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1 94 Programmation en OCaml Concaténation de deux listes Définissons maintenant la fonction concat qui met bout à bout deux listes. Ainsi, si l1 et l2 sont deux listes quelconques, concat l1 l2 constitue la liste composée d abord des éléments de l1 (dans le même ordre) puis des éléments de l2 (dans le même ordre). Par exemple, concat [1 ; 2] [3 ; 4] doit calculer la liste [1 ; 2 ; 3 ; 4]. Cette liste se met aussi sous la forme 1::[2 ; 3 ; 4], on remarque que c est exactement le résultat de l expression 1::(concat [2] [3 ; 4]), et [2] est le reste de la liste initiale [1 ; 2]. Ceci nous suggère la solution récursive suivante : # let rec concat l1 l2 = match l1 with [] -> l2 x::l 1 -> x::(concat l 1 l2);; val concat : a list -> a list -> a list = <fun> # concat ["a"; "b"; "c"] ["d"; "ef"];; - : string list = ["a"; "b"; "c"; "d"; "ef"] # concat [1; 2; 3] [];; - : int list = [1; 2; 3] # let l = [3; 4] in concat l l;; - : int list = [3; 4; 3; 4] Cette fonction est prédéfinie en OCaml : (concat l1 l2) s écrit l2 en utilisant la primitive de OCaml. Elle existe également dans le module List de la bibliothèque standard, sous le nom append Manipulation de listes triées Dans cette partie, nous isolons deux fonctions qui travaillent, non pas avec des listes quelconques, mais avec des listes triées. Une liste est dite triée si ses éléments apparaissent dans la liste dans l ordre croissant (ou décroissant) selon une certaine relation d ordre. De telles listes sont fréquentes : par exemple un dictionnaire, le fichier des élèves d une promotion etc. Nous développons deux opérations, celle de la recherche d un élément dans une liste triée et celle de l insertion d un élément dans une liste triée. La première opération peut bien sûr être réalisée au moyen de la fonction appartient précédente, qui traite de n importe quelle liste, triée ou non. Mais on peut proposer un algorithme plus astucieux et plus efficace en moyenne, qui exploite la caractéristique liste triée. De même, la fonction d insertion reconstruit une liste triée en plaçant le nouvel élément à sa place dans la liste.

2 Listes Recherche d un élément dans une liste triée Lorsque l on recherche un élément dans une liste triée, par exemple un mot dans un dictionnaire, il est alors inutile de poursuivre, non seulement quand on a trouvé l élément recherché, mais aussi quand on a dépassé son emplacement possible, c està-dire quand on a trouvé un élément strictement plus grand. En effet, la liste étant triée dans l ordre croissant, tous les éléments qui suivent sont, eux aussi, plus grands, donc aucune chance de trouver l élément recherché parmi ceux-ci. Par exemple, on arrête de chercher le mot googler, issu du jargon Internet, dans le Petit Larousse 2003, quand on a atteint le mot gopak 1. Ainsi, on écrit la fonction app triée qui recherche un élément dans une liste déjà triée en ordre croissant : # let rec app_triée e l = match l with [] -> false x::l -> e=x (e>x && (app_triée e l ));; val app_triée : a -> a list -> bool = <fun> # app_triée 0 [1; 2; 3];; - : bool = false # app_triée 2 [1; 2; 3];; - : bool = true # app_triée "googler" ["gonze"; "gopak"; "gopura"];; - : bool = false Si la liste n est pas ordonnée selon l ordre croissant, alors app triée peut rendre un résultat incorrect comme le montre l exemple suivant : # app_triée 2 [3; 2; 1];; - : bool = false Insertion dans une liste triée Écrivons à présent la fonction insérer qui insère un élément e «à sa place» dans une liste triée dans l ordre croissant. L expression «à sa place» signifie que la liste résultat est également triée dans l ordre croissant. Par exemple on insère toto entre titi et tutu dans une liste de mots ordonnée selon l ordre alphabétique. L algorithme pour l insertion s appuie sur un raisonnement similaire à celui mis en œuvre pour la recherche dans une liste triée. On s intéresse ici à une liste, l, triée dans 1. gopak : danse folklorique ukrainienne, gopura : pavillon pyramidal des temples hindouistes, dans le sud de l Inde, Le Petit Larousse 2003.

