x EP + x GP = x PV (c) Conditions imposées dans l élaboration des mélanges :

16 AF BF CF DF FV Présentation générale x AG + x BG + x CG + x DG = x G et x G = x GV + x GP Le modèle linéaire: 3ème partie x EP + x GP = x PV (c) Conditions imposées dans l élaboration des mélanges : x AE = 0,30 x E et x BE 0,10 x E et x CE = 0,40 x E et x DE 0,05 x E x AF 0,25 x FV et x BF 0,20 x FV et x CF = 0,20 x FV et x DF 0,10 x FV x AG = 0,20 x G et x BG 0,15 x G et x CG = 0,40 x G et x DG 0,20 x G x GP = 2 x EP (d) Quantités minimales imposées par le carnet de commandes : x EV 400 et x FV 800 et x GV 200 (e) Enfin, il faut ajouter les contraintes usuelles de non-négativité.

17 NOP Un problème de mélange: une solution optimale Présentation générale Solution optimale TABLEAU 2.4 E F G P Ventes Total A B C D E G , , , , Total

18 Un problème de construction d horaires Un problème de construction d horaires Problème: Affecter des agents à des guichets sur le péage d uneenoncé autoroute : Affecter des agents à des guichets sur le péage d une autoroute Un agent Un agent travaille 8 heures consécutives consécutives par jour, l heure par jour, de début l heure étant soit de 22h, soit 2h, soit 6h, soit 10h, soit 14h, soit 18h. début étant soit 22h, soit 2h, soit 6h, soit 10h, soit 14h, soit Obj : minimiser le nbre d agents employés. 18h. Objectif: minimiser le nombre d agents employés. Vivien Outils Kana en Informatique 8

19 Un problème de construction d horaires Un problème de construction d horaires : Le nombre total Obtention d agents d une employés solution est réalisable de Obtention d une Le nombre solution total d agents réalisable employés est de 13.

20 Utilisation de la fonction SOMMEPROD

21 Exercice: l horaire des standardistes Problème: Une centrale téléphonique compte 50 standardistes à son service. Pas de politique des heures brisées. Ses employés travaillent 9 heures d affilée, sans pauses-café, ni pauses-repas. NOP Horaire Le des standardistes, tableau suivant 1 re version donne : données les chiffres qui sont arrêtés: TABLEAU 2.9 Horaire des standardistes : description des données, 1 re version Heures Besoins Salaire 86 $ 86 $ 86 $ 75 $ 75 $ 75 $ 80 $ 80 $ Remarque: = 114. FIGURE 2.2 Horaire des standardistes : représentation schématique Essayer de repartir les x T standardistes entre différentes périodes de travail en minimisant les besoins pour offrir les services adéquats. 0 h 3 h 6 h 9 h 12 h 15 h 18 h

22 P Horaire des standardistes, 1 re version : le modèle linéaire Présentation générale Variables de décision : x j = nombre de standardistes prenant leur service à j heures Objectif : Minimiser z, où z = 86 x x x x x x x x 21 Contraintes : x 0 + x 3 + x 6 + x 9 + x 12 + x 15 + x 18 + x 21 6 x 0 + x 3 + x 6 + x 9 + x 12 + x 15 + x 18 + x 21 4 x 0 + x 3 + x 6 12 x 0 + x 3 + x 6 + x 9 20 x 0 + x 3 + x 6 + x 9 + x x 0 + x 3 + x 6 + x 9 + x 12 + x x 0 + x 3 + x 6 + x 9 + x 12 + x 15 + x x 0 + x 3 + x 6 + x 9 + x 12 + x 15 + x 18 + x x 0 + x 3 + x 6 + x 9 + x 12 + x 15 + x 18 + x 21 = x T Toutes les variables sont non négatives et entières. Table: Le modèle linéaire: Horaire des standardistes

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24 Un problème de distribution Présentation générale Les problèmes de distribution ou de transport Problème: Enoncé : Un Unproduit à acheminer à depuis depuis 3 dépôts 3 dépôts vers 4 vers clients 4 de façon clients à minimiser de façon les àcoûts minimiser de distribution les coûts de distribution. Client Dépôt C1 C2 C3 C4 Offre D D D Demande Coûts unitaires de transport Table: Coûts unitaires de transport Outils en Informatique 6

