LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.

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1 LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité de l moyenne. Applictions. Pré-requis : Si f est une fonction numérique dérivble sur ],b[ telle que f = 0 (resp. 0), lors f est constnte (resp. croissnte) ; Si f C 0( [,b] ), lors f ( [,b] ) est un intervlle fermé borné. Approche intuitive Soit f une fonction continue et positive sur I = [,b] (vec < b) et C s courbe représenttive dns un repère othonorml. Pour x 0 [,b], on note A (x) l ire qui est délimitée pr l xe des bscisses, C et les droites d équtions x = et x = x 0. Pour tout x 0 I, h f(x 0 ) A (x 0 + h) A (x 0 ) h ( g(x 0 ) + ε ) f(x 0 ) + h f(x 0 ) C A (x 0 + h) A (x 0 ) f(x 0 ) 1 h( A (x0 + h) A (x 0 ) ) f(x 0 ) + ε h 0( ε 0) A (x 0 ) = f(x 0 ). O x 0 x0 + h Donc A = f sur l intervlle I Primitives d une fonction continue Définition 1 : Soit f : I R R. On dit qu une fonction F : I R est une primitive de f sur I si F est dérivble et F = f. Théorème 1 : Soit f : I R continue. Alors f dmet u moins une primitive sur I. Remrque 1 : Ce théorème est dmis.

2 Primitives d une fonction, intégrle, inéglité de l moyenne Théorème : Soit f : I R continue dmettnt pour primitive F. Alors {x F(x)+c, c R} est l ensemble des primitives de f sur I. De plus, si x 0 I et y 0 R, lors il existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x 0 ) = y 0. démonstrtion : F est dérivble sur I, donc pour tout c R, x F(x) + c l est ussi sur I. Posons lors F c (x) = F(x)+c. Alors F c(c)+f (x) = f(x), donc F c est une primitive de f sur I. De plus, si F c et F c sont deux primitives telles que F c (x 0 ) = F c (x 0 ) = y 0, lors en prticulier, F(x)+c = F(x)+c, d où c = c. Corollire 1 : Soit f : I R continue dmettnt pour primitive F. Pour toute primitive G de f sur I contennt et b, F() F(b) = G() G(b). démonstrtion : Il existe une contnte c R telle que pour tout réel x I, on G(x) + F(x) + c, donc G() G(b) = F() + c ( F(b) + c ) = F() F(b). 76. Recherche d une primitive Tbleu inverse de dérivées I (n N) R (n) R R + R R R\{ π [π]} f(x) x n x n 1/ x cosx sin x 1 + tn x = cos x F(x) x n+1 n + 1 x 1 n 1 n x sin x cos x tn x 76.. Propriétés usuelles Soient u et v dmettnt pour primitives U et V sur I. Alors : α,β R, αu + βv dmet pour primitive αu + βv ; 0, x u(x + b) dmet pour primitive 1 U(x + b) ; n N, u U n dmet pour primitive Un+1 n + 1. Si v dmet pour primitive V sur J R tel que U(I) J, lors V U est une primitive de u (v U) sur I Définition et propriétés de l intégrle Définition : Soient f : I R continue et, b I ( b). On ppelle intégrle de à b de f le nombre F(b) F(), noté f(t) dt ou [ F(t) ] b, où F est une primitive de f sur I. Remrques : Cette définition ne dépend ps de l primitive choisie (corollire 1). On en prticulier f(t)dt = F() F() = 0 et f(t)dt = b f(t)dt.

3 Primitives d une fonction, intégrle, inéglité de l moyenne 3 Théorème 3 : Soit f : I R continue. L fonction F définie sur I pr F(x) = x f(t) dt ( I) est LA primitive de f sur I s nnulnt en. démonstrtion : f dmet une primitive G. Alors x f(t)dt = F(x) = G(x) G(). Donc F (x) = G (x) = f(x) pour tout x I, d où F est bien une primitive de f. Or F() = F() G() = 0, donc d près le théorème, F est l unique primitive de f s nnulnt en. Exemple : Soit f : R + R l fonction définie pr f(x) = 1 x. Alors F(x) = x f(t) dt = x 1 1 dt t = ln(x). Proposition 1 : soient f, g : I R continues. Alors : (i) Pour tous, b, c I, on c f(t) dt = f(t) dt + c f(t) dt (reltion de Chsles) ; b (ii) Pour tous, b I et pour tous α, β R, on αf(t) + βg(t) dt = α f(t) dt + β g(t) dt. démonstrtion : (i) Puisque f est continue sur I, elle dmet une primitve F sur I. Il vient que f(t)dt + c b f(t)dt = F(b) F() + F(c) F(b) = F(c) F() = c f(t)dt. (ii) Si F et G désignent des primitives de f et g sur I, lors les propriétés du prgrphe. nous ssurent que αf + βg est une primitive de αf + βg. Donc αf(t) + βg(t)dt = αf(b) + βg(b) αf() βg() = α ( F(b) F() ) β ( G(b) G() ) = α d où le résultt demndé. f(t)dt + β g(t) dt, Proposition : Soit f : I R continue et positive. Alors pour tous, b I tels que b, on b f(t) dt 0. démonstrtion : Soit F une primitive de f sur I. Alors F = f 0, donc F est croissnte. Pr suite, F(b) F() F(b) F() 0 f(t)dt 0. Proposition : Soit f : I R continue et positive telle qu il existe x 0 I tel que f(x 0 ) 0. Alors pour tous, b I vérifint b, on f(t) dt > 0.

