PROBABILITES CONDITIONNELLES

Transcription

1 I- Probabilté conditionnellle POAILITES CODITIOELLES Soit A et deux événements d un univers Ω muni d une loi de probabilité tels que P (A) 0. La probabilité de l événement sachant que l événement A est réalisé est : P A () = P (A ). P (A) On lit : probabilité de sachant A. Propriété 1 (formule des probabilités composées) Soit A et deux événements d un univers Ω de probabilité non nulle. On a : P (A ) = P () P (A) = P (A) P A (). Propriété 2 Soit A et deux événements avec P (A) 0. On a : P A () = 1 P A (). Démonstration A = A Ω = A ( ) = (A ) (A ). Les événements A et A sont incompatibles donc : P (A) = P ((A ) (A )) = P (A ) + P (A ) Comme P (A) 0, on en déduit : 1 = P (A P (A ) + P (A) P (A) soit 1 = P A () + P A () ou encore P A () = 1 P A (). Une urne contient trois boules rouges et deux boules noires. On tire deux boules successivement et sans remise. On cherche la probabilité de l événement «obtenir une boule rouge puis une boule noire». On note 1 l événement «obtenir une boule rouge au premier tirage»et 2 l événement «obtenir une boule noire au deuxième tirage». P ( 1 2 ) = P ( 1 ) P 1 ( 2 ) = = II- Formule des probabilités totales Soit Ω un univers associé à une épreuve aléatoire. Une partition de Ω est une famille de parties de Ω, {A 1, A 2,, A n }, deux à deux disjointes telles que A 1 A 2 A n = Ω. Cas particulier Si A est un événement de Ω, {A, A} est une partition de Ω. Théorème (formule des probabilités totales) Soit Ω un univers associé à une épreuve aléatoire, muni d une probabilité P et {A 1, A 2,, A n } une partition de Ω telle que, ppour tout i, 1 i n, P (A i ) 0. Alors, pour tout Ω : P () = P A1 () P (A 1 ) + P A2 () P (A 2 ) + + P An () P (A n ). 1

2 Cas particulier Si A est un événement de Ω tel que P (A) 0 et P (A) 0, on a vu que {A, A} forme une partition de Ω donc, d après la formule des probabilités totales on a, pour tout événement de Ω : P () = P A () P (A) + P A () P (A). Démonstration Ω A 1 A 2 A 5 A 3 A 4 P () = P ( Ω) = P ( (A 1 A 2 A n )). = P (( A 1 ) ( A 2 ) ( A n ) Les événements A 1, A 2,, A n sont disjoints deux à deux, on a donc : P () = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + + P ( A n ) D après la formule des probabilités composées, on a, pour tout i, 1 i n, P ( A i ) = P Ai () P (A i ) d où la formule : P () = P A1 () P (A 1 ) + P A2 () P (A 2 ) + + P An () P (A n ). epésentation à l aide d un arbre pondéré Soit {A 1, A 2, A 3 } une partition d un univers Ω muni d une probabilité P et un événement de Ω. 2

3 P A1 () A 1 P (A 1 ) P (A 2 ) A 2 P A2 () P (A 3 ) P A3 () A 3 On dispose de trois urnes U 1, U 2, U 3 contenant chacune cinq boules, rouges ou noires. U 1 contient 3 boules rouges et deux boules noires. U 2 contient 2 boules rouges et 3 boules noires. U 3 contient 1 boule rouge et 4 boules noires. On lance un dé cubique parfaitement équlibré. Si on obtient 1, on tire une boule au hasard de l urne U 1, si on obtient 3 ou 5, on tire au hasard une boule de l urne U 2, si on obtient 2, 4 ou 6, on tire au hasard une boule de l urne U 3. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge. On représente la situation à l aide d un arbre pondéré. 3

4 3/5 1/6 U 1 2/5 1/3 U 2 2/5 3/5 1/2 1/5 U 3 4/5 {U 1, U 2, U 3 } forme une partition de Ω donc on peut appliquer la formule des probabilités totales. P () = P U1 () P (U 1 ) + P U2 () P (U 2 ) + P U3 () P (U 3 ) = = 1. 3 III- Evénements indépendants Soit A et deux événements d un même univers Ω de probabilité non nulle. On dit que A et sont indépendants lorsque P (A ) = P (A) P (). On jette un dé équilibré. On note respectivement A et les événements «avoir un résultat pair»et «avoir un résultat supérieur ou égal à 4». L événement A est donc l événement «avoir un 4 ou un 6». P (A ) = 2 6 = 1 3. P (A) P () = = 1 4. On a donc P (A ) P (A) P (). Les événements A et ne sont pas indépendants. Propriété 1 Soit A et deux événements d un même univers Ω de probabilité non nulle. A et sont indépendants si et seulement si P (A) = P (A) ou P () = P A (). Propriété 2 4

5 Soient A et deux événements d un même univers Ω de probabilité non nulle. Si A et sont indépendants, alors A et sont indépendants. On a également A et indépendants, ainsi que A et indépendants. Démonstration (au programme exigible) Par hypothèse, A et sont indépendants donc P (A ) = P (A) P (). On veut démontrer que A et sont indépendants, c est-à-dire que P (A ) = P (A) P (). On a = (A ) (A ). A A A Les événements A et A sont incompatibles donc : P [(A ) (A )] = P (A ) + P (A ), soit P () = P (A ) + P (A ). Ou encore : P (A ) = P () P (A ). Comme A et sont indépendants, P (A ) = P (A) P (), d où : P (A ) = P () P (A) P () = [1 P (A)] P () = P (A) P (). On a bien démontré que A et sont indépendants. 5