PHYS-H-200 Physique quantique et statistique Chapitre 10: Les molécules et les solides

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1 PHYS-H-2 Physique quantique et statistique Chapitre 1: Les molécules et les solides Jean-Marc Sparenberg / 13

2 1 Approximation de Born-Oppenheimer 2 États électroniques et liaison chimique Ion moléculaire H + 2 Molécules diatomiques Solides 3 Mouvement des noyaux Vibrations Rotations 2 / 13

3 Approximation de Born-Oppenheimer Séparation du mouvement des électrons et des noyaux Systèmes liés par l interaction coulombienne atome : un noyau (N) lourd et plusieurs électrons (e ) légers molécule : plusieurs noyaux et plusieurs électrons solide : très grand nombre de noyaux et d électrons Mêmes ordres de grandeur pour les N et les e : charges énergies potentielles énergies cinétiques T N T e Ordres de grandeur des masses différents v N 2TN m e me = 1 v e 2T e m N 4 m N mouvement des noyaux lent devant celui des électrons Approximation de Born-Oppenheimer : séparation des mouvements 1 noyaux immobiles (m N ) états électroniques (énergies E e ) potentiel moyen dû aux électrons 2 états quantiques (énergies E N ) des noyaux dans ce potentiel (mouvements de vibration au voisinage des minima et de rotation autour du centre de masse) Résultat : ordres de grandeur des énergies différents : E N E e 3 / 13

4 États électroniques et liaison chimique Ion moléculaire H Approximation de Born-Oppenheimer 2 États électroniques et liaison chimique Ion moléculaire H + 2 Molécules diatomiques Solides 3 Mouvement des noyaux Vibrations Rotations 4 / 13

5 États électroniques et liaison chimique Ion moléculaire H + 2 Ion moléculaire H + 2 (chargé) Un électron ( r e ), deux protons ( r A, r B ) ψ( r A, r B, r e ) ( ) H = 2 A 2 B 2 e + e2 1 2m p 2m p 2m e 4πɛ r A r B 1 r A r e 1 r B r e e r e r + 1 A 2R r 1 B r 2R r A r B O A 1 O 1 2R 2R B Approximation de Born-Oppenheimer : m p, R fixe ψ BO ( r) ( ) H BO = 2 e + e2 1 2m e 4πɛ r A r B 1 r A r e 1 r B r e ( ) = 2 e2 1 2m e 4πɛ r+ 1 2 R + 1 r 1 + e2 2 R 4πɛ R e 5 / 13

6 États électroniques et liaison chimique Ion moléculaire H + 2 Solutions approchées pour l électron But : solutions (dépendant de R) de H BO ψ BO ( r) = E BO ψ BO ( r) Si R atome d hydrogène fondamental (n = 1, l = m = ), énergie E 1 = 1 Ryd, dégénérée deux fois (2 sites possibles pour e ) ψ 1s ( r e r A ) ou ψ 1s ( r e r B ) avec ψ 1s ( r) = π 1/2 a 3/2 e r/a Protons identiques e a autant de chances de se trouver près de A que de B fonctions approchées (pas très précises si R petit) ( φ ± ( r) ψ 1sA ( r) ± ψ 1sB ( r) ψ 1s r + 1 2R ) ( ± ψ 1s r 1 2R ) Nombre quantique magnétique (autour de 1 R ) : Si r r, r 1 2R r + 1 2R φ+ paire (φ 1sσg gerade ), orbitale liante φ impaire (φ 1sσ u ungerade ), orbitale antiliante densités φ ± 2 paires m = (σ) ( ψ 1s r + 1 2R ) ( ψ 1s r 1 2R ) + + φ + ( r) + R R φ ( r) + R 6 / 13

7 États électroniques et liaison chimique Ion moléculaire H + 2 Énergie moyenne du système W ± (R) = φ ± ( r) H BO φ ± ( r) Approximation variationnelle basée sur φ ± (tirets) > calcul exact W ± (Ryd) R (a ) R : W ± 1 Ryd (dégénérée deux fois) W : monotone décroissante dissociation spontanée W + : minimum E inférieur à 1 Ryd (en R 2,5 a ) position d équilibre pour les protons liaison chimique Énergie de dissociation : D = [ 1 E ] Ryd,13 Ryd > Valeurs expérimentales : R 2, a, D,2 Ryd 2,7 ev 7 / 13

