CONVERSION DE PUISSANCE
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- Sylvain Marier
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1 Spé y Devoi n 6 CONVERSION DE PUISSANCE Patie I MOTEUR A COURANT CONTINU COMMANDE PAR UN HACHEUR On appelle (figue 1) le schéma équivalent du moteu à couant continu à excitation sépaée : u epésente la tension aux bones de l induit (oto), i l intensité du couant le tavesant. i I-1) Étude du moteu à couant continu e moteu étant soumis à un couple ésistant constant CR = 60 N.m, un essai R éalisé avec u = 120V a donné les ésultats suivants : u f.é.m. E = 100 V ; vitesse de otation Ω = 3200 tous.mn 1. e moment d inetie de la patie mobile entaînée pa le moteu vaut J = 1,5 kg.m 2 figue 1 et la elation ente la vitesse de otation du moteu et la vitesse v du véhicule est Ω = λv avec λ = 35 t.mn 1 /(km.h 1 ). a) Rappele les elations (expessions littéales puis numéiques) existant ente les gandeus électiques E et i et mécaniques Ω et C (C = couple moteu) ; pou les expessions numéiques, on pécisea les unités employées pou E, i, Ω et C. b) Détemine la valeu de R, ésistance de l induit. c) On considèe un fonctionnement à couple moteu C constant (C = 60 N.m) et on étudie la phase de «mise en vitesse» d un véhicule su une oute hoizontale. e moment du couple ésistant vaie alos suivant une loi du type C R = aω + b avec a = 0,01 N.m/(ad.s 1 ) et b = 5 N.m. Calcule le temps t 1 mis pa le véhicule pou passe de 0 à v = 50 km/h. I-2) Commande pa hacheu Pou alimente le moteu à couant continu à pati d une souce (batteies) délivant une tension continue K 1 i K1 i ik2 fixe E 0, on éalise le montage à deux inteupteus K 1 et R K 2 de la figue 2. Une bobine d inductance est placée en séie avec le moteu. a ésistance de la bobine est négligée. es inteupteus K 1 et K 2 sont supposés idéaux. E 0 K 2 V u a) Qu est-ce qu un «inteupteu idéal»? b) Quel est le ôle de la bobine d inductance dans ce montage? SOURCE figue 2 c) Pécise les états de fonctionnement autoisés pou les inteupteus K 1 et K 2 compte tenu de la natue de la souce et de la chage du hacheu (on justifiea en appelant les ègles d association des souces auxquelles il faut faie éféence). I-3) On considèe dans tout ce qui suit un fonctionnement en égime péiodique établi de péiode T. On considèea de plus que la ésistance R de l induit est négligeable et que la f.é.m. E est toujous positive. oscillogamme de la figue 3 founit un elevé de tensions effectué alos que la souce E 0 founit une puissance P = 3 kw. a voie 1 epésente la tension V. a voie 2 epésente la tension obtenue pa une sonde de couant : cette tension est popotionnelle à l intensité i du couant tavesant le moteu (sensibilité de la sonde : 1 volt pa ampèe). E MOTEUR CC E Spé y page 1/6 Devoi n 6
2 On s intéesse au fonctionnement su une péiode ente les instants 0 et T. On note αt l instant de commutation à pati duquel la tension V vaut 0 (V = 0 pou αt t < T). Base de temps : 10 µs pa caeau Voie 1 : mode DC 20 V pa caeau Voie 2 (ente les deux cuseus figuant en pointillés) : mode AC 0,1V pa caeau figue 3 0 CH2 0 CH1 a) Repésente le cicuit électique (compenant le moteu à couant continu) qui équivaut au montage de la figue 2 dans chaque phase de fonctionnement (0 t < αt d'une pat et αt t < T d'aute pat). b) Écie les équations d évolution i(t) de l intensité du couant en fonction du temps (on notea I MIN et I MAX les valeus minimale et maximale de i) : du temps. α) pou 0 t < αt ; β) pou αt t < T ; c) Repésente apidement, su des figues distinctes, les gaphes de i K1 et i K2 en fonction d) Déduie de l oscillogamme de la figue 3 et des conditions de éalisation de l essai coespondant (il ne s agit pas de l essai initial pou lequel E = 100 V mais de celui pésenté à la question I-3) : α) la valeu de E 0 ; β) la valeu de α coespondant à l'essai éalisé ; γ) la valeu de E coespondant à l'essai éalisé ; δ) la valeu de ; ε) la valeu moyenne <i K1 > du couant débité pa la souce E 0 ; φ) la valeu moyenne <i> du couant ciculant dans l induit. e) Dans le cas d un moteu à couant continu éel (si on pend en compte la ésistance R), pouquoi a-t-on intéêt, pou amélioe le endement, à limite l ondulation du couant dans l induit (c'est-à-die à limite les vaiations du couant autou de sa valeu moyenne)? Patie II PRINCIPE DU MOTEUR SYNCHRONE II-1) Entaînement du oto du moteu synchone a patie mobile du moteu synchone (oto) est constituée d un bobinage alimenté pa un couant continu et assimilable à un aimant de moment magnétique M, de module M 0 constant. On suppose que M est animé dans le plan Oxy d un mouvement de otation unifome autou de l axe Oz (pependiculaie à ce plan) à la vitesse angulaie ω. Spé y page 2/6 Devoi n 6
