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1 calcul intégral Table des matières intégrale d une fonction. activité à retenir eercices évaluations

2 intégrale d une fonction. activité activité : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deu courbes et primitives. soit la fonction f définie sur R par f() = a. calculer l aire du rectangle hachuré b. donner une primitive F de f c. calculer f()d = F() F( ) comparer les deu résultats d. un artisan fabrique objets par heure. quel nombre d objets aura t-il fabriqué sachant qu il a déja travaillé h et qu il va encore travailler h? e. en déduire la valeur moyenne m de f sur [ ;] sachant que m = 5 f()d ( ). soit f définie sur R par f() = + a. calculer l aire du trapèze hachuré (rappel : Aire = b+b h ) b. donner une primitive F de f c. calculer f()d = F() F( ) comparer les deu résultats d. en déduire la valeur moyenne m de f sur [ ;] sachant que m = 5 ( ) f()d. soit f définie sur R par f() = + a. encadrer l aire parabolique hachurée par deu entiers. b. donner une primitive F de f c. calculer 6 f()d = F(6) F() comparer les deu résultats d. en déduire la valeur moyenne m de f sur [;6] 5. soit f définie sur R par f() = + soit g définie sur R par g() = + C g a. encadrer l aire hachurée par deu entiers. b. donner F et G des primitives respectives de f et g c. calculer f()d comparer les résultats du a. et du c. g()d comme ci dessus. 5

3 corrigé activité : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deu courbes et primitives. soit la fonction f définie sur R par f() = a. aire du rectangle hachuré : Aire = longueur largeur = 7 = 8 U.A. b. une primitive F de f F() = c. f()d = F() F( ) = ( ) f()d = +6 = 8 f()d = aire du rectangle 5 d. il aura fabriqué 8 objets. e. valeur moyenne m de f sur [ ;] : m = ( ) f()d = 7 8 =. soit f définie sur R par f() = + a. aire du trapèze hachuré : aire = aire du rectangle + aire du triangle aire = = 6+9 = 5 U.A. 5 b. une primitive F de f F() = + = + c. f()d = F() F( ) = ( + ) ( ( ) + ( )) f()d = F() F( ) = ( ) = 5 f()d = aire du trapèze d. valeur moyenne m de f sur [ ;] : m = ( ) f()d = 6 5 = 5 =,5

4 . soit f définie sur R par f() = + a. 7 aire parabolique hachurée 8 b. une primitive F de f F() = + = c. f()d = F(6) F() 5 6 f()d = ( ) ( 6 + ) = 8 = 8 U.A. 6 f()d = aire parabolique hachurée d. valeur moyenne m de f sur [;6] : m = 6 6 f()d = 6 8 =. soit f définie sur R par f() = + soit g définie sur R par g() = + C g a. aire hachurée b. F et G des primitives respectives de f et g F() = et G() = + c. f()d g()d f()d g()d = F() F() ((G() G()) f()d g()d = F() F() ((G() G()) F() = 6 + = + = F() = 6 + = G() = + = G() = + = f()d g()d = ( 9 ) =,5 ce résultat est cohérent avec celui du a.

5 activité : Terminales ES - Sujet Callédonie 5 On considère la fonction f définie sur l intervalle [ ; 6] par : f() = +6 La courbe ( ) ci-dessous est représentative de f dans un repère orthonormal du plan d origine O. La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe ( ), l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation = (a) Calculer, en unités d aire, l aire S de la partie hachurée. En déduire l aire en cm sachant que unité a pour mesure cm en abscisses et,75cm en ordonnées (b) Calculer la valeur moyenne de f sur [ ; 6] et la représenter sur le graphique. (c) On considère un point M appartenant à la courbe ( ) d abscisse avec [ ; 6]. La parallè le à l ae des ordonnées passant par M coupe l ae des abscisses en un point H. La parallè le à l ae des abscisses passant par M coupe l ae des ordonnées en un point K. On appelle R() l aire, en unités d aire, du rectangle OHMK. Prouver que, pour tout appartenant à l intervalle [ ; 6], R() =, (d) On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de de l intervalle [ ; 6] telles que l aire R() du rectangle OHMK soit égale à l aire hachurée S. i. Montrer que le problème précédent revient à résoudre l équation g() = où g est la fonction définie sur l intervalle [ ; 6] par : g() =, ii. Étudier les variations de g sur l intervalle [ ; 6] et dresser le tableau de variation de g. En déduire que l équation g() = admet sur l intervalle [ ; 6] une solution unique α. Donner une valeur approchée de α au centième et placer alors le point M sur le graphique

