1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition :

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1 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Déombremet. Pricie O raelle que le cardial d u esemble fii E, oté Card(E), rerésete so ombre d élémets. Si E 0,0 alors Card(E). Notre but est de détermier le cardial d esemble défiit de maière lus comlexe. Par exemle, das u jeu de 32 cartes, si l o reds cartes simultaémet, commet y-a-t-il de mais ossibles? Ue mai est ue combiaiso de cartes armi 32, combie y-e-a-t-il de différetes? Cette aée ous ous coteteros d étudier les combiaisos i.e de savoir combie y-a-t-il de combiaisos de élémets das u esemble coteat élémets. Pour cela ous auros besoi des factoriels dot il est raelé ci-dessous la défiitio : Défiitio : Pour tout etier aturel, la quatité 2 3 ( ) est aelé factoriel et se ote!. O coviet que 0!. Exemle :. Démotrer que! 7! 0! (sas calculer 0!) 2. Simlifier ( + )!! 3. Démotrer que tout etier k : (k + )! k! k k!.2 Combiaisos Défiitio : Soit E u esemble fii de cardial et u etier aturel tel que 0. Ue -combiaiso (ou combiaiso de élémets) de E est ue artie de E ayat élémets. Exemle : Cosidéros l esemble E {; 2; 3}, il s agit d u esemble a 3 élémets. Das ce cas ue combiaiso de 2 élémets de E est ar exemle {; 2} et o déombre 3 combiaisos de ce tye : {; 2}; {; 3}; {2; 3} O cosidère que {2; } est la même combiaiso que {; 2} i.e que l ordre d aaritio a as d imortace.

2 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Théorème. Soit E u esemble fii de cardial et u etier aturel tel que 0. Le ombre de combiaisos de élémets de E, oté ( ) est : ( )!!( )! Remarque : Pour tout etier aturel et tels que 0 : ( 0 ) ( ) et ( ) ( ) ( ) Les coefficiets ( ) sot ecore aelés coefficiet biomiaux. (O verra ourquoi au aragrahe suivat) Si est strictemet suérieur à, o coviet que das ce cas ( ) 0 Bie que les coefficiets ( ) soiet défiis sous la forme d ue fractio, ils sot bie des etiers. Ceci sera démotré u eu lus loi das cette leço (e utilisat la relatio de Pascal). Exemle : mais ossibles? Das u jeu de 32 cartes, si l o reds cartes simultaémet, commet y-a-t-il de Exemle : Soit u etier suérieur à 2. Motrer que 2!! est u etier air. Solutio : E effet, our tout 0,-2,! divise ( 2)! doc, il existe u etier k tel que : ( 2)! k! D où :! ( )( 2)! ( )k! Les etiers et état cosécutifs, l u des deux est air. Doc! est air.! Efi, comme la somme d etiers airs est u etier air, o e déduit le résultat souhaité.

3 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Démostratio : Si 0, la seule artie de E coteat 0 élémet est, il y e a doc ue. De lus Aisi la formule est vraie das ce cas. ( 0 )! 0!( 0)!!! Si, o ose E {e ; e 2 ;... ; e }. O détermie à l aide d u arbre l esemble des suites ordoées de E à élémets. Il y a choix ossibles our le remier élémet, our le deuxième... et + our le -ième. Il y a doc ( ) ( + ) différetes suites ordoées de E a élémets. Or : ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) 2 ( ) ( + ) 3 2! ( )! Or, o a teu comte de l ordre et o a doc comté les élémets comme {e ; e 2 ;... ; e } et {e 2 ; e ;... ; e } comme deux élémets disticts. Regrouos tous ces élémets ar aquets, il y e a! d où : ( )! ( )!!!!( )! Remarque : armi (l ordre imortat as). Iterrétatio imortate : ( ) rerésete le ombre de faços de choisir objets Alicatio :. Le loto : O tire au hasard boules armi 49. Combie de tirages ossibles (o e tiet as comte du uméro comlémetaire)? 2. Le Poker : Das u jeu de 32 cartes, o choisit cartes au hasard (ces cartes s aellet ue «mai»). Détermier : a. le ombre total de mais. b. le ombre de mais qui cotieet exactemet 3 as c. le ombre de mais qui cotieet au mois 3 as

