Intégrer. 1 Espace mesuré. 1.2 Tribu engendré, tribu borélienne. 1.1 Espace mesurable. 1.3 Fonctions mesurables. Université de Strasbourg

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1 Uiversité de Strasbourg M1 Aalyse foctioelle (S1) O. Guichard. Itégrer 1 space mesuré Nous traitos ici l itégratio das le formalisme des mesures et des espaces mesurées qui itervieet aussi e probabilité. La présetatio suivate est proche de celle du livre de Rudi Real ad Complex Aalysis et certaies démostratios serot omises. 1.1 space mesurable Soit u esemble. Défiitio. Ue σ-algèbre ou ue tribu sur est ue partie M de P() (i.e. ue famille de sous-esembles de ) vérifiat les propriétés suivates 1. M ; 2. pour tout A M, le complémetaire de A das appartiet à M : A c = A M ; 3. pour toute suite (A ) N d élémets de M, la réuio N A est das M. Les élémets de M sot appelés esembles mesurables. La paire (, M) est appelée espace mesurable. Remarque. Parfois l o dit simplemet que est u espace mesurable, la tribu M état sous-etedue. Il serait plus avisé e fait de dire M est u espace mesurable puisque est détermié par M (c est so plus grad élémet). Das (presque) toute la suite de ce texte, est u espace mesurable fixé. La préfixe sigma (σ) est traditioellemet utilisé pour désiger la propriété de stabilité par uio déombrable ; o appelle parfois algèbre ue famille de sous-esembles stable par passage au complémetaire et par réuio fiie. O otera que = c appartiet toujours à M et que M est aussi stable par itersectio déombrable puisque N A = N A c. À ce stade, il est pas iutile de rappeller la défiitio d ue topologie sur : Défiitio. Ue famille τ P() de parties de est ue topologie si 1. τ est pas vide ; 2. τ est stable par itersectio fiie ; 3. τ est stable par réuio quelcoque. xemple. M = {, } est ue tribu ; M = P() est ue tribu. Si est u esemble, alors M = {A P() A ou A c est fii ou déombrable} est ue tribu. Si est u esemble ifii, alors M = {A P() A ou A c est fii} est pas ue tribu. Si {M i } i I est ue famille de tribus, alors M = i I M i est ue tribu (u esemble A appartiet à M si et seulemet si, pour tout i I, A appartiet à M i ). 1.2 Tribu egedré, tribu boréliee Si ue famille de sous-esembles est doée, il existe ue plus petite tribu la coteat cette famille : Lemme 1. Soiet u esemble et A P() ue famille de sous-esembles de. Il existe alors ue plus petite tribu M A coteat A ; o parle alors de la tribu egedrée par A. Remarque. O peut décrire explicitemet les élémets de M A mais ce est pas très facile (i très utile). Démostratio. La famille Z ( P(P( ))) des tribus coteat A est pas vide, car P() Z. L itersectio M A = M Z M est ue tribu (voir le derier exemple plus haut) qui cotiet A ; c est doc la plus petite tribu coteat A. Ce lemme permet de défiir des tribus. U exemple importat est la : Défiitio. Soit (, τ) u espace topologique. La tribu boréliee de (, τ) est la tribu M τ egedrée par la famille τ. Les élémets de M τ sot appelés les borélies ou sous-esembles borélies. 1.3 Foctios mesurables Défiitio. Soiet (, M) u espace mesurable, (, τ) u espace topologique et f : ue foctio de das. La foctio f est dite mesurable si, pour tout ouvert U, f 1 (U) est mesurable. Lorsqu il sera écessaire de préciser la tribu, o écrira que f est M-mesurable. O cosidérera o seulemet des foctios à valeurs réelles mais aussi des foctios à valeurs das = R = [, + ] la droite achevée. R est u espace topologique compact homéomorphe à l itervalle [0, 1]. Lemme 2. Soiet u espace mesurable, et Z deux espaces topologiques et f :, g : Z deux foctios. Si f est mesurable et g est cotiue, alors g f est mesurable. Plus gééralemet : Lemme 3. Soiet u, v deux foctios réelles mesurables sur u espace mesurable et Φ : R R ue foctio cotiue das u espace topologique. Alors la foctio h : défiie par est mesurable. h(u) = Φ(u(x), v(x)) x, 1