4 4 Primitives d une fonction, intégrle, inéglité de l moyenne démonstrtion : f est continue signifie qu il existe [c, d] [, b](c < d) tel que pour tout x, d], f(x) > f(x 0 )/. Alors c f(t)dt = f(t)dt + } {{ } 0 d c f(t)dt+ f(t)dt d } {{ } 0 d c f(t)dt > 1 d c f(x 0 )dt = f(x 0) (d c) > 0. Corollire : Soient f, g : I R continues telles que f g sur I. Alors pour tous, b I vérifint b, on f(t) dt b g(t) dt. démonstrtion : On pr hypothèse g f 0 sur I, donc d où le résultt. g(t) f(t)dt prop = 1 g(t)dt f(t)dt 0, Corollire 3 : Soit f : I R continue. Pour tous, b I, on f(t) dt f(t) dt. démonstrtion : Rppelons que pour tous x, y R, x y x + y x + y (il s git de l inéglité tringulire). Sur I, posons f + = sup(f,0) et f = sup( f,0), de sorte que f = f + f et f = f + + f. D près l proposition, f +, f 0 f+, f 0, donc f = f + f = f + f f f + + f. f = f + + Exercice : Montrer que pour tous x,y R, sin x sin y x y. Soient,b I tels que < b, et f prop 1 = f + + f n : C 0 ([,b]) f R f(t) dt et ϕ : ( C 0 ([,b]) ) (f,g) R f(t)g(t) dt. Montrer que n est une norme sur C 0 ([,b]) et que ϕ est un produit sclire. Solution : Soient x, y R. On peut supposer, quitte à échnger leurs rôles, que x y. Pour tout t R, on : 1 cos t 1 coro y y y 1dt cos(t) dt 1dt [ t] y x [sin(t)] y x [t] y x sin x sin y x y. x x x Rppelons tout d bord qu une norme sur un R-espce vectoriel E est une ppliction N à vleurs positives et stisfisnt les critères de séprtion, d homogénéité et d inéglité tringulire. n est déjà une ppliction à vleurs positives. Vérifions lors les utres points :

