Choix sous incertitude

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1 1/38 à l analyse microéconomique - Monitorat ENS ( ) Janvier 2015

2 2/38 Plan du cours

3 3/38 Dans les chapitres précédents, hypothèse implicite de situations certaines et d information parfaite Le consommateur connaît les caractéristiques des biens et services dans son ensemble de consommation et donc l utilité qu il peut en retirer Le producteur considère qu il va pouvoir vendre sa production et disposer des consommations intermédiaires et des facteurs de production nécessaires Dans la réalité : Incertitude sur la qualité et les caractéristiques des biens et services achetés Incertitude sur le rendement d un investissement, aléas sur la disponibilité de main d œuvre, sur les conditions météorologiques, sur le prix des matières premières, etc. Les agents économiques doivent généralement prendre leur décision dans un environnement incertain Dans un environnement incertain, tout choix s apparente à un pari

4 4/38 Objectifs du chapitre Étudier comment l incertitude est représentée de manière classique dans la théorie micro néoclassique Quelles hypothèses sous-tendent cette représentation? Ces hypothèses sont-elles cohérentes avec les comportements observés? Poser le cadre d étude de la demande d assurance Applications en économie de la santé, en économie financière, et dans bien d autres contextes

5 5/38 Plan du cours

6 6/38 La représentation de l incertitude La représentation la plus classique et la plus utilisée dans la théorie micro néoclassique d un environnement incertain est la loterie Agent confronté à une alternative ; Le résultat (outcome) associé à chaque branche de l alternative est supposé parfaitement connu L occurrence d une situation ou d une autre est incertaine au moment du choix, mais la probabilité d occurrence de chaque situation est parfaitement connue NB : différence posée entre risque et incertitude par F. Knight, Risk, uncertainty and profit, 1921 : Risque différentes branches de l alternative sont probabilisables // Incertitude : les probabilités d occurrence de chaque possibilité ne sont pas connues Théorie micro représente en fait habituellement des situations de risque... Mais on parle indifféremment de rik ou d uncertainty

7 7/38 Loteries Exemples : Achat d un ticket à gratter l 0,1 4 0,9-2 l 0, ,00001 Saut à l élastique «Kiff suprême» Je m écrase au sol Def : Une loterie (simple) est une liste L = (p 1,..., p n ) avec p n 0 n et p n = 1, p n étant la probabilité que le résultat n x n se réalise. Les résultats x n peuvent être des évènements qualitatifs, des gains ou des pertes monétaires, ou encore d autres loteries (on parle alors de loteries composées, qui peuvent se réduire à des loteries simples) Représentation L : p 1 x 1 p 2 x 2... p n x n

8 8/38 Espérance Lorsque les résultats associés aux différentes branches de la loterie peuvent être exprimés sous forme monétaire, on peut calculer l espérance associée à la loterie. Def : l espérance d une loterie correspond à l espérance mathématique des gains (ajustées des pertes) monétaires associés aux différentes branches de la loterie. Exemple précédent (ticket à gratter) : EG = 0, 90 ( 2) + 0, 10 4 = 0.05 Idée a priori : plus l espérance d une loterie est élevé, et plus l agent serait susceptible de choisir cette loterie (plutôt qu une autre à l espérance moins élevée) Pour le choix entre le ticket à gratter de type A et le ticket de type B

9 9/38 Espérance (suite) Considérons les trois loteries suivantes : 1 L 1 : 0, , 5 0, 5 2 L 2 : 0, , L 3 : 0, , Leur espérance de gain : 1 EV (L 1) = 49, 75 2 EV (L 2) = 50 3 EV (L 3) = 5000 En pratique toutefois, les individus préfèrent jouer les loteries 1 et 2 que la loterie 3 (questionnaires, mises en situation en labo) qu est-ce que l espérance ne prend pas en compte et qui est important pour les décisions en présence de risque?

