APPLICATIONS SUR LES ANALYSES ASSOCIÉES AUX CHAPITRES 2, 3, 4 ET 5 (STATISTIQUE DESCRIPTIVE ET SÉRIES TEMPORELLES

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1 2 APPLICATIONS SUR LES ANALYSES ASSOCIÉES AUX CHAPITRES 2, 3, 4 ET 5 (STATISTIQUE DESCRIPTIVE ET SÉRIES TEMPORELLES Exercice 1 : analyse univariée (voir chapitre 2) On dispose d un échantillon de revenus mensuel en euros de 200 personnes : rev.mens. [1200 ; 1400[ [1400 ; 1600[ [1600 ; 1800[ [1800 ; 2000[ [2000 ; 2400] effectif Donner une estimation du revenu moyen et une estimation du revenu médian en utilisant le procédé d ajustement linéaire intraclasse. 2. Construire sur un même graphique l histogramme et le polygone des fréquences relatives (exprimées en %). Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Corrigé de l exercice 1 1. Pour obtenir une estimation du revenu moyen r, on prend en compte la valeur moyenne de chaque classe [a i ; a i+1 [, c est-à-dire (a i + a i+1 )/2 : r = ( )/200 = 1649 Pour obtenir une estimation de m e revenu médian, utilisant le procédé d ajustement linéaire intraclasse, on dresse le tableau des fréquences relatives cumulées : Amplitude de classe (a i a i 1 ) Répartition des valeurs de x [1200 ; 1400[ [1400 ; 1600[ [1600 ; 1800[ [1800 ; 2000[ [2000 ; 2400] Effectifs n i Fréquences relatives f i (= n i /n) 0,08 0,4 0,29 0,18 0,05 y i = f i /(a i a i 1 ) 0,0004 0,002 0, ,0009 0, fréquence relative cumulée 0,08 0,48 0,77 0,95 1

2 2 STATISTIQUES POUR LA GESTION La classe médiane est la classe [a i,a i+1 [ qui doit satisfaire aux conditions «F(a i+1 ) 0.5 et F(a 1 )<0,5». On constate que F(1800) = 0,77 0,5 et F(1600) = 0,48 < 0,5 donc [1600 ; 1800[ est la classe du revenu médian. De l ajustement linéaire dans cette classe, on déduit une estimation m e du revenu médian : m e = ( ) (0,5 0.48)/(0,77 0,48) = 1613,79 2. Il est possible de construire l histogramme des fréquences en portant en ordonnée y i = f i /(a i a i 1 ). Remarquons alors que, dans un repère orthonormé, la surface totale du K domaine en blanc est égale à 1 puisque f i = 1. Exercice 2 : analyse de séries temporelles (voir chapitre 3) On connaît la consommation annuelle d un produit au cours des 4 dernières années : Année t Quantité q Une représentation graphique permet de constater que les points M 1 = (1, 99), M 2 = (2, 104), M 3 = (3, 108) et M 4 = (4, 113) sont sensiblement alignés. 1. Déterminer le taux de croissance annuel moyen τ m observé. 2. Trouver l équation de la droite de régression de q sur t qui résulte de la méthode des moindres carrés ordinaire et en déduire une estimation de la consommation pour On donne ci-après les résultats obtenus avec Excel.

3 Applications sur les analyses associées aux chapitres 2, 3, 4 et 5 3 Rapport détaillé Coefficients Erreur-type Probabilité Limite inférieure Limite supérieure pour seuil pour seuil de confiance de confiance = 95 % = 95 % Constante 94,50 0,39 0,00 92,83 96,17 Année t 4,60 0,14 0,00 3,99 5,21 Corrigé de l exercice 2 1. Le taux de croissance annuel moyen τ m observé est égal à (113/99) 1/3 1 = 0,045 soit 4,5 %. 2. L équation de la droite de régression de q sur t qui résulte de la méthode des moindres carrés ordinaire a pour équation (cf. le tableau du rapport détaillé) «q t = at + b avec a = 4.6 et b = 94.5», où t = 1 pour l année 2008, t = 2 pour l année 2009, etc. Pour 2012, c est-à-dire pour t = 5 on obtient : q t = 4, ,5 = 117,5 qui est une estimation de la consommation pour Exercice 3 : analyse de séries temporelles (voir chapitre 4) Deux produits concurrentiels dénommés A et B se partagent les parts d un marché dans un secteur de production. Les chiffres d affaires annuels sont les suivants (en 10 6 ) : 31/12/ /12/ /12/ /12/2011 Produit A 18,0 20,6 21,4 25,0 Produit B 12,0 14,7 16,2 17,5 Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 1. Calculer le taux annuel moyen de variation du chiffre d affaires du produit A entre le 31/12/2008 et le 31/12/ Même question pour le chiffre d affaires du produit B. Corrigé de l exercice 3 1. Le taux moyen de croissance de A = (25/18) 1/3 1 = 0,1157 soit 11,57 %. 2. Le taux moyen de croissance de B = (17,5/12) 1/3 1 = 0,134 soit 13,4 %.

