Compression d image et vidéo : Introduction

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1 Compression d image et vidéo : Introduction Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 17 septembre 2012 M. Cagnazzo Introduction 1/86

2 Plan Principes fondamentaux Compression Critères 1 Principes fondamentaux Compression Critères d évaluation de un algorithme de compression 2 M. Cagnazzo Introduction 2/86

3 Compression Critères Acquisition des images et de la vidéo Représentation des images et de la vidéo en numérique Relation entre acquisition, représentation et perception Espaces de couleur Échantillonnage M. Cagnazzo Introduction 3/86

4 L oeil Principes fondamentaux Compression Critères Lumière transformée en impulsion nerveuse par les récepteurs (rétine) Cônes (6 7 millions, au centre de la rétine) : très sensibles aux couleurs, une bonne résolution, demandent beaucoup de lumière Bâtonnets ( millions) : sensibles à l intensité lumineuse, faible résolution, très sensibles à faible luminosité Nombre de récepteurs par mm Blind spot Cônes Bâtonnets Degrees M. Cagnazzo Introduction 4/86

5 Perception de la lumière Compression Critères Luminosité perçue : fonction logarithmique de l intensité Dynamique des valeurs d intensité : (100dB) Le système visuel ne peut pas opérer sur cette échelle simultanément Changements de la sensibilité globale, dynamique beaucoup plus limitée Luminosité perçue : ce n est pas une simple fonction de l intensité Intensité lumineuse Intensité perçue M. Cagnazzo Introduction 5/86

6 Compression Critères Sensibilité aux fréquences spatiales 0 % Constrast La sensibilité au contrast est l habilité à discerner différents niveaux de luminosité Maximum à environ 2-5 cycles par degré Pixels per cycle M. Cagnazzo Introduction 6/86

7 Perception de la couleur Compression Critères Spectre visible : nm Cônes sensibles à différents intervalles 65% sensible au rouge 33% sensible au vert 2% sensible au bleu (mais très sensibles) Sensation de la couleur : correspond au tristimulus Couleur obtenue comme combinaison des couleurs primaires Absorption 445 nm 535 nm 575 nm Wavelenght [nm] M. Cagnazzo Introduction 7/86

8 Compression Critères Représentation des images numériques Espaces de couleurs Espace RGB Espace HSV M. Cagnazzo Introduction 8/86

9 Compression Critères Représentation des images numériques Images en niveaux de gris Grille discrète, image N M pixels A chaque pixel (m, n), on associe un ordre de traitement k Généralement, balayage ligne par ligne unilatéral : k = (n 1)M + m On notera indifféremment f n,m ou f k m M n N f n,m = f k M. Cagnazzo Introduction 9/86

10 Compression Critères Représentation des images numériques Images couleurs : Format RVB Images en couleurs : trois composantes, chacune représentée comme une image en niveaux de gris. M. Cagnazzo Introduction 10/86

11 Compression Critères Représentation des images numériques Images couleurs : Format YUV Images en couleurs : une composante de luminance et deux de chrominance M. Cagnazzo Introduction 11/86

12 Compression Critères Échantillonnage de l espace de couleur Schémas d échantillonnage Le schéma est représenté comme un rapport entre trois termes : J : a : b J Taille horizontale du bloc d échantillonnage de référence, normalement 4 a Nombre d échantillons de chrominance dans la première ligne de J pixels b Nombre d échantillons de chrominance additionnels dans la deuxième ligne de J pixels M. Cagnazzo Introduction 12/86

13 Compression Critères Échantillonnage de l espace de couleur 4:1:1 4:2:0 4:2:2 4:4:4 YUV YUV YUV YUV = = = = Y Y Y Y UV 1 2 a=1 b=1 UV 1 2 a=2 b=0 UV a=2 b=2 UV a=4 b=4 1/4 horizontal resolution Full vertical resolution 1/2 horizontal resolution 1/2 vertical resolution 1/2 horizontal resolution Full vertical resolution Full horizontal resolution Full vertical resolution M. Cagnazzo Introduction 13/86