10 10/38 Plan du cours

11 11/38 Plan du cours

12 12/38 loteries Pour représenter le fait qu un agent hiérarchise différentes loteries, on définit des préférences sur les loteries Propriétés analogues aux relations de préférences définies sur des paniers de biens ou de services (transitivité, complétude et réflexivité) Avec 2 hypothèses supplémentaires : 1 Continuité (un changement de probabilités d occurrence des différentes issues de deux loteries suffisamment faible ne change pas la façon dont l agent classe ces deux loteries) 2 Indépendance : si on mélange deux loteries ordonnées à une troisième, alors le classement des deux nouvelles loteries combinées est indépendant de la troisième loterie choisie. Formellement, pour tout L, L, L et α [0, 1] : L L αl + (1 α)l αl + (1 α)l On peut associer à une relation de préférence une fonction d utilité U définie sur l ensemble des loteries, et qui à chaque loterie associe une valeur donnée U(L)

13 13/38 Plan du cours

14 Von Neumann - Morgenstern (VNM) On dit qu une fonction d utilité U définie sur l ensemble des loteries possède une représentation sous forme d utilité de VNM s il existe un ensemble de nombres (u 1,..., u n ) que l ont peut associer aux N résultats de la loterie L tels que : N U(L) = u n.p n n=1 Alors, si L = (p 1,..., p N ) et L = (p 1,..., p N) : L L N N u n.p n u n.p n n=1 n=1 Une représentation VNM existe dès que les hypothèses de continuité et d indépendance sont vérifiées (théorème de l utilité ) On peut alors trouver une fonction (plus ou moins complexe) u telle que n = 1,.., N, u n = u(x n). Cette fonction u est appelée fonction d utilité de Bernoulli 14/38

15 15/38 Von Neumann - Morgenstern (VNM) La fonction d utilité correspond à l espérance mathématique des utilités associées aux résultats possibles de la loterie Le classement de deux loteries sur la base de l espérance mathématique des gains ne coïncide pas nécessairement avec le classement fait sur la base de l utilité L 1 : 1 R 0 et L 2 : 0, 5 (R ) 0, 5 (R 0 10), avec R 0 = 20 EV (L 1 ) = 20 et EV (L 2 ) = 0, , 5 10 = 65 donc EV (L 1 ) < EV (L 2 ) EU(L 1 ) = 1.u(20) et EU(L 2 ) = 0, 5.u(120) + 0, 5.u(10) pour certaines fonctions de Bernoulli u(.), on aura EU(L 1) > EU(L 2) et donc L 1 L 2 Pour quel type de fonction de Bernoulli un agent économique préfèrera une loterie à l espérance moindre?

16 16/38 Plan du cours

17 17/38 Figure 1: Fonction d utilité en présence d aversion au risque u(.) u(r 0 + x) u(r 0) EU(L) u(r 0 x) u R 0 - x NB : Les deux situations étant équiprobables, la loterie L est actuairement neutre R 0 + x R 0

18 18/38 Dans le graphe précédent, l individu préfère strictement le fait de ne pas jouer à la loterie incertaine, alors même que l espérance est la même, qu il décide ou non de jouer On a EU(L) < U(EV ) : si l agent pouvait recevoir l espérance de gain avec certitude, il serait plus satisfait qu en ayant à jouer la loterie. Un individu avec ce type de préférences refuse les jeux équitables. On dit qu il est averse au risque On peut calculer l équivalent certain, qui correspond à la somme R qui rendrait l individu entre cette somme perçue avec certitude et la loterie initiale Pour un individu averse au risque, on aura R < R 0 Un individu averse au risque est caractérisé par une utilité marginale de la richesse décroissante La perte potentielle d un montant x pèse plus que le gain potentiel d un montant x

19 19/38 Figure 2: Fonction d utilité en présence d aversion au risque, avec représentation de l équivalent certain u(.) u(r 0 + x) u(r 0) EU(L) u(r 0 x) u R 0 - x NB : Les deux situations étant équiprobables, la loterie L est actuairement neutre R 0 + x R 0

20 20/38 Figure 3: Fonction d utilité en présence d amour du risque u(.) u u(r 0 + x) EU(L) u(r 0) u(r 0 x) R 0 - x R 0 + x R 0 NB : Les deux situations étant équiprobables, la loterie L est actuairement neutre

21 21/38 Amour du risque Dans le graphe précédent, l individu préfère strictement le fait de jouer à la loterie incertaine, alors même que l espérance de gains est exactement la même, qu il décide ou non de jouer On a EU(L) > U(EV ). Le fait de jouer procure à l agent une utilité plus grande que si on lui assurait l espérance. On parle alors d amour pour le risque (risk-seeker ou risk lover) On peut aussi calculer un équivalent certain ; pour les individus ayant une préférence pour le risque, R > R 0 Un individu avec une préférence pour le risque est caractérisé par une utilité marginale de la richesse croissante Préférence pour le risque fonction d utilité convexe Aversion pour le risque fonction d utilité concave

