TRAVAUX DIRIGES STATISTIQUE DESCRIPTIVE. Les séries chronologiques La correction des variations saisonnières 1. L'ESSENTIEL DU COURS

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1 TD 9 TRAVAUX DIRIGES Les séries chronologiques La correction des variations saisonnières. L'ESSENTIEL DU COURS.. CONSTRUCTION DES SERIES CORRIGEES DES VARIATIONS SAISONNIERES OU SERIES CVS.... Les hyothèses :... Hyothèse : La décomosition de la série. Nous admettrons que la série chronologique n est constituée que de trois comosantes, qui sont : - la tendance notée T t, - la saisonnalité notée S t, - le résidu noté R t Hyothèse 2: Les modèles. Deux familles de modèles : - le modèle additif, y t = T t + S t + R t - les modèles multilicatif, y t = T t (+S t ) + R t ou le modèle multilicatif articulier de la forme : y t = T t *S t *R t ce dernier modèle devient lorsque nous aliquons un logarithme : ln(y t ) = ln(t t ) + ln(s t ) + ln(r t ) nous osons le changement de variable : y' t = ln(y t ) T' t = ln(t t ) S' t = ln(s t ) R' t = ln(r t ) le modèle eut donc être traité de façon additive : y' t = T' t + S' t + R' t...3. Hyothèse 3: La comosante tendancielle. Nous admettons que l oérateur moyenne mobile laisse asser la comosante tendancielle sans tro la modifier, c est à dire nous obtenons une fonction assez comarable à la tendance. Hyothèse 4: La comosante saisonnière La saison est rigoureusement identique de ériode en ériode : S t = S ij = S j avec S t+ = S i+,j = S j avec j =,...,

2 Il y a comensation des comosantes saisonnières S j Nous ouvons écrire cette hyothèse sous la forme : S j = 0 j= Cette hyothèse est également connue sous le nom de comensation des aires Hyothèse 4: La comosante résiduelle Les variations résiduelles sont indéendantes du mouvement tendanciel et du mouvement saisonnier. Ainsi, on eut avancer que : 2 R = 0 et que S R 0 La moyenne mobile aliquée aux variations résiduelles aura des fluctuations très faibles autour de zéro. mmt ( Rt ) 0.2. LE CALCUL DES COEFFICIENTS SAISONNIERS ET LA CORRECTION DES VARIATIONS SAISONNIERES DES SERIES CHRONOLOGIQUES. Plusieurs étaes sont nécessaires our trouver les coefficients saisonniers et corriger des variations saisonnières les séries chronologiques :.2.. ETAPE : La rerésentation grahique. Nous rerésentons grahiquement la série chronologique our observer les trois comosantes de la série et éventuellement our reérer les oints aberrants ETAPE 2 : Les corrections des oints aberrants. Cette étae consiste à éliminer ar un calcul simle les oints aberrants our qu'ils ne soient as ris en comte dans les calculs suivants. Estimation grahique, ou estimation ar une moyenne ou ar toute autre méthode. Nous retiendrons comme méthode la demie somme des deux oints qui encadre le oint aberrant ETAPE 3 : Le choix du modèle. Nous déterminerons le tye de modèle à utiliser our la correction des variations saisonnières. Deux grands modèles sont à notre disosition ; le modèle additif ou multilicatif. Plusieurs méthodes sont à notre disosition (cf TD 8) : - La méthode du rofil, - La méthode de la bande, - La méthode du tableau de Buys-Ballot ETAPE 4 : Le filtrage de la série. Dans cette étae nous allons surimer la comosante saisonnière en aliquant un filtre. Ainsi, nous devons déterminer la longueur de la moyenne mobile que nous devons aliquer our éliminer les variations saisonnières ( est de longueur aire ou imaire). Nous aliquons à la série chronologique la moyenne mobile de longueur et nous conviendrons qu'elle doit être au moins égale à la saison de la série. Nous envisagerons deux cas :. Cas d un modèle additif y t = T t + S t + R t 2