4 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Proriété.. ( ) ( ) N et N tel que 0 Symétrie 2. ( ) ( ) + ( ) avec Relatio de Pascal Démostratio :. ( )!!( )!! ( )!!! ( )!( ( ))! ( ) 2. ( ) + ( ) ( )! ( )![ + ]!( )! ( )!( )!!!( )! ( ) + ( )!!( )! ( )! + ( )!( )!( )! Exemle : Le ombre de faços de choisir 2 délégués armi 30 élèves est égal au ombre de faços de choisir 28 élèves o délégués armi 30 : ( 30 2 ) (30 28 ) Alicatio : Démotrer ar récurrece que les coefficiets ( ) sot des etiers (our tout etier aturel et tout etier aturel comris etre 0 et ).3 Triagle de Pascal La relatio de Pascal ermet de calculer les coefficiets biomiaux de la faço suivate : our trouver u certai coefficiet, o additioe das le tableau suivat les coefficiets situés "juste au dessus" et "juste au dessus à gauche" etre eux ( ) ( ) ( ). Le tableau est aelé triagle de Pascal e hommage à ce derier qui écrivit e 4 so "traité du triagle arithmétique" das lequel il exose d iombrables alicatios du triagle déjà cou de Tartaglia (), Stiefel (43) et des Chiois (303).

5 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S.4 Formule du biôme de Newto Théorème 2. Formule du biôme : Pour tous ombres comlexes a et b et tout etier aturel o ul : (a + b) ( )a b Exemle : À l aide de cette formule et du triagle ascal o retrouve des résultats bie utiles :. our 2 (a + b) 2 ( 2 0 )a2 b 0 + ( 2 )a b + ( 2 2 )a0 b 2 a 2 + 2ab + b 2 2. our 3 (a + b) 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2 3. our 4 (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Notos qu il est as iutile de savoir substituer ( b) à b das la formule our obteir : (a b) ( )a ( b) ( ) ( )a b E ratique, les siges obteus e déveloat cette derière formule alteret ; ar exemle : (a b) a a 4 b + 0a 3 b 2 0a 2 b 3 + ab 4 b Il est aussi utile de savoir utiliser la formule avec des valeurs articulières de a et b :. Lorsque a b o a alors : 2. Lorsque a et b o a alors : 0 2 ( ) ( ) ( )

6 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Démostratio : Notos P() la roriété à démotrer avec N Iitialisatio : (a + b) a + b et : ( )a b ( 0 )a b 0 + ( )a0 b a + b La roriété P est doc vraie au rag. Hérédité : Suosos que P soit vraie our u certai et motros que P est vraie au rag +. O a alors : (a + b) ( )a b Calculos (a + b) + (a + b) (a + b) i.e (a + b) + a ( )a b + b ( )a b ( )a+ b + ( )a b + d où : Or : (a + b) + a + + ( )a b + ( )a+ b + ( )a b + + b + ( )a + b Et doc : ( )a+ b + ( )a + b (( ) + ( )) a+ b ( + )a+ b Au fial o a bie : (a + b) + a + + ( + )a+ b + b + + ( + )a+ b Aisi la roriété P est héréditaire ce qui motre la roriété P our tout N 2 Lois de robabilités discrètes : Loi de Beroulli et loi biomiale La robabilité qu u tireur atteige sa cible est O suose qu il fait deux tirs et o ote X la variable aléatoire associat à cette éreuve le ombre de succès obteus. (X 0, ou 2) a. Calculer la robabilité des évéemets (X 0), (X ) et (X 2). (O ourra s aider d u arbre "odéré" et o désigera ar S les succès et E les échecs)

7 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S b. Calculer 2 k0 P (X k). 2. O suose maiteat qu il fait six tirs et o ote Y le ombre de succès obteus. Y {0; ;... ; }. O voudrait calculer la robabilité de l évéemet (Y 4). a. Peut-o ecore raisoer à l aide d u arbre? b. Calculer la robabilité qu il commece ar quatre succès suivis de deux échecs. c. Mais les succès et les échecs aaraisset as écessairemet das cet ordre. Parmi les "mots" de six lettres qui e cotieet que des S et des E, combie cotieet exactemet quatre fois la lettre S? d. E déduire la robabilité de l évéemet (Y 4). Défiitio : Variable aléatoire suivat ue loi de Beroulli : Soit E ue éreuve comortat deux issues (Succès et Échec). O ote la robabilité de succès. Soit X la variable aléatoire qui est égale à e cas de succès et 0 sio. Alors, o dit que X suit ue loi de Beroulli de aramètres. O ote alors : X B(; ). Exemle : Pile ou Face. Lacer u dé et regarder si l o obtiet u ou o. Exemle : Démotrer que si X B(; ) alors X 2 B(; ). Solutio : O a X 2 (Ω) {0; }, et P (X 2 ) P (X ) ar coséquet o a bie X 2 B(; ). Proriété 2. Esérace et variace d ue variable aléatoire suivat ue loi de Beroulli : Si X B(; ) alors : E(X) et V (X) ( ) Démostratio : E(X) P (X 0) 0 + P (X ) 0 + V (X) E(X 2 ) E(X) 2 2 ( ) Défiitio : Schéma de Beroulli : Soit N. Lorsqu o réète, de maière idéedate, fois ue même éreuve de Beroulli de aramètre. O dit que l o fait u schéma de Beroulli. Exemle : O lace dés ( ). O ote A l évéemet «obteir au mois u (sur l esemble des lacers)».. Décrire l évéemet A à l aide d ue hrase.