22 22/38 Paramètres d aversion au risque On peut mesurer l aversion au risque grâce à la courbure de la fonction d utilité de Bernoulli Mesure absolue de l aversion au risque (Arrow-Pratt), en un revenu initial x : r A (x) = u (x) u (x) Mesure relative de l aversion au risque, en un revenu initial x : r R (x) = xr A (x) L estimation de ces paramètres permet de prédire certains choix privés (demande d assurance pour un produit, détention d actifs risqués, etc.) ainsi que d estimer la valeur de la réduction du risque individuel permise par les programmes d assurance sociale Certaines fonctions d utilité donnant des coefficients d aversion au risque spécifiques sont très utilisées Fonction d utilité CRRA (constant relative risk aversion) : u(c) = c1 θ 1 θ, θ > 0, θ 1

23 23/38 Plan du cours

24 24/38 Exercice 1 : la fonction d utilité racine carrée Soit un agent avec une fonction d utilité u(w) = w, w étant la richesse de l individu. Initialement, l individu dispose de w 0 = 4 euros. A sa sortie du supermarché la caissière lui remet un coupon à gratter. Il peut gagner 12 euros avec une probabilité de 1/2, ou ne rien gagner. On suppose que la fonction d utilité définie sur la loterie admet une représentation sous forme d utilité VNM. 1 L agent est-il averse au risque ou a t il une préférence pour le risque? 2 Quelle est l espérance de gain de la loterie? L utilité? 3 Représenter la fonction d utilité, l espérance de gain, l utilité et l équivalent certain sur un graphe. Commentez. 4 A quel prix minimum p l agent est-il prêt à vendre son ticket de loterie avant de le gratter?

25 25/38 Exercice 2 : contrats de métairie et de fermage On s intéresse à un agriculteur, qui cultive un lopin de terre. Le rendement de cette terre, y, procure une certaine utilité au cultivateur, donnée par u(y) = lny. Toutefois le rendement est incertain : il peut atteindre une valeur élevée avec une probabilité p, Y h, ou une valeur plus faible, Y b (Y b < Y h ). Par ailleurs la probabilité d obtenir un bon rendement dépend de l effort que met l agriculteur dans l exploitation de sa terre : plus l effort e est élevé, et plus la probabilité que le rendement soit élevé (égal à Y h ) est élevée. Autrement dit, on a p = p(e), avec p (e) > 0 et p (e) < 0 (on rajoute une hypothèse de stricte concavité). Mais évidemment cet effort a un coût pour l agriculteur en termes d utilité, égal à 1 2 e2. Les questions sont au slide suivant

26 Exercice 2 : contrats de métairie et de fermage (suite) 1 Écrire le rendement espéré, ainsi que l utilité de cette loterie agricole 2 Écrire et résoudre le problème de l optimisation de l agriculteur (NB : dans ce modèle, la seule chose qu il peut décider est le niveau d effort fourni, e ) 3 Imaginez maintenant que l agriculteur doit en fait louer la terre qu il exploite, en échange d un loyer fixe F (contrat de fermage). Comment s écrit dans ce cas le problème d optimisation de l agriculteur? Quel est le niveau optimal d effort ef? 4 Le propriétaire terrien décide de modifier les conditions de location de sa terre, et propose à l agriculteur un contrat de métairie : l agriculteur peut exploiter la terre en échange d un loyer égal à une certaine proportion (1 α) de son rendement effectif (et il peut garder la part restante α, avec α compris entre 0 et 1). Quel sera dans ce cas le niveau optimal d effort fourni par l agriculteur, em? 5 Comparez l effort fourni dans les configurations de métayage et de fermage 6 Dans le secteur agricole, une grande partie de l incertitude provient de facteurs indépendants de l effort fourni. Si le rendement du terrain dépend maintenant de la survenue ou non d une sécheresse, quel devrait-être le contrat de location préféré par l agriculteur? 26/38

