PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
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- Corentin Labonté
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1 PROILITÉS CONITIONNELLES Ph EPRESLE 1 er juillet 2015 Table des matières 1 Rappel : Probabilité d un événement Ensemble des issues Événement Probabilité Probabilité conditionnelle 3 3 ormule des probabilités totales 4 4 Indépendance Indépendance de deux événements Indépendance et événements contraires Exercices 7 6 Exercices corrigés 9 1
2 1 Rappel : Probabilité d un événement 1.1 Ensemble des issues On envisage une expérience aléatoire comportant un nombre fini d issues. On désigne par Ω l ensemble de ces issues : Ω = {ω 1 ;ω 2 ;...;ω n }. On appelle cardinal de Ω le nombre des éléments de Ω. On le note card(ω). 1.2 Événement Un événement est une partie de l ensemble Ω des issues : Ω. L événement complémentaire de, ou événement contraire de, noté contient tous les éléments de Ω qui ne sont pas éléments de. Un événement élémentaire ne contient qu une issue : par exemple = {ω 2 }. Si et sont deux événements : l événement est réalisé si l un au moins des événements ou est réalisé. l événement est réalisé si et sont réalisés tous les deux. et sont dits incompatibles si =. 1.3 Probabilité À chacune de ces issues ω i, on associe un nombre noté P(ω i ) avec : 0 P(ω i ) 1 et n P(ω i ) = 1 i=1 À chaque événement = {ω i1,...,ω ip } lié à l expérience est associé alors le nombre P() défini par : P() = P(ω i1 )+...+P(ω ip ) Propriétés 1. 0 P() 1 et P(Ω) = 1 P()+P() = 1 P( ) = P()+P() P( ). Si et sont incompatibles, alors P( ) = P()+P(). Si tous les événements élémentaires {ω i } ont la même probabilité, on dit qu il y a équiprobabilité. On a alors : P() = Nombre des issues favorables à Nombre des issues possibles = card() card(ω) Ph epresle Page 2 sur 11
3 2 Probabilité conditionnelle éfinition 1. Soit et deux événements d un univers Ω muni d une loi de probabilité. Si P() 0, on appelle probabilité de sachant notée P (), le quotient P( ). P() Remarques : P () = P( ) P() ans le cas de l équiprobabilité on a : P () = card( ) card Si P() 0 et P() 0 on a alors : P( ) = P() P () = P() P () P () = 1 P () car P ()+P () = P( )+P( ) P() = P() P() = 1 P () P( ) Sur un arbre de probabilités, on peut envisager deux niveaux de branches : un qui indique la probabilité de l événement, puis un second qui permet de figurer la probabilité conditionnelle P (). P() Sur un autre arbre, on pourrait commencer par puis P (). Exemple : On lance 2 dés normaux et on considère les événements suivants : : " La somme des deux dés est égale à 10" : "Le premier dé marque 4" Calculer la probabilité de sachant. L univers Ω est l ensemble de tous les résultats possibles. Ici cardω = 36, il y a équiprobabilité sur Ω. = {(4;6)} et = {(4;6)(5;5)(6;4)} On a : P( ) = 1 3 et P() = donc P () = 36 Remarque : On peut considérer aussi l expérience sur l univers, équiprobable, Nombre des issues favorables alors P () = Nombre des issues possibles = = 1 3 Ph epresle Page 3 sur 11
4 Chapitre : Probabilités conditionnelles 3 ormule des probabilités totales éfinition 2. On dit que n parties 1, 2,..., n de Ω forment une partition de Ω si elles sont 2 à 2 disjointes et ont pour réunion Ω. 1 2 n 1 n Ω Propriétés 2. Soit 1, 2,..., n une partition de Ω, telle que pour tout i {1,...,n}, P( i ) 0. lors, pour tout événement, n P() = P( 1 ).P 1 ()+ +P( n ).P n () = P( i ).P i () i=1 Cas particulier : (, ) est une partition de Ω, Ω,. Pour un événement, on a : = ( ) ( ) (réunion disjointe ) donc : P() = P( )+P( ) P() = P().P ()+P().P () Ce qui se visualise sur un arbre. Ω P () P() P() P () Visualisation sur un arbre dans le cas d une partition à 3 parties,,c : P () P( ) = P().P () P() P() P () P( ) = P().P () P(C) P C () P(C ) = P(C).P C () C Ph epresle Page 4 sur 11
