Master 1 Recherche Domaine Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques Master 1 Mathématiques

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1 UFR des Sciences 33 rue Saint-Leu Amiens Cedex 1 Objectifs Publics Débouchés Modalités d'accès Organisation Master 1 Recherche Domaine Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques Master 1 Mathématiques La Mention Mathématiques du Master est la poursuite naturelle de la Licence mention Mathématiques. Elle s'appuie essentiellement sur le LAMFA (CNRS UMR 7352), mais aussi sur le futur laboratoire MIS (modélisation, informations, systèmes, FRE CNRS) et le LPMC (EA 2081). La mention Mathématiques a aussi vocation à accueillir des étudiants au titre de la formation continue, notamment les professeurs du secondaire (certifiés ou agrégés) voulant parfaire leur formation en mathématiques et applications des mathématiques. La mention Mathématiques ambitionne de développer les échanges internationaux pour étudiants. La mention Mathématiques, notamment la spécialité Analyse Appliquée et Modélisation, est membre du réseau CampusMATHS dédié à l'accueil d'étudiants étrangers dans nos formations mathématiques de haut niveau. La première année permet aux étudiants d'acquérir et d'approfondir les connaissances requises en analyse, algèbre et probabilités, ainsi qu'en modélisation mathématique, pour se diriger éventuellement vers une préparation à l'agrégation. Elle permet aussi aux étudiants d'acquérir un socle de connaissances pour se diriger ensuite vers une des deux spécialités Master 2 Recherche de la mention : Analyse Appliquée et Modélisation ; Algèbre, Théorie des Nombres et Applications. En savoir + ( Formation initiale, Formation continue Poursuite d'études : A l'issue de la première année l'étudiant aura acquis le socle de connaissances lui permettant de s'inscrire à une préparation à l'agrégation de mathématiques. A l'issue de la seconde année, l'étudiant pourra poursuivre ses études par le biais d'une thèse au sein du LAMFA ou d'un autre laboratoire. Métiers visés par le master : Recherche et enseignement supérieur. Professeur agrégé de Mathématiques, Recherche industrielle appliquée : en aéronautique, en traitement de signal et de l'image, en cryptographie et sécurité informatique, dans le secteur bancaire. Le Master 1 est ouvert aux titulaires d'une licence du même nom de domaine, notamment aux étudiants titulaires d'une licence de mathématiques. Formation continue. La mention Mathématiques a vocation à accueillir des étudiants au titre de la formation continue, notamment les professeurs du secondaire (certifiés ou agrégés) voulant parfaire leur formation en mathématiques et applications des mathématiques. 4 UE obligatoires + 8 UE optionnelles, sur une année Un tronc commun de 3 UE obligatoires est proposé au Semestre 1. Par le biais des options différents parcours sont accessibles pour l'étudiant ; le choix des options est effectué en fonction du projet professionnel de l'étudiant, après entretien avec le responsable de la mention et/ou le responsable d'année. Le M8 se valide au S1 ou au S2. Contrôle des connaissances Formation continue La validation de la première année nécessite l'obtention de 60 ECTS. Responsable Jean-Paul CHEHAB, Responsable du Master Mathématiques, , jean-paul.chehab@u-picardie.fr Marion DARBAS, Responsable du M1 Mathématiques, , marion.darbas@u-picardie.fr Administration Contact administratif formation initiale - Valérie LAGACHE, Scolarité Mathématiques, , valerie.lagache@u-picardie.fr

2 Unités d'enseignement Semestre 1 UE obligatoires - Langues Durée des cours : 12.5 heures Durée des TD : 12.5 heures - Analyse fonctionnelle Espaces métriques : complétude, compacité et conséquences. Espaces vectoriels normés : Applications linéaires, Théorèmes de Hahn-Banach, Théorème de Banach-Steinhaus, théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé. Espaces de Hilbert : Théorème de projection sur un convexe fermé non vide, dualité, supplémentaire topologique, théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram, bases hilbertiennes, convergence faible et conséquences. Espace L^p : séparabilité, convolution, régularisation, densité, dualité et compacité. - Théorie des groupes Produits directs et semi-directs. Groupes opérant sur un ensemble et conjugaison. Théorèmes de Sylow. Groupes symétriques et alternés. Groupes dérivés, groupes simples et groupes résolubles. Structure des groupes abéliens de type fini UE optionnelles - Probabilités Construction de mesures de probabilités. Pi-systèmes, lambda-systèmes et th. De Dynkin. Théorème de Carathéodory. Probabilités sur l'espace symbolique, sur l'espace euclidien. Variables et vecteurs aléatoires, indépendance. Loi 0-1 de Kolmogorv et de Hewitt-Savage. Mesure positives et bornées, transformée de Fourier des mesures, théorème de Levy, théorème limite centrale. Espérance conditionnelle. Probabilité conditionnelle. Martingales et sous-martingales. Temps d'arrêt, convergence presque sûre (Théorème de Doob), inégalité des montées, convergence presque sure des martingales, loi des grands nombres, inégalité maximale de Doob. - Distributions Eléments sur la notion de distributions (dérivée faible, convergence de suites de distribution, ordre,

