est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

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1 Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la compositio. E 100 tirages o a obteu 30 Rouges et 70 Blaches. A combie peut-o estimer la proportio de boules rouges das l ure? Formalisatio X ue variable aléatoire liée à ue expériece aléatoire dot o e coaît que partiellemet la loi. (Ici, loi de Berouilli valat 1 si l o a R et 0 sio Typiquemet o coaît le type de la loi L mais pas so paramètre θ. O sait seulemet que ce paramètre pred ses valeurs das u esemble Θ R. (ici, le paramètre p qui est la proportio de boules Rouges La valeur x prise par X das ue expériece est appelée réalisatio de X. O cherche, via des réalisatios de X à estimer (trouver ue valeur approchée la valeur du paramètre θ de la loi de X -estimatio poctuelle- ou u itervalle das lequel il a ue certaie probabilité de se trouver -estimatio par itervalle de cofiace-. O pourra aussi faire ce travail pour d autres gradeurs (espérace, variace... liées à X Par exemple Pour u lacer de pièce truquée, das ue suite de lacers Pile/Face o a obteu Pile 8 Face, o peut estimer que la probabilité de Pile est la fréquece empirique /10 Fréquece empirique La fréquece empirique des succès est le ombre de succès sur le ombre d expérieces. O peut la défiir à partir de variables de Berouilli X i valat 1 pour succès et au ième lacer et 0 sio. i=1 F = X i 10 est la fréquece empirique des succès lors des 10 premières expérieces. Modélisatio Pour modéliser la répétitio de l expériece, o se doe ue liste (X 1,..., X de variables aléatoires idépedates et de même loi que X appelé -échatillo de variables aléatoires. Ue liste de valeurs (x 1,..., x prises par ces variables est appelé -échatillo de doées. Estimatio poctuelle U estimateur est ue variable aléatoire T foctio du du -échatillo de variables T = f (X 1,..., X ou plus exactemet ue suite de telles variables(t N La valeur f (x 1,..., x souvet otée ˆθ prise par l estimateur sur u -échatillo de doées est appelé estimatio de θ. (ou d autre gradeur.1 Qualités Biais Le biais de T comme estimateur de θ est b = E (T θ = E (T θ. C est l écart moye etre la valeur prise par T et la valeur à estimer θ. Quad le biais est ul, o dit l estimateur sas biais; il doe alors e moyee la boe valeur. Mais rie e l empêche de s e éloiger car les écarts par excès et par défaut peuvet se compeser.

2 Exemple Pour u lacer de pièce : X = 1 si Pile et = 0 si Face.X suit ue loi de Berouilli de paramètre p = P (Pile Et o se doe u -échatillo de variables de même loi que X : (X 1... X Soit T = X 1, o a E (T = E (X 1 = p l estimateur est sas biais mais les valeurs prises par T (0 ou 1 e s approcherot jamais de la valeur à estimer p. Risque quadratique. Le risque quadratique de T comme estimateur de θ est E ((T θ Ici, les écarts e plus et e mois se cumulet. (le carré est positif De plus, l écart de T avec θ état élevé au carré, les grad écarts pèserot ecore d avatage que das E ( T θ par exemple. C est lui que l o utilisera pour comparer deux estimateur. Plus le risque quadratique est petit, meilleur sera l estimateur. Théorème ( Le risque quadratique est : E (T θ = V (T + b avec b le biais de T comme estimateur de θ. Doc pour améliorer u estimateur,o peut dimiuer sot biais, ou sa variace. Exemple Das la suite de lacers Pile/Face, Soit T = X 1, a pour risque quadratique V (T + b = pq : quelque soit la taille de l échatillo, le risque quadratique restera le même. Soit T = i=1 X i Alors so biais est b = E la fréquece empirique. ( i=1 X i p = 1 p p = 0 doc T est sas biais égalemet. Pour calculer so risque quadratique, o cherche la variace de T : V ( T 1 ( = V Xi = 1 p q = p q Doc le risque quadratique de T est fois plus petit que celui de T. De plus, il dimiue avec la taille de l échatillo. Plus l échatillo est importat, plus petit sera le risque quadratique.. Estimatio de l espérace Pour ue variable X ayat ue espérace m et (X 1,..., X u -échatillo de variables, l espérace de X peut être estimée par la moyee empirique : X = Exercice : 1. Motrer que X est u estimateur sas biais de m.. O suppose de plus que X a ue variace Exemple i=1 X i Motrer qu alors le risque quadratique de X ted vers 0 quad ted vers + Pour estimer le paramètre d ue loi biomiale, d ue loi de Poisso ou d ue loi Normale N (m, ν : le paramètre est la moyee. O peut doc estimer ce paramètre par la moyee empirique avec u risque quadratique qui ted vers 0 quad ted vers l ifii.

