I, J, M et N sont non coplanaires alignés Les droites (BC), (AD) et (IJ) sont Les droites (BC), (AD) et (IJ) sont Les droites (BC), (AD) et (IJ) sont

Transcription

1 2 10 evoir surveillé n 8 Vendredi 21 avril 2006 S ercice 1 7 points S est une pramide régulière à base carrée. est le milieu de [S], est le point de [S] tel que S = 3 4 S. est le point de [S] tel que S = 1 3 S. 1 a) ustifier que les droites () et () sont sécantes. ustifier que la droite () coupe la droite () et que la droite () coupe la droite (). b) n note,, K, ces points d intersection. émontrer que ces trois points sont alignés. 2 a) éterminer l'intersection des plans (S) et et (S) b) éterminer l'intersection de la droite () et du plan (S) c) Tracer, sans justifier, l'intersection de la droite () et du plan (S). 3 Tracer, sans justifier, l'intersection du plan () avec chacune des faces de la pramide (S) ercice 2 7 points n considère un cube, est un point de l arête [], un point de l arête []. 1 a) ontrer que les points et appartiennent à la fois au plans () et (). b) Quelle est l intersection des plans () et (). 2 a) Quelle est l'intersection des plans () et () b) onstruire, en justifiant, l'intersection de la droite () et du plan (). 3 Tracer, sans justifier, l'intersection de la droite () avec le plan (). 4 ans cette question = 4, = 1 et est le milieu de []. 4 alculer la longueur. ercice 3 5 points ans le tétraèdre ci-contre, les points,, K, L, et sont les milieu des arêtes. our chaque ligne cocher la réponse choisie.,, et sont coplanaires non,, et sont alignés,, et sont non coplanaires alignés Les droites (), () et () sont Les droites (), () et () sont Les droites (), () et () sont parallèles coplanaires non parallèles non coplanaires Les droites () et () sont Les droites () et () sont Les droites () et () sont non parallèles sécantes coplanaires La droite (K) est parallèle au plan La droite (K) est parallèle au plan La droite (K) est parallèle au plan () () () et étant deu plans,, et Π étant trois plans, étant un plan, Si on a :, et Si on a : = Π, Si on a : ) //, // = Π et // alors les deu droites et alors les deu droites et alors les deu droites et K L

2 ercice 4 8 points Soit f la fonction définie sur R par f() = , dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-contre. 1 onjecturer les variations de f. 2 émontrer que pour tout de R, f() = 3 2 ( 1) 2. 3 tudier les variations de f sur ] ; 1 ]. 4 Représenter sur le graphique les solutions de f() = 3 et f() > 1 puis résoudre algébriquement ces équations. 5 Soit un réel compris entre 2 et 0. a) ncadrer f() en utilisant les variations de f. b) ncadrer 2 2 pui n déduire un encadrement de f(). 6 Tracer la droite d'équation = Représenter sur le graphique les solutions de f() = puis résoudre algébriquement cette équation. 4 ecice 5 5 points Soit f la fonction définie sur ] ; 3 [ ] 3 ; + [ par f() = dont la courbe représentative ce dans un repère orthonormé est donnée ci-contre. 1 onjecturer les variations de f. 2 émontrer que : pour tout réel, f() = émontrer que la fonction f est croissante sur ] ; 3 [ 4 Soit un réel compris entre 4 et 5. a) l'aide du graphique encadrer f() b) ncadrer f() en utilisant les variations de f. ercice 6 8 points 2 Soit f la fonction définie sur R par : f() = dont une partie de la courbe représentative ce dans un repère orthonormé est donnée ci-contre. 1 tudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe? 2 émontrer que la fonction f est strictement décroissante sur [ 0 ; + [. n déduire son sens de variation sur ] ; 0 ]. 3 émontrer que : pour tout réel, 0 < f() < 2 2 n déduire la position de la courbe par rapport à la courbe ' d'équation = ompléter la courbe et représenter la courbes ' dans le même repère 0