4 4 STATISTIQUES POUR LA GESTION Exercice 4 : analyse de séries temporelles (chapitre 4) Une entreprise spécialisée dans la fabrication de 3 types de produits L 1, L 2 et L 3 qui se différencient par leur qualité et leur prix, a réalisé en 2009 et 2011 les ventes suivantes : L 1 L 2 L 3 Volume des ventes en Volume des ventes en Les prix unitaires exprimés en euros étaient les suivants : L 1 L 2 L 3 Prix unitaire Prix unitaire en Calculer l indice de volume de Lapeyres de 2011 en prenant pour base 100 l année Notations. Le prix unitaire de L i en 2009 [resp. 2011] sera noté 1 [resp. 3 ]. Le chiffre d affaires concernant les ventes de produits L i en 2009 [resp. 2011] sera noté 1 q(i) 1, q (i) 1 [resp. q (i) 3 ] désignant évidemment les quantités vendues en 2009 [resp. 2011]. On a et i=3 i=3 Corrigé de l exercice 4 i=3 L q (2011/2009) = 100 / i=3 1 q(i) 3 1 q(i) 1 1 q(i) 3 = = q(i) 1 = = Donc L q (2011/2009) = 100 (13320/12870) = 103,5 Exercice 5 : analyse de séries temporelles (voir chapitre 4) Dans un pays européen, le prix d un panier-type de biens de consommation mensuelle d un célibataire est évalué à 400 euros en janvier Ce panier-type a été augmenté en juillet 2011 d une unité d un bien dont le coût à cette date est de 20 euros : il vaut alors 420 euros. Déterminer l indice de volume de Paasche P q (07/01) de juillet (07/2011) en prenant pour base 100 le mois de janvier (01/2011).

5 Applications sur les analyses associées aux chapitres 2, 3, 4 et 5 5 ( P q (07/01) = 100 avec i i Corrigé de l exercice 5 ) / 07 q(i) q(i) 07 i 07 q(i) 07 = 420 (éventuellement, q(i) 01 = 0) Or q (i) 07 = q(i) 01 sauf pour le nouveau bien i 0 où q (i 0) 07 = 0, q (i 0) 07 = 1 et p (i 0) 07 = 20. Donc 07 q(i) 01 = 07 q(i) 01 + p(i 0) 07 q(i 0) 01 = 07 q(i) 07 + p(i 0) 07 (q(i 0) 07 1) i i /= i 0 i /= i 0 = 07 q(i) 07 p(i 0) 07 = = 400 i Par suite : P q (07/01) = 100(420/400) = 105. Exercice 6 : analyse de séries chronologiques (chapitre 5) On dispose d une statistique de vente d un certain produit dans une entreprise (l unité retenue ci-dessous étant la centaine d articles la plus proche du nombre exact) : Du 01/01 au 30/04 Du 01/ 05 au 31/08 Du 01/09 au 31/12 Année Année Année Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 1. Déterminer le trend T t par la méthode de la moyenne mobile pour éliminer les mouvements saisonniers puis faire un ajustement linéaire du trend par la méthode des moindres carrés ordinaire. Afin d estimer la qualité de l ajustement, calculer la valeur du coefficient de détermination. 2. Après avoir estimé les composantes saisonnières, donner une estimation des ventes pour la période allant du 01/09/2011 au 31/12/2011. Afin d homogénéiser les calculs intermédiaires, t = 1 caractérisera la première période d observation 01/01/ /04/2009 ; t = 2 caractérisera la seconde période d observation 01/05/ /08/2009 ; etc. Corrigé de l exercice 6 1. L ajustement de T t sur t par la méthode des MCO donne la relation : T t = 2,257 t + 39,34 car a = cov(t t,t)/v(t) = 2,257, b = y ax = 39,34 et la valeur du coefficient de détermination r 2 = 0,996.

6 6 STATISTIQUES POUR LA GESTION Série moyenne mobile Valeurs Moyenne Période t Saison h S h = Valeur mobile T t moyenne mobile Les composantes saisonnières moyennes respectives : saison 1 : (1 + 0)/2 = 0,5 ; saison 2 : ( 3 4)/2 = 3,5 ; saison 3 : (2 + 4)/2 = 3 donnent une estimation des ventes pour la période allant du 01/09/2011 au 31/12/2011 (9 e période) d après l ajustement T t = 2, ,34 plus le facteur saisonnier ou la composante saisonnière (saison 3) = 3 soit, au total, une prévision pour la période de 62,65. Exercice 7 : analyse de séries chronologiques (voir chapitre 5) La série suivante retrace les fluctuations de l indice trimestriel d un certain type de production au cours de 6 années : 1 er trimestre 2 e trimestre 3 e trimestre 4 e trimestre 1 re année e année e année e année e année e année Calculer le trend par la méthode de la moyenne mobile, puis déterminer les quatre facteurs saisonniers.

7 Applications sur les analyses associées aux chapitres 2, 3, 4 et 5 7 Corrigé de l exercice 7 La série suivante retrace les fluctuations de l indice trimestriel d un certain type de production au cours de 6 années : 1 er trimestre 2 e trimestre 3 e trimestre 4 e trimestre 1 re année e année e année e année e année e année On calcule alors le trend par la méthode de la moyenne mobile, puis on détermine les quatre facteurs saisonniers et l on obtient les résultats suivants : Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Période Saison h Trend S h = valeur trend ,75 0, ,875 6, ,5 15, ,75 6, ,625 3, ,625 6, ,625 16, ,75 7, ,25 1, ,75 7, ,375 16, ,875 7, ,625 2, ,875 6, ,625 12, ,25 2,

8 8 STATISTIQUES POUR LA GESTION Les composantes saisonnières moyennes par saison de l écart sont les suivantes : saison 1 : (0,25 + 3, ,75 + 2,375)/4 = 1,9375 saison 2 : 6,47 saison 3: 15,28 saison 4 : 5,84 moyenne des coefficients saisonniers = 0,258 d où coefficient saisonnier : saison 1 : 1,9375 ( 0,258) = 2,195 saison 2 : 6,47 ( 0,258) = 6,726 saison 3 : 15,28 ( 0,258) = 15,02 saison 4 : 5,84 ( 0,258) = 6,10