2 xemple. Ue foctio f = u + iv : C est mesurable si et seulemet si u et v sot mesurables. Alors f est mesurable. et il existe ue foctio α : C telle que α = 1 et f = α f. La foctio caractéristique 1 d u sous-esemble est mesurable si et seulemet si est mesurable. La somme et le produit de foctios complexes mesurables sot mesurables. Remarque. Lorsque est u espace topologique et est mui de la tribu boréliee, o parlera alors de foctios boréliees plutôt que de foctios mesurables. Lemme 4. u espace mesurable, et Z deux espaces topologiques et f :, g : Z deux foctios. Si f est mesurable et g est boréliee, alors g f est mesurable. Lemme 5. Soiet u espace mesurable, u espace topologique et f : ue foctio. Si f est mesurable, pour tout esemble borélie, f 1 () est mesurable. Si = R = [, + ], alors f est mesurable si et seulemet si, pour tout α R, f 1 (]α, + ]) est mesurable. Le résultat suivat motre qu il va être difficile de costruire des foctios qui e sot pas mesurables. Théorème 6. Soit (f ) N ue suite de foctios mesurables [, + ], alors les foctios g et h, défiies par, pour tout x g(x) = sup f (x), sot mesurables. h(x) = lim sup f (x), Remarque. Quad est-ce qu ue bore supérieure existe? Il est parfois difficile de répodre correctemet à cette questio. O peut toujours défiir la bore supérieure sup [, + ] d u sous-esemble R (quel est l esemble tel que sup =?). Il est tout de même de bo to de savoir à quelles coditios sur la bore supérieure sup est u réel (i.e. i, i + ). Corollaire 7. Ue limite simple de foctios complexes mesurables est mesurable. Si f, g : R sot deux foctios mesurables, alors max{f, g} et mi{f, g} sot mesurables. particulier sot mesurables. f + = max{f, 0}, f = mi{f, 0} Remarque. Les foctios f + et f sot appelées respectivemet partie positive et partie égative de f. (La termiologie peut paraître bizarre puisque la partie égative est ue foctio positive). C est la seule paire de foctios positives telle que f = f + + f et f = f + f. Lemme 8. Si f = g h avec g 0 et h 0 alors f + g et f h. 1.4 Foctios simples Défiitio. Ue foctio s : R est dite simple si elle e pred qu u ombre fii de valeurs. (O peut étedre la défiitio aux foctios de ). Si {α 1,..., α } = s() {0} est l esemble des valeurs o ulles prises par s, alors s = α i 1 Ai, i=1 où, pour i = 1,...,, A i = {x s(x) = α i }. La foctio s est mesurable si et seulemet si, pour tout i = 1,...,, l esemble A i est mesurable. Théorème 9. Soit f : [0, + ] ue foctio mesurable. Il existe alors ue suite croissate (s ) N de foctios simples et mesurables [0, + [ covergeat simplemet vers f (i.e. x, f(x) = lim s (x)). Démostratio. Pour tout N, posos φ : [0, + ] R égale à 4 1 i=0 i2 1 [i2,(i+1)2 [+2 1 [2,+ ] et s = φ f, s est ue foctio simple. Comme φ est boréliee et f est mesurable, s est mesurable. Pour tout t [0, + ], la suite (φ (t)) N est croissate et ted vers t. O e coclut que la suite (s ) N est croissate et coverge simplemet vers f. 1.5 Mesures Défiitio. Soit (, M) u espace mesurable. Ue mesure sur (, M) est ue foctio µ : M [0, + ] vérifiat la propriété suivate : pour toute suite (H ) N d élémets de M deux à deux disjoits l o a µ ( ) H = µ(h ). N N O dit alors que (, M, µ) est u espace mesuré. Autremet dit, µ est déombrablemet additive. Parfois, il est aussi demadé l existece d au mois u esemble A M dot la mesure µ(a) est < +, e effet, avec la défiitio ci-dessus, la foctio costate égale à + est ue mesure. O parle de la mesure triviale et l o s itéressera seulemet à des mesures o triviales. Remarque. Il est écessaire d autoriser la valeur + pour les