3 Soit X la série des moyennes mobiles - si est aire définie ar: mmt i= k ( yt) = xt = yt+ i + y + y i= k si est imaire mmt i= k ( yt) = xt = yt+ i i= k t k t+ k nous calculons la série des différences saisonnières définies ar : dij = yij mmt ( yt) = yt x t Pour le mois j on obtient un remière aroximation du coefficient saisonnier S j en calculant la moyenne ou la médiane des différences saisonnières, en aliquant les hyothèses de travail. Mais l hyothèse dite de «conservation des aires» ne eut être vérifiée uisque les coefficients saisonniers sont obtenus de façon indéendante. Nous calculerons de nouveaux coefficients S* j en utilisant la roriété des moments centrés d ordre un. Nos corrigeons alors les coefficients S j et nous on obtenons S* j S = S j j= qui est la moyenne des remiers coefficients saisonniers. Nous obtenons les coefficients définitifs S* j. Sj * = S j S 2. Cas d un modèle multilicatif Le seul modèle multilicatif que nous verrons sera de la forme : y t = T t (+S t ) + R t que l on eut écrire de la façon suivante si nous remlaçons l'indice t ar sa décomosition en année et saison (cf. TD 8) y ij = T ij (+S j ) + R ij Posons un changement de variable simle: s j = + S j où s j est aelé coefficient saisonnier. Le modèle s écrit donc de la façon suivante : y ij = T ij s j + R ij On calcule les raorts saisonniers 3

4 yij y = = mm x t rij t ( yt ) t Pour le mois j on obtient un remière aroximation du coefficient saisonnier S j en calculant la moyenne ou la médiane des différences saisonnières, en aliquant les hyothèses de travail. Mais l hyothèse dite de «conservation des aires» ne eut être vérifiée uisque les coefficients saisonniers sont obtenus de façon indéendante. Nous calculons donc de nouveaux coefficients S* j en utilisant la roriété des moments centrés d ordre un. Nous corrigeons les coefficients S j on obtient S*j Par définition nous avons : Comme nous avons osé : j= s j = 0 j= s j = + S j j= ( Sj) sj = + = Ainsi, dans le cas où le modèle est multilicatif la somme des coefficients saisonniers est égale à. S = S j j= qui est la moyenne des remiers coefficients saisonniers. Puis on détermine les coefficients définitifs S S j * j = S.2.5. ETAPE 5 :La série corrigée des variations saisonnières C est la dernière étae de la construction des séries chronologiques corrigées des variations saisonnières Deux cas se résentent : - Cas d un modèle additif La série CVS s écrit: CVS yi, j = yi, j S - Cas d un modèle multilicatif La série CVS s écrit: y CVS i, j yi, j = * S j * j 4

5 2. POUVEZ-VOUS REPONDRE? En 0 questions testez vos acquis. Chaque question roosée ossède un degré de difficulté différent. VRAI FAUX - La tendance eut s'exrimer en fonction du tems. 2 - La moyenne mobile est un filtre qui ermet d'élimer la tendance, lorsque cette tendance est un olynôme suérieur à un. 3 - La saison est la dénomination statistique du cycle de court terme. 4 - La comosante résiduelle à our moyenne zéro. 5 - Lorsque nous sommes en résence d'un modèle multilicatif la somme des coefficients saisonniers corrigés est nulle 6 - La corrections des coefficients saisonniers doit être faite car ils sont obtenus de façon indéendante. 7 - La longueur de la moyenne mobile doit être inférieure à la saison de la série 8 - Les différences saisonnières donnent une aroximation de la saison. 9 - La comensation des aires est une roriété sua la comosante tendancielle. 0 - La série corrigées des variations saisonnières nous ermet de orter un jugement sur le comortement de long terme VRAI, FAUX, VRAI, VRAI, FAUX, FAUX, FAUX, FAUX, VRAI 5

6 3. QUESTIONS DE REFLEXION? 4. QUESTIONS DE REFLEXION? 6

7 5. ENTRAINEMENT 4.. EXERCICE : UN MODELE ADDITIF Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires d'une entrerise TrucNet sur la ériode 994 à 997. Tableau - Tableau d'une série trimestrielle Trimestre Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre CET EXERCICE EST LA SUITE DE L'EXERCICE 3 DU TD 8 Rerendre les calculs réalisés dans le TD 8 et réondre aux deux questions suivantes : - Calculer les coefficients saisonniers et donner la série Z corrigée des variations saisonnières. Vérifier que ces coefficients vérifient bien les hyothèses de déart. 2 - Tracer sur le même grahique la série X et la série Z corrigée des variations saisonnières. ANALYSE DE L'ENONCE ET CONSEILS. Cet exercice à our but de vous familiariser avec le traitement d'une série chronologique de tye additive, c'est à dire dont l'amlitude de la comosante saisonnière est constante au cours du tems. Il vous ermettra de vérifier que la somme des coefficients saisonniers est égale à zéro dans le cas d'un modèle additif. Cet exercice est la suite de l'exercice 3 du TD EXERCICE 2 : UN MODELE MULTIPLICATIF La comagnie aérienne régionale Air-Hub désire connaître la structure du trafic aérien d'une de ses ligne. Pour cela la comagnie vous donne la série mensuelle du nombre de assagers entre 990 et 994. Tableau 2 - Trafic d'une ligne aérienne - en nombre de assagers janvier février mars avril mai juin juillet août setembre octobre novembre décembre CET EXERCICE EST LA SUITE DE L'EXERCICE 4 DU TD 8 Rerendre les calculs réalisés dans le TD 8 et réondre aux deux questions suivantes : - Calculer les coefficients saisonniers et donner la série Z corrigée des variations saisonnières. Vérifier que ces coefficients vérifient bien les hyothèses de déart. 2 - Tracer sur le même grahique la série X et la série Z corrigée des variations saisonnières. ANALYSE DE L'ENONCE ET CONSEILS. 7