6 corrigé activité : Terminales ES - Sujet Callédonie 5 : e page 99 (a) en unités d aire, l aire S de la partie hachurée est S = 6 6 f()d S = ( +6)d = [F()] 6 = [,5,5 +6] 6 S = F(6) F() = (,5 6, ) = 6 unités d aires or une unité d aire vaut,75 =,5cm ce qui donne en pour S : 6,5 = 5cm (b) la valeur moyenne de f sur [ ; 6] est : m = 6 6 f()d = 6 6 = 6 (c) R() l aire, en unités d aire, du rectangle OHMK = longueur largeur = f() =,75 +6 (d) i. aire R() du rectangle OHM K =aire hachurée S,75 +6 = 6, = g() = ii. variations de g sur l intervalle [ ; 6] et tableau de variation de g. Calcul de g () : g () =,5 6+6 Annulation et signe de g () : g () est un polynôme de degré de la forme a +b+c, on utilise la règle du signe de a +b+c. et pour g () = on utilise le discriminant : = 8 < donc aucune annulation et on a le tableau de signes suivant. variations de g : 6 g () + 6 g () + 5 g() ր -6 g() = 6 g() = 6 et 6 < g(6) = 5 et 5 > g est continue sur [;6] en tant que fonction polynômiale de degré g est strictement croissante sur [; 6] d après le théorème des valeurs intermédiaires l équation g() = possède alors une solution unique α dans [;6] La calculatrice permet de voir que,55 < α <,56 car : { f(,55),6 < f(,56),9 > donc α =,55 ou,56 à près. conclusion : pour que le rectangle ait la même aire que la surface hachurée, il faut que = α,55

7 . à retenir Définition : (de l intégrale) Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; F une primitive de f ; a et b deu réels de I. b b L intégrale de a à b de f est le nombre noté : f()d avec f()d = F(b) F(a) a a Remarques : () on lit aussi :"intégrale de a à b de f de d" () on note aussi : F(b) F(a) = [F()] b a () le choi de la primitive de f n a pas d effet sur la valeur de l intégrale. Propriétés : f et g sont deu fonctions continues sur un intervalle I, a et b sont deu réels de I, α R a (P) : (bornes identiques) : f()d = a a b (P) : (inversion des bornes ) : f()d = f()d b a b c c (P) : (relation de Chasles ) : f()d+ f()d = f()d a b a b b b b b (P) : (linéarité) : αf()d = α f()d (f()+g())d = f()d+ g()d a a a a a b (P5) : (intégrale et positivité) : si f sur I alors f()d a b b (P6) : (intégrale et ordre) : si f g sur I alors f()d g()d a a Théorème : (de l aire "sous" la courbe d une fonction positive ) la courbe C f de f b l ae des abscisses f()d = Aire entre a la droite verticale d équation = a la droite verticale d équation = b où f est positive et continue sur I avec a < b deu réels de I U.A. remarque : l aire trouvée est eprimée en unités d aires (U.A.) a O b Définition : (valeur moyenne d une fonction) la valeur moyenne de f sur [ a ; b ] est le nombre m tel que : m = b f()d b a a Remarque : C est la hauteur m du rectangle de largeur b a qui une aire égale à à l intégrale. a O b

8 . eercices eercice :. calculer A =. démontrer la remarque () d en utilisant deu primitives distinctes et comparer les résultats eercice :. démontrer la propriété (P). déterminer A = d+ d sans aucun calculs eercice :. démontrer la propriété (P). on sait que A = f()d = que vaut alors B = f()d? eercice :. démontrer la propriété (P). on sait que A = f()d = et que B = 5 f()d = 8 que vaut alors C = 5 f()d? eercice 5 :. démontrer la propriété (P). on sait que a. que vaut alors b. que vaut alors c. que vaut alors f()d = et que 5f()d? (f()+g())d? (5f() g())d? g()d = 8 eercice 6 :. on sait que f() < sur [ ; 5 ] démontrer que 5 f()d <. on sait que < g() < sur [ ; ] en déduire un encadrement de g()d eercice 7 :. calculer l aire sous la courbe de la fonction cube entre - et et faire une figure. calculer l aire sous la courbe de la fonction carrée entre - et et faire une figure eercice 8 :. calculer la valeur moyenne la fonction cube entre - et et faire une figure. calculer la valeur moyenne de la fonction carrée entre - et et faire une figure