14 Principes fondamentaux Compression Critères Représentation des échantillons sur un ensemble discret uniforme : arrondi L = nombre de niveau b = log 2 L dynamique du quantificateur Normalement b = 8 par composante 256 niveaux de gris (8 bpp) 16M couleurs (24 bpp) High dynamics range : 32 à 64 bits par canal M. Cagnazzo Introduction 14/86

15 Résolution de la vidéo Échantillonnage spatial et temporel Compression Critères SECAM Hz PAL Hz NTSC Hz QCIF N/A CIF N/A 4CIF N/A SD/PAL Hz HD 720p/i /100 Hz HD 1080p/i /100 Hz 2K Hz 4K Hz UHD Hz M. Cagnazzo Introduction 15/86

16 Compression Critères Représentation de la vidéo numérique Séquence d images numériques On ajoute la dépendance du temps Trois composantes dans le cas de vidéo couleur Représentation RVB ou luminance/chrominance Sous-échantillonnage des composantes couleur I : (n, m, T, c) x {0, 1,...,2 b} M. Cagnazzo Introduction 16/86

17 Compression : Motivations Exemple 1 : Libraire de photos numériques Compression Critères Images numérique : au déla des 10 Megapixel Trois composantes couleur Un octet par composant Occupation mémoire : 30 Mo par photo Publication sur le Web? M. Cagnazzo Introduction 17/86

18 Compression : Motivations Exemple 2 : Télévision Compression Critères système analogique bande de fréquence : 6 MHz système numérique 1 composante de luminance composantes de chrominance quantification sur 8 bits 25 images par seconde R 125 Mbps bande de fréquence? 2 heures de film > 100 Go M. Cagnazzo Introduction 18/86

19 Compression Critères Fondements de la compression POURQUOI EST-IL POSSIBLE DE COMPRIMER? Redondance statistique des données homogénéité des images similitude entre images successives Redondance psychovisuel sensibilité aux baisses fréquences effets de masquage autres limites du système visuel humain Un algorithme de compression (ou codage) doit exploiter au maximum la redondance des données M. Cagnazzo Introduction 19/86

20 Compression Critères Types d algorithme de compression Algorithmes sans perte (lossless) Reconstruction parfaite Basés sur la redondance statistique Faible rapport de compression Algorithmes avec perte (lossy) Image reconstruite image originale Basés sur la quantification Redondance psychovisuel : visually lossless Rapport de compression élevé M. Cagnazzo Introduction 20/86

21 Compression Critères Types d algorithme de compression Algorithmes symétriques Même complexité au codeur et au décodeur Pas de compensation de mouvement Faible rapport de compression Temps réel Algorithmes asymétriques Codeur beaucoup plus complexe du décodeur Estimation/compensation du mouvement Rapport de compression élevé Usage off line, distribution sur supports de mémoire M. Cagnazzo Introduction 21/86

22 Débit Principes fondamentaux Compression Critères Rapport (taux) de compression T = B in B out Débit de codage = R in R out Image : R = Bout NM [bpp] Video, son : R = Bout T [bps] Codage d image sans perte : T 3 Codage d image avec perte : T 5? Codage vidéo avec perte : T 20? M. Cagnazzo Introduction 22/86

23 Qualité et distorsion Principes fondamentaux Compression Critères La qualité d une image numérique est établie en utilisant des critères Les critères objectifs sont fonctions mathématiques de : f n,m : image d origine ; et fn,m : image reconstruite après compression Critères objectifs non perceptuels Erreur quadratique moyenne (MSE) : D = 1 N M N M n=1 m=1 (f n,m f n,m ) 2 ( Rapport signal sur bruit crête : PSNR = 10 log 10 Critères objectifs perceptuels ) D On utilise des modèles de perception Le plus commune est le SSIM (Structural SIMilarity) index M. Cagnazzo Introduction 23/86

24 Qualité et distorsion Principes fondamentaux Compression Critères Les Critères subjectifs sont basés sur l évaluation de la qualité des image faite par des humaines Difficulté de créer un bon modèle du SVH Analyse statistique des résultats Évaluations longues, difficiles et coûteuses En conclusion, souvent on se limite à utiliser les critères objectifs non perceptuels : Simplicité Interprétation géométrique (norme euclidienne) Optimisation analytique Relation avec la qualité perçue? M. Cagnazzo Introduction 24/86

