Application BAEP 1 Instabilités élastiques Calcul d un poteau au flambement

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1 Application BAEP Instabilités élastiques Calcul d un poteau au flambement On considère un poteau carré de 6 cm de côté en béton C5. Les efforts à l ELU qui s appliquent sur ce poteau sont N = 3,MN et M =, MN.m, constant sur la hauteur. On considère le ferraillage pratique déterminé précédemment (A i = A s = 4,73cm²). En tête et en pied, le poteau est relié à des poutres isostatiques en béton C3 de 5cm par 7cm de hauteur et de portée 8,m. On considère une hauteur totale de 8,3m, soit une hauteur de flambement égale à 7,8m (distance prise entre dessus de dalle et dessous de poutre). 8,m 8,m Poutres : 5cmx7cm ht Poteau : 6cmx6cm 8,3m Hypothèses complémentaires : - On utilisera la branche horizontale du diagramme contraintes-déformations de l acier. - Les aciers sont nés à 6 cm du bord de la section (c=6cm). - Les charges sous combinaison quasi-perm. sont N qp =,4MN et M qp =,67 MN.m. - On considère un coefficient de fluage =. - On considère que le poteau du niveau supérieur peut flamber, que celui-ci a une hauteur totale de 3,9m et une section carrée de 5cm de côté. On considère qu'il n'y a pas de niveau sous celui étudié. ) Déterminer les diss de détail du poteau (ferraillage min, ferraillage max,...) ) Déterminer la longueur de flambement du poteau. 3) Déterminer le moment de premier ordre du poteau. 4) Déterminer (si nécessaire) le moment de second ordre dans le poteau avec la méthode basée sur l évaluation de la raideur. 5) Déterminer le moment de second ordre avec la méthode de la courbure nominale? 6) A partir des diagrammes d interaction proposés page suivante, déterminer le ferraillage optimal du poteau. Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement /

2 .5.5 S = 5cm² S = cm² S = 5cm² S = 3cm² S = 35cm² S = 4cm² S_min cm - 6 cm S cm S 6 cm - Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement /

3 ) Détermination des diss de détail du poteau. - On vérifie le rapport largeur/hauteur de la section : la section étant carrée, ce rapport est égal à. On vérifie donc bien qu'il est inférieur à 4. - Le ferraillage minimal du poteau est défini par : Ainsi,, 3, 435 A s, min max ;,,36 7, 36 cm.,. N ED A s, min max ;,. A f yd - Le ferraillage maximal est égal à 4% de la section de béton soit 44 cm². - L'espacement maximal entre les cadres d'effort tranchant est défini par : st, max min. long ; a; 4mm (où a est la plus petite dimension du poteau). Cet espacement devra être calculé une fois le ferraillage pratique défini. c Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement 3/

4 ) Détermination de la longueur de flambement l. avec tête). k EI (l indice désigne le pied du poteau et l indice désigne la M L poutres poteaux M poutres, M poutres,. E I i i i L i 3EI L poutre gauche 3EI L poutre droite Béton C3 => E = 33 MPa I = I fissurée = I brute /,5 = 9,5. -3 m 4. L = 8,m M M On en déduit :,43 rad / MN. m poutres, Pour les poteaux : en pied : béton C5 => E = 37 MPa I =,8m 4 ; L = 7,8m On en déduit : k =, poutres, en tête : EI EI EI L poteaux, L poteau L poteau sup Le poteau du niveau supérieur peut flamber. Il est en C5, sa section est carrée de 5cm de côté, on a donc I poteau sup =,5m 4, sa hauteur libre est de 3,9m. EI On a donc 5,3 49,33,56 MN. m. L poteaux, On en déduit k =,433 On en déduit l = 5,49m, soit l =,74.L Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement 4/

