PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "PROBABILITÉS CONDITIONNELLES"

Transcription

1 PROILITÉS CONITIONNELLES Ph EPRESLE 1 er juillet 2015 Table des matières 1 Rappel : Probabilité d un événement Ensemble des issues Événement Probabilité Probabilité conditionnelle 3 3 ormule des probabilités totales 4 4 Indépendance Indépendance de deux événements Indépendance et événements contraires Exercices 7 6 Exercices corrigés 9 1

2 1 Rappel : Probabilité d un événement 1.1 Ensemble des issues On envisage une expérience aléatoire comportant un nombre fini d issues. On désigne par Ω l ensemble de ces issues : Ω = {ω 1 ;ω 2 ;...;ω n }. On appelle cardinal de Ω le nombre des éléments de Ω. On le note card(ω). 1.2 Événement Un événement est une partie de l ensemble Ω des issues : Ω. L événement complémentaire de, ou événement contraire de, noté contient tous les éléments de Ω qui ne sont pas éléments de. Un événement élémentaire ne contient qu une issue : par exemple = {ω 2 }. Si et sont deux événements : l événement est réalisé si l un au moins des événements ou est réalisé. l événement est réalisé si et sont réalisés tous les deux. et sont dits incompatibles si =. 1.3 Probabilité À chacune de ces issues ω i, on associe un nombre noté P(ω i ) avec : 0 P(ω i ) 1 et n P(ω i ) = 1 i=1 À chaque événement = {ω i1,...,ω ip } lié à l expérience est associé alors le nombre P() défini par : P() = P(ω i1 )+...+P(ω ip ) Propriétés 1. 0 P() 1 et P(Ω) = 1 P()+P() = 1 P( ) = P()+P() P( ). Si et sont incompatibles, alors P( ) = P()+P(). Si tous les événements élémentaires {ω i } ont la même probabilité, on dit qu il y a équiprobabilité. On a alors : P() = Nombre des issues favorables à Nombre des issues possibles = card() card(ω) Ph epresle Page 2 sur 11

3 2 Probabilité conditionnelle éfinition 1. Soit et deux événements d un univers Ω muni d une loi de probabilité. Si P() 0, on appelle probabilité de sachant notée P (), le quotient P( ). P() Remarques : P () = P( ) P() ans le cas de l équiprobabilité on a : P () = card( ) card Si P() 0 et P() 0 on a alors : P( ) = P() P () = P() P () P () = 1 P () car P ()+P () = P( )+P( ) P() = P() P() = 1 P () P( ) Sur un arbre de probabilités, on peut envisager deux niveaux de branches : un qui indique la probabilité de l événement, puis un second qui permet de figurer la probabilité conditionnelle P (). P() Sur un autre arbre, on pourrait commencer par puis P (). Exemple : On lance 2 dés normaux et on considère les événements suivants : : " La somme des deux dés est égale à 10" : "Le premier dé marque 4" Calculer la probabilité de sachant. L univers Ω est l ensemble de tous les résultats possibles. Ici cardω = 36, il y a équiprobabilité sur Ω. = {(4;6)} et = {(4;6)(5;5)(6;4)} On a : P( ) = 1 3 et P() = donc P () = 36 Remarque : On peut considérer aussi l expérience sur l univers, équiprobable, Nombre des issues favorables alors P () = Nombre des issues possibles = = 1 3 Ph epresle Page 3 sur 11

4 Chapitre : Probabilités conditionnelles 3 ormule des probabilités totales éfinition 2. On dit que n parties 1, 2,..., n de Ω forment une partition de Ω si elles sont 2 à 2 disjointes et ont pour réunion Ω. 1 2 n 1 n Ω Propriétés 2. Soit 1, 2,..., n une partition de Ω, telle que pour tout i {1,...,n}, P( i ) 0. lors, pour tout événement, n P() = P( 1 ).P 1 ()+ +P( n ).P n () = P( i ).P i () i=1 Cas particulier : (, ) est une partition de Ω, Ω,. Pour un événement, on a : = ( ) ( ) (réunion disjointe ) donc : P() = P( )+P( ) P() = P().P ()+P().P () Ce qui se visualise sur un arbre. Ω P () P() P() P () Visualisation sur un arbre dans le cas d une partition à 3 parties,,c : P () P( ) = P().P () P() P() P () P( ) = P().P () P(C) P C () P(C ) = P(C).P C () C Ph epresle Page 4 sur 11