3 .3 Règles de calculs E ( i=1 X i = i=1 E (X i et E (αx = αe (X si α est ue costate. E (X Y = E (X E (Y si X et Y sot idépedates. V ( i=1 X i = i=1 V (X i si les (X i ssot idépedates. V (αx + β = α V (X si α et β sot ue costate 3 Itervalle de cofiace. 3.1 Défiitio Soit X ue variable aléatoire de loi L (θ et (X 1... X u -échatillo de variables. Soiet U et V foctios de cet échatillo [U, V ] est u itervalle de cofiace de θ de au iveau de cofiace 1 α (ou de iveau de risque α si P (U θ V 1 α Très souvet, o predra u itervalle cetré autour d u estimateur de θ 3. Iégalité de Bieaymé-Tchebichev P ( X m ε V (X ε doc P ( X m < ε 1 V (X ε et P (X ε m X + ε 1 V (X ε 3.3 Covergece : théorème de la limite cetrée. Si (X 1... X est u -échatillo de variables idépedates idépedats et de même loi que X ayat ue espérace et ue variace alors la loi de la moyee empirique cetrée réduite, ou de la somme cetrée réduite coverge e loi vers N (0, 1 (peut être approchée par cette loi Ce qui se ramèe à dire que la loi de X peut être approchée par N ( m, ν (cf exercice Ou qu ue loi B (, p peut être approchée par N ( p, p q (coditio : 30 et p 15 et p q 5 das la littérature Exercice Détermier ue valeur approchée de la loi de la moyee empirique : E ( X = E (X, V ( X = 1 V (X doc X N ( E (X, 1 V (X 3.4 Loi Normale N.B. Si X N (0, 1 alors P ( t X t = Φ (t Φ ( t = Φ (t 1 Si X N (m, ν alors P (X t m X + t = P ( t X m t = Φ ( t 1 Doc P (X t m X + t 1 α Φ ( t 1 1 α Φ ( t 1 α/ Cas particulier : approximatio de Biomiales cetrée réduite : cf 4.4 Exemple : pour α = 0, 05 (risque de 5% o trouve Φ (1, 96 = 0, 975 = 1 0, 05/ doc pour t = 1, 96 o a le risque voulu et P (X 1, 96 m X + 1, 96 0, utilisable si o a la valeur de l écart type (sio, pratiquemet, o e pred ue estimatio.

4 4 Exercices 4.1 Variace Soit X ayat ue espérace m et ue variace v, sa variace empirique est W = 1 X i X avec X la moyee empirique de X et 1 X i la moyee empirique de X. 1. Soit Y ayat ue espérace et ue variace. Calculer E ( Y e foctio E (Y et V (Y. Calculer E ( ( ( X et V X et e déduire E X 3. Motrer efi que E (W = 1 V (X et e déduire u estimateur sas biais de la variace. 4. Questio cofidetielle. Certais sujets abordés das les equêtes d opiio sot parfois assez itimes, et o court le risque que les persoes iterrogées se refuset à répodre frachemet à l equêteur, faussat aisi le résultat. O peut alors avoir recours à ue astuce cosistat à iverser aléatoiremet les réposes. Cosidéros ue questio cofidetielle pour laquelle o veut estimer la probabilité p de réposes positives. L equêteur demade à chaque persoe iterrogée de lacer u dé. Si le dé tombe sur 6, la persoe doit doer sa répose sas metir, sio elle doit doer l opiio cotraire à la siee. Si l equêteur igore le résultat du dé, il e pourra pas savoir si la répose est frache ou o, et o peut espérer que la persoe sodée acceptera de jouer le jeu. Gééralisos légèremet la situatio e tirat pour chaque persoe ue variable de Beroulli de paramètre α. (α = 1 6 das l exemple itroductif Si le résultat de cette variable est 1, la répose est frache, sio, elle est iversée. Soit le ombre de persoes iterrogées. L equêteur e recueille que la fréquece empirique F des oui. 1. Motrer que la probabilité de oui à l issue de la procédure est q = α p + (1 α (1 p. Motrer que F, la fréquece observée par l equêteur, est u estimateur sas biais de q et de risque quadratique tedat vers 0 quad ted vers + 3. Pour α 1/ exprimer p e e foctio de q. 4. E déduire que T = F 1+α α 1 est u estimateur sas biais de p dot le risque quadratique ted vers 0 quad ted vers Pour fixé, quelle valeur attribuer à α pour que le risque quadratique soit miimum? Est-ce acceptable? Pour quelle valeur de α ce risque est-il maximum? Quel sera le risque quadratique avec le dé (α = 1/6