5 3) Détermination des imperfections géométriques et du moment du premier ordre. M Ed, = M Ed + N.e e = max( i.l / ;,m). i =. h. m = valeur de base = / h facteur de réduction lié à la hauteur : h l et /3 h => h =,76. m facteur de réduction lié au nombre de barres. On considère ici m = et donc m,5.. m On en déduit i =,358 et donc e = max(,98 ;,) =, m On obtient alors le moment du premier ordre M Ed, =,64 MN.m 4) Détermination du moment du second ordre par la méthode de la raideur On commence par vérifier si l on peut négliger ou non les effets du second ordre. A. BC. Les effets du second ordre peuvent être ignorés si n désigne l élancement du poteau et est défini par = l /i (i est le rayon de giration ; i I B, B étant la section du poteau). On a ainsi i h pour un poteau rectangulaire, soit i =,73 dans notre cas. On trouve ainsi l élancement du poteau : = 3,7. A où eff =.M qp /M Ed. M qp = M qp +N qp *e =,73 MN.m. On en déduit,. eff donc eff =,34. On trouve donc A =,789. B où Asd fyd Ac fcd. On trouve donc B =, C, 7 rm où r m = M /M (M et M moments du premier ordre aux extrémités avec M M ). On trouve donc C =,7 n NEd Ac fcd. On trouve donc n =,67 A. B. C On en déduit 3,6 3, 7 n On ne peut donc pas négliger les effets du second ordre. Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement 5/

6 Calcul du moment du second ordre par la méthode basée sur la rigidité nominale. MEd, MEd, NB NEd et c dépend de la distribution de moment. Ici, le moment est constant sur la hauteur c du poteau, on a donc c = 8. N B EI et EI = K c E cd I c + K s E s I s l <,, on a donc : kk N Ed Kc avec k f,58 ck et k, soit k =,5. eff Af c cd 7 On rappelle eff =.M qp /M Ed. On a donc K c =,34 Ecm Ecd avec ce =,. Le poteau est en béton C5 => E cm = 37 MPa. ce On a donc E cd = 3 8 Mpa. I c = inertie de la section de béton = b.h 3 / =,8 m 4. K s = E s = MPa I s = inertie des sections d acier =. 4, ,4 =,7. -4 m 4. On en déduit EI = 45, MN.m. On en déduit donc N B = 4,79 MN et M Ed, =,46 MN.m. Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement 6/

7 5) Détermination du moment du second ordre par la méthode de la courbure nominale l MEd, MEd, NEd. e avec e où c dépend de la distribution de la courbure totale. r c On prendra ici une distribution constante soit c = 8 pour être sécuritaire. Kr. K désigne la courbure. r r nu n K r est un facteur de correction dépendant de l effort normal. K r n n n NEd Ac fcd,7 nu,67 nbal,4 On en déduit K r =,88. On prend donc K r =. K. eff avec,35 f ck 5, 389 et eff =,34. On en déduit K =,5. u bal r yd 8, 93.,45. d 3 On trouve donc, 36. On rappelle que l = 5,49m et donc e =,5 m r Ainsi, on trouve M Ed, =,8 MN.m Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement 7/

8 6) Détermination du moment du second ordre par la méthode de la courbure nominale On place les deux points trouvés précédemment sur les diagrammes d interaction :.5.5 S = 5cm² S = cm² S = 5cm² S = 3cm² S = 35cm² S = 4cm² S_min On trouve ainsi qu il faut une section d'environ 35 cm² pour équilibrer le moment du second ordre calculé par la méthode de la raideur nominale et qu il faut environ 5 cm² pour équilibrer le moment du second ordre calculé par la méthode de la courbure nominale. Les deux méthodes étant «enveloppe», il suffit de satisfaire l une des deux. On choisit donc de mettre une section de 6 cm² dans le poteau au lieu des 4,73 cm² calculés à la flexion composée. En refaisant le calcul du moment second ordre par la méthode de la raideur nominale en considérant une section d acier de 7,5 cm² par face, on trouve un moment de second ordre de,6 MN.m qui peut alors être équilibré par le poteau. On trouve page suivante un exemple de feuille de calcul qui vérifie un poteau au flambement par les deux méthodes forfaitaire et par la méthode générale. On remarque que par la méthode générale, on trouve un moment de second ordre de,6 MN.m. Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement 8/