5 Primitives d une fonction, intégrle, inéglité de l moyenne 5 Séprtion : Soit f C 0 ([, b]) tel que n(f) = 0. Montrons lors pr l bsurde que f = 0. Supposons donc que f 0. Il existe lors x 0 [, b] tel que f(x 0 ) 0, et l proposition nous ssure lors que f(t)dt > 0. En ppliqunt ensuite le corollire 3, on obtient l inéglité suivnte : 0 < f(t)dt = f(t) dt f(t) dt. Ceci implique lors que n(f) > 0, ce qui contredit l hypothèse de déprt. On obtient donc bien l impliction n(f) = 0 f = 0. Homogénéité : Soient λ R et f C 0 ([, b]). Alors n(λf) = λf(t) dt = λ f(t) dt = λ f(t) dt = λ n(f). Inéglité tringulire : Soient enfin f, g C 0 ([, b)]. Alors n(f + g) = f(t) + g(t) dt coro f(t) + g(t) dt = f(t) dt + g(t) dt = n(f) + n(g). Rppelons ensuite qu une ppliction est un produit sclire si elle est bilinéire, symétrique, positive et séprée. Vérifions ces qutre points pour l ppliction ϕ : Positivité : Soit f C 0 ([, b]). Montrons que ϕ(f, f) 0 : ϕ(f, f) = f(t) dt prop 0. Séprtion : Soit f C 0 ([, b]). Montrons pr l bsurde que ϕ(f, f) = 0 f = 0. Supposons que f 0, c est-à-dire qu il existe x 0 [, b] tel que f(x 0 ) 0. Alors f(x 0 ) 0, et l proposition nous ssure que f(t) dt > 0, ou encore ϕ(f, f) > 0, ce qui contredit l hypothèse de déprt. Pr conséquent, il vient que f = 0. Bilinérité : Cette propriété ne ser vérifiée que pour f, les rôles de f et g étnt symétriques dns ϕ. Supposons g constnte. Alors pour tous f 1, f C 0 ([, b]) et λ R, on ( ϕ(f 1 + f, g) = f1 (t) + f (t) ) g(t)dt = f 1 (t)g(t) + f (t)g(t)dt = f 1 (t)g(t)dt + f (t)g(t)dt = ϕ(f 1, g) + ϕ(f, g), ( et ϕ(λf 1, g) = λf1 (t) ) g(t)dt = λ f 1 (t)g(t)dt = λϕ(f 1, g). Symétrie : L symétrie est ssurée pr l commuttivité du produit dns R : f(t)g(t) = g(t)f(t). Théorème 4 (inéglité de l moyenne) : Soient f : I R continue et, b I vérifint < b. S il existe deux réels m et M tels que m f M sur I, lors m(b ) f(t) dt M(b ). démonstrtion : Pour tout x I, f(x) m 0 prop f(t) mdt 0 mdt f(t)dt m(b ) f(t)dt. On montre de l même mnière que f(t)dt M(b ) Applictions Exercice : Clculer l ire entre une prbole (x x ) et une sécnte entre les deux points d intersection.

6 6 Primitives d une fonction, intégrle, inéglité de l moyenne Solution : Soit p : x x et d : y = x + b (, b R) une droite qui coupe l prbole p en deux points distincts, d bscisses X < Y. Alors d près ce qui été vu en introduction de cette leçon, l ire recherchée est égle à l différence entre l ire sous l prbole et l ire sous l droite. p et d sont deux pplictions continues, elles dmettent donc des primitives P et D sur I. Puisque «A = f», on lors «A = F», où F désigne une primitive de f. L ire recherché est finlement égle à : Y X Y p(t)dt d(t) dt = X [ t 3 ] Y 3 X [ t ] Y + bt = Y 3 X 3 Y X b(y X). X 3 Dns l prtique, Si l on connît l éqution de d, un système nous permet de trouver les coordonnées (surtout les bscisses) des points d intersection. Si l on connît les bscisses des points d intersection, on connît ussi grâce à p leurs ordonnées, et un système nous permet de déterminer l éqution de l droite d. Dns les deux cs, l éqution d et les bscisses X et Y nécessires sont déterminbles. Définition 3 : Soient (0, ı, j, k) un repère orthonormé des l espce,, b R vérifint < b et S un solide limité pr les plns d équtions z = et z = b. Alors le volume de S est donné pr l formule V (S ) = S(z) dz, où S représente l ire de l section de S pr le pln de cote z. Exemples : Cette formule permet le clcul de volumes de cônes, de cylindres, de boules,... En physique... Le trvil d une force F(x) ppliquée à un point mtériel se déplçnt le long d un segment [AB], vec A et B d bscisses respectives et b est W = F(t) ı dt, où ı est unitire, colinéire à AB et de même sens. Définition 4 : L vleur efficce sur [,b] de l fonction continue f est 1 b µ e = f b (t) dt. Exercice : Montrer que l expression de l intensité efficce d un cournt lterntif sinusoïdl est I e = I Ṡolution : L intensité efficce Ie d un cournt est l intensité que devrit voir un cournt continu pour produire dns un même conducteur ohmique, le même déggement de chleur pendnt le même temps de pssge. Notons lors R l résistnce du conducteur ohmique, i(t) = I cos(ωt + ϕ) l intensité vrible du cournt et T l période vrible du cournt. L énergie fournie vec le cournt continu est E = R I e T sur une période T. L énergie fournie vec le cournt lterntif est E = T 0 R i (t) dt sur une période T. On en déduit que T T E = R Ie T = R i (t) dt R Ie T = R I d où on tire finlement I e = I = I. 0 0 cos (ωt + ϕ) dt R I e T = R I T,

7 Primitives d une fonction, intégrle, inéglité de l moyenne 7 c 010 pr Mrtil LENZEN. Aucune reproduction, même prtielle, utres que celles prévues à l rticle L. 1-5 du code de l propriété intellectuelle, ne peut être fite sns l utoristion expresse de l uteur.