3 om S

4 S ercice 1 7 points S est une pramide régulière à base carrée. est le milieu de [S], est le point de [S] tel que S = 3 4 S. est le point de [S] tel que S = 1 S. 1 a) ustifier 3 que les droites () et () sont sécantes. ustifier que la droite () coupe la droite () et que la droite () coupe la droite (). [S] et (S) (S) donc (S) [S] et (S) (S) donc (S) Les droites () et () sont contenues dans le plan (S) elles sont donc sécantes ou parallèles. lles ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes e même les droites () et () sont contenues dans le plan (S) elles sont donc sécantes. e même les droites () et () sont contenues dans le plan (S) elles sont donc sécantes. b) n note,, K, ces points d intersection. émontrer que ces trois points sont alignés. () et () () donc (), () et () () donc (), K () et () () donc K () () et () () donc (), () et () () donc (), K () et () () donc K () Les points, et K sont à l'intersection des plans () et () ils sont donc alignés. 2 a) éterminer l'intersection des plans (S) et et (S) () // () S est à l'intersection des deu plans donc la droite intersection des deu plans passe par S. () (S) donc () (S) d'après le théorème du plan la droite intersection des plans (S) et (S) est parallèle à () et à (). La droite intersection des plans (S) et (S) est donc la parallèle à () passant par S. n la note b) éterminer l'intersection de la droite () et du plan (S) Les droites () et sont contenues dans le plan (S) elles se coupent en un point qui est à l'intersection de la droite () et du plan (S) c) Tracer, sans justifier, l'intersection de la droite () et du plan (S). n trace ' la parallèle à () passant par S. 'est la droite intersection des plans (S) et (S). ans la plan (S) les droites () et ' se coupent en un point qui est à l'intersection de la droite () et du plan (S) 3 Tracer, sans justifier, l'intersection du plan () avec chacune des faces de la pramide (S) ercice 2 7 points n considère un cube, est un point de l arête [], un point de l arête [].1 a) ontrer que les points et appartiennent à la fois au plans () et (). () et () et () () donc appartient aussi à () () et () et () () donc appartient aussi à () b) Quelle est l intersection des plans () et (). et sont à l'intersection des deu plans donc la droite intersection est la droite () 2 a) Quelle est l'intersection des plans () et () ' le projeté orthogonal de i sur () donc ' () ('') // () et () () donc ( ') () donc ' () ' est donc à l'intersection des plans () et (). est aussi à l'intersection des deu plans donc la droite ( ') est la droite intersection des deu plans () et (). b) onstruire, en justifiant, l'intersection de la droite () et du plan (). ans le plan () les droites () et () se coupent en un point qui est à l'intersection de () avec (). 3 Tracer, sans justifier, l'intersection de la droite () avec le plan (). 4 ans cette question = 4, = 1 et est le milieu de []. alculer la longueur. 4 ans le triangle rectangle en d'après le théorème de thagore on a : 2 = = = 25 donc = 5 ans le triangle rectangle en d'après le théorème de thagore on a : 2 = = = 29 donc = 29