mesures (par exemple pour la mesure de Lebesgue sur R). O dit aussi parfois que est u espace mesuré la tribu M et la mesure µ état sous-etedues (il serait plus avisé de dire µ est u espace mesuré, e effet ue foctio détermie so esemble de défiitio doc M est détermié et par suite aussi). xemple. (mesure de comptage) Sur M = P(), o peut défiir µ par µ(a) = #A si A est fii et µ(a) = + si A est ifii. La même formule défiit ue mesure sur M = {A A ou A c est fii ou déombrable} et même sur importe quelle tribu. Plus gééralemet, si f : [0, + ] est ue foctio, o peut défiir µ(a) = a A f(a), état etedu que la somme de cette série est + dès qu elle est divergete. 2

3 Si x 0, la foctio défiie par µ() = 1 si x 0 et µ() = 0 si x 0 / est ue mesure. Si = R mui de la tribu boréliee, la mesure de Lebesgue est la seule mesure sur telle que, pour tout pavé A = i=1 [a i, a i + l i ], µ(a) = i=1 l i. (Il est pas évidet de démotrer so existece, il y a d autres caractérisatios de la mesure de Lebesgue.) 1.6 Premières propriétés Théorème 10. Soit µ : M [0, + ] ue mesure. 1. Pour tout N et quels que soiet A 0,..., A das M deux à deux disjoits, µ(a 0 A ) = µ(a 0 ) + + µ(a ). 2. Si (A ) N est ue suite croissate (i.e., A A +1 ) d élémets de M et si A = N A, alors µ(a) = lim µ(a ). 3. Si (A ) N est ue suite décroissate (i.e., A A +1 ) d élémets de M, si A = N A et si µ(a 1 ) < +, alors µ(a) = lim µ(a ). 2 Itégrer les foctios 2.1 Itégrer les foctios simples positives Si s : [0, + ] est ue foctio simple et mesurable, i.e. s = i=1 α i1 Ai avec N, α 1,..., α das [0, + ] deux à deux disticts et A 1,..., A sot mesurables et deux à deux disjoits. Pour tout esemble mesurable, l o défiit l itégrale de s sur et l o ote sdµ la quatité sdµ = α i µ( A i ). i=1 Il se peut que, das cette derière formule, l u des α i ou l u des µ( A i ) soit égal à +. Il faut alors se fixer des covetios pour les produits das [0, + ], elles sot dictées par les pricipes suivats : l itégrale de la foctio costate égale à + sur u esemble vaut + sauf si cet esemble est de mesure ulle auquel cas cet itégrale vaut 0 et l itégrale d ue foctio costate égale à c [0, + [ sur u esemble de mesure égale à + vaut + sauf si c = 0 auquel cas cet itégrale est ulle. Précisémet, pour tout x ]0, + ], o pose 0 x = x 0 = 0, (+ ) x = x (+ ) = +. Si s et t sot deux foctios simples, mesurables et positives, alors (s + t)dµ = sdµ + tdµ (voir la feuille d exercices). 2.2 Itégrer les foctios positives Soit maiteat f : [0, + ] ue foctio mesurable, o défiit, pour tout mesurable, l itégrale de f sur par fdµ = sup sdµ où la bore supérieure est prise sur l esemble des foctios s positives, simples, mesurables et f. Notos que si f est ue foctio simple, cette défiitio coïcide avec celle du paragraphe précédet puisque f appartiet à l esemble sur lequel la bore supérieure est prise et que pour tout s das cet esemble sdµ fdµ. Lemme 11. Si f et g sot des foctios mesurables et positives l o a si f g alors fdµ gdµ si A B sot deux esembles mesurables, A fdµ B fdµ si c R +, (cf)dµ = c fdµ. si, pour tout x, f(x) = 0, alors fdµ = 0. si µ() = 0, alors fdµ = 0. fdµ = 1 fdµ Remarque. Lorsqu il est écessaire de doer u om à la varialbe d itégratio, o pourra écrire f(x)dµ(x). 