3 e mouvement s effectue dans une patie de l espace où ègne un champ magnétique B supposé unifome d amplitude B T qui, lui, toune dans le plan Oxy autou de l axe Oz à la vitesse angulaie ω 0 (ω 0 n étant pas a pioi égale à ω). On note u Z le vecteu unitaie de l axe Oz et θ 0 la valeu initiale de l angle ( M, B). a) Expime θ(t). En déduie la valeu instantanée du couple Γ( t) = Γ( t) uz execé pa le champ B su le oto. b) Pouquoi le moteu synchone ne peut-il fonctionne que pou une vitesse angulaie ω égale à ω 0? II-2) On se place dans le cas ω = ω 0. a) Expime la valeu Γ 0 de Γ(t). b) Quelle condition l angle θ = ( M, B) ente M et B en égime pemanent doit-il véifie pou que cette machine fonctionne effectivement en moteu? c) Quelle est, dans ce cas (fonctionnement en moteu), la puissance mécanique P MECA founie pa le moteu? d) On suppose que la machine, fonctionnant en moteu, entaîne une «chage» qui impose au moteu un couple ésistant de module constant Γ R (les autes couples ésistants étant négligés). Quelle condition doit véifie Γ R pou que le moteu puisse effectivement entaîne la chage? II-3) alimentation du moteu compote un tansfomateu. Des essais su un tansfomateu identique ont donné : Essai en CONTINU Essai à VIDE Essai en Cout Cicuit Au pimaie: U 1V = 230V I 2CC = 9,1 A U = 6,0V et I = 1,0A I lv = 0,11 A U lcc = 20 V U 2V = 25,3 V es tensions et intensités indiquées sont des valeus efficaces. En supposant le cicuit magnétique linéaie, le modèle équivalent du tansfomateu est le suivant. P lv = 6,9 W P lcc = 11 W u Z θ(t) θ 0 B (t) M (t) u 1 u 2 B (t = 0) M (t = 0) R 1 R 2 2 u 1 1 u 2 m a) Détemine numéiquement la ésistance R 1 et le appot de tansfomation m. b) Donne le modèle équivalent du tansfomateu vu du secondaie, en faisant appaaîte une ésistance R S et une inductance S. c) À l'aide des ésultats de l'essai à vide, détemine numéiquement : α) les petes pa effet joule à vide P JV ; β) les petes dans le fe P FV ; γ) le facteu de puissance à vide cos(ϕ V ). Commente. d) À l'aide des ésultats de l'essai en cout cicuit, détemine numéiquement: α) la ésistance R 2. Spé y page 3/6 Devoi n 6
4 β) inductance des enoulements amenée au secondaie S. Patie III ÉTUDE D UN MOTEUR PAS A PAS III-1) Une bobine b pacouue pa un couant i cée un champ magnétique B EXT, popotionnel au couant i: B EXT = K.i. u X. Un baeau de fe doux de volume V est en otation libe d angle θ autou de l axe Oz dans la égion où ègne le champ B EXT. e fe doux est un matéiau feomagnétique: ainsi dans le baeau ègne un champ magnétique B INT = B INTu, une excitation magnétique H = Hu et une aimantation Ma = Mau, où u est le vecteu unitaie de l axe du baeau. ( B INT, H et M a sont supposés unifomes dans le volume du baeau). a) Repésente l allue de M a en fonction de H. Quelles sont les unités de ces deux gandeus? b) e baeau est utilisé dans le domaine linéaie feomagnétique. Sa peméabilité magnétique elative µ est de l ode de Monte alos que B INT = µ 0 Ma. c) intense feomagnétisme du baeau canalise les lignes de champ paallèlement à son axe u. Dans ces conditions: B INT = ( B EXT. u ) u π ; 4 B INT = 0 π >. 4 expession du moment magnétique M du baeau s écit: M = A.i.cos(θ) u π ; 4 M = 0 π >. 4 Expime A en fonction de µ 0, V et K. d-α) Expime le couple execé pa le champ magnétique B EXT su le baeau. β) Détemine les positions d équilibe du baeau. Étudie leu stabilité. III-2) Réalisation d un moteu pas à pas unipolaie. Desciption du moteu: e oto est constitué de deux baeaux de fe doux othogonaux analogues à celui qui a été étudié au I). Sa otation autou de Oz est epéé pa l angle θ. es ésultats du I) estent valables pou chaque baeau. e stato est constitué de tois bobines b 1, b 2 et b 3 analogues à la bobine b du 1) dont les axes font ente eux des angles de 2 π. Chaque bobine est pacouue successivement pa un 3 couant continu i 0 gâce à un cicuit de commutation qui sea étudié au III). a) On définit l état 1 pa i 1 = i 0, i 2 = 0, i 3 = 0 que l on poua nomme (1,0,0). Détemine les positions d équilibe du oto dans cet état. On choisit de die qu une de ces positions coespond à θ = 0. b) On passe de l état 1 (θ = 0) à l état 2 (θ = θ 2 ) pa i 1 = 0, i 2 = i 0, i 3 = 0. C est l état (0, 1, 0). Détemine la nouvelle position θ 2 du oto dans cet état. Spé y page 4/6 Devoi n 6