5 4 Indépendance P() = P( )+P( )+P(C ) P() = P().P ()+P().P ()+P(C).P C () 4.1 Indépendance de deux événements éfinition 3. On dit que les deux événements et sont indépendants pour la probabilité P lorsque P( ) = P() P(). Propriétés 3. Les deux événements et de probabilités non nulles sont indépendants pour la probabilité P si et seulement si, P() = P () ou P() = P () émonstration : Si le événements et sont indépendants, alors : P () = P( ) = P() P() car et sont indépendants. P() P() onc P () = P() Réciproquement si P () = P(), alors P( ) = P() P () = P()P(). onc les événements et sont indépendants. Exemple : On considère une famille ayant n enfants. On suppose que chaque fois qu un enfant naît, la probabilité que ce soit une fille est 1 2. Soit l événement "il y a au plus une fille". Soit l événement "il y a des enfants des deux sexes". 1. Les événements et sont-ils indépendants pour n = 2? 2. Les événements et sont-ils indépendants pour n = 3? 1. Pour n = 2 on a : P() = 3 c est l événement contraire de "il y a deux filles". 4 L univers Ω = {,,,}. Il y a équiprobabilité. P() = 2 4 = 1.il y a parmi les 4 cas possibles, 2 cas favorables. = {,} 2 P( ) = 1 car = {,} 2 P().P() = = 3 donc P( ) P().P() 8 donc les événements et ne sont pas indépendants. Ph epresle Page 5 sur 11

6 2. Pour n = 3 on a : Il y a 8 issues possibles équiprobables. P() = 4 8 = 1 Il y a 4 cas favorables = {,,,} 2 P() = = 3 car = {,} 4 P( ) = 3 car = {,,} 8 P().P() = = 3 8 donc P( ) = P().P() donc les événements et sont indépendants. 4.2 Indépendance et événements contraires Propriétés 4. Si deux événements et de probabilités non nulles sont indépendants pour la probabilité P, alors il en est de même pour les événements et, et ainsi que pour et. P( ) = P() P() P( ) = P() P()) P( ) = P() P() émonstration : ROC émontrons P( ) = P() P() On sait que P( ) = P() P () Comme P ()+P () = 1 on a P( ) = P() (1 P ()) et étant indépendants, P () = P() donc P( ) = P() (1 P()) et donc P( ) = P() P(). La démonstration des autres propriétés se font de la même manière. Ph epresle Page 6 sur 11

7 5 Exercices Exercice 1 Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s il décroche, la probabilité pour qu il réponde au questionnaire est 0,3. On pourra construire un arbre pondéré. 1. On note : 1 l événement : «la personne décroche au premier appel»; R 1 l événement «la personne répond au questionnaire lors du premier appel». Calculer la probabilité de l événement R Lorsqu une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu il réponde au questionnaire sachant qu il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter. On note : 2 l événement : «la personne décroche au second appel». R 2 l événement : «la personne répond au questionnaire lors du second appel». R l événement : «la personne répond au questionnaire». Montrer que la probabilité de l événement R est 0, Sachant qu une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième) 4. Un enquêteur a une liste de 10 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que aucune des personnes ne réponde au questionnaire? (on donnera la réponse arrondie au millième) Exercice 2 Une compagnie d assurance automobile fait le bilan des frais d intervention, parmi les dossiers d accidents de circulation. 85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 20% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. 12% des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels. Soit les événements suivants : R : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle ; : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels. 1. En utilisant les notations R et, exprimer les trois pourcentages de l énoncé en termes de probabilités. 2. Calculer la probabilité pour qu un dossier : (a) entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ; (b) entraîne seulement des frais de réparation matérielle; (c) n entraîne ni des frais de réparation matérielle ni des frais de dommages corporels ; (d) entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu il entraîne des frais de dommages corporels. Ph epresle Page 7 sur 11