25 Perception des erreurs Erreur distribuée, bruit blanc σ = 4 Compression Critères MSE: 16 SSIM: M. Cagnazzo Introduction 25/86

26 Perception des erreurs Bruit concentré sur pixels Compression Critères MSE: 16 SSIM: M. Cagnazzo Introduction 26/86

27 Compression Critères Perception des erreurs Bruit concentré sur les contours (estimation par filtre de Sobel) MSE: 16 SSIM: M. Cagnazzo Introduction 27/86

28 Perception des erreurs Bruit sur les hautes fréquences spatiales Compression Critères MSE: 16 SSIM: M. Cagnazzo Introduction 28/86

29 Compression Critères Perception des erreurs Sous-échantillonnement dans l espace des couleurs MSE: SSIM: M. Cagnazzo Introduction 29/86

30 Effets spatiaux Principes fondamentaux Compression Critères Intensité lumineuse Intensité perçue M. Cagnazzo Introduction 30/86

31 Perception de la vidéo Compression Critères Sensibilité aux fréquences spatio-temporelles (ralenti) Masquage spatiale (comme dans les images) Masquage temporel Sensitiviy Scene Change M. Cagnazzo Introduction 31/86

32 Perception et qualité : bilan Compression Critères Modèles perceptuels nécessaires pour des bons performances de compression Système d audition relativement bien compris, et exploité dans les codeurs audio Système de perception visuel encore loin d être parfaitement compris Manque de mesures perceptuelles de qualité complètement fiables Tout de même, les meilleures performances de compression ne peuvent pas être atteintes si on tient pas en compte l aspect psychovisuel M. Cagnazzo Introduction 32/86

33 Compression Critères Complexité, retard et robustesse La complexité d un algorithme de codage peut être limitée par : contraintes liées à l application (temps réel) limités du matériel (hardware) coût économique Le retard est normalement mesuré au codeur Lié à la complexité Influencé par l ordre de codage Robustesse: sensibilité de l algorithme de compression/reconstruction à des petites altérations du code comprimé (erreurs de transmission) M. Cagnazzo Introduction 33/86

34 Compression Critères Critères de performance : Bilan Besoins contradictoire : Débit Qualité Complexité Robustesse Retard M. Cagnazzo Introduction 34/86

35 Plan Principes fondamentaux 1 Principes fondamentaux Compression Critères d évaluation de un algorithme de compression 2 M. Cagnazzo Introduction 35/86

36 Introduction La compression sans perte est basée sur les statistiques des données Mots de code courts pour les symboles probables Mots de code longs pour les symboles peu probables Définitions : Alphabet Code : X = {x 1, x 2,...,x N } ensemble des symboles à coder {0, 1,...,255} dans le cas de valeurs de luminance alphabet français dans le cas d un texte : application entre X et {0, 1}, l ensemble des chaînes de bits de longueur finie. Codes à longueur fixe Codes à longueur variable M. Cagnazzo Introduction 36/86

37 Choix du code Principes fondamentaux Code : C : x i X c i {0, 1} Codes à longueur fixe. Tout mot de code a la même longueur Si on a N = 256 symboles, il nous faut log N = 8 bits pour coder chaque symbole Dans le cas d un texte, N = 26, il nous faut log N = 5 bps (bit par symbole) Codes à longueur variable l i : longueur du mode de code c i On peut comprimer sans pertes si : Condition de décodabilité : condition du préfixe Les symboles ne sont pas équiprobables M. Cagnazzo Introduction 37/86

38 Information et entropie Le symbole x i a une probabilité p i d apparaître Longueur moyenne du code : L = p i l i L information associé à x i est I(x i ) = log p i I(x i ) 0 Si p i = 1, I = 0 Si deux symboles sont indépendants, I(x i, x j ) = I(x i )+I(x j ) Entropie de la source : information moyenne des symboles H(X) = i p i log p i Théorème de Shannon: le code optimale (c est-à-dire, minimum L) a L H(X) M. Cagnazzo Introduction 38/86