3 96 Programmation en OCaml l ordre croissant. Si la liste est vide, l insertion se fait sans difficulté : le résultat est la liste singleton contenant le nouvel élément, cette liste résultat est bien évidemment triée. Si la liste est non vide, si son élément de tête est plus grand que l élément à insérer, e, on peut sans conteste placer ce dernier en tête de l, la liste e::l, résultat de l insertion, est bien triée dans l ordre croissant puisque l est triée dans l ordre croissant et que e est plus petit que la tête de l (donc plus petit que tous les éléments de l). Si maintenant, l élément à insérer est plus grand ou égal à la tête de l, on insérera e dans le reste de la liste initiale, qui est, lui-même, une liste triée croissante. Supposons maintenant que l appel récursif insérer e l a produit une liste triée croissante. Ses éléments sont tous plus grands ou égaux à la tête de l, nommée x dans le texte OCaml ci-dessous. Par conséquent, la liste résultat x::(insérer e l ) est triée dans l ordre croissant. Le raisonnement précédent établit que le résultat de l insertion est une liste triée croissante si l argument est une liste triée croissante, il s appuie sur un principe de récurrence concernant les listes. Ce principe logique constitue l outil logique de base dès qu il s agit de démontrer, par exemple, qu un programme manipulant des listes satisfait sa spécification. Le lecteur pourra consulter un ouvrage de logique, [LAL 90] par exemple, pour approfondir ce point. La fonction insérer s écrit de la façon suivante : # let rec insérer e l = match l with [] -> [e] x::l -> if e < x then e::l else x::(insérer e l );; val insérer : a -> a list -> a list = <fun> Appliquons cette fonction sur une liste d entiers, puis sur une liste de chaînes de caractères : # insérer 3 [1; 2; 4];; - : int list = [1; 2; 3; 4] # insérer "googler" ["gonze"; "gopak"; "gopura"];; - : string list = ["gonze"; "googler"; "gopak"; "gopura"] # insérer "dupont" ["dupont"; "milou"; "tintin"; "tournesol"];; - : string list = ["dupont"; "dupont"; "milou"; "tintin"; "tournesol"] Et si l élément est déjà présent, peu importe! Une occurrence supplémentaire est ajoutée à la liste. Encore une fois, si la liste fournie à la fonction insérer n est pas triée dans l ordre croissant, le résultat sera incorrect, comme dans l exemple suivant : # insérer 3 [4; 1; 2];; - : int list = [3; 4; 1; 2]

4 Listes Algorithmes de tri Les listes qui sont fournies à un programme ne sont généralement pas triées. Or, traiter des listes triées accélère notablement la plupart des algorithmes sur les listes. Il est donc important de disposer d algorithmes de transformation d une liste quelconque en une liste triée, que l on appelle un algorithme de tri. Il existe plusieurs méthodes de tri. Nous en présentons trois ci-dessous Tri par insertion L idée générale de cette méthode de tri est d isoler un élément (la tête de la liste par exemple), de trier les autres éléments puis d insérer à sa place l élément isolé. On peut donc utiliser la fonction précédente insérer, pour trier une liste dans l ordre croissant : on prend le premier élément de la liste et on l insère dans le reste de la liste que l on a trié par un appel récursif préalable. Le cas de base est le cas de la liste vide qui est triée d emblée. La fonction de tri par insertion s écrit donc ainsi : # let rec tri_insertion l = match l with [] -> [] x::l -> insérer x (tri_insertion l );; val tri_insertion : a list -> a list = <fun> # tri_insertion [1; 6; 1];; - : int list = [1; 1; 6] # tri_insertion ["milou"; "dupont"; "tintin"; "milou"; "tournesol"; "dupond";];; - : string list = ["dupond"; "dupont"; "milou"; "milou"; "tintin"; "tournesol"] Suivons le calcul de tri insertion [1 ; 6 ; 1], seuls les appels à la fonction récursive tri insertion sont tracés : tri_insertion [1; 6; 1] = insérer 1 (tri_insertion [6; 1]) = insérer 1 (insérer 6 (tri_insertion [1])) = insérer 1 (insérer 6 (insérer 1 (tri_insertion []))) = insérer 1 (insérer 6 (insérer 1 [])) = insérer 1 (insérer 6 [1])) = insérer 1 [1; 6] = [1; 1; 6]