8 3. On constate que 60% des dossiers entraînant des frais de dommages corporels et la moitié de ceux qui n en entraînent pas sont dus à des excès de vitesse. On choisit un dossier. Quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse? 4. On choisit 5 dossiers de manière indépendante. Quelle est la probabilité pour qu au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse? Exercice 3 On considère deux urnes U 1 et U 2. L urne U 1 contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L urne U 2 contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : Étape 1 : On tire au hasard une boule dans U 1, on note sa couleur et on la remet dans U 1. Étape n (n 2) : Si la boule tirée à l étape (n 1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U 1, on note sa couleur et on la remet dans U 1. Si la boule tirée à l étape (n 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U 2, on note sa couleur et on la remet dans U 2. On note n l évènement «le tirage a lieu dans l urne U 1 à l étape n» et p n sa probabilité. On a donc p 1 = Calculer p Montrer que pour tout n entier naturel non nul, p n+1 = 0,8p n +0,05. On pourra s aider d un arbre pondéré. 3. (a) émontrer par récurrence que pour tout entier n entier naturel non nul, p n > 0,25. (b) émontrer que la suite (p n ) est décroissante. (c) En déduire que la suite (p n ) est convergente vers un réel noté l. (d) Justifier que l vérifie l équation : l = 0, 8l + 0, 05. En déduire la valeur de l. (e) On pose pour tout entier n > 0, u n = p n l. Montrer que cette suite est géométrique. En déduire l expression de p n. en fonction de n. Ph epresle Page 8 sur 11

9 6 Exercices corrigés Exercice 1 0,3 R 1 0,6 1 0,7 R 1 0,2 R 2 0,7 2 0,4 1 0,8 R 2 0,3 1. P(R 1 ) = P( 1 R 1 ) = P( 1 )P 1 (R 1 ) = 0,6 0,3 = 0, P(R 2 ) = P( 1 2 R 2 ) = P( 1 )P( 2 R 2 ) = P( 1 )P( 2 )P 2 (R 2 ) = 0,4 0,7 0,2 = 0, 056. onc P(R) = P(R 1 R 2 ) = P(R 1 )+P(R 2 ) = 0,18+0,056 = 0, P R (R 1 ) = P(R 1 R) P(R) = 0,18 0,236 0, La probabilité qu une personne donnée ne réponde pas au questionnaire est p = 1 P(R) 0,764. Les sondages étant indépendants, la probabilité qu aucune ne réponde au questionnaire est p Exercice 2 1. Le premier pourcentage nous donne la probabilité de R : P(R) = 0, 85. Le deuxième nous donne la probabilité de : P() = 0,20. Le troisième correspond à une probabilité conditionnelle. La probabilité que le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels, sachant qu il entraîne des frais de réparation matérielle est P R () = 0, (a) La probabilité cherchée est la probabilité de l intersection : R Pour la calculer on utilise la définition d une probabilité conditionnelle : P R () = P(R ). P(R) Soit P(R ) = P(R)P R () = 0,85 0,12 = 0,102. (b) On calcule ici la probabilité de l événement R (R ). Les événements R et R (R ) étant incompatibles, la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités. Ph epresle Page 9 sur 11