9 eercice : (6 page 9) soit la courbe de la fonction f avec f() = +5 pour a. calculer ( +5 )d b. interpréter le résultat en termes d aire c. calculer la valeur moyenne de f pour compris entre et

10 corrigé eercice : (6 page 9) soit la courbe de la fonction f avec f() = +5 pour a. ( +5 )d ( +5 )d = [ +5 ln] = ( +5 ln) ( +5 ln) = 5 ln b. interprétation du résultat en termes d aire : l aire du domaine compris entre la courbe de f et l ae des abscisses pour compris entre et vaut unités d aires c. valeur moyenne de f pour compris entre et m = ( +5 )d = (5 ln) = 5 ln

11 eercice : (57page 9 a.b.c.e. et 58 page 9 a.) calculer les intégrales suivantes et en déduire les valeurs moyennes associées a. ( )d b. (t t )dt c. q dq d. ( )d e. + d

12 corrigé eercice : (57page 9 a.b.c.e. et 58 page 9 a.) calculer les intégrales suivantes et en déduire les valeurs moyennes associées a. ( )d ( )d = [ ] = ( ) ( valeur moyenne de f sur [ ; ] : m = ) = 9 = 5 ( )d = 5 = 5 b. (t t )dt (t t )dt = [t t ] = [t + t ] = ( valeur moyenne de f sur [ ; ] : m = + ) ( + ) = (t t )dt = c. q dq q dq = [q ] = ( ) ( ) = 6 valeur moyenne de f sur [ ; ] : m = ( ) q dq = ( 6) = 8 d. e. ( )d ( )d = [ ] = ( ) (( ) ( )) = + = valeur moyenne de f sur [ ; ] : m = ( )d = ( ) ( ) = + d + d = [ln(+)] = ln(+) (ln( +)) = ln ln = ln valeur moyenne de f sur [ ; ] : m = + d = ( ) ln = ln

13 eercice : (6 page 9) f est définie sur ] ;+ [ par f() =. calculer f()d (+) interpréter graphiquement le résultat (définir la surface par un système d inéquations). calculer f()d cette intégrale est-elle une aire?. calculer la valeur moyenne de f entre et U.A.

14 corrigé eercice : (6 page 9) f est définie sur ] ;+ [ par f() =. f()d (+) U.A. f()d = [ + ] f()d = [ + + ] f()d = ( + + ) ( + + ) f()d = 8+ 5 f()d = = 8 5 5,5 interprétation graphique du résultat : l aire du domaine définit par le système d inéquation : y f() vaut environs 5,5 unités d aires.. f()d f()d = [ + + ] f()d = ( + + ) ( + + ) f()d = 8+ 5 f()d = = 5 cette intégrale n est pas une aire car la fonction change de signe entre et. valeur moyenne de f entre et m = f()d = 5 = 5

15 eercice : (9 bis page 96) f est définie sur ] ; [ par f() = (ln ) a. calculer la dérivée de la fonction g définie sur ] ; [ par g() = (ln ) b. en déduire une primitive de f sur ] ; [ c. en déduire la valeur moyenne de f sur ] ; [ d. étudier les variations de f sur ] ; [

16 corrigé eercice : (9 bis page 96) f est définie sur ] ; [ par f() = (ln ) a. dérivée de la fonction g définie sur ] ; [ par g() = (ln ) g = u = g = u u avec u = ln = u = g () = (ln ) = (ln ) b. une primitive de f sur ] ; [ g () = (ln ) g () = (ln ) g est une primitive de f = f() F() = g() = (ln ) est une primitive de f sur ] ; [ c. valeur moyenne de f sur ] ; [ f()d = [(ln ) ] f()d = (ln ) (ln ) f()d,9 m = f()d m 8,9 m,8 d. étude des variations de f sur ] ; [ dérivée : f = u v = f = u v uv v u = (ln ) = u = (ln ) avec v = = v = ( ) ( ) : (u ) = uu ( (ln ) f () = ) ((ln ) ) f () = 6(ln ) (ln ) = (ln )( (ln ) = (ln )( ln)

17 annulation et signe de la dérivée et variations de f sur ] ; [ : f () = (ln )( ln) il reste à étudier les signes de (ln ) et ( ln) : est du signe de (ln )( ln) car et sont positifs ln ln e e avec e,78 ln ln ln e avec e, (hors tableau car ] ; [) e ln - + ln + + f () - +, 5,9 f() ց ր f(e) = (lne ) e =