39 Codage entropique Principes fondamentaux Théorème de Shannon: Taux de codage code optimale Entropie de la source (1) du coup le nom Codage Entropique. La relation devient strictement une identité stricte si les probabilités sont dyadiques (puissances négatives de deux) La relation est pratiquement une identité pour un nombre important de symboles de l alphabet. Donc l entropie est une excellente approximation du taux de codage optimale. Dans la suite la (1) est considérée comme une identité. M. Cagnazzo Introduction 39/86

40 Exemple : Compression d un texte français Technique Code à longueur fixe Entropie de la source bps Taux de codage (L) 5 bps Rapport de compression 1 Chaque lettre est représentée sur 5 bits Aucune compression est obtenue M. Cagnazzo Introduction 40/86

41 Codage de Huffman Principes fondamentaux Huffman a découvert comment construire le code optimum pour n importe quelle source. Exemple : Symbole Probabilité A 0.4 B 0.2 C 0.15 D 0.15 E 0.05 F symboles, 3 bits par symboles sans codage. M. Cagnazzo Introduction 41/86

42 Codage de Huffman Principes fondamentaux A 40% A 40% B 20% B 20% C 15% C 15% D 15% D 15% 0 25% E 5% 0 E 5% % 10% F 5% 1 F 5% 1 M. Cagnazzo Introduction 42/86

43 Codage de Huffman Principes fondamentaux A 40% 0 B 20% 0 100% 35% C 15% % D 15% % E 5% % F 5% 1 M. Cagnazzo Introduction 43/86

44 Codage de Huffman Principes fondamentaux Code de Huffman Symbole Probabilité Code A B C D E F L = = 2.3 bits/symbole M. Cagnazzo Introduction 44/86

45 Exemple : Compression d un texte français Technique Huffman Entropie de la source bps Taux de codage (L) bps Rapport de compression Distribution des lettres dans un texte français 12 % Freq A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z M. Cagnazzo Introduction 45/86

46 Codage de Huffman Principes fondamentaux Comment améliorer les performances? Codage par blocs : 1 L entropie d un bloc de K symboles n est jamais supérieure à KH(X) 2 La distribution du bloc tend à être dyadique si K est grand Codage par contextes : l entropie d un symbole donnés ses K 1 voisins est largement inférieure à H(X) Les meilleures performances sont obtenues quand on code l entier message de K symboles comme un symbole d un alphabet de taille N K 1 K H(X K ) H(X) H(X) M. Cagnazzo Introduction 46/86

47 Exemple : Compression d un texte français K=1 Entropie des lettres bps bpl K=2 Entropie des digrams bps bpl K=3 Entropie des trigrams bps bpl A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Distribution des digrams dans un texte français bps : bits par symbole bpl : bits par lettre Les trigrams plus communs : ait ent les 1.59% 1.25% 0.94% lle des ant 0.78% 0.72% 0.70% que our ien 0.67% 0.63% 0.60% M. Cagnazzo Introduction 47/86

48 Limites du code de Huffman De l exemple précédent, on comprend qu on voudrait aller jusqu à la limite K =longueur du message. C est pratiquement impossible avec Huffman Difficile et coûteux de connaître les probabilités Complexité exponentielle du code avec la taille du bloc Le dictionnaire devrait comprendre tout les possibles messages de K symboles: Tous les possibles textes Toutes les possibles images... Le codage arithmétique résout le problème M. Cagnazzo Introduction 48/86

49 Codage arithmétique Le codage arithmétique permets de faire un codage par blocs ou par contextes avec complexité linéaire Idée : ne pas chercher le code pour n importe chaîne de n symboles, mais uniquement pour la chaîne à coder Le codeur arithmétique n est pas optimal, mais asymptotiquement optimal Faible complexité de codage/décodage (opérations arithmétiques, dont le nom) Le codage arithmétique est le plus commun, mais dans des systèmes très simples on peut trouver Huffman M. Cagnazzo Introduction 49/86

50 Codage arithmétique: exemple Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ADFCD A B C D E F M. Cagnazzo Introduction 50/86

51 Codage arithmétique: exemple Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ADFCD A B C D E F M. Cagnazzo Introduction 50/86