8 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S 2. Faire u arbre et calculer (A) das le cas où Das cette questio, o suose quelcoque. Exrimer (A) e foctio de. 4. Combie de dés faut-il lacer our que la robabilité d obteir au mois u six soit suérieure à 3 4? Solutio :. A est l évéemet «e as obteir de». 2. Par coséquet P (A) P (A) ( ) E raisoemet de la même maière o obtiet : P (A) P (A) ( )

9 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S 4. O cherche le lus etit etier tel que : P (A) 3 4 ( ) 3 4 ( ) 4 ( ) 4 l ( ) l 4 l ( ) l 4 l 4 l 4 l ( 7, 8 ) l l Nous devos doc lacer au mois 8 fois le dé our être sûr à 7% d obteir au mois u. Défiitio : Variable aléatoire suivat ue loi biomiale : Soit E ue éreuve de Beroulli (éreuve comortat deux issues Succès et Échec). O ote la robabilité de succès. Soit N. O réète fois de maière idéedate l éreuve E et o ote X la variable aléatoire égale au ombre de succès. (X est à valeurs das {0; ;... ; }). Das ces coditios, o dit que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale de aramètre et. O ote arfois X B(; ). Exemle : X est à valeurs das {0; ; 2; 3}. Rereos la situatio récédete (lacer de 3 dés) et otos X le ombre de obteus. Calculos la robabilité d obteir exactemet deux. D arès les règles sur les arbres, o a : P (X 2) P ( )+P ( )+P ( ) ( ) 2 72 Gééralisos ce raisoemet : Théorème 3. Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale de aramètres et. Pour tout k {0; ;... ; } : P (X k) ( k )k ( ) k

10 Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Démostratio : La robabilité d avoir k succès suivis de k échecs est : k ( ) k Mais les succès et les échecs aaraisset as écessairemet das cet ordre.... Voici u moye de déombrer toutes les ossibilités d aaritio des succès et échecs : o cosidère l esemble des «mots» de lettres qui e cotieet que des S et des E. O sait qu il y e a exactemet ( k ) qui cotieet k fois la lettre S (et doc k fois la lettre E). O e déduit : P (X k) ( k )k ( ) k Remarque : Si o ote q la robabilité d échec alors P (X k) ( k )k q k La robabilité d avoir succès est : P (X ) La robabilité de avoir aucu succès est : P (X 0) q Par coséquet, la robabilité d avoir au mois u succès est : P (X ) P (X 0) q Proriété 3. Esérace et variace d ue variable aléatoire suivat ue loi de Beroulli : Si X B(; ) avec N et [0; ], alors : E(X) et V (X) ( ) Démostratio : E(X) k0 P (X k)k k ( k )k ( ) k k Or k( k ) k! k!( k)! k! k!( k)!! (k )!( k)! et : ( k ) ( )! (k )!( k + )!! (k )!( k)! Par coséquet : k( k ) ( ), k ce qui doe : E(X) ( k k )k ( ) k k ( k )k ( ) k Or d arès la formule du biôme de Newto o sait que : (x + y) Ici doc : E(X) ( + ) Nous admettos la formule our la variace. k0 k ( k )xk y k ( k )k ( ) (k ) k0 ( k )k ( Exemle : Rereos la situatio de l itroductio : la robabilité qu u tireur atteige sa cible est 3 4. O suose qu il tire 7 fois. O ote X la variable aléatoire associat à cette exériece aléatoire le ombre de succès obteus. Calculer so esérace et sa variace.

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