2.3 Le théorème de covergece mootoe Il est parfois appelé théorème de Lebesgue de covergece mootoe. C est le résultat suivat. Théorème 12. Soiet (f ) N ue suite croissate de foctios mesurables [0, + ] et soit f = lim f (i.e. x, 0 f 0 (x) f 1 (x) f (x) f +1 (x) et f(x) = lim f (x)). Alors f est mesurable et lim f dµ = fdµ. Démostratio. Par le théorème 6, f est mesurable. Comme, pour tout N, f f +1, aussi f dµ f +1dµ et la suite ( f dµ) N est croissate et sa limite das [0, + ] est otée α. Puisque, pour tout, f f, l o a f dµ fdµ et, e passat à la limite, α fdµ. Soit maiteat s f ue foctio simple, positive et mesurable et soit c u réel etre 0 et 1 : 0 < c < 1. Pour tout N, posos = {x f (x) cs(x)}. C est u esemble mesurable car f et s sot mesurables. La suite (f ) état croissate, la suite ( ) est aussi croissate : 0 1. Comme (f ) coverge vers f, l o a = N. Aussi, pour tout, f dµ f dµ c sdµ. passat à la limite et e utilisat les propriétés de mootoicité de la mesure (théorème 10) o trouve α c sdµ. Comme cette propriété est valable pour tout c < 1, o trouve α sdµ. 3

4 utilisat maiteat la défiitio de l itégrale de f comme bore supérieure, ceci implique α fdµ. Ce qui implique l égalité recherchée. Traduisos ce résultat e termes de séries de foctios et de leurs itégrales. Corollaire 13. Soit (g ) N ue suite de foctios mesurables et positives [0, + ], alors ( ) g dµ = g dµ. N N 2.4 Le lemme de Fatou C est aussi u résultat sur les limites des itégrales cepedat sas égalité cette fois-ci. Théorème 14. Soit (f ) N ue suite de foctios [0, + ] mesurables, alors ( lim if ) f dµ lim if f dµ. Démostratio. Pour tout etier k, posos, pour tout x, g k (x) = if k f (x). Pour tout k N, la foctio g k est mesurable et, pour tout k, g kdµ f dµ, doc g kdµ if k f dµ lim if f dµ. La suite (g k ) k N est croissate de limite lim if f. Le théorème de covergece mootoe doe (lim if f )dµ = lim k g kdµ et les majoratios ci-dessus impliquet lim k g kdµ lim if f dµ. Théorème 15. Soiet (, M, µ) u espace mesuré et f : [0, + ] ue foctio mesurable. La foctio ϕ : M [0, + ] défiie par, pour tout M, ϕ() = fdµ, est ue mesure. De plus, pour tout g : [0, + ] mesurable, l o a gdϕ = gfdµ. O écrit parfois la secode coclusio de ce théorème dϕ = f dµ. Le théorème de Rado-Nikodym doe ue coditio écessaire et suffisate sur ϕ pour qu il existe ue foctio mesurable f pour laquelle dϕ = fdµ. 2.5 Itégrer les foctios complexes Comme plus haut (, M, µ) est u espace mesuré fixé. Défiitio. O désige par L 1 C (µ), ou parfois L1 (µ), l esemble des foctios f : C mesurables et telles que f dµ <. O dit alors que f est itégrable ou itégrable au ses de Lebesgue. La otatio L 1 () est aussi utilisée. L esemble des foctios réelles itégrables sera otée L 1 R (µ). L itégrale des foctios itégrables est défiie e utilisat la décompositio e parties réelles et imagiaires et la décompositio e parties positives et égatives. Défiitio. Soit f L 1 C (µ) et soiet u et v la partie réelle et la partie imagiaire de f, o pose fdµ = u + dµ u dµ + i v + dµ i v dµ. (Rappelos que u + = max{u, 0}, u = ( u) +.) Remarque. Comme les 4 foctios positives u +, u, v + et v sot majorées par f, les 4 itégrales de foctios positives iterveat das cette défiitio sot des ombres réelles (i.e. < ) et la somme de la défiitio est u ombre complexe bie défii. Théorème 16. L esemble L 1 C (µ) est u sous-espace vectoriel de C, l applicatio L 1 C (µ) C; f fdµ est ue forme liéaire. Aussi, pour tout f L 1 C (µ), fdµ f dµ. 2.6 Le théorème de covergece domiée C est, avec le théorème de covergece mootoe et le lemme de Fatou, l u des outils les plus importats e itégratio. Théorème 17. Soiet (f ) N ue suite de foctios complexes mesurables covergeat simplemet vers ue foctio f. O suppose qu il existe ue foctio g : [0, + ] mesurable et d itégrale fiie gdµ < telle que, pour tout, f g. Alors la foctio f et toutes les foctios f, N, sot das L 1 C (µ) et lim f f dµ = 0, lim f dµ = fdµ. Démostratio. La foctio f est mesurable car limite simple de foctios mesurables. Les majoratios f g, N, etraîet que, pour tout N, f est itégrable et que f g doc que f est aussi itégrable. Appliquos le lemme de Fatou à la suite de foctios positives et mesurables (2g f f ) qui coverge vers 2g, il viet ( 2gdµ lim if 2g f f ) dµ = 2gdµ lim sup f f dµ. Ceci implique lim sup f f dµ = 0, et doc que la suite réelle positive ( f f dµ) N coverge vers 0. Les majoratios f dµ fdµ f f dµ motret esuite la covergece de la suite ( f dµ) N vers fdµ. 4