18 eercice : (9 p96) f() = ++5 g() =. soient les aires hachurées suivantes a. calculer l aire correspondant à f b. calculer la valeur moyenne de f sur [ ; ] c. calculer f()d en déduire f()d a. calculer l aire correspondant au système : y b. calculer la valeur moyenne de : sur [ ; 8 ] C g

19 corrigé eercice : (9p96) f() = ++5 g() =. soient les aires hachurées suivantes C g a. aire correspondant à f : f() = ++5 F() = + +5 S = f()d = [F()] = [ + +5] = F() F() S = ( + +5 ) = 8 = U.A. 66,7 b. valeur moyenne de f sur [ ; ] : f()d = = 6,7 c. f()d = F() F() = ( + +5 ) = 68 = 9 U.A.,7 8 on en déduit par symétrie de la courbe que f()d = 9 = 8 U.A. 8. a. aire correspondant au système : y g() = G() = S = 8 g()d = [G()] 8 = [ ]8 = G(8) G() S = ( 8 ) ( ) = = U.A. b. valeur moyenne de : sur [ ; 8 ] : m = 8 g()d = 8 6 =

20 eercice : (9 page 96) la capacité pulmonaire d un humain eprimée en litres dépend de son âge on peut la modéliser par la fonction f telle que : f() = (ln ) pour [ ; 9 ]. étudier les variations de f sur [ ; 9 ]. a. tracer la courbe de f avec cm pour ans et cm pour litre. b. déterminer graphiquement l intervalle d âges durant lequel la capacité reste supérieure à,5 L. a. calculer la dérivée de g avec g() = (ln ) et en déduire une primitive de f b. en déduire la valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre et 7 ans à, L par défaut

21 corrigé eercice : (9 page 96) la capacité pulmonaire d un humain eprimée en litres dépend de son âge on peut la modéliser par la fonction f telle que : f() = (ln ) pour [ ; 9 ]. variations de f sur [ ; 9 ] dérivée : f() = (ln ) f () = = ln ( ) (ln ) = annulation et signe de f (), varations de f : ln f () est du signe du numérateur car un carré est positif f () = ln = ln = = e f () < ln < ln > > e f () > ln > ln < < e d où : e 9 f () + - 5,5 f() ր ց,, f() = (ln ),. a. courbe de f avec cm pour ans et cm pour litre f() b. graphiquement : f() >,5 ] ; [. a. g() = (ln ) = u g () = (ln ) = uu g () = (ln ) F() = 55 (ln ) est une primitive de f car F () = 55 (ln ) = f() b. valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre et 7 ans à, L par défaut. 5 m = 7 7 f()d m = (F() F(7)) 5 m,5 L

22 eercice : (calcul de surplus) soit la quantité (en milliers) d un certain article disponible sur le marché. le pri unitaire (en euros) de la demande (des consommateurs) est donné par f() = 9+75 le pri unitaire (en euros) de l offre (des producteurs) est donné par g() = +6+9 Définition : le pri d équilibre du marché p e, est le pri associé à la quantité q e pour laquelle le pri de la demande est égale au pri de l offre. Définition : le surplus des consommateurs est égal à : S c = qe (f() p e )d (correspond à l économie réalisée par les consommateurs qui étaient près à payer plus cher jusqu àu pri d équilibre) Définition : le surplus des producteurs est égal à : S p = qe (p e g())d (correspond à l économie réalisée par les consommateurs qui étaient près à vendre moins cher jusqu àu pri d équilibre) 7 C g déterminer graphiquement le pri d équilibre ainsi que la quantité à l équilibre grâce à une des définitions et vérifier par calcul.. a. calculer grâce à une des définitions, le surplus des consommateurs à, mililers d euros près et interpréter le résultat b. écrire S c sous la forme d une différence entre deu intégrales et en déduire une interprétation graphique de S c en termes d aire (colorier la surface associée).. a. calculer grâce à une des définitions, le surplus des producteurs à, mililers d euros près. b. écrire S p sous la forme d une différence entre deu intégrales et en déduire une interprétation graphique de S p en terme d aire (colorier la surface associée) eercice : (aire de la surface entre deu courbes). estimer graphiquement un encadrement de l aire de la surface hachurée I par deu entiers f() =. sachant que : + 5 g() = déterminer la valeur eacte de I (considérer deu surfaces) C g