5 98 Programmation en OCaml Tri par sélection Cette méthode consiste à chercher le plus petit élément de la liste, qui se trouvera donc en tête de la liste triée résultat, et de recommencer sur la liste d où l on a retiré cet élément. Nous avons donc besoin d une fonction supprimer qui supprime la première occurrence d un élément donné dans une liste. Nous utiliserons également la fonction min liste, écrite précédemment dans la section 5.4.4, pour déterminer le plus petit élément d une liste. # let rec supprimer e l = match l with [] -> [] x::l -> if x=e then l else x::(supprimer e l );; val supprimer : a -> a list -> a list = <fun> # supprimer 4 [1;4;0;4;8];; - : int list = [1; 0; 4; 8] On peut alors écrire la fonction de tri tri sélection : # let rec tri_sélection l = match l with [] -> [] _ -> let m = min_liste l in let l = supprimer m l in m::(tri_sélection l );; val tri_sélection : a list -> a list = <fun> # tri_sélection [1; 3; 6; 1];; - : int list = [1; 1; 3; 6] # tri_sélection ["milou"; "dupont"; "tintin"; "milou"; "tournesol"; "dupond";];; - : string list = ["dupond"; "dupont"; "milou"; "milou"; "tintin"; "tournesol"] Remarquons que le cas général consiste en un appel récursif sur la liste initiale privée d un de ces éléments, l dans le texte de la fonction (mais ce n est pas son reste comme dans la plupart des fonctions récursives programmées dans ce chapitre). Par conséquent, la taille de la liste l est plus petite que celle de la liste initiale, on se rapproche alors du cas de base. Ceci assure la terminaison de la fonction tri sélection Tri par fusion L idée de cette méthode est de couper la liste en deux parties à peu près égales, puis de trier ces deux sous-listes séparément et enfin de fusionner ces deux listes triées,