10 Chapitre : Probabilités conditionnelles Or cette réunion est R : P(R) = P(R )+P(R (R )). onc P(R (R )) = P(R) P(R ) = 0,85 0,102 = 0,748. (c) L événement contraire de l événement considéré est : le dossier entraîne des frais de réparation matérielle ou des frais de dommages corporels : c est R. P(R ) = P(R)+P() P(R ) = 0,85+0,20 0,102 = 0,948. La probabilité cherchée est : 1 P(R ) = 0,052. (d) La probabilité cherchée est la probabilité conditionnelle : P (R) = P(R ) = 0,102 P() 0,2 = 0,51 3. Soit l événement V : Le dossier traité correspond à un excès de vitesse. On traduit l énoncé : P (V) = 0,6 et P (V) = 0,5, étant l événement contraire de. Les événements et sont incompatibles et leur réunion est l univers : on peut utiliser la formule des probabilités totales. P(V) = P()P (V)+P()P (V) = 0,2 0,6+0,8 0,5 = 0, V V V V 4. Soit l événement : au moins un dossier choisi correspond à des excès de vitesse. L événement contraire est aucun des dossiers choisis ne correspond à des excès de vitesse et sa probabilité est 1 p(v) = 1 0,52 = 0,48 Les choix des dossiers étant indépendants (ceci signifiant que après avoir choisi un dossier on le remet avec les autres) : P() = 0,48 5 0,025. onc p() 1 0,025 0,975. Exercice 3 1. L événement 2 est réalisé si on tire une boule blanche au premier tirage. Comme le premier tirage se fait dans U 1 p 2 = ( n, n ) est un système complet d événements. On peut utiliser la formule des probabilités totales : P( n+1 ) = P( n )P n ( n+1 )+P( n )P n ( n+1 ) 17 p n+1 = p n 20 +(1 p n) 1 20 = p n On peut aussi s aider d un arbre. p n 1 p n Ph epresle Page 10 sur N N

11 3. (a) Soit P n la proposition : p n > 1 4. P 1 est vraie, car p 1 = 1. Supposons que pour un entier naturel n > 0, la proposition P n est vraie. Sous cette hypothèse : p n+1 = p n = 1 4 onc la proposition P n+1 est vraie. Par récurrence on en déduit que la proposition P n est vraie pour tout entier naturel n > 0. (b) p n+1 p n = p n p n = 4 20 p n = 4 20 (p n 1 4 ) < 0. (c) La suite (p n ) est décroissante et minorée par 1 4 onc elle converge vers un réel l supérieur ou égal à 1 4. (d) On a : p n+1 = 0,8p n +0,05 Quand n tend vers +, (p n+1 ) tend vers l. onc l = 0,8l+0,05, ce qui équivaut à l = 1 4. (e) p n+1 = p n et l = l On soustrait membre à membre : p n+1 l = (p n l). ( ) n 1 4 La suite (p n l) est géométrique. onc p n l = (p 1 l). 5 p n = 1 ( ) n On retrouve que la suite (p n ) converge vers 1 4. Ph epresle Page 11 sur 11

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

I. Cas de l équiprobabilité

I. Cas de l équiprobabilité I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

Indépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles

Indépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance Probabilité conditionnelle Definition Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A).P(B) Attention

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Probabilités (méthodes et objectifs)

Probabilités (méthodes et objectifs) Probabilités (méthodes et objectifs) G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Probabilités (méthodes et objectifs) 10 juin 2007 1 / 19 1 Déterminer la loi de probabilité d

Plus en détail

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3 Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

9 5 2 5 Espaces probabilisés

9 5 2 5 Espaces probabilisés BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Les devoirs en Première STMG

Les devoirs en Première STMG Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Calculs de probabilités

Calculs de probabilités Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01

Plus en détail

Calculs de probabilités conditionelles

Calculs de probabilités conditionelles Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles

Plus en détail

CALCUL DES PROBABILITES

CALCUL DES PROBABILITES CALCUL DES PROBABILITES Exemple On lance une pièce de monnaie une fois. Ensemble des événements élémentaires: E = pile, face. La chance pour obtenir pile vaut 50 %, pour obtenir face vaut aussi 50 %. Les

Plus en détail

Probabilités. I - Expérience aléatoire. II - Evénements

Probabilités. I - Expérience aléatoire. II - Evénements Probabilités Voici le premier cours de probabilités de votre vie. N avez-vous jamais eut envie de comprendre les règles des grands joueurs de poker et de les battre en calculant les probabilités d avoir

Plus en détail

Introduction au Calcul des Probabilités

Introduction au Calcul des Probabilités Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus

Plus en détail

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont

Plus en détail

Qu est-ce qu une probabilité?

Qu est-ce qu une probabilité? Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France

Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014 Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

P1 : Corrigés des exercices

P1 : Corrigés des exercices P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à

Plus en détail

Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement

Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Exercice 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire consistant à tirer deux boules simultanément d une urne qui en contient 10 numérotés puis à lancer

Plus en détail

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais

Plus en détail

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce

Plus en détail

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

Mesure de probabilité, indépendance.