52 Codage arithmétique: exemple Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ADFCD A B C D E F M. Cagnazzo Introduction 50/86

53 Codage arithmétique: exemple Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ADFCD A B C D E F M. Cagnazzo Introduction 50/86

54 Codage arithmétique: exemple Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ADFCD A B C D E F M. Cagnazzo Introduction 50/86

55 Codage arithmétique: exemple Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ADFCD A B C D E F M. Cagnazzo Introduction 50/86

56 Codage par blocs Principes fondamentaux Pour chaque nouveau symbole, 2 multiplications et 2 addition Codage de la suite de symboles : centre de l interval sélectionné, avec précision inférieure à la demi-taille de l interval. Problème : estimation de P(X K ), en principe avec K =longueur totale du message Exemple précédent : Symboles supposés indépendants, P(X K ) = K i=1 p(x i) Apprentissage des statistiques au cours du codage (adaptivité) M. Cagnazzo Introduction 51/86

57 Codage avec dictionnaire Dictionnaire des suites de données communes construit au fur et à mesure Capable de s adapter à des signaux non-stationnaires Pas besoin d initialization (codage universel) À la base des algorithmes populaires de compression sans perte (zip, gzip, bzip, etc.) M. Cagnazzo Introduction 52/86

58 scalaire : Définition Q : x R y C = {ˆx 1,ˆx 2,...ˆx L } R ˆx 7 ˆx 6 ˆx 5 d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d5 d6 d7 d8 ˆx 4 ˆx 3 ˆx 2 ˆx 1 M. Cagnazzo Introduction 53/86

59 scalaire : Définition Q : x R y C = {ˆx 1,ˆx 2,...ˆx L } C : Dictionnaire R = log 2 L : Débit E = X Q(X) : Bruit de quantification D = E [ (X Q(X)) 2] = E [ E 2] : Distorsion Θ i = {x : Q(x) = ˆx i } : Régions. Évaluation de un quantificateur : courbe D(R) M. Cagnazzo Introduction 54/86

60 scalaire regulière Typiquement, 1) Θ i = (d i 1, d i ) 2) ˆx i Θ i d 0 d i 1 d i d L ˆx i Θ i M. Cagnazzo Introduction 55/86

61 uniforme Simple Minimise l erreur maximale Optimale pour v.a. uniforme Courbe D(R) pour une v.a. uniforme : D = σx 2 2 2R Courbe D(R) pour une v.a. non uniforme en haute résolution : D = K X σx 2 2 2R M. Cagnazzo Introduction 56/86

62 optimale Pour une densité de probabilité f X (x) donnée, déterminer le quantificateur qui minimise la distorsion pour un débit donné. Problème équivalent à déterminer les seuils d i et les niveaux ˆx i. Solutions : Solution analytique en haute résolution: D = h X σ 2 x2 2R Si l hypothèse de haute résolution est fausse, on peut atteindre un minimum local de la distorsion avec l algorithme de Max-Lloyd M. Cagnazzo Introduction 57/86

63 optimale Algorithme de Max-Lloyd Algorithme de Max-Lloyd 1 initialiser les régions (p.e. uniforme) 2 trouver les meilleures régions pour le dictionnaire donné d i = ˆx i + ˆx i+1, i {1,...,L 1} 2 3 trouver le meilleur dictionnaire pour les régions données Θ ˆx i = E[X X Θ i ] = i xf X (x)dx Θ i f X (x)dx 4 boucler en 2 jusqu à la convergence M. Cagnazzo Introduction 58/86

64 uniforme Exemple de quantification Image Originale, 24 bpp M. Cagnazzo Introduction 59/86

65 uniforme Exemple de codage Débit 21 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 60/86

66 uniforme Exemple de codage Débit 18 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 61/86

67 uniforme Exemple de codage Débit 15 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 62/86

68 uniforme Exemple de codage Débit 12 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 63/86

69 uniforme Exemple de codage Débit 9 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 64/86

70 uniforme Exemple de codage Débit 6 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 65/86

71 uniforme Exemple de codage Débit 3 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 66/86