5 ercice 3 5 points ans le tétraèdre ci-contre, les points,, K, L, et sont les milieu des arêtes. our chaque ligne cocher la réponse choisie. L,, et sont coplanaires non,, et sont alignés,, et sont non coplanaires alignés Les droites (), () et () sont Les droites (), () et () sont Les droites (), () et () sont parallèles coplanaires non parallèles non coplanaires Les droites () et () sont Les droites () et () sont Les droites () et () sont non parallèles sécantes coplanaires La droite (K) est parallèle au plan La droite (K) est parallèle au plan La droite (K) est parallèle au plan () () () et étant deu plans,, et Π étant trois plans, étant un plan, Si on a :, et Si on a : = Π, Si on a : ) //, // = Π et // alors les deu droites et alors les deu droites et alors les deu droites et ercice 4 8 points Soit f la fonction définie sur R par f() = , dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-contre.1 onjecturer les variations de f. f semble croissante sur ] ; 1 ] f semble décroissante sur [ 1 ; + [ 2 émontrer que pour tout de R, f() = 3 2 ( 1) ( 1) 2 = 3 2 ( ) = = tudier les variations de f sur ] ; 1 ]. Si a < b 1 alors a 1 < b 1 < 0 car la fonction 1 est croissante sur R alors (a 1) 2 > (b 1) 2 car la fonction carré est décroissante sur ] ; 0] alors 2 (a 1) 2 < 2 (b 1) 2 car la fonction 2 est décroissante sur R. alors 3 2 (a 1) 2 < 3 2 (b 1) 2 car la fonction + 3 est croissante sur R onclusion : si a < b < 1 alors f(a) < f(b) donc f est croissante sur ] ; 1 ] 4 Représenter sur le graphique les solutions de f() = 3 et f() > 1 puis résoudre algébriquement ces équations. f() = ( 1) 2 = 3 2 ( 1) 2 = 0 1 = 0 = 1 f() > > > 0 2 (2 ) > Q() S = ] 0, 2 [ 5 Soit un réel compris entre 2 et 0. a) ncadrer f() en utilisant les variations de f. 2 < < 0 1 donc f( 2) < f() < f(0) car la fonction f est croissante sur ] ; 1 ] f( 2) = 3 2 ( 2 1) 2 = = 15 et f(0) = = 1 n a donc : 15 < f() < 1 b) ncadrer 2 2 pui n déduire un encadrement de f(). 2 < < 0 donc ( 2) 2 > 2 > 0 2 car 2 est décroissante sur ] ; 0 ] donc 2 4 < 2 2 < 2 0 car 2 est décroissante sur R donc 8 < 2 2 < 0 2 < < 0 donc < < car est croissante sur R 8 < 2 2 < 0 7 < < 1 donc 8 7 < < donc 15 < f() < 1 6 Tracer la droite d'équation = Représenter sur le graphique les solutions de f() = puis résoudre algébriquement cette équation. f() = = = 0 = 0. K 4

6 ecice 5 5 points Soit f la fonction définie sur ] ; 3 [ ] 3 ; + [ par f() = 2 11 dont la courbe représentative ce dans un repère orthonormé est 3 donnée ci-contre. 1 onjecturer les variations de f. f semble croissante sur ], 3 [ f semble croissante sur ] 3, + [ 5 2 émontrer que : pour tout réel, f() = ( 3) 5 2 = = = = f() 3 émontrer que la fonction f est croissante sur ] ; 3 [ Si a < b < 3 alors a 3 < b 3 < 0 car la fonction 3 est croissante sur R 1 alors 3 > 1 b 3 car la fonction 1 est décroissante sur ] ; 0 [ 5 alors 2 3 > car la fonction 2 5 est décroissante sur R. onclusion : si a < b < 3 alors f(a) < f(b) donc f est croissante sur ] ; 3 [ 4 Soit un réel compris entre 4 et 5. a) l'aide du graphique encadrer f() b) ncadrer f() en utilisant les variations de f. f est croissante sur ] 3 ; + [ donc si 4 < < 5 alors f(4) < f() < f(5) f(4) = = 3 et f(5) = = n a donc 3 < f() < 0,5. ercice 6 8 points Soit f la fonction définie sur R par : 2 f() = dont une partie de la courbe représentative ce dans un repère orthonormé est donnée ci-contre. 1 tudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe? R est smétrique par rapport à pour tout réel : f( ) = ( ) 2 = = f() f est paire et sa représentation graphique est donc smétrique par rapport à 2 émontrer que la fonction f est strictement décroissante sur [ 0 ; + [. n déduire son sens de variation sur ] ; 0 ]. Si 0 a < b alors 0 a 2 < b 2 car 2 est croissante sur [ 0 ; + [ alors 0 < a 2 < b 2 car la fonction est croissante sur R 1 1 alors a 2 > b 2 car la fonction 1 est décroissante sur ] 0 ; + [ 2 2 alors a 2 > b 2 car la fonction 2 est croissante sur R. onclusion : si 0 a < b alors f(a) > f(b) donc f est décroissante sur [ 0 ; + [ par smétrie autour de on peut dire que f est croissante sur ] ; 0 [ 3 émontrer que : pour tout réel, 0 < f() < 2 2 n déduire la position de la courbe par rapport à la courbe ' d'équation = 2 2. pour tout réel, 2 0 donc > 0 our tout réel donc donc n a donc bien, pour tout réel, 0 < f() 2 2 donc f est au dessus de l'ae des abscisses et au dessous de la 0,4 3 représentation graphique de ompléter la courbe et représenter la courbes ' dans le même repère

7 om S

8 S K a c ' '