Mesure de probabilité, indépendance. MATHEMATIQUES TD N 2 : PROBABILITES ELEMENTAIRES. R&T Saint-Malo - 2nde année - 2011/2012 Mesure de probabilité, indépendance. I. Des boules et des cartes - encore - 1. On tire simultanément 5 cartes d

Plus en détail

Exercices de dénombrement

Exercices de dénombrement Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

4. Exercices et corrigés

4. Exercices et corrigés 4. Exercices et corrigés. N 28p.304 Dans une classe de 3 élèves, le club théâtre (T) compte 0 élèves et la chorale (C) 2 élèves. Dix-huit élèves ne participent à aucune de ces activités. On interroge au

Plus en détail

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010

Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices fortement conseillés : 6, 10 et 14 1) Un groupe d étudiants est formé de 20 étudiants de première année

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Réseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Réseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Campagne 2013 Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté, adapté

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Exemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile.

Exemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile. Probabilités Définition intuitive Exemple On lance un dé. Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? Comme il y a deux multiples de 3 parmi les six issues possibles, on a chances sur 6 d obtenir

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail

La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

ENS de Lyon TD 1 17-18 septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N

ENS de Lyon TD 1 17-18 septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N ENS de Lyon TD 7-8 septembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (u n ) n N une suite de nombres réels. On considère σ une bijection de N dans N, de sorte que (u σ(n) ) n N est un réordonnement

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher. Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

La classification automatique de données quantitatives

La classification automatique de données quantitatives La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES

DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE EXERCICE RECAPITULATIF (DE SYNTHESE) CORRIGE Le jeu au poker fermé DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES On joue

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Exo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio

Exo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Seconde et première Exercices de révision sur les probabilités Corrigé

Seconde et première Exercices de révision sur les probabilités Corrigé I_ L'univers. _ On lance simultanément deux dés indiscernables donc il n'y a pas d'ordre. Il y a répétition, les dbles. On note une issue en écrivant le plus grand chiffre puis le plus petit. 32 signifie

Plus en détail

MATH0062-1 ELEMENTS DU CALCUL DES PROBABILITES

MATH0062-1 ELEMENTS DU CALCUL DES PROBABILITES MATH0062-1 ELEMENTS DU CALCUL DES PROBABILITES REPETITIONS et PROJETS : INTRODUCTION F. Van Lishout (Février 2015) Pourquoi ce cours? Sciences appliquées Modélisation parfaite vs monde réel Comment réussir

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5 ARTHUR CHARPENTIER 1 Un certain test médical révèle correctement, avec probabilité 0.85, qu une personne a le sida lorsqu elle l a vraiment et révèle incorrectement,

Plus en détail

EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES

EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES EI 1 EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES Notations 1 Les coefficients du binôme sont notés ( n p 2 Un arrangement de n objets pris p à p est noté A p n 3 Si A est un ensemble fini, on notera A ou card

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

NOTIONS DE PROBABILITÉS

NOTIONS DE PROBABILITÉS NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

POINTS DE VUE DES CANADIENS SUR LA COUVERTURE DES MÉDICAMENTS D ORDONNANCE

POINTS DE VUE DES CANADIENS SUR LA COUVERTURE DES MÉDICAMENTS D ORDONNANCE www.ekos.com POINTS DE VUE DES CANADIENS SUR LA COUVERTURE DES MÉDICAMENTS D ORDONNANCE [Ottawa 22 mai 2013] Selon un nouveau sondage commandé par la Coalition canadienne de la santé (CCS) et la Fédération

Plus en détail

La persistance des nombres

La persistance des nombres regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Introduction aux Probabilités

Introduction aux Probabilités Université Rennes 2 Licence MASS 2 Introduction aux Probabilités Arnaud Guyader Table des matières 1 Espaces probabilisés 1 1.1 Qu est-ce qu une probabilité?.............................. 1 1.1.1 Tribu.......................................

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes.

1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2,

Plus en détail