Notions de capabilité : Exemple de situations : -Notions de capabilité Année Technologie

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Francine Lecours
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1 Notions de capabilité : La capabilité est la mesure établissant le rapport entre la performance réelle d'une machine (ou procédé) et la performance demandée. Une capabilité s'exprime par un chiffre. Elle permet de mesurer la capacité d'une machine ou d'un procédé à réaliser des pièces dans l'intervalle de tolérance fixé par le cahier des charges. Le fait d'utiliser un chiffre pour caractériser la capabilité est fondamental. Un chiffre ne se discute pas, il n'est pas sujet à interprétation. Exemple de situations : -Notions de capabilité- 1

2 Rappels de statistiques : - Loi normale : La capabilité se calcule pour une caractéristique d un procédé qui suit une loi normale. La loi normale est une loi de distribution continue définie par deux paramètres : la moyenne et l'écart type. Elle produit une courbe de Gauss qui répartit les valeurs des mesures de part et d'autre de la moyenne, de façon centrée. µ : moyenne Dans le cas d'une loi normale, la moyenne est confondue avec la médiane IT : intervalle de tolérance, il correspond à la spécification client D : Dispersion σ : écart type - Moyenne : - Critères de dispersion Étendue L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du caractère statistique. étendue = xmax xmin Dispersion autour de la moyenne Après avoir calculé la moyenne,, on peut chercher à savoir de quelle façon les valeurs s'éloignent de cette moyenne. On crée alors une nouvelle série statistique: la série des écarts. -Notions de capabilité- 2

3 Ecart moyen Le premier réflexe serait de calculer la moyenne de ces écarts. Mais les propriétés de la moyenne nous assurent que la moyenne des écarts est nulle. En effet, certains de ces écarts sont négatifs et d'autres sont positifs, la somme des écarts positifs compensant exactement la somme des écarts négatifs. Il faut donc s'abstraire du signe et calculer alors la moyenne de la valeur absolue des écarts. C'est ce que l'on appelle l'écart moyen. écart moyen = Variance L'utilisation des valeurs absolues est souvent une impasse en mathématique (parce que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable). Pour rendre positifs les écarts, un autre outil est à notre disposition: la mise au carré. On ne va donc pas calculer la moyenne des écarts mais la moyenne des écarts au carré. C'est ce qu'on appelle la variance : Écart type De par la mise au carré des écarts, l'unité de la variance est le carré de celle du caractère (si le caractère est en kg, sa moyenne est en kg mais sa variance est en kg 2 ) d'ou l'impossibilité d'additionner la moyenne et la variance. On a donc défini l'écart type noté σ. L'écart type est la racine de la variance (et donc son unité est la même que celle de la moyenne. Cela a l'air anecdotique mais la possibilité d'additionner moyenne et écart type est fondamentale, en particulier pour le calcul d'intervalle de confiance. Intervalle de confiance ou plage de normalité Lorsque le caractère statistique a une distribution normale gaussienne, grossièrement en forme de cloche, l'écart type prend tout son sens. Dans l'intervalle, on trouve 68% de la population. Dans l'intervalle, on trouve 95% de la population. Dans l'intervalle, on trouve 99,7% de la population. On appelle ces intervalles les plages de normalité à niveau de confiance de 68%, 95%, 99,7%. -Notions de capabilité- 3