6 Listes 99 c est-à-dire de regrouper les éléments de ces deux listes triées en une seule liste triée. Par exemple, les listes triées [3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9] et [1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 10 ; 11] se fusionnent en la liste [1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11]. La réalisation de cette méthode de tri nécessite donc l écriture de trois fonctions : diviser liste qui coupe une liste en deux, fusion qui fusionne deux listes triées, et enfin tri fusion qui trie une liste dans l ordre croissant. L objectif de la fonction diviser liste est de fournir, à partir d une liste, deux sous-listes dont la taille est la moitié de la taille de la liste initiale. La façon dont les éléments de la liste initiale sont répartis dans les sous-listes importe peu. Nous choisissons de séparer les éléments de position paire de ceux de position impaire. La fonction va donc calculer un couple de deux sous-listes (l1, l2) où l1 contient les éléments placés dans la liste initiale à une place impaire tandis que l2 contient les éléments placés dans la liste initiale à une place paire. La fonction fait apparaître trois cas. La liste initiale est vide : coupée en deux, elle donne deux listes vides. La liste initiale ne contient qu un seul élément : elle se coupe en elle-même et la liste vide. La liste a au moins deux éléments x1 en tête (place impaire) et x2 en deuxième position (place paire), le résultat s obtient en coupant en deux selon la même méthode la liste des autres éléments de la liste (diviser liste l ) et en plaçant x1 et x2 en tête de chacune des deux sous-listes obtenues par l appel récursif. On écrit donc : # let rec diviser_liste l = match l with [] -> ([], []) [x] -> ([x], []) x1::x2::l -> let (l1, l2) = diviser_liste l in (x1::l1, x2::l2);; val diviser_liste : a list -> a list * a list = <fun> Écrivons à présent la fonction de fusion de deux listes triées : # let rec fusion l1 l2 = match (l1, l2) with ([], []) -> [] ([], _) -> l2 (_, []) -> l1 (x1::l 1, x2::l 2) -> if x1 < x2 then x1::(fusion l 1 (x2::l 2)) else x2::(fusion (x1::l 1) l 2);; val fusion : a list -> a list -> a list = <fun> Le cas général de la fonction fusion consiste à interclasser les éléments des deux listes déjà triées dans l ordre croissant, les uns par rapport aux autres. En effet, si x1 (resp. x2) est le plus petit élément de l1 (resp. l2) et si x1 est plus petit que x2, alors

7 100 Programmation en OCaml x1 sera plus petit que tous les éléments réunis de l1 et l2, on peut donc sans conteste placer x1 en tête de la liste résultat de la fusion. Il reste ensuite à placer les autres éléments de l1 (la sous-liste l 1) par rapport aux éléments de l2. Un raisonnement symétrique s applique dans le cas où x1 x2. L étude de la terminaison de la fonction fusion se fait en considérant, non pas l un des deux arguments, mais le couple formé par les deux arguments. En effet, à chaque appel récursif, l une des deux listes perd son premier élément. Au bout d un nombre fini d appels récursifs, on peut assurer que l un des deux arguments sera la liste vide, ce qui établit la terminaison de la fonction. La fonction tri fusion est la traduction directe de la spécification informelle énoncée en début de paragraphe couper la liste en deux, trier les deux sous-listes puis fusionner. # let rec tri_fusion l = match l with [] -> [] [x] -> [x] _ -> let (l1, l2) = diviser_liste l in fusion (tri_fusion l1) (tri_fusion l2);; val tri_fusion : a list -> a list = <fun> # tri_fusion [1; 3; 6; 1];; - : int list = [1; 1; 3; 6] # tri_fusion ["milou"; "dupont"; "tintin"; "milou"; "tournesol"; "dupond";];; - : string list = ["dupond"; "dupont"; "milou"; "milou"; "tintin"; "tournesol"] Le schéma de récursivité de la fonction tri fusion diffère de celui de la plupart des fonctions récursives programmées dans ce chapitre. Le cas général consiste en un appel récursif où les deux listes, passées en argument, sont des «moitiés» de la liste initiale, différentes de celle-ci (le cas général est une liste comprenant au moins deux éléments). Par conséquent, la taille de chacune de ces deux «moitiés» est plus petite que celle de la liste initiale, on se rapproche alors des cas de base. Nous venons ainsi de montrer la terminaison de la fonction tri fusion, certes d une manière très intuitive.

8 Listes Sélection Insertion Fusion Comparaison des tris sur les listes Temps en secondes Nombre d éléments Figure 5.3. Comparaison des tris sur les listes Comparaison de ces différentes méthodes de tri Voici un test effectué pour ces trois méthodes de tri sur une liste 2 de 1 000, puis 2 000, puis 4 000, puis et ainsi de suite jusqu à entiers. Méthode Temps (en secondes) pour une liste de longueur (en milliers) Insertion Sélection Fusion La figure 5.3 correspond à un relevé précis pour des listes de à entiers. 2. Les éléments de la liste sont tirés au hasard par la fonction int du module Random et on itère un nombre suffisant de fois l algorithme de tri pour mesurer un temps raisonnablement fiable, c est-à-dire au moins de l ordre de quelques secondes, que l on divise ensuite par le nombre d itérations bien entendu