5 4.3 Loi uiforme Soit X de loi U [0, a] et (X 1,... X ue -échatillo de variables. Estimatio de a : X a ue espérace de a/. Soit X la moyee empirique. 1. Soit T = X. Motrer que T est sas biais et détermier so risque quadratique. Soit T = max (X 1,..., X Détermier la foctio de répartitio de X puis celle de T E déduire sa desité puis so biais et so risque quadratique. 3. Soit T = +1 T détermier so biais et so risque quadratique. 4. Quel est le meilleur estimateur de a pour de grades valeurs de? 4.4 Itervalle de cofiace pour le paramètre d ue variable de Beroulli. Lors d u sodage sur 100 persoes iterrogée, 60 peset voter pour A O modélise le choix par u échatillo (X 1,..., X 100 de variable idépedates de même loi de Berouilli de paramètre p. O cherche à détermier u itervalle de cofiace pour p au iveau de cofiace 99% (1% de risque 1. Détermier l espérace et la variace de la fréquece empirique F = i=1 X i?. O ote F la fréquece empirique cetrée réduite. Par quelle loi peut o approcher celle de F? O suppose désormais que F suit N (0, 1 ( 3. Détermier t tel que P ( t F p(1 p t 0, 99 et e déduire que P F t 10 p F + t 0, 99 p(1 p Motrer que pour tout p [0, 1], p (1 p 1 4 de cofiace de p au iveau de cofiace 99% et e déduire que [F t/0 ; F + t/0] est u itervalle 4.5 Itervalle de cofiace par Bieaymé-Tchebichev Soit a [ 0; 3 ], X U [0,a] et (X 1... X u -échatillo de variables de même loi que X et idépedates. O cherche u itervalle de cofiace de a au iveau de cofiace 99% (iveau de risque 1%. O ote X la moyee empirique 1. Rappeler la moyee m de X et motrer que V (X = a 1. E déduire la moyee et l espérace de X.. E déduire que P ( X a > 0, Détermier efi pour que [ X 0, 1 ; X + 0, 1 ] soit u itervalle de cofiace de a au iveau de cofiace 99% 4. Ecrire u programme PASCAL qui choisit u ombre a au hasard das [ 0; 3 ] effectue tirages das [0, a] calcule et affiche la moyee des résultats obteus. Le programme a affiché 0,534. Pesez vous que a = 0, 534? Pesez vous que a > 0, 7?

6 Pesez vous que a [0, 43 ; 0, 64]? 5. das la sutie, = Par quelle loi peut-o approcher celle de X (cetrée réduite? ( 6. Détermier t pour que P t 1 a 100 ( X a < t 0, 99 et e déduire u autre itervalle de cofiace de a au iveau α 4.6 Comptage par capture et recapture O cherche à évaluer le ombre N de poissos das u étag. Pour cela, o prélève das l étag m poissos que l o bague avat les remettre das l étag. O propose deux méthodes différetes d estimatio de N. Méthode 1 Soit N, m. O prélève des poissos das l étag, au hasard et avec remise. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de poissos qu il a été écessaire de pêcher pour obteir poissos marqués. Pour tout i [, ], o pose D i = X i X i 1. O pose D 1 = X 1 et o suppose que les D i sot des variables idépedates. 1. a Pour tout i [, ], quelle est la sigificatio de D i? b Détermier, pour i [, ], la loi de D i, so espérace et sa variace. E déduire l espérace et la variace de X. c O pose A = m X. Motrer que A est u estimateur sas biais de N et détermier so risque quadratique.. a Pour assez grad, par quelle loi peut-o approcher la loi de la variable aléatoire X (cetrée réduite? b O a marqué 00 poissos puis effectué 450 prélèvemets pour obteir 50 poissos marqués. O pose = (A. O a pu prouver par ailleurs que 100. Détermier e foctio de, u itervalle de cofiace pour N au seuil 0.9 (O doe Φ(1, 64 0, 95. Méthode O prélève successivemet et avec remise poissos. Soit Y le ombre de poissos marqués parmi eux. 1. Motrer que 1 m Y est u estimateur sas biais de 1 N.. Pour quelle raiso évidete e peut-o pas predre m Y comme estimateur de N? O pose alors B = m(+1 Y +1 1 a Calculer l espérace de B (o motrera que ( k+1( k = k+1 b Est-il u estimateur sas biais de N?