4 Les indices Cm, Cmk Cp, Cpk Cpm Cm, Cmk capabilité machine Les calculs de ces indices sont fait sur une série de pièces produites dans la continuité, et sans changer de réglage. Cet indicateur tend à ne plus être utilisé car il ne reflète pas la réalité des pièces produites en série contrôlées par échantillon, il reflète une capabilité à un instant donné. Il reste très intéressant pour connaître la capabilité dans le cadre d une petite série ou d une préindustrialisation. Cp, Cpk capabilité procédé Ces deux indices, calculés à partir des résultats portés sur une carte de contrôle permettent de vérifier la capabilité intrinsèque du procédé sans tenir compte des causes assignables éventuelles. Les indices Cp et Cpk ne sont représentatifs de la qualité livrée que si le procédé est stable en moyenne et en dispersion (sous contrôle - absence de causes assignables). Cpm capabilité machine critère de TAGUCHI. C'est un indice unique qui prend en compte les concepts de la fonction perte de qualité de Genichi Taguchi. Il tient compte à la fois, du centrage de la dispersion et de l'écart de moyenne par rapport à la cible. Cp et Cpk - Capabilité intrinsèque du procédé CP = Intervalle de Tolérance / Dispersion du procédé Cet indicateur compare la performance attendue du procédé (l'intervalle de tolérance) et la performance obtenue sur celui-ci (la dispersion). Dans une première approche, un procédé sera dit capable si l'intervalle de tolérance est plus grand que la dispersion aléatoire du procédé, c'est-à-dire lorsque le Cp est supérieur à 1. La figure montre deux situations extrêmes, la première correspond à un procédé non capable car la dispersion est plus importante que l'intervalle de tolérance, dans la seconde, la dispersion est faible au regard de l'intervalle de tolérance, le procédé est donc capable. -Notions de capabilité- 4

5 Cependant, une capabilité telle que Cp = 1 s'avère être insuffisante, et le minimum de capabilité exigé aujourd'hui est de 1,33 voir 1.67 pour certains constructeurs automobiles (PSA, Ford ). Une capabilité de 1,33 correspond à une marge de un écart-type de chaque côté de la dispersion. Précisons que la dispersion aléatoire est définie comme étant égale à six fois l'écart-type de la dispersion du procédé, c'est-à-dire l'intervalle contenant 99,7% des pièces fabriquées. La dispersion utilisée pour le calcul de la capabilité Cp est la dispersion globale du procédé. En effet, la mesure de la capabilité du procédé doit traduire la capabilité à fabriquer des pièces sur le long terme. Il faut donc en tenir compte dans le calcul de la dispersion globale de l'ensemble des influences qui peuvent perturber le procédé pendant le temps de production. Cette dispersion est constituée des dispersions à court-terme (dispersions dues à la machine), et des dispersions consécutives aux variations de consignes (déréglages) incontournables sur le long terme. Le calcul du Cp sera donc réalisé à partir d'un échantillon représentatif de l'ensemble d'une production. En général, la période retenue pour le calcul d'un Cp est au moins d'une semaine. Ainsi, le Cp calculé donnera une bonne indication de la qualité de la production livrée au client. - Indicateur de déréglage Cpk Nous venons de voir qu'une des conditions pour qu'un procédé soit capable est que l'indicateur Cp soit supérieur à 1,33. Cette condition est-elle suffisante? Dans la figure ci dessous, les deux situations ont un Cp supérieur à 1,33, et pourtant, lorsque la production est décentrée, il existe des pièces hors tolérance. L'indicateur Cp est donc insuffisant, et il faut mettre en place un autre indicateur Cpk, qui tiendra compte du déréglage du procédé. Ainsi, le Cp donnera la capabilité intrinsèque du procédé, et le Cpk la capabilité réelle. Calcul de Cpk : Cpk = D1/D2 Avec D1 = min (Ts moyenne ; moyenne Ti) D2 = ½ dispersion (3 écarts type) -Notions de capabilité- 5

6 Cpm La capabilité machine selon le critère de TAGUCHI est encore peu utilisée, elle est décrite dans le manuel SPC de Ford, GM et Chrysler édition Elle prend simultanément en compte les écarts par rapport à la valeur cible et la dispersion par rapport à la moyenne des résultats. Elle exploite la notion de qualité de Taguchi. Cpm se calcule à partir de l'écart type déterminé par la formule : Cet écart-type est égal à la racine de la Moyenne Quadratique des Ecarts (MSD Mean Square Deviation) utilisée dans la fonction perte de qualité de Taguchi. On constate que les écarts sont déterminés par rapport à la valeur cible et non par rapport à la moyenne. Bibliographie : M. PILLET Appliquer la maîtrise statistique des procédés MSP/SPC J.C. MATHIEU Qualité - probabilité -Notions de capabilité- 6

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