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1 NOM : Prénom : Classe : Note : /40 Durée 2 heures Observations : Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie. La calculatrice est autorisée. Exercice 1 : /4 1) Factoriser les expressions suivantes : /2 A = (3x 2)² - (2x 1)(3x 2) B = (x + 2)² - 49 A = B = 2) Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes : /2 f(x) = 2x² - 3x + 5 D f = g(x) = x x² - 9 D g = h(x) = x + 5 D h = i(x) = 3 x² + 1 D i = 1

2 Exercice 2 : /8 Soit f la fonction définie par : f(x) = - x² - 2x ) a) Calculer l'image de 0 et de 5 par f. /2 b) Déterminer f(-1). /1 3) Déterminer les antécédents éventuels de 8 par f. /1,5 4) a) Développer (x + 4)(2 x). /1,5 b) En déduire les coordonnées des points d'intersection de C f avec l'axe des abscisses. /2 2

3 Exercice 3 : /9 On désigne par C f la courbe représentative de la fonction f définie sur [-15;15] par : f(x) = -x² ) Déterminer le(s) réel(s) a tel(s) que M(a;0) appartiennent à C f. /2 2) Déterminer une fenêtre d'affichage qui permet de bien visualiser la courbe sur l'écran de la calculatrice. /1 Xmin = Ymin = Xmax = Ymax = 3) a) Quel semble être le maximum de f sur [-15;15]? /1 b) Justifier par un raisonnement la valeur du maximum de f sur [-15;15]. /2 3

4 4) Dresser le tableau de variation de f sur [-15;15]. /1,5 5) Comparer en justifiant f(3) et f(4) sans calculer d'images. /1,5 Exercice 4 : /7 Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants : K(2;2) L(-2;3) M(6;1) et U(1;6). 1) Placer ces points dans un repère. /0,5 4

5 2) Démontrer que le point K est le milieu du segment [LM]. /1,5 3) Construire à la règle et au compas le cercle (C) circonscrit au triangle ULM. /0,5 4) a) Selon vous, quel est le centre du cercle (C)? /0,5 b) Qu'est-ce que cela implique sur la nature du triangle ULM? /1 c) Démontrer votre conjecture. /3 5

6 Exercice 5 : le slogan publicitaire /12 Partie I Lors d'une journée de promotion, on a relevé le montant (en ) des achats effectués par les clients d'un magasin. Les paramètres statistiques de la série correspondante sont les suivants : Minimum : 8 Premier quartile : 47 Médiane : 58 Troisième quartile : 62 Maximum : 75 Moyenne : 57,6 1) Calculer l'étendue de cette série. /0,5 1) Calculer l'écart interquartile de cette série. /0,5 Partie II Le tableau ci-dessous donne les montants en euros, arrondis à l'unité, des achats effectués par les 80 clients du magasin pendant une journée ordinaire

7 1) Compléter le tableau suivant : /2 Montant des achats ( ) Effectifs Effectifs cumulés croissants Montant des achats ( ) Effectifs Effectifs cumulés croissants Montant des achats ( ) Effectifs Effectifs cumulés croissants 2) a) Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats entre 30 et 40 inclus. /1 b) Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats pour un montant ne dépassant pas 25. /1 7

8 3) a) Déterminer la moyenne, la médiane, le premier quartile Q 1 et le troisième quartile Q 3 de la série des montants d'achats donnée par le tableau ci-dessus. On justifiera la manière de calculer ces indicateurs statistiques. /4 3) b) Calculer l'étendue et l'écart interquartile de cette série. /1 8

9 4) Le magasin a annoncé sa journée sa journée de promotion par une distribution de tracts sur lesquels était indiqué : "Grande journée de promotion! Dépensez moins!". En comparant les indicateurs statistiques des séries des parties I et II, quelle analyse peut-on faire de ce message publicitaire? /2 9