9 7) Détermination du ferraillage du poteau. Pour obtenir une section de 7,5cm², on peut disposer 4 HA3 par face, soit 3cm². On fait un ferraillage symétrique sur les 4 faces du poteau pour simplifier la mise en œuvre sur chantier, soit un total de barres HA3 et une section totale 96,48 cm². qui est bien inférieur au ferraillage maximal de 44 cm². L'espacement maximal des cadres s t,max est de 4mm. Toutefois, il convient de réduire cet espacement à,6.s t,max = 4mm sur une distance égale à la plus grande dimension du poteau en tête et en pied. Enfin, le diamètre des armatures transversales ne doit pas être plus petit que 6mm ou au quart du diamètre maximal des barres longitudinales, soit ici des HA3. Les armatures transversales sont donc en HA8. Les armatures transversales sont constituées d'un cadre et de 4 épingles car les barres comprimées doivent être tenues si elles sont situées à plus de 5mm d'une barre tenue, ce qui est notre cas. On obtient donc le plan de ferraillage ci-dessous, correspondant à un ratio de 6,4 kg/m 3, ce qui est relativement élevé. Récapitulatif Projet : Poteau : BAEP Exercice Flambement poteau n Rappel ferraillage choisi n Date : // OK Poteau h.6 m h.6 m H totale 7.8 m fck 5 MPa fyk 5 MPa classe B enrobage.3 m Volume béton.8 m3 Recouvrement simple Aciers longitudinaux Cadres Epingles sens Epingles sens Recouvrement double Aciers longitudinaux Cadres Epingles sens Epingles sens Nomenclatures Nb L Poids HA 3 9. m kg HA 8.6 m 8.7 kg HA m.5 kg HA m.5 kg Total Armatures poteau 73. kg Nb L Poids HA 3.4 m kg HA 8.6 m 8.7 kg HA m.5 kg Ratio poteau HA m.5 kg recouvrement simple 6.4 kg/m3 Total Armatures poteau 89.7 kg recouvrement double 95.5 kg/m3 Attention, ratio élevé : vérifier la faisabilité du ferraillage! Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement 9/

10 Exemple de feuille de calcul La résistance au flambement n est pas assurée et ce quelle que soit la méthode utilisée. VERIFICATION AU FLAMBEMENT D'UN POTEAU EN FLEXION NON DEVIEE SUIVANT L'EUROCODE Projet : Poteau : Date : h section rectangulaire section circulaire Pour le calcul de la longueur efficace L sup A s Φ A i b ; h ; L L b ; h ; L A tot b b ; h ; L L inf b ; h ; L. Géométrie du poteau à vérifier 3. Efforts section rectangulaire Début Fin b.6 m Armatures Section N ELU 3. MN 3. MN h.6 m Ai 4.73 cm² 6 cm M y,elu. MN.m. MN.m L 7.8 m As 4.73 cm² 6 cm M z,elu. Matériaux N qp.4 MN.4 MN Béton C5 c.45 φ (,t) imposé M y,qp.67 MN.67 MN f ck 5 MPa cu 3.5 ciment N M z,qp E b 37 MPa c. RH 7 % f cm 58 MPa cu 3.5 t,t jours Courbe M f ctm 4. MPa n. h 3 mm f ctk,,5.9 MPa cu3 3.5 φ (,t) retenu. Acier Classe B E s MPa uk 5. % f yk 5 MPa k.8 ud 4.5 % Calculer constant 4. Calcul de la longueur Efficace EC Poteau sup participe au Poteau inf participe au L Calculée (θ/m) poutres_sup.49 flambement? OUI flambement? NON (θ/m) poutres_inf.49 béton C5 béton C5 Eléments contreventés (EI/L) poteaux sup.64 E b 37 MPa E b 37 MPa (EI/L) poteaux inf 5.3 section rectangulaire section rectangulaire L retenue 5.49 m k.43 bsup.5 m binf.6 m k. hsup.5 m hinf.6 m L sup 3.9 m L inf 7.8 m Travée sup gauche Travée sup droite Travée inf gauche Travée inf droite béton C3 béton C3 béton C3 béton C3 E 33 MPa E 33 MPa E 33 MPa E 33 MPa b.5 m b.5 m b.5 m b.5 m h.7 m h.7 m h.7 m h.7 m L 8. m L 8. m L 8. m L 8. m 6. Imperfections géométriques EC Conditions pour négliger les effets du second ordre EC θ.5 rad θ i.358 rad I.8 m4 φ eff.34 α h.76 e i. m S.36 m² A.789 α m. M.64 MN.m i.73 m ω.7 EFFETS DU PREMIER ORDRE M Ed,.64 MN.m λ 3.7 B. M Ed,.64 MN.m C.7 cf (3) et () M Ed,e.64 MN.m On ne peut pas négliger n.67 les effets du second ordre λ lim Méthode basée sur la rigidité nominale EC k.58 K s 9. Méthode basée sur la courbure nominale EC k.5 E s MPa K c.34 I s.7 m4 β.389 /r.89 m- E cd 3833 MPa c 8. /r.36 m- I c.8 m4 EI 45. MN.m² K r. e.5 m N b 4.79 MN β.3 K φ.5 M.64 MN.m M ed.46 MN.m Section insuffisante M ed.8 MN.m Section insuffisante. Méthode générale : analyse non-linéaire au second ordre. Vérification sur un diagramme d'interaction.4 Diagramme d'interaction M_int M_ext M Ed. MN.m Section insuffisante -.5 Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement /

11 La résistance au flambement est assurée et ce quelle que soit la méthode utilisée. VERIFICATION AU FLAMBEMENT D'UN POTEAU EN FLEXION NON DEVIEE SUIVANT L'EUROCODE Projet : Poteau : Date : section rectangulaire section circulaire Pour le calcul de la longueur efficace L sup A s h Ai Φ A tot b ; h ; L L b ; h ; L b Linf b ; h ; L b ; h ; L. Géométrie du poteau à vérifier 3. Efforts section rectangulaire Début Fin b.6 m Armatures Section N ELU 3. MN 3. MN h.6 m Ai 7.5 cm² 6 cm M y,elu. MN.m. MN.m L 7.8 m As 7.5 cm² 6 cm M z,elu. Matériaux N qp.4 MN.4 MN Béton C5 c.45 φ(,t) imposé My,qp.67 MN.67 MN f ck 5 MPa cu 3.5 ciment N M z,qp Eb 37 MPa c. RH 7 % f cm 58 MPa cu 3.5 t,t jours Courbe M fctm 4. MPa n. h 3 mm f ctk,,5.9 MPa cu3 3.5 φ (,t) retenu. Acier Classe B E s MPa uk 5. % f yk 5 MPa k.8 ud 4.5 % Calculer constant 4. Calcul de la longueur Efficace EC Poteau sup participe au Poteau inf participe au L Calculée (θ/m) poutres_sup.49 flambement? OUI flambement? NON (θ/m)poutres_inf.49 béton C5 béton C5 Eléments contreventés (EI/L) poteaux sup.64 E b 37 MPa E b 37 MPa (EI/L)poteaux inf 5.3 section rectangulaire section rectangulaire L retenue 5.49 m k.43 bsup.5 m binf.6 m k. hsup.5 m hinf.6 m L sup 3.9 m L inf 7.8 m Travée sup gauche Travée sup droite Travée inf gauche Travée inf droite béton C3 béton C3 béton C3 béton C3 E 33 MPa E 33 MPa E 33 MPa E 33 MPa b.5 m b.5 m b.5 m b.5 m h.7 m h.7 m h.7 m h.7 m L 8. m L 8. m L 8. m L 8. m 6. Imperfections géométriques EC Conditions pour négliger les effets du second ordre EC θ.5 rad θ i.358 rad I.8 m4 φ eff.34 α h.76 e i. m S.36 m² A.789 α m. M.64 MN.m i.73 m ω.99 EFFETS DU PREMIER ORDRE MEd,.64 MN.m λ 3.7 B.83 M Ed,.64 MN.m C.7 cf (3) et () M Ed,e.64 MN.m On ne peut pas négliger n.67 les effets du second ordre λ lim Méthode basée sur la rigidité nominale EC k.58 K s 9. Méthode basée sur la courbure nominale EC k.5 E s MPa K c.3 I s.37 m4 β.389 /r.89 m- E cd 3833 MPa c 8. /r.36 m- I c.8 m4 EI 99.9 MN.m² K r. e.5 m N b 3.76 MN β.3 K φ.5 M.64 MN.m M ed.6 MN.m OK! M ed.8 MN.m OK!. Méthode générale : analyse non-linéaire au second ordre. Vérification sur un diagramme d'interaction.4 Diagramme d'interaction M_int M_ext M Ed.6 MN.m OK! - Application Instabilités élastique : calcul d un poteau au flambement /

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