5 4 Indépendance P() = P( )+P( )+P(C ) P() = P().P ()+P().P ()+P(C).P C () 4.1 Indépendance de deux événements éfinition 3. On dit que les deux événements et sont indépendants pour la probabilité P lorsque P( ) = P() P(). Propriétés 3. Les deux événements et de probabilités non nulles sont indépendants pour la probabilité P si et seulement si, P() = P () ou P() = P () émonstration : Si le événements et sont indépendants, alors : P () = P( ) = P() P() car et sont indépendants. P() P() onc P () = P() Réciproquement si P () = P(), alors P( ) = P() P () = P()P(). onc les événements et sont indépendants. Exemple : On considère une famille ayant n enfants. On suppose que chaque fois qu un enfant naît, la probabilité que ce soit une fille est 1 2. Soit l événement "il y a au plus une fille". Soit l événement "il y a des enfants des deux sexes". 1. Les événements et sont-ils indépendants pour n = 2? 2. Les événements et sont-ils indépendants pour n = 3? 1. Pour n = 2 on a : P() = 3 c est l événement contraire de "il y a deux filles". 4 L univers Ω = {,,,}. Il y a équiprobabilité. P() = 2 4 = 1.il y a parmi les 4 cas possibles, 2 cas favorables. = {,} 2 P( ) = 1 car = {,} 2 P().P() = = 3 donc P( ) P().P() 8 donc les événements et ne sont pas indépendants. Ph epresle Page 5 sur 11
6 2. Pour n = 3 on a : Il y a 8 issues possibles équiprobables. P() = 4 8 = 1 Il y a 4 cas favorables = {,,,} 2 P() = = 3 car = {,} 4 P( ) = 3 car = {,,} 8 P().P() = = 3 8 donc P( ) = P().P() donc les événements et sont indépendants. 4.2 Indépendance et événements contraires Propriétés 4. Si deux événements et de probabilités non nulles sont indépendants pour la probabilité P, alors il en est de même pour les événements et, et ainsi que pour et. P( ) = P() P() P( ) = P() P()) P( ) = P() P() émonstration : ROC émontrons P( ) = P() P() On sait que P( ) = P() P () Comme P ()+P () = 1 on a P( ) = P() (1 P ()) et étant indépendants, P () = P() donc P( ) = P() (1 P()) et donc P( ) = P() P(). La démonstration des autres propriétés se font de la même manière. Ph epresle Page 6 sur 11
7 5 Exercices Exercice 1 Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s il décroche, la probabilité pour qu il réponde au questionnaire est 0,3. On pourra construire un arbre pondéré. 1. On note : 1 l événement : «la personne décroche au premier appel»; R 1 l événement «la personne répond au questionnaire lors du premier appel». Calculer la probabilité de l événement R Lorsqu une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu il réponde au questionnaire sachant qu il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter. On note : 2 l événement : «la personne décroche au second appel». R 2 l événement : «la personne répond au questionnaire lors du second appel». R l événement : «la personne répond au questionnaire». Montrer que la probabilité de l événement R est 0, Sachant qu une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième) 4. Un enquêteur a une liste de 10 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que aucune des personnes ne réponde au questionnaire? (on donnera la réponse arrondie au millième) Exercice 2 Une compagnie d assurance automobile fait le bilan des frais d intervention, parmi les dossiers d accidents de circulation. 85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 20% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. 12% des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels. Soit les événements suivants : R : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle ; : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels. 1. En utilisant les notations R et, exprimer les trois pourcentages de l énoncé en termes de probabilités. 2. Calculer la probabilité pour qu un dossier : (a) entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ; (b) entraîne seulement des frais de réparation matérielle; (c) n entraîne ni des frais de réparation matérielle ni des frais de dommages corporels ; (d) entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu il entraîne des frais de dommages corporels. Ph epresle Page 7 sur 11
8 3. On constate que 60% des dossiers entraînant des frais de dommages corporels et la moitié de ceux qui n en entraînent pas sont dus à des excès de vitesse. On choisit un dossier. Quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse? 4. On choisit 5 dossiers de manière indépendante. Quelle est la probabilité pour qu au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse? Exercice 3 On considère deux urnes U 1 et U 2. L urne U 1 contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L urne U 2 contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante : Étape 1 : On tire au hasard une boule dans U 1, on note sa couleur et on la remet dans U 1. Étape n (n 2) : Si la boule tirée à l étape (n 1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U 1, on note sa couleur et on la remet dans U 1. Si la boule tirée à l étape (n 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U 2, on note sa couleur et on la remet dans U 2. On note n l évènement «le tirage a lieu dans l urne U 1 à l étape n» et p n sa probabilité. On a donc p 1 = Calculer p Montrer que pour tout n entier naturel non nul, p n+1 = 0,8p n +0,05. On pourra s aider d un arbre pondéré. 