5 2.7 semble de mesures ulles L itégratio e voit pas les esembles de mesures ulles. Começos par les défiir. Défiitio. U esemble de mesure ulle d u espace mesuré (, M, µ) est u élémet N M tel que µ(n) = 0, o parle aussi d esemble égligeable. Ue propriété des élémets de est dite vraie presque partout s il existe u esemble de mesure ulle e dehors duquel la propriété est vérifiée. Par exemple, si f et g sot deux foctios mesurables, o dit que f = g presque partout s il existe N de mesure ulle tel que, pour tout x N, f(x) = g(x) ; o écrira alors f g. Lorsqu il sera utile de préciser la mesure, o écrira µ-presque partout. Lemme 18. La relatio est ue relatio d équivalece sur l espace vectoriel des foctios mesurables C. Si f et g sot deux foctios mesurables C avec f g, alors l ue est itégrable si et seulemet si l autre l est et, das ce cas, fdµ = gdµ. outre f g si et seulemet si (f g) 0 et l esemble des foctios h mesurables et 0 est u sous-espace vectoriel, que ous oteros N (µ), de l espace des foctios mesurables, aussi N (µ) L 1 C (µ). Ce lemme permet de défiir l espace L 1 C (µ). O défiira das le chapitre suivat les espaces L p. Défiitio. L espace vectoriel L 1 C (µ) est le quotiet de (µ) par N (µ) : L 1 C L 1 C(µ) = L 1 C(µ)/N (µ). Même si les élémets de L 1 C (µ) sot des classes d équivalece de foctios, o les maipule comme de foctios et même comme des foctios défiies presque partout, c est-à-dire défiies e dehors d u esemble égligeable, la classe d équivalece pour sera alors bie détermiée. Das cet esprit, u corollaire du théorème de covergece domiée est : Théorème 19. Soiet (f ) N ue suite de foctios complexes, mesurables, défiies presque partout et telle que f dµ <. N Alors, pour presque tout x, la série de terme gééral f (x) est covergete : f(x) = f (x). =0 La foctio f appartiet à L 1 C (µ) et l o a fdµ = =0 f dµ. L affirmatio l itégratio e voit pas les esembles égligeables se traduit aussi de la maière suivate : Théorème 20. Si f : [0, + ] mesurable vérifie fdµ = 0, alors f = 0 presque partout (i.e. f 0 ou ecore f N (µ)). Soit f : C mesurable telle que, pour tout A M, fdµ = 0, alors f 0 (f est ulle A presque partout, etc.). Soit f L 1 C (µ), alors fdµ f dµ, et e cas d égalité, il existe α C, α = 1, tel que f = α f presque partout. Il est possible de saturer la tribu e ajoutat tous les esembles qui devraiet être égligeables, i.e. coteus das u esemble de mesure ulle. Précisémet : Théorème 21. Soit (, M, µ) u espace mesuré. Défiissos M comme état l esemble des élémets P() tels qu il existe A, B das M avec A B et µ(b A) = 0. Alors M est ue tribu coteat M et µ s éted de maière uique e ue mesure M [0, + ], cette mesure sera ecore otée µ. La tribu M est appelée la tribu complétée de M. Ce faisat, o ajoute pas de ouvelles foctios mesurables : Théorème 22. Soiet (, M, µ) et M comme das le théorème précédet. Pour tout foctio f : R M - mesurable il existe alors ue foctio g : R M- mesurable telle que f = g µ-presque partout. Aisi, si l espace des foctios M -mesurables et itégrales est e effet plus gros que l espace des foctios M-mesurables et itégrales, les espaces de classes d équivalece presque partout correspodat sot eux égaux. Démostratio. Soit f : R M -mesurable. Pour tout r Q, posos r = {x f(x) > r} = f 1 (]r, + [). Pour tout x et r Q, la propriété r < f(x) est doc équivalete à x r. particulier r f(x) est équivalet à x / r. Ceci etraîe que, pour tout x, f(x) = sup{r Q x r } = if{r Q x / r }. Pour tout r Q, il existe A r et B r das M tels que A r r B r et µ(b r A r ) = 0. Pour tout q < r, remarquos que r q et doc r B q. O a doc, pour tout r Q, r B r où B r = B r. q Q,q r Par u raisoemet similaire, pour tout r Q, A r r où A r = A r. q Q,q r Les familles d esembles {A r} r Q et {B r} r Q sot décroissates : Pour tout q < r, A r A q et A r A q. Ce sot aussi des esembles de la tribu M. 5