8 La articularité des modèles multilicatif est de osséder une comosante saisonnière (ou de court terme) qui augmente (en économie) au cours du tems. Dans cet exercice nous allons travailler sur un modèle de tye multilicatif, ce genre de modèle est le lus courant en économie. Nous vérifierons également que la somme des coefficients saisonniers, dans ce cas est égale à la longueur de la moyenne mobile. Cet exercice est la suite de l'exercice 4 du TD 8. 8

9 6. SOLUTIONS 6.. EXERCICE : UN MODELE ADDITIF SUR UNE SERIE ADDITIVE Les quatre remière étaes de traitement (voir essentiel du cours dans ce TD) de la série du chiffre d'affaires de l'entrerise Truc Net ayant été réalisées dans l'exercice 3 du TD 8, rerésentons grahiquement la série. Grahique - Chiffre d'affaires de l'entrerise TrucNet Valeurs de la série Courbe des maxima Chiffre d'affaires de TrucNet entre 994 et 997 Les moyennes mobiles METHODE DE LA BANDE : Les deux courbes sont aralléles Courbe des minima Tems Eléments de réonse à la question : - Pour calculer les coefficients saisonniers il faut enlever la tendance (qui arochée ar les moyennes mobiles centrées) de la série. Pour cela il nous faut calculer les différences saisonnières (le modèle est additif). Aelons Y les différences saisonnières que nous calculons en effectuant : y t = x t [mm4(x)] t où [mm4(x)] t est la moyenne mobile au tems t de la série X des chiffres d'affaires de TrucNet. Tableau 3 - Exercice - Différences saisonnières Série X mm 4 (X) X - mm 4 (X) 20 X X 8 X X X X 42 X X 9

10 Commentaires : Observons que cette oération nous ermet d'éliminer la tendance, our cela rerésentons la séries des différences saisonnières sur le même grahique que la série X. Grahique 2 - Exercice -Rerésentation des différences saisonnières Valeurs de la série Chiffre d'affaires de TrucNet entre 994 et 997 Moyennes mobiles centrées de longueur 2 Différences saisonnières Tems - Calculons les coefficients saisonniers. Notons que les calcule sont effectués our chaque trimestre et de façon indéendante. Tableau 4 - Tableau des coefficients saisonniers Coefficients non corrigés Coefficients corrigés Somme des coefficients Moyennes des coefficients Commentaires : Les différences saisonnières nous ermettent de trouver de façon indéendante les quatre coefficients saisonniers. Ainsi, nous sommes obligés de vérifier que leur somme est égale à zéro (voir tableau des coefficients saisonniers remière colonne). Nous devons retrancher la moyenne des coefficients saisonniers our les corriger. Nous obtenons la deuxième colonne du tableau des coefficients saisonniers. Eléments de réonse à la question 2 : Pour donner la série corrigée des variations saisonnières il nous faut retirer de la série les coefficients saisonniers corresondants. Nous obtenons les coefficients définitifs S* j. S * = S S j j 0

11 Tableau 5 - Tableau de la série corrigée des variations saisonnières Série X Série CVS Traçons sur le même grahique la série X et la série Z corrigée des variations saisonnières. Grahique 3 - Série CVS des chiffres d'affaires de l'entrerise TrucNet Chiffre d'affaires Evolution du chiffre d'affaires de l'entrerise TrucNet Série X Série CVS Trimestres 6.2. EXERCICE 2 : UN MODELE MULTIPLICATIF SUR UNE SERIE ANNUELLE Les quatre remière étaes de traitement (voir essentiel du cours dans ce TD) de la série du trafic de assagers de la comagnie régionale AirHub ayant été réalisées dans l'exercice 4 du TD 8, rerésentons grahiquement la série. Grahique 4 - Trafic assagers d'une ligne de la comagnie AirHub