10 CORRECTION Exercice 1 : /4 1) Factoriser les expressions suivantes : /2 A = (3x 2)² - (2x 1)(3x 2) B = (x + 2)² - 49 A = (3x 2)[(3x 2) (2x 1)] B = (x + 2)² - 7² A = (3x 2)(3x 2 2x + 1) B = (x )(x + 2 7) A = (3x 2)(x 1) B = (x + 9)(x - 5) 2) Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes : /2 f(x) = 2x² - 3x + 5 D f = g(x) = x x² - 9 D g = \ {-3;3} h(x) = x + 5 D h = [-5; + [ i(x) = 3 x² + 1 D i = Exercice 2 : /8 Soit f la fonction définie par : f(x) = - x² - 2x ) a) Calculer l'image de 0 et de 5 par f. /2 f(0) = - 0² = 8 f( 5) = - ( 5)² = = b) Déterminer f(-1). /1 f(-1) = -(-1)² - 2(-1) + 8 = = 9 3) Déterminer les antécédents éventuels de 8 par f. /1,5 On résout l équation f(x) = 8 f(x) = 8 -x² - 2x + 8 = 8 -x² - 2x + 8 = 8 -x² - 2x = 0 -x( x + 2) = 0 x = 0 ou x = -2 Les antécédents de 8 par f sont -2 et 0. 10

11 CORRECTION 4) a) Développer (x + 4)(2 x). /1,5 (x + 4)(2 x) = 2x x² + 8x 4x = -x² -2x + 8 b) En déduire les coordonnées des points d'intersection de C f avec l'axe des abscisses. /2 On résout l équation f(x) = 0. f(x) = 0 -x² - 2x + 8 = 0 (x + 4)(2 x) = 0 x + 4 = 0 ou 2 x = 0 x = -4 ou x = 2 Les points d intersection de C f avec l axe des abscisses ont pour coordonnées (-4 ;0) et (2 ;0). Exercice 3 : /9 On désigne par C f la courbe représentative de la fonction f définie sur [-15;15] par : f(x) = -x² ) Déterminer le(s) réel(s) a tel(s) que M(a;0) appartiennent à C f. /2 M(a ;0) C f f(a) = 0 -a² = 0 a² = 100 a = -10 ou a = 10 Pour que que M(a;0) appartiennent à C f il faut que a = -10 ou a = 10. 2) Déterminer une fenêtre d'affichage qui permet de bien visualiser la courbe sur l'écran de la calculatrice. /1 Xmin = -15 Ymin = -125 Xmax = 15 Ymax = 100 3) a) Quel semble être le maximum de f sur [-15;15]? /1 Le maximum de f sur [-15 ;15] semble être 100. b) Justifier par un raisonnement la valeur du maximum de f sur [-15;15]. /2 Pour x [-15 ;15], f(x) = -x² = -x². Or x² 0 (car un carré est toujours positif ou nul.) Donc f(x) et f(x)

12 CORRECTION De plus, pour x = 0, f(x) = f(0) = 100 Donc 100 est bien le maximum de f sur [-15 ;15]. 4) Dresser le tableau de variation de f sur [-15;15]. /1,5 x f(x) ) Comparer en justifiant f(3) et f(4) sans calculer d'images. /1,5 Comme 3 < 4, et f est décroissante sur [3 ;4] alors f change l ordre sur cet intervalle. Et, donc f(3) > f(4). Exercice 4 : /7 Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants : K(2;2) L(-2;3) M(6;1) et U(1;6). 1) Placer ces points dans un repère. /0,5 12

13 CORRECTION 2) Démontrer que le point K est le milieu du segment [LM]. /1,5 Le milieu du segment [LM] a pour coordonnées x L + x M ; y L + y M 2. 2 Soit ;3+1 c est-à-dire : (2 ;2). 2 On retrouve bien les coordonnées du point K. K est bien le milieu de [LM]. 3) Construire à la règle et au compas le cercle (C) circonscrit au triangle ULM. /0,5 4) a) Selon vous, quel est le centre du cercle (C)? /0,5 K est le centre du cercle (C). b) Qu'est-ce que cela implique sur la nature du triangle ULM? /1 Le triangle ULM semblant être inscrit dans le cercle de diamètre [LM] serait rectangle en U. c) Démontrer votre conjecture. /3 LM² = (x M x L )² + (y M y L )² = (6 + 2)² + (1 3)² = 8² + (-2)² = = 68 UL² = (x L x U )² + (y L y U )² = (-2-1)² + (3 6)² = (-3)² + (-3)² = = 18 13