3 support). Notion de distributions tempérées et calcul de transformées de Fourier. Espaces de Sobolev (hilbertiens) et applications. Equation aux dérivées partielles, classification de Hadamard, propriétés qualitatives (équation de Laplace, des ondes, de la chaleur). - Théorie de Galois et application à la théorie des nombres Extensions séparables, théorème de l'élément primitif. Extensions normales, extensions galoisiennes, groupes de Galois. Théorèmes de Galois en dimension finie. Groupe de Galois d'un polynôme et extensions par radicaux. Anneaux d'entiers de corps de nombres. Corps quadratiques et corps cyclotomiques. Groupe des unités, théorème de Dirichlet. Décomposition d'un nombre premier. - Optimisation Minimisation sans contrainte : descente par balayage et marches aléatoires sur un graphe. Énergie convexe : algorithmes de gradient, de gradient conjugué, algorithme GMRES. Cas non convexe : algorithmes probabilistes (W-Sat, algorithmes génétiques, recuit simulé,...). Minimisation avec contraintes : multiplicateurs de Lagrange, dualité, méthodes de projection, de pénalisation. - Cryptographie Objectifs pédagogiques Cryptographie et cryptanalyse. Signature et identification. Chiffrements par blocs, chiffrements affines. Cryptosystèmes symétriques et asymétriques. R.S.A., logarithme discret, `knapsack'. Algorithmes de factorisation et tests de primalité. Cryptosystemes sur des courbes elliptiques. - UE optionnelle d'une autre spécialité du master Semestre 2 UE obligatoires - Projet individuel encadré Le projet individuel encadré est un stage d'un mois au LAMFA (ou dans un autre laboratoire de recherche, éventuellement à l'étranger, ou en entreprise) qui sera validé par le biais d'un mémoire et d'une soutenance orale devant jury. Ce projet individuel encadré peut être effectué à temps plein pendant un mois, ou à temps partiel tout au long du S2. Pour ce projet individuel l'étudiant bénéficiera d'un encadrant

4 au sein du LAMFA CNRS UMR UE optionnelles - Analyse de Fourier Séries de Fourier. Lemme de Riemann Lebesgue. Théorèmes de convergence uniforme et au sens des moindres carrés. Transformation de Fourier d'une fonction intégrable sur IR ou IR^N. Formule d'inversion. Produit de convolution. Théorie L^2 et espace de Schwarz. Formules de Plancherel et Parseval. Fonctions à spectre borné. Règle d'échantillonnage de Shannon. - Analyse approfondie Compacité dans les espaces de Banach : Théorème de Riesz, Théorème d'ascoli. Topologie faible et faible * : Théorèmes de Banach-Aloaglu-Bourbaki et de Kakutani et applications aux espaces fonctionnels. Convexité, uniforme convexité, réflexivité et leurs conséquences. Opérateurs compacts : Alternative de Fredholm, spectre d'un opérateur compact, diagonalisation d'un opérateur compact, auto-adjoint sur un espace de Hilbert (exemple : équations intégrales de type Fredholm et Volterra). - Modélisation et analyse numérique Rappel sur la discrétisation par différences finies d'équations aux dérivées partielles. Exemple : Laplace, convection, chaleur. Analyse de la méthode des éléments finis pour les équations aux dérivées partielles. Eléments finis P1. estimation d'erreur. Introduction à la mise en œuvre numérique. Assemblage La moitié des TD se font avec passage sur machine. - Modélisation aléatoire Processus aléatoires. Lois. Théorème de Kolmogorov. Classification des processus. Chaînes de Markov. Théorème de Perron-Frobenius. Equations de Chapman-Kolmogorov. Récurrence et transience, fonction de Green, théorème de Polya. Propriété de Markov forte. Etats stationnaire et théorème de convergence. Chaînes de Markov réversibles. Simulations. Nombres aléatoires et pseudo-aléatoires. Simulation de variables et de chaînes de Markov. Applications en biologie, en sciences de l'information et en management de ressources. La moitié des TD se font avec passage sur machine - Groupes et géométrie

5 Formes quadratiques et hermitiennes. Géométrie des groupes classiques. Théorème de Witt. - Topologie algébrique Compléments de topologie : structures topologiques, axiomes de séparation, applications continues, homéomorphismes, compacité, connexité et connexité par arcs, topologie quotient, identification et recollement, variétés topologiques. Groupe fondamental: homotopie des chemins et groupe fondamental, cas du cercle, espaces simplement connexes, groupe fondamental de la n-sphère, d'un groupe topologique, rétract par déformation et théorème de Brouwer, théorème de Van Kampen et applications, revêtements. - Représentation de groupes Représentations linéaires, irréductibilité. Induction, restriction. Algèbre d'un groupe fini. Applications à la structure des groupes finis. - Codes correcteurs Codes linéaires. Distance de Hamming, matrice de contrôle, matrice génératrice, code dual, syndrome. Quelques codes particuliers (code isotope, code de Hamming). Borne de Varshamov-Gilbert, identité de Mac-Williams. Théorie de l'information de Shannon; le théorème de Shannon, entropie d'une source d'information, capacité d'un canal. Codes cycliques. Polynômes cyclotomiques sur F_2. Matrice génératrice, de contrôle, syndrome pour un code cyclique. Utilisation et construction des idempotents pour un code cyclique par l'automorphisme de Frobenius. Code BCH, distance de ce code, décodage. Reed Salomon, Reed Muller, codes de résidus quadratiques. Designs, codes parfaits. Code de Golay, réseau de Leech. Code de Kerdock - Ue optionnelle d'une autre spécialité du master