12 Nombre de assagers Trafic assagers sur une ligne de la comaagnie AirHub Moyennes mobiles centrées de longueur 2 Droite des maxima janv-90 avr-90 juil-90 oct-90 janv-9 avr-9 juil-9 oct-9 janv-92 avr-92 juil-92 oct-92 janv-93 avr-93 Droite des minima juil-93 oct-93 janv-94 avr-94 juil-94 oct-94 Eléments de réonse à la question : Pour calculer les coefficients saisonniers il faut enlever la tendance (qui arochée ar les moyennes mobiles centrées) de la série. Pour cela il nous faut calculer les raorts saisonnières (le modèle est multilicatif). Aelons Y les raorts saisonniers que nous calculons en effectuant : y t = x t / [mm 2 (X)] t où [mm 2 (X)] t est la moyenne mobile au tems t de la série X du trafic de assagers d'un ligne de la comagnie AirHub. Tableau 6 - Tableau des raorts saisonniers de la comagnie AirHub janvier février mars avril mai juin juillet août setembre octobre novembre décembre Les coefficients saisonniers sont obtenus en corrigeant les raorts saisonniers. Nous obtenons le tableau suivant : Mois 2

13 Tableau 7 - Coeffcients saisonniers d'une série avec modèle multilicatif Les coefficients saisonniers non corrigés corrigés janvier février mars avril mai juin.5.5 juillet août setembre octobre novembre décembre Total moyenne Traçons sur le même grahique la série X et la série Z corrigée des variations saisonnières. Grahique 5 - Série corrigées des variations saisonnières 2500 Trafic assagers sur une ligne de la comaagnie AirHub Nombre de assagers janv-90 avr-90 juil-90 oct-90 janv-9 avr-9 Trafic assagers juil-9 oct-9 janv-92 avr-92 juil-92 oct-92 janv-93 avr-93 juil-93 oct-93 janv-94 avr-94 juil-94 oct-94 Série corrigée des variations saisonnières Mois 3

14 TABLE DES MATIERES DU TD 9 Les séries chronologiques - La correction des variations saisonnières. L'ESSENTIEL DU COURS..... CONSTRUCTION DES SERIES CORRIGEES DES VARIATIONS SAISONNIERES OU SERIES CVS Les hyothèses : Hyothèse : La décomosition de la série Hyothèse 2: Les modèles Hyothèse 3: La comosante tendancielle Hyothèse 4: La comosante résiduelle LE CALCUL DES COEFFICIENTS SAISONNIERS ET LA CORRECTION DES VARIATIONS SAISONNIERES DES SERIES CHRONOLOGIQUES ETAPE : La rerésentation grahique ETAPE 2 : Les corrections des oints aberrants ETAPE 3 : Le choix du modèle ETAPE 4 : Le filtrage de la série Cas d un modèle additif Cas d un modèle multilicatif ETAPE 5 :La série corrigée des variations saisonnières Cas d un modèle additif Cas d un modèle multilicatif POUVEZ-VOUS REPONDRE? QUESTIONS DE REFLEXION? QUESTIONS DE REFLEXION? ENTRAINEMENT EXERCICE : UN MODELE ADDITIF EXERCICE 2 : UN MODELE MULTIPLICATIF SOLUTIONS EXERCICE : UN MODELE ADDITIF SUR UNE SERIE ADDITIVE EXERCICE 2 : UN MODELE MULTIPLICATIF SUR UNE SERIE ANNUELLE... TABLE DES TABLEAUX - TD 9 Les séries chronologiques - La correction des variations saisonnières TABLEAU - TABLEAU D'UNE SERIE TRIMESTRIELLE... 7 TABLEAU 2 - TRAFIC D'UNE LIGNE AERIENNE - EN NOMBRE DE PASSAGERS... 7 TABLEAU 3 - EXERCICE - DIFFERENCES SAISONNIERES... 9 TABLEAU 4 - TABLEAU DES COEFFICIENTS SAISONNIERS... 0 TABLEAU 5 - TABLEAU DE LA SERIE CORRIGEE DES VARIATIONS SAISONNIERES... TABLEAU 6 - TABLEAU DES RAPPORTS SAISONNIERS DE LA COMPAGNIE AIRHUB... 2 TABLEAU 8 - COEFFCIENTS SAISONNIERS D'UNE SERIE AVEC MODELE MULTIPLICATIF... 3 TABLE DES GRAPHIQUES - TD 9 Les séries chronologiques - La correction des variations saisonnières GRAPHIQUE - CHIFFRE D'AFFAIRES DE L'ENTREPRISE TRUCNET... 9 GRAPHIQUE 2 - EXERCICE -REPRESENTATION DES DIFFERENCES SAISONNIERES... 0 GRAPHIQUE 3 - SERIE CVS DES CHIFFRES D'AFFAIRES DE L'ENTREPRISE TRUCNET... GRAPHIQUE 4 - TRAFIC PASSAGERS D'UNE LIGNE DE LA COMPAGNIE AIRHUB... GRAPHIQUE 5 - SERIE CORRIGEES DES VARIATIONS SAISONNIERES

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