5 c) En le epoduisant su la copie, compléte le tableau de commutation suivant pemettant de faie toune le oto d un demi-tou. On intoduia le nombe convenable de colonnes. θ 0 i i i d) Combien de positions difféentes le oto peut-il occupe ente 0 et 2π? e) À pati de θ = 0, on souhaite faie toune le oto de 60 dans le sens négatif. Défini, sous fome de tableau, la séquence de commutation à utilise. f) Ce moteu pas à pas peut ête utilisé pou entaîne indiectement l aiguille des secondes d une gande hologe de gae. On souhaite que l aiguille s aête su chaque seconde. α) Quel dispositif mécanique faut-il place su l axe du oto? β) Quelle doit ête la péiode de commutation T (intevalle de temps ente deux états successifs définis à la question 2))? γ) Détemine la valeu maximale C R,MAX du couple ésistant C R su l axe du oto (pa exemple le couple execé pa le poids de l aiguille) pou que l hologe ne saute pas de secondes. III-3) Commutation du moteu pas à pas. Données: es bobines b i sont identiques et équivalentes chacune à une ésistance = 10 Ω et une inductance = 100 mh en séie. R 1 = 400 Ω ; I 0 = 1,0 A (souce continue de couant) ; E = 24 V (souce continue de tension) es diodes D 0, D 1, D 2 et D 3 sont idéales. b 1 Schéma du montage T 1 C 1 i 1 g 1 D 1 R1 b 2 B T 2 i 2 A g 2 D 2 I 0 D 0 R1 b 3 + E T 3 i 3 g 3 D 3 R1 es tansistos T 1, T 2 et T 3 sont utilisés en commutation et commandés pa la gandeu g i : si g i = g 0 le tansisto T i est équivalent à un inteupteu idéal femé ; si g i = 0 le tansisto T i est équivalent à un inteupteu idéal ouvet. Spé y page 5/6 Devoi n 6
6 À pati de t = 0 où les tois couants i 1, i 2 et i 3 sont nuls, on déclenche la séquence de commutation suivante: On souhaite détemine le couant g i 1 (t) dans la bobine b 1 ente t = 0 et 3 t = 3T. e but est d obteni pendant la t commutation un couant dans la bobine commutée aussi poche que possible de I 0 sans povoque de sutensions destuctices. évolution de i 1 (t) se décompose g 2 en tois phases: t une phase d établissement de duée t 1 ; une phase stationnaie i 1 = I 0 ; g une phase d extinction de duée 1 t 2. t T 2 T 3T a) En déteminant les difféents états des diodes D 0 et D 1, détemine i 1 T: péiode de commutation. On suppose T tès supéieue à. (t). b) Expime t 1 et t 2 en fonction de,, R, E et I 0. (on utilisea exp( 5) 0). Effectue l application numéique. c) Tace su un même gaphique l allue de i 1 (t), V C1 et V B ente 0 et 3T (on dilatea les valeus de t 1 et t 2 pou qu elles appaaissent su l axe des temps). d) Quelle seait l évolution de i 1 (t) en l absence du généateu de couant (avec V B = 0)? En déduie l intéêt de ce généateu. e) Duant la phase de couant stationnaie, détemine les puissances founies pa chacun des deux généateus. Application numéique. f) Véifie que les tansistos fonctionnent en commutateu commandé pemie quadant. III-4) Fonctionnement du moteu à vitesse de otation constante. On souhaite faie toune le moteu en otation apide. On pousuit ainsi la séquence de commutation définie en III-2) en la épétant avec une péiode 3T et en diminuant la valeu de T. (T ne sea plus tès supéieue à ). Ainsi on peut considée que la vitesse de otation ω du moteu est unifome. a) e fonctionnement est possible si T n est pas inféieue à la somme t 1 + t 2. Justifie sommaiement cette condition. Expime la vitesse de otation maximale ω MAX du moteu. Calcule numéiquement ω MAX en tous.mn 1. b) Pa des amélioations de natue électonique, on diminue t 1 et t 2 jusqu à ende leu valeu négligeable devant T (ω sea nettement inféieue à ω MAX ). Il faut évidemment synchonise la féquence de commutation 1 et la vitesse de otation ω. En oute, il y a nécessité de déphase le mouvement T du oto et le signal de commutation. T α) sans déphasage: on suppose que θ = 0 si t = [modulo T]. 2 quel est l intevalle de vaiation de θ pendant la commutation d une bobine? monte que le couple moteu moyen C M est nul. β) avec déphasage: pa appot au α), de quelle duée faut-il décale le signal de commutation pou que C M soit maximum? Calcule C M en fonction de A, K et I 0. γ) En déduie la puissance moyenne motice. Spé y page 6/6 Devoi n 6
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