23 eercice : (Courbe de Lorentz et Indice de Gini) (bac ) est la proportion cumulée de la population du pays ( entre = % et = %). la proportion cumulée des richesses d un pays F est donnée en fonction de par f() =,9 +, de courbe ci dessous. (par eemple : dans ce pays, % de la population détient % de la richesse) la proportion cumulée des richesses d un pays G est donnée en fonction de par g() =,9 6 +, de courbe C g la droite D d équation y = représente la distribution parfaitement égalitaire (pour tout t avec t on a : t% de la population détient t% de la richesse) Définition : L indice de Gini associé à une courbe de Lorentz est le nombre I = ( f())d si I = on dit qu il y a absence d inégalité Définition : plus I est proche de et plus l inégalité est grande si I = on dit qu il y a inégalité etrème y.9 D C g. Quelle proportion des richesses du pays G est détenue par 8% de la population? (graphiquement). a. Lequel des deu pays semble le plus inégalitaire? b. Vérifier que l indice de Gini vaut dans le cas d un pays parfaitement égalitaire. c. i. Calculer l indice de Gini du pays F à, près. ii. Ecrire I sous la forme du produit par d une différence entre deu intégrales et en déduire une interprétation graphique de I en termes d aire (colorier la surface associée). d. Calculer l indice de Gini du pays G à, près. e. Comparer les deu pays. Représenter ci dessus une courbe de pays etrèmement inégalitaire.

24 corrigé eercice : (Courbe de Lorentz et Indice de Gini) (bac ) est la proportion cumulée de la population du pays ( entre = % et = %). la proportion cumulée des richesses d un pays F est donnée en fonction de par f() =,9 +, de courbe ci dessous. (par eemple : dans ce pays, % de la population détient % de la richesse) la proportion cumulée des richesses d un pays G est donnée en fonction de par g() =,9 6 +, de courbe C g la droite D d équation y = représente la distribution parfaitement égalitaire (pour tout t avec t on a : t% de la population détient t% de la richesse) Définition : L indice de Gini associé à une courbe de Lorentz est le nombre I = ( f())d si I = on dit qu il y a absence d inégalité Définition : plus I est proche de et plus l inégalité est grande si I = on dit qu il y a inégalité etrème y.9 D C g C h % des richesses du pays G est détenue par 8% de la population (graphiquement). a. le pays { G semble le plus inégalitaire : car : % des richesses du pays G est détenue par 8% de la population 55% des richesses du pays F est détenue par 8% de la population b. Indice de Gini dans le cas d un pays parfaitement égalitaire. I = I = ( h())d avec h() = ( )d = d = [k] = k k =

25 c. i. Indice de Gini du pays F à, près. I = I = I = ( f())d ( (,9 +,))d (,9 +,9)d I = [,9 +,9 ] = ((,9 +,9 ) ()) =,5 ii. Ecrire I sous la forme du produit par d une différence entre deu intégrales et en déduire une interprétation graphique de I en termes d aire (colorier la surface associée). I = ( f())d = ( d f()d) I = (aire du triangle - aire sous la courbe de f) I = (aire entre la droite D et la courbe de f) d. Calculer l indice de Gini du pays G à, près. I = I = I = ( g())d ( (,9 6 +, ))d (,9 6, +)d I = [,9 7 7, + ] = ((,9 7 7 e. Comparer les deu pays Selon l indice de Gini : le pays G est beaucoup plus inégalitaire que le pays F car,68 >,5, + ) () =,68. Représenter ci dessus une courbe de pays etrèmement inégalitaire. voir C h

26 . évaluations evaluation calcul intégral nom, prénom :... eercice : (compléter les résultats de cours). b a f()d =... où... est une... de f. pour une fonction f positive sur [a;b] : b a f()d = aire de la surface comprise entre : (faire un dessin). la valeur moyenne m de f entre a et b est : m =... eercice :. calculer les intégrales suivantes a. 6 ( + )d b. ( t t )dt c. q dq. calculer la valeur moyenne de f entrer et 6 pour f() = + (utiliser le résultat du.a.)