27 27/38 Plan du cours

28 28/38 L utilité VNM : théorie vs faits La représentation des comportements en situation d incertitude avec une fonction d utilité VNM est (encore) aujourd hui ultra-classique L introduction de nouvelles possibilités ne modifie pas le choix entre les loteries déjà classées entre elles La fonction d utilité VNM est-elle cohérente avec les comportements adoptés par les agents confrontés à une situation incertaine? Dans de très nombreuses situations, oui Mais certains paradoxes connus montrent les limités de la théorie de l EU

29 29/38 Supposons qu on ait affaire à trois prix 1 Prix 1 : FR (donne une utilité notée u 25) 2 Prix 2 : FR (donne une utilité notée u 5) 3 Prix 3 : 0 FR (donne une utilité notée u 0) L individu est supposé confronté à deux choix : 1 Choix 1 : entre la loterie L 1 = (0, 1, 0) et la loterie L 2 = (0.1, 0.89, 0.01) 2 Choix 1 : entre la loterie L A = (0, 0.11, 0.89) et la loterie L B = (0.1, 0, 0.9) Lorsqu on soumet des individus à ces choix : 1 L 1 L 2 2 L B L A

30 30/38 (suite) La théorie de l utilité VNM implique que EU(L 1 ) > EU(L 2 ) Autrement dit, u 5 > 0.1 u u u 0 Or l hypothèse d indépendance indique qu on peut composer les deux loteries avec une troisième sans affecter l ordre de préférence entre les deux premières relations. On ajoute donc de chaque côté de l inégalité précédente : 0.89 u u 5 On obtient : 0.11 u u 0 > 0.1 u u 0 Ce qui revient à dire : L A L B incohérent!

31 31/38 des paradoxes Champ de littérature foisonnant en économie expérimentale sur les écarts avec la théorie de l utilité : comment les individus font leurs choix en situation d incertitude? Comment expliquer qu ils ne se comportent pas comme l attend la théorie de Expérimentations avec des psychologues, des neuroscientifiques, etc. En France, laboratoire à Paris 1 et département à l ENS Plusieurs explications mises en avant : Aversion à la perte (théorie des regrets) Poids des normes Influence de la formulation de la question ou de l option présentée comme étant la situation de référence Nouvelles formes d utilité proposées, tests empiriques de nouveaux modèles de comportements face au risque Fonction de valeur de Kahneman-Tversky

32 32/38 Plan du cours

33 33/38 Justification du partage des risques Les agents averses au risque sont a priori prêts à payer pour réduire le risque auquel ils sont confrontés Les situations de risque concernent généralement un grand nombre d individus.si les probabilités d occurrence d un évènement fâcheux sont indépendantes d un individu à un autre, alors en général les agents peuvent mutualiser le risque pour améliorer leur situaion Loi des grands nombres : une situation incertaine au niveau individuel se ramène à une situation certaine au niveau du groupe, si ce dernier est suffisamment grand (occurence certaine de l espérance ) Peut être fait via le marché de l assurance

34 34/38 Plan du cours

35 35/38 Modèle de demande d assurance On suppose un modèle avec un agent de richesse initiale M, qui peut subir une perte de valeur L (par exemple, en cas de cambriolage de sa maison), avec une probabilité p. On suppose que cet individu peut souscrire une assurance auprès d une compagnie. En cas de réalisation du risque, l assurance verse une indemnisation d un montant q, en échange d un premium égal à π.q. On suppose que le secteur assurantiel est parfaitement concurrentiel et on néglige les frais de gestion On suppose que l utilité de l agent admet une représentation VNM et que l agent est strictement averse au risque (u > 0) Quelle est la demande d assurance q de l agent? Quel est le niveau optimal du premium π

36 36/38 Modèle de demande d assurance Résolution au tableau

37 37/38 Plan du cours

38 38/38 Dans le modèle de base de la demande d assurance, on suppose implicitement que le risque est complètement exogène et que l assurance est capable d observer parfaitement sa réalisation Dans la réalité : par leurs efforts les agents influencent la probabilité de réalisation du risque ; peuvent également frauder en faisant croire qu il y a eu un mauvais évènement rarement complète ; segmentation du marché de l assurance entre bons et mauvais risques ; instauration de franchise, etc. Problèmes d antisélection et d alé-moral : au coeur de l étude des questions d assurance, notamment en économie de la santé Comment concevoir des contrats avec une bonne couverture mais sans inciter les agents à surconsommer des soins (coûteux)? Importance de l information disponible qui détermine la forme du contrat optimal qui peut être proposé

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