72 Conclusion Principes fondamentaux : au centre de la compression avec perte Opération non réversible Centrale dans le compromis débit-distorsion Approximations à haute résolution: D 2 2R D σ 2 La seule quantification est insuffisante à assurer des bonnes performances de compression M. Cagnazzo Introduction 67/86

73 vectorielle (QV) Introduction La quantification est normalement utilisée sur séquences d échantillons Idée : quantifier conjointement plusieurs échantillons (un vecteur) L espace R N est donc partitionné en régions de décision À chaque région on fait correspondre un représentant (un vecteur) M. Cagnazzo Introduction 68/86

74 Exemple: signal corrélé Signal AR(2) M. Cagnazzo Introduction 69/86

75 vectorielle Introduction Généralisation de la QS à l espace R N La QS est un cas particulier de la QV Les régions de décisions sont délimité par des hyperplans orthogonaux aux axes Les représentants sont alignés parallèlement aux axes Gains potentiels de la QV Gain géométrique : forme arbitraire des régions de décision et position arbitraire des représentants Gain de corrélation : on exploite directement la corrélation du signal M. Cagnazzo Introduction 70/86

76 Propriétés de la VQ Principes fondamentaux La VQ permet des amélioration par rapport à la SQ : on peut exploiter la corrélation entre échantillons on supprime la contrainte de cellules hypercubiques on supprime la contrainte de débits entiers M. Cagnazzo Introduction 71/86

77 vectorielle Définition Définition de la quantification scalaire : Q : x R y C = {ˆx 1,ˆx 2,...ˆx L } R Définition de la quantification vectorielle : Q : x R K y C = { x 1, x 2,... x L } R K M. Cagnazzo Introduction 72/86

78 vectorielle VQ comme codage et décodage On peut la voir comme suite de deux opérations : Codage : Association entre x et l index i (la région Θ i ) Décodage : Association entre l index i (la région Θ i et le mot de code y = x i x E i D y {Θ i } C = { x i } i M. Cagnazzo Introduction 73/86

79 Quantificateur régulier Régions convexes x i Θ i M. Cagnazzo Introduction 74/86

80 Algorithme de Lloyd généralisé Problème : comment trouver la meilleur VQ pour une source donnée? Solution : Algorithme de Lloyd généralisé (ou BLG) Dictionnaire d initialization C 0 k = 1 Boucle sur k (condition d arrêt) Définir les cellules pour le dictionnaire C k 1 (nearest neighbor) Trouver le dictionnaire C k par rapport aux cellules (centroid condition) k k + 1 M. Cagnazzo Introduction 75/86

81 Limites et applications de la VQ VQ : la technique de compression ultime? Limite principale : complexité Codage : calculer min i x x i 2 images : corrélation entre pixels lointains, complexité trop importante Versions sous-optimales de la VQ : compromis entre complexité et performance La VQ est utilisée dans la compression audio M. Cagnazzo Introduction 76/86

82 scalaire Exemple de codage Débit 9 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 77/86

83 vectorielle Exemple de codage Débit 9.0 bpp PSNR TC M. Cagnazzo Introduction 78/86

84 scalaire Exemple de codage Débit 6 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 79/86

85 vectorielle Exemple de codage Débit 6.0 bpp PSNR TC M. Cagnazzo Introduction 80/86

86 vectorielle Exemple de codage Débit 4.5 bpp PSNR TC M. Cagnazzo Introduction 81/86

87 scalaire Exemple de codage Débit 3 bpp PSNR db TC M. Cagnazzo Introduction 82/86

88 vectorielle Exemple de codage Débit 3.0 bpp PSNR TC M. Cagnazzo Introduction 83/86

89 vectorielle Exemple de codage Débit 1.5 bpp PSNR TC M. Cagnazzo Introduction 84/86

90 Exemples de dictionnaires N = 4, L {4, 16, 64} M. Cagnazzo Introduction 85/86

91 : bilan scalaire Simple Modèles débit-distorsion Allocation des ressources Seule est peu efficace (transformée, prediction) vectorielle Complexe Théoriquement optimale Difficile à utiliser en pratique Difficile à utiliser conjointement à autres techniques M. Cagnazzo Introduction 86/86

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