6 De là, o tire que, pour tout x, il existe u uique élémet de R, oté g(x) tel que {r Q x A r} = Q [, g(x)[ Autremet dit et {r Q x / A r} = Q [g(x), + ]. g(x) = sup{r Q x A r} = if{r Q x / A r}. Comme, pour tout α R, g 1 (]α, + ]) = r Q,r>α A r, cet esemble g 1 (]α, + ]) est das M et doc g est M- mesurable. Similairemet, la foctio h défiie par, pour tout x, h(x) = sup{r Q x B r} = if{r Q x / B r}, est M-mesurable. Aussi comme x A r x r x B r, o a g(x) f(x) h(x). Pour coclure, démotros que N = {x g(x) < h(x)} est égligeable. Si x N, il existe alors r Q avec g(x) < r < h(x) et doc x / A r et x B r, e particulier x / A r et x B r. Ceci motre que N r Q B r A r, c est-à-dire que N est iclus das ue réuio déombrable d esembles égligeables, il s esuit que N est égligeable. Remarque. Lorsque M R d est la tribu boréliee et µ est la mesure de Lebesgue, les élémets de la tribu M sot appelés les esembles mesurables au ses de Lebesgue. O peut démotrer que, das ce cas, le cardial de M est égal au cardial de R tadis que le cardial de M est égal au cardial de P(R) ce qui etraîe l existece d esemble mesurables au ses de Lebesgue qui e sot pas borélies. Il existe aussi des esembles qui e sot pas mesurables au ses de Lebesgue ; ue maière de démotrer cette existece est la suivate : o démotre d abord que si tous les sous-esembles d u esemble sot mesurables au ses de Lebesgue, alors est de mesure de Lebesgue ulle, la coclusio viet alors de la cotraposée, u esemble (mesurable) de mesure strictemet positive cotiet écessairemet u esemble qui est pas mesurable au ses de Lebesgue. 3 Mesures boréliees Lorsque est u espace topologique et M est la tribu boréliee, l espace L 1 (µ), où µ ue mesure sur M, cotiet l espace C c (; R) des foctios cotiues à support compact si (et seulemet si) la mesure de tout compact est fiie. Das ce cas, la restrictio de f fdµ à cet espace est ue applicatio liéaire C c (; R) R qui vérifie de maière évidete la propriété suivate. Défiitio. Ue applicatio liéaire Λ : C c (; R) R est dite positive si, pour tout f C c (; R) vérifiat f 0 (dit autremet f() = [0, + [), o a Λf 0. Réciproquemet, ue forme liéaire positive C c (; R) R proviet d ue uique mesure boréliee fiie sur les compacts, voir Quelques propriétés topologiques Même si ous e doeros pas la démostratio du théorème de représetatio de Riesz, ce paragraphe doet les défiitios pertietes à so éocé et des élémets utiles à sa preuve. Défiitio. U espace topologique (, τ) est dit compact si de tout recouvremet ouvert, l o peut extraire u sous-recouvremet fii ; déombrable à l ifii(ou σ-compact) s il est réuio déombrable de compacts ; localemet compact si tout poit de a u voisiage ouvert d adhérece compact. séparé si, pour tout x et y das, x y, il existe deux ouverts U, V avec x U, y V et U V =. Les résultats topologiques iterveat das la démostratio du théorème de Riesz sot les suivats. Théorème 23. (Lemme d Urysoh) Soiet u espace topologique localemet compact, V ouvert et K compact avec K V. Il existe alors ue foctio cotiue à support compact f : [0, 1] vérifiat f K = 1 et Supp(f) V. Théorème 24. Soiet u espace topologique localemet compact, K compact, N, V 1,..., V ouvert avec K V 1 V. Il existe alors des foctios cotiues à support compact f 1,..., f : [0, 1] vérifiat (f f ) K = 1 et Supp(f i ) V i, i = 1,...,. 