3. (a) émontrer par récurrence que pour tout entier n entier naturel non nul, p n > 0,25. (b) émontrer que la suite (p n ) est décroissante. (c) En déduire que la suite (p n ) est convergente vers un réel noté l. (d) Justifier que l vérifie l équation : l = 0, 8l + 0, 05. En déduire la valeur de l. (e) On pose pour tout entier n > 0, u n = p n l. Montrer que cette suite est géométrique. En déduire l expression de p n. en fonction de n. Ph epresle Page 8 sur 11
9 6 Exercices corrigés Exercice 1 0,3 R 1 0,6 1 0,7 R 1 0,2 R 2 0,7 2 0,4 1 0,8 R 2 0,3 1. P(R 1 ) = P( 1 R 1 ) = P( 1 )P 1 (R 1 ) = 0,6 0,3 = 0, P(R 2 ) = P( 1 2 R 2 ) = P( 1 )P( 2 R 2 ) = P( 1 )P( 2 )P 2 (R 2 ) = 0,4 0,7 0,2 = 0, 056. onc P(R) = P(R 1 R 2 ) = P(R 1 )+P(R 2 ) = 0,18+0,056 = 0, P R (R 1 ) = P(R 1 R) P(R) = 0,18 0,236 0, La probabilité qu une personne donnée ne réponde pas au questionnaire est p = 1 P(R) 0,764. Les sondages étant indépendants, la probabilité qu aucune ne réponde au questionnaire est p Exercice 2 1. Le premier pourcentage nous donne la probabilité de R : P(R) = 0, 85. Le deuxième nous donne la probabilité de : P() = 0,20. Le troisième correspond à une probabilité conditionnelle. La probabilité que le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels, sachant qu il entraîne des frais de réparation matérielle est P R () = 0, (a) La probabilité cherchée est la probabilité de l intersection : R Pour la calculer on utilise la définition d une probabilité conditionnelle : P R () = P(R ). P(R) Soit P(R ) = P(R)P R () = 0,85 0,12 = 0,102. (b) On calcule ici la probabilité de l événement R (R ). Les événements R et R (R ) étant incompatibles, la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités. Ph epresle Page 9 sur 11
10 Chapitre : Probabilités conditionnelles Or cette réunion est R : P(R) = P(R )+P(R (R )). onc P(R (R )) = P(R) P(R ) = 0,85 0,102 = 0,748. (c) L événement contraire de l événement considéré est : le dossier entraîne des frais de réparation matérielle ou des frais de dommages corporels : c est R. P(R ) = P(R)+P() P(R ) = 0,85+0,20 0,102 = 0,948. La probabilité cherchée est : 1 P(R ) = 0,052. (d) La probabilité cherchée est la probabilité conditionnelle : P (R) = P(R ) = 0,102 P() 0,2 = 0,51 3. Soit l événement V : Le dossier traité correspond à un excès de vitesse. On traduit l énoncé : P (V) = 0,6 et P (V) = 0,5, étant l événement contraire de. Les événements et sont incompatibles et leur réunion est l univers : on peut utiliser la formule des probabilités totales. P(V) = P()P (V)+P()P (V) = 0,2 0,6+0,8 0,5 = 0, V V V V 4. Soit l événement : au moins un dossier choisi correspond à des excès de vitesse. L événement contraire est aucun des dossiers choisis ne correspond à des excès de vitesse et sa probabilité est 1 p(v) = 1 0,52 = 0,48 Les choix des dossiers étant indépendants (ceci signifiant que après avoir choisi un dossier on le remet avec les autres) : P() = 0,48 5 0,025. onc p() 1 0,025 0,975. Exercice 3 1. L événement 2 est réalisé si on tire une boule blanche au premier tirage. Comme le premier tirage se fait dans U 1 p 2 = ( n, n ) est un système complet d événements. On peut utiliser la formule des probabilités totales : P( n+1 ) = P( n )P n ( n+1 )+P( n )P n ( n+1 ) 17 p n+1 = p n 20 +(1 p n) 1 20 = p n On peut aussi s aider d un arbre. p n 1 p n Ph epresle Page 10 sur N N
11 3. (a) Soit P n la proposition : p n > 1 4. P 1 est vraie, car p 1 = 1. Supposons que pour un entier naturel n > 0, la proposition P n est vraie. Sous cette hypothèse : p n+1 = p n = 1 4 onc la proposition P n+1 est vraie. Par récurrence on en déduit que la proposition P n est vraie pour tout entier naturel n > 0. (b) p n+1 p n = p n p n = 4 20 p n = 4 20 (p n 1 4 ) < 0. (c) La suite (p n ) est décroissante et minorée par 1 4 onc elle converge vers un réel l supérieur ou égal à 1 4. (d) On a : p n+1 = 0,8p n +0,05 Quand n tend vers +, (p n+1 ) tend vers l. onc l = 0,8l+0,05, ce qui équivaut à l = 1 4. (e) p n+1 = p n et l = l On soustrait membre à membre : p n+1 l = (p n l). ( ) n 1 4 La suite (p n l) est géométrique. onc p n l = (p 1 l). 5 p n = 1 ( ) n On retrouve que la suite (p n ) converge vers 1 4. Ph epresle Page 11 sur 11
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