27 eercice :. estimer graphiquement la valeur de I = à une unité d aire près : I... 5 f()d. on sait que f() = pour > a. montrer que F telle que F() = +6ln(+) est une primitive de f pour > b. en déduire la valeur eacte de I écrite sous la forme 5 n+lnp où n et p sont deu entiers puis donner une valeur approchée de I à, près. c. en déduire la valeur moyenne de f sur [ ; 5] à, près et représenter cette valeur sur le graphique

28 corrigé evaluation calcul intégral nom, prénom :... eercice : (compléter les résultats de cours). b a f()d = F(b) F(a) où F est une primitive de f. pour une fonction f positive sur [a;b] : b la courbe de F f()d = aire de la surface comprise entre : l ae des abscisses a pour compris entre a et b a b. la valeur moyenne m de f entre a et b est : m = b f()d b a a eercice :. calculer les intégrales suivantes a. 6 6 ( + )d ( + )d = [ + ]6 = ( ) () = 66 b. ( t t )dt ( t t)dt = [lnt t ] = [lnt+ t ] = (ln+ ) (ln+ ) = ln c. q dq q dq = [ q ] == [ q ] = ( ) ( ( ) ) = 8. calculer la valeur moyenne de f entrer et 6 pour f() = + m = 6 6 ( + )d = 6 66 =

29 eercice :. estimer graphiquement la valeur de I = à une unité d aire près : I 5 f()d. on sait que f() = pour > a. montrer que F telle que F() = +6ln(+) est une primitive de f pour > : F() = +6ln(+) F () = +6 + = + 6 = f() C.Q.F.D b. en déduire la valeur eacte de I écrite sous la forme n+lnp où n et p sont deu entiers puis donner une valeur approchée de I à, près. I = F(5) F() = ( 5+6ln(5+)) ( +6ln(+)) I = +6ln(6) 6ln()) I = 6+ln(6 6 ) ln( 6 ) I = 6+ln( 66 6) I = 6+ln(( 6 )6 ) I = 6+ln(() 6 ) I = 6+ln(79) I,6 c. en déduire la valeur moyenne de f sur [ ; 5] à, près et représenter cette valeur sur le graphique. m = 5 f()d = 5 (6+ln(79)) 5,7

30 corrigé devoir maison eercice : (p87) a. g 7 () = = coefficient directeur de la tangente (AD) avec A(;) et D(;7) g ( ) () = = coefficient directeur de la tangente (BE) avec B(; ) et E(; ) g ( ) () = = coefficient directeur de la tangente (CF) avec C(; ) et D(; ) b. F est une primitive de f donc F = f f donc F est négative puis positive donc F est décroissante puis croissante f( ) = F seule C convient ( ),75 (le coefficient directeur de la tangente à C en = est,75, ce qui n est pas le cas pour C ) On peut tracer une infinité de courbes représentant une autre primitive de f car f admet une infinité de primitives eercice : (7p). f() = ++ln(+) sur [ ; 6 ] f () = + + = (+) (+)+ = (+) (+) f () = = et (+) { ; } en utilisant le discriminant (+) + + d où le tableau de variations : f () - + f() ց ր,. le coût marginal est minimal quand f est minimale, c est à dire pour = millier d objets (d après les variations de f). F() = (+)ln(+) a. F () = ln(+)+(+) = ln(+) + donc F est une primitive de ln(+) b. le coût total de production C T est une primitive du coût marginal f donc C T () = ++(+)ln(+) +k soit : C T () = ++(+)ln(+)+k de plus C T () = car les coûts fies sont de milliers d euros donc : C T () = + +(+)ln(+)+k = soit k = conclusion : C T () = ++(+)ln(+)+

31 evaluation nom, prénom :... eercice : (aire de la surface entre deu courbes). estimer graphiquement un encadrement de l aire de la surface hachurée I par deu entiers où I est en unités d aires :... I... f() =. sachant que : + 5 g() = a. calculer la valeur eacte de b. calculer la valeur eacte de 5 5 f()d g()d c. en déduire la valeur eacte de l aire hachurée I et vérifier la cohérence avec le résultat graphique C g

32 corrigé evaluation eercice : (aire de la surface entre deu courbes) 7. on estime graphiquement un encadrement de 6 l aire de la surface hachurée I par deu entiers 5 où I est en unités d aires : I 5 f() = + 5. sachant que : g() = 5 a. f()d = [ + 5 ]5 = [ ]5 5 f()d = ( ) ( ) 5 f()d = 5 7, C g b. 5 5 g()d = [ ]5 g()d = 5 5 f()d = c. valeur eacte de l aire hachurée I = 5 f()d 5 g()d = 5 ce qui est cohérent avec le résultat graphique de la question. 6 = 5,