Arbres généraux. Un arbre est général si les nombres d enfants est variable pour les noeuds.

Transcription

1 Arbres généraux

2 Arbres généraux Un arbre est général si les nombres d enfants est variable pour les noeuds

3 Implantation (tableau) Tables des parents R W A B X Y Z C D E F

4 Implantation (tableau) liste des enfants : La liste des nœuds est stockée dans un tableau. Chaque élément de ce tableau contient, la valeur du noeud, un pointeur vers son parent et un autre pointeur vers la liste de ses enfants de gauche vers la droite

5 Implantation (tableaux) enfant gauche frère droit

6 Implantation (Pointeur) Valeur

7 Implantation (Pointeur) Fils ainé, Frère suivant Valeur Fils ainé Frère Suivant

8 exemple

9 Exemple (suite)

10 B - Arbres

11 B-arbre Introduit par Bayer et McCreigth en 1970 B-arbre d ordre m: chaque nœud a : au plus 2m entrées au moins m entrées sauf la racine qui doit avoir au moins 1 entrée CHAQUE CHEMIN DE LA RACINE A UNE FEUILLE EST DE MEME LONGUEUR h Un noeud est soit: Une feuille un nœud interne avec k éléments et k+1 enfants (m k 2m) Soit X 1, X 2,..., X k des noeuds et P 0, P 1,..., P k leurs enfants, alors P 0 contient les éléments X 1 P 1 contient les éléments > X 1 et X 2 P k contient les éléments > X k

12 Exemple B-arbre d ordre 2 : Chaque noeud sauf la racine contient k clés avec 2 k 4 La racine contient k clés avec 1 k 4

13 Capacité Nombre de clés d un B-arbre d ordre m, et de hauteur h NbClesMin = 2*(m+1) h - 1 NbClesMax = (2*m+1) h+1-1 m = 100, h = 2 NbClesMax =

14 Recherche dans un B- arbre On cherche x dans un B-arbre d ordre m, à partir de la racine pour chaque noeud examiné Si x< k 1 on continue la recherche sur l enfant indiquée par p 0 Si X>m, on continue la recherche sur l enfant p m Si k i < x < k i+1, on continue la recherche sur l enfant p i

15 Insertion chercher le nœud où le nouvel élément doit être inséré { insérer l'élément dans son noeud si débordement partager le bloc en deux blocs à moitié pleins si (le noeud n'est pas la racine) insérer de la même manière la valeur médiane dans le noeud de niveau supérieur où elle servira de critère de séparation (cette insertion peut elle-même créer une séparation dans les noeuds supérieurs) sinon créer un nouveau noeud racine pour y mettre cette valeur médiane.

16 Exemple: insertion de 75

17 Exemple: insertion de 75

18 Suppression chercher le nœud s où se trouve l'élément à supprimer enlever l'élément du nœud si le nœud contient moins que m (l ordre de cet arbre) éléments si (nb. élt d'un nœud adjacent t + nb élt de s < m) fusionner s, t et l'élément du nœud supérieur e qui les séparait en un nœud u enlever e du nœud supérieur remplacer les deux références à s et t par une seule référence à u si (le nœud supérieur contient moins que m éléments) sinon appliquer récursivement le même traitement, sauf si c'est la racine effectuer une répartition égale des éléments entre s et un nœud adjacent t, mettre à jour l'élément séparateur dans le nœud supérieur.

19 Variantes des B-arbres B+ arbre : Dans un B+ arbres, les données sont enregistrées dans les feuilles. Les nœuds internes contiennent juste des clés qui sont utilisées pour diriger la recherche vers la feuille considérée. B* arbres : Similaires aux B- arbre, mais occupés au 2/3 Compact B-arbre : Similaire aux B-arbres, seulement les noeuds sont occupés à au moins 90%. Arbres 2-3 : Ce sont des B-arbres particuliers de degrés 1. Autrement dit, chaque nœud contient 1 à 2 clés et 2 ou 3 enfants Arbre 2-3-4

20 Utilisation des B-arbres (stockage de données) un nœud de l'arbre est alors un bloc sur le disque. A un moment donné mémoire. seule une page est ramenée en nécessite des buffers de taille très grande (ordre de 200). Deux façons de ranger les articles : dans les nœuds avec les clés, ( Fichier = B-arbre ) séparément, donc pointeur additionnel vers l'information. ( B-arbre = Index) Résultats : 2 à 3 accès disque pour retrouver des articles parmi des centaines de millions. Fichiers dynamiques ( Sans réorganisation ) Fichiers ordonnés

21 Arbres (2,4)

22 Arbres (2,4) Un arbre (2,4) est un arbre de recherche généralisé ayant les propriétés suivantes: Nombre d enfants: tout nœud interne a au plus 4 enfants Propriété de profondeur: tous les nœuds externes ont la même profondeur Donc, en fonction du nombre d enfants, un nœud interne d un arbre(2,4) est appelé un 2-nœud, un 3-nœud ou un 4-nœud

23 Hauteur d un arbre (2,4) La hauteur d un arbre (2,4) gardant en mémoire n éléments est en O(log n) Soit h, la hauteur d un arbre (2,4) gardant en mémoire n éléments La recherche dans un arbre (2,4) se fait donc en O(log n) Étant donné les propriétés des arbres (2,4), on a au moins 2 i éléments de profondeur i = 0,...,h 1 et aucun élément de profondeur h, on a donc n h 1 = 2 h 1 h log(n+1) La recherche dans un arbre (2,4) se fait par conséquent en O(log n)

24 Insertion dans un arbre (2,4) chercher le nœud où le nouvel élément doit être inséré La propriété de profondeur est préservée Insérer le nouvel élément dans le nœud peut causer un débordement (le nœud devient un 5-nœud )