25

26 Exercice: un problème de transport NOP 7.4 Sporcau: description du contexte Problème: Trouvez, pour les tonnes de saucisses, un plan d acheminement NOP 7.4 Sporcau: TABLEAU description à coût 7.28minimal du contexte Tableau des laboratoires distances (en km) aux centres de distribution. Le coût de transport est de 2$/t le kilomètre. Centre C Les tableauxlabo suivants sont 1 C donnés: 2 C 3 C 4 C 5 TABLEAU 7.29 TABLEAU 7.28 Labo L 1 L 2 L 3 L 1 L 2 L 3 Centre Tableau des distances (en km) C 1 C250 2 C C C Laboratoire TABLEAU 7.29 Quantités disponibles L et requises dans les laboratoires 1 L 2 L 3 (en tonnes de chair à saucisse) Disponibilité S i CentreLaboratoire C 1 L 1 C 2 L 2 C 3 CL 3 4 Demande Disponibilité D S i j Centre C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 Le coût Demande transport D j est de 2$/t 120 le kilomètre Quantités disponibles et requises dans les laboratoires (en tonnes de chair à saucisse) C Total 660 Total 660 Total 660 Total 660

27 FIGURE 7.36 Présentation générale 9 5 (240 ; 240) 1 L 1 C (120 ; 120) 4 5 C 2 (130 ; 130) (160 ; 160) L C 3 (145 ; 145) (125 ; 125) C 4 2 (260 ; 260) L C 5 (140 ; 140)

28 NOP 7.4 Sporcau : le tableau de transport Modélisation du problème de transport TABLEAU 7.30 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 S i L L L D j Table: Tableau de transport

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30 Les problèmes d ordonnancement des projets Un projet consiste en un ensemble de n tâches liées par des contraintes de succession ou de précédence Calculer la durée minimale du projet, les ressources étant supposées illimitées: Minimiser (t n+1 t 0 ) sous les contraintes de potentiels Déterminer les dates de début au plus tôt et au plus tard des tâches Déterminer les tâches critiques (chemin critique).

31 Les problèmes d ordonnancement des projets On a: n tâches à exécuter + 2 tâches fictives 0 et n + 1 de durées nulles t j : date de début de la tâche j, p j sa durée Formulation mathématique Déterminer (t 0, t 1,..., t n, t n+1 ) de façon à Minimiser (t n+1 t 0 ) s.c. Contraintes de potentiel: t j t i a ij Contraintes de non négativité: t 0, t 1,..., t n, t n+1 0

32 ExempleNOP de8.1 problème Projet RESO : description d ordonnancement des tâches Projet RESO: implantation d un réseau micro-informatique TABLEAU 8.1 Code Description Projet RESO : implantation d un réseau micro-informatique Prédécesseur(s) immédiat(s) Durée (en jours) A Évaluation initiale 5 B Élaboration de la structure du réseau A 10 C Élaboration du plan de formation du personnel A 3 D Analyse des coûts B, C 5 E Révision des plans et approbation du budget B, C, D 5 F Mise en place du câblage E 5 G Montage des serveurs F 5 H Montage des stations de travail G 3 I Installation du logiciel d exploitation du réseau H 4 J Montage des lignes téléphoniques G 5 K Montage des ponts G 3 L Documentation de la structure du réseau I, J, K 5 M Formation du personnel L 8 N Négociation de la politique d entretien H, J, K 2 O Élaboration des procédures d exploitation L, N 5 P Élaboration des procédures de copies de sécurité O 5 Q Élaboration des procédures d entretien et de réparation O 5

33 114 gaëtan morin éditeur ltée, Tous droits réservés. La recherche opérationnelle, 3 e édition (Nobert, Ouellet, Parent) Présentation générale Début 0 A 0 0 G B 5 5 C 5 12 H J K D N E I L O Figure: Graphe potentiel-tâche F P Q M G Fin 57

34 J-F Hêche, Th. M. Liebling et D. de Werra. Recherche Opérationnelle pour les Ingénieurs. T1, Presses Polytechniques Romandes. Christian Prins et Marc Sevaux (2011). Programmation linéaire avec Excel. Editions Eyrolles. Virginie Gabrel Initiation à la Recherche Opérationnelle avec EXCEL. transparentscours-jan2011. Philippe Vallin et Daniel Vanderpooten. Aide à la décision. Une approche par les cas. Editeur : Ellipses.