14 CORRECTION UM² = (x M x U )² + (y M y U )² = (6-1)² + (1 6)² = 5² + (-5)² = = 50 L égalité de Pythagore LM² = UL² + UM² étant vérifiée le triangle UML est donc rectangle en U. 14

15 CORRECTION Exercice 5 : le slogan publicitaire /12 Partie I Lors d'une journée de promotion, on a relevé le montant (en ) des achats effectués par les clients d'un magasin. Les paramètres statistiques de la série correspondante sont les suivants : Minimum : 8 Premier quartile : 47 Médiane : 58 Troisième quartile : 62 Maximum : 75 Moyenne : 57,6 1) Calculer l'étendue de cette série. /0,5 Etendue = Maximum minimum = 75 8 = 67 2) Calculer l'écart interquartile de cette série. /0,5 Ecart interquartile = Q 3 Q 1 = = 15 Partie II Le tableau ci-dessous donne les montants en euros, arrondis à l'unité, des achats effectués par les 80 clients du magasin pendant une journée ordinaire

16 CORRECTION 3) Compléter le tableau suivant : /2 Montant des achats ( ) Effectifs Effectifs cumulés croissants Montant des achats ( ) Effectifs Effectifs cumulés croissants Montant des achats ( ) Effectifs Effectifs cumulés croissants ) a) Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats entre 30 et 40 inclus. /1 Le nombre de clients ayant effectué des achats entre 30 et 40 est : = 30 (obtenu à partir des effectifs cumulés croissants) = 0,375 37,5% des clients ont effectué un achat compris entre 30 et

17 CORRECTION Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats pour un montant ne dépassant pas 25. /1 Le nombre de clients ayant effectué des achats dont le montant est inférieur ou égal à 25 : = 30 (obtenu à partir des effectifs cumulés croissants) = 0,375 37,5% des clients ont effectué un achat compris entre 30 et 40. 5) a) Déterminer la moyenne, la médiane, le premier quartile Q 1 et le troisième quartile Q 3 de la série des montants d'achats donnée par le tableau ci-dessus. On justifiera la manière de calculer ces indicateurs statistiques. /4 La moyenne est une moyenne pondérée par les effectifs : x = = = 29,2875 Le premier quartile Q 1 correspond à 25% de la série croissante ordonnée. Soit la 80 4 = 20ème valeur : Q 1 = 14 La médiane Med correspond à 50% de la série croissante ordonnée. Soit la 80 2 = 40ème valeur : Med = 33 Le troisième quartile Q 3 correspond à 75% de la série croissante ordonnée. Soit la = 60ème valeur : Q 3 = 40 3) b) Calculer l'étendue et l'écart interquartile de cette série. /1 Etendue = max min = 60 2 = 58 Ecart interquartile = Q 3 Q 1 = = 26 17

18 CORRECTION 4) Le magasin a annoncé sa journée sa journée de promotion par une distribution de tracts sur lesquels était indiqué : "Grande journée de promotion! Dépensez moins!". En comparant les indicateurs statistiques des séries des parties I et II, quelle analyse peut-on faire de ce message publicitaire? /2 Comparaison des indicateurs de dispersion : Journée de promotion : étendue = 67 et écart interquartile = 15 Journée ordinaire : étendue = 58 et écart interquartile = 26 Ces indicateurs sont relativement proches bien que la série correspondant à la journée ordinaire d achats soit légèrement plus dispersée. Comparaison des indicateurs de tendance centrale : Journée de promotion : moyenne = 57,6 et médiane = 58 Journée ordinaire : moyenne = 29,3 et médiane = 40 On s aperçoit que les acheteurs ont beaucoup plus dépensé lors de la journée de promotion. Ce qui contredit le slogan publicitaire. On peut visualiser graphiquement les différents indicateurs statistiques des deux séries étudiées grâce aux diagrammes en boîte (appelés aussi diagrammes à moustaches) cidessous : 18

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