8 États électroniques et liaison chimique Molécules diatomiques Molécules diatomiques : H 2 (neutre), NaCl, HF... Deux électrons r 1, r 2 principe de Pauli État fondamental (cf atome He) : même partie d espace partie d espace symétrique Ψ( r 1, r 2 ) = Ψ( r 2, r 1 ) (sinon nulle!) partie de spin antisymétrique χ (spin total des électrons S = ) Approximations variationnelles des fonctions d onde électroniques orbitales moléculaires : orbitales liantes φ + de H + 2 Φ(1,2) = Ψ( r 1, r 2 ) χ = φ + ( r 1 )φ + ( r 2 ) χ développement en fonction des orbitales atomiques ψ 1sA ( r) et ψ 1sB ( r) : Ψ( r 1, r 2 ) [ ψ 1sA ( r 1 ) + ψ 1sB ( r 1 ) ] [ ψ 1sA ( r 2 ) + ψ 1sB ( r 2 ) ] = ψ 1sA ( r 1 )ψ 1sB ( r 2 ) + ψ 1sB ( r 1 )ψ 1sA ( r 2 ) + ψ } {{ } 1sA ( r 1 )ψ 1sA ( r 2 ) + ψ } {{ } 1sB ( r 1 )ψ 1sB ( r 2 ) } {{ } Ψ covalente Ψ ionique A meilleure approximation pour H 2 : Ψ covalente (liaison covalente) meilleure approximation pour NaCl : Ψ ionique Cl (liaison ionique) meilleure approximation pour HF : Ψ covalente + λψ ionique F (liaison covalente polaire) Ψ ionique B 8 / 13

9 États électroniques et liaison chimique Solides Bandes d énergies électroniques dans les solides Atomes séparés les uns des autres : niveaux électroniques discrets et dégénérés, électrons liés localisés Molécule : niveaux discrets mais levée dégénérescence, électrons liés un peu moins localisés Solide : potentiel périodique électrons totalement délocalisés et structure en bandes des niveaux : continus ou interdits Écart entre les bandes (gap) : dépend de la distance interatomique et des impuretés (dopage) [ 9 / 13

10 Mouvement des noyaux 1 Approximation de Born-Oppenheimer 2 États électroniques et liaison chimique Ion moléculaire H + 2 Molécules diatomiques Solides 3 Mouvement des noyaux Vibrations Rotations 1 / 13

11 Mouvement des noyaux Vibrations Vibrations des molécules diatomiques Approximation de Born-Oppenheimer : noyaux immobiles Équation de Schrödinger du mouvement de vibration des noyaux : [ 2 d 2 ] 2µ dr 2 + V vib(r) V vib (R ) u(r) = E vib u(r) µ : masse réduite ma m B /(m A + m B ), E vib : énergie de vibration potentiel de vibration : V vib (R) E BO (R) (électronique + répulsion) Exemple : spectre de vibration de la molécule H 2 V vib (Ryd) n v R (a ) / 13

12 Mouvement des noyaux Vibrations Approximation harmonique du potentiel de vibration Développement de Taylor autour du minimum R (V vib (R ) = ) : V vib (R) V vib (R ) V vib (R ) (R R ) 2 V vib (R ) µω2 (R R ) 2 Énergies à l approximation harmonique : E vib,nv ( n v + 1 2) ω Énergie de point zéro (n v = ) : E vib, 1 2 ω Ordre de grandeur : énergie / longueur 2 V vib (R ) = µω 2 Ryd a 2 = 2m e 2 Ryd 2 ω me µ Ryd Exemples : 1 2 ω =,1 Ryd pour H+ 2 et,17 Ryd pour H ω D (énergie de dissociation légèrement réduite) Même principe pour les molécules plus complexes et les solides (phonons = vibrations collectives du réseau cristallin) importance de l oscillateur harmonique (spectre équidistant) 12 / 13

13 Mouvement des noyaux Rotations Rotation des molécules (diatomiques) Molécule diatomique : déformation selon l axe des noyaux moment d inertie des masses m A et m B : I = µr 2 = m Am B m A +m B R 2 Règle de correspondance : hamiltonien de rotation : H rot = L 2 2I Énergies de rotation : E rot,l = 2 2I l(l + 1) E rot,l+1 E rot,l l + 1 Ordre de grandeur (R 2a ) : Hiérarchie des énergies : E r E v E v E e ( ) 1/2 me µ E r E v E e Sur chaque niveau de vibration, spectre de rotation Sur chaque niveau électronique, spectre de rotation-vibration 2 I l 2 4µa 2 n v = = m e 2µ Ryd l n v = 1 l n v = 2 13 / 13

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