9 102 Programmation en OCaml 2 Tri par fusion sur les listes 1.5 Temps en secondes Nombre d éléments Figure 5.4. Le tri fusion Les courbes 3 des tris par sélection et insertion s envolent au-dessus de la courbe du tri par fusion qui est collée à l axe des abscisses. Le tri fusion 4 est beaucoup plus rapide que les deux autres. En outre, plus la liste est longue, plus l écart est important. Par exemple, pour éléments le rapport des temps entre le tri par insertion et le tri par fusion est d environ 165, alors que pour éléments il est d environ 950. En revanche, le rapport des temps entre le tri par insertion et le tri par sélection est à peu près constant, entre 1 et 2. Le tri par fusion rejoint la catégorie des algorithmes dichotomiques de résolution puisqu il résout le problème en le décomposant en deux sous-problèmes similaires de taille moitié (comme l algorithme de calcul de la fonction puissance). Cela s avère une fois de plus une méthode efficace. La figure 5.4 présente plus en détail le comportement du tri par fusion. Les irrégularités y sont peu importantes et peu fréquentes. La scission de la liste prend le même temps quelle que soit la liste, mais le temps nécessité par la fusion de deux 3. Obtenues avec l outil xgraphic 4. Le tri sort du module List est un tri fusion 2 à 2,5 fois plus rapide que celui que nous proposons ici, mais il est écrit de façon beaucoup plus astucieuse. Pour en savoir plus, on pourra lire le code source du module List dans la distribution de OCaml

10 Listes 103 listes peut varier selon que tous les éléments d une liste sont plus grands que ceux de l autre ou bien si la fusion entremêle successivement un élément de chacune des deux listes comme les doigts des deux mains. Par exemple, trions trois listes de éléments composées : 1) des entiers de 1 à rangés dans cet ordre ; 2) des entiers de à 1 rangés dans cet ordre ; 3) des entiers rangés ainsi [ ; ; ; ;... ; ; 1]. Le tri de la première liste nécessite 3.21 secondes, la deuxième 3.11 secondes et la troisième 2.79 secondes. La différence de temps entre les deux premières listes est négligeable, ce sont les listes pour lesquelles la fusion consiste à entremêler les souslistes. En revanche la troisième liste nécessite significativement moins de temps pour le tri car la fusion consiste à faire passer tous les éléments de la première liste devant ceux de la seconde donc il n y a pas analyse et reconstruction de la seconde liste. Le tri par insertion présente des sauts plus importants et cela tient au comportement de la fonction insérer sur la liste. Selon que la liste est déjà triée ou bien triée dans l ordre inverse, on va tout de suite passer dans le cas de base de la fonction récursive ou bien au contraire parcourir toute la liste pour aller ajouter l élément en fin de liste. Si la liste aléatoire du test présente des zones importantes triées dans un sens ou dans l autre, on obtient alors un changement significatif de la courbe. Le tableau ci-dessous montre l impact de l ordre de la liste initiale sur le temps de tri par insertion : Nombre d éléments Liste triée Liste en épi Liste aléatoire moyennée Liste triée en ordre inverse La liste en épi est de la forme [1 ; n ; 2 ; n-1 ;... ; n/2 ; n/2+1]. Le test de la liste aléatoire moyennée consiste à tirer 10 listes aléatoires, à les trier et à diviser le temps obtenu par 10. En revanche le tri par sélection est insensible à la forme de la liste. Pour une analyse plus précise de ces phénomènes, il est nécessaire de se reporter à l analyse de complexité d un cours d algorithmique, mais nous avons pu montrer ici qu une expérimentation soigneuse permet de toucher du doigt bien des phénomènes.

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