3.2 Le théorème de représetatio de Riesz (pour les mesures) C est le résultat suivat : Théorème 25. Soiet u espace topologique séparé et localemet compact et Λ : C c (; R) R ue forme liéaire positive. Notos M la tribu boréliee sur. Il existe alors ue uique mesure (positive) µ sur M qui représete Λ, i.e. telle que 1. Λf = fdµ pour tout f C c (; R). lle vérifie e outre les propriétés suivates : 2. Pour tout compact K, µ(k) <. 3. Pour tout M (la tribu complétée de M pour la mesure µ), l o a µ() = if{µ(v ) V, V ouvert}. 4. Pour tout ouvert V tel que µ(v ) <, µ(v ) = sup{µ(k) K V, K compact}. 6

7 L éocé suivat, sous des hypothèses topologiques u peu plus fortes (mais écessaires), précise le théorème de représetatio e particulier quat à la propriété 4 ci-dessus. Défiitio. U sous-esemble d u espace toplogique est dit être u G δ s il est itersectio déombrable d ouverts. u F σ s il est réuio déombrable de fermés. Théorème 26. Soiet, Λ, M et µ comme das le théorème précédet. O suppose de plus que est déombrable à l ifii. O a alors les propriétés supplémetaires suivates : 1. Pour tout M et tout ε > 0, il existe u esemble fermé F et u ouvert V tels que F V et µ(v F ) < ε. 2. Pour tout M µ() = sup{µ(k) K, K compact}. (La mesure µ vérifiat cet éocé et le poit 4 du théorème précédet est dite régulière.) 3. Pour tout M, il existe deux sous-esembles A et B tels que A est u F σ, B est u G δ, A B et µ(b A) = 0. C est à partir de ce résultat que l o peut costruire la mesure de Lebesgue sur R d. 4 Itégrer les foctios de deux variables Nous allos doer das cette partie le théorème de Fubii. Ue première difficulté das ce cadre est d abord de défiir la mesure produit. 4.1 Tribu produit Soiet (, M) et (, N) deux espaces mesurables. U esemble de la forme A B où A M et B N est appelé rectagle élémetaire. Défiitio. O appelle tribu produit et l o ote M N la tribu egedré par les rectagles élémetaires. Pour tout sous-esemble et pour tout x, y, o pose x = {z (x, z) }, y = {t (t, y) }. Lemme 27. Quels que soiet M N, x et y, l esemble x appartiet à N et y appartiet à M. Ue otio utile (das la costructio de mesures et de tribu) est celle de classe mootoe : Défiitio. Soiet u esemble et Z P(). Z est appelé ue classe mootoe s il est stable par itersectio de suite décroissate et réuio de suite croissate : si (A ) N et (B ) N das Z N vérifiet, pour tout, A A +1, B B +1, alors N A et N B appartieet à Z. Les tribus sot évidemmet des classes mootoes. Il y a des classes mootoes qui e sot pas des tribus. L itersectio de classes mootoes est ecore ue classe mootoe, ceci permet de défiir la plus petite classe mootoe (ou la classe mootoe egedrée) coteat ue famille d esembles. Théorème 28. M N est la plus petite classe mootoe coteat les rectagles élémetaires. Pour toute foctio f : Z o otera f y : Z; x f(x, y) pour tout y. De même, pour x o défiit f x : Z Lemme 29. Soit Z u espace topologique. Si f : Z est (M N)-mesurable alors pour tout x, f x est N-mesurable et pour tout y, f y est M-mesurable. 4.2 Mesure produit Défiitio. U espace mesuré (, M, µ) est dit σ-fiie si est réuio déombrable d esembles de mesure fiie : ( ) N M N, = N et, pour tout N, µ( ) <. Théorème 30. Soiet (, M, µ) et (, N, ν) deux espaces mesurés σ-fiis. Soit aussi Q M N. La foctio ϕ : [0, + ] défiie par, pour tout x, ϕ(x) = ν(q x ), est alors M-mesurable. De même ψ : [0, + ]; y µ(q y ) est N-mesurable. outre l o a ϕ(x)dµ(x) = ψ(y)dν(y). Défiitio. O appelle mesure produit et l o ote µ ν la foctio qui à Q M N associe (µ ν)(q) la valeur commue des itégrales précédetes. Remarquos que, pour tout x, ϕ(x) = 1 Q(x, y)dν(y). De même, pour y, ψ(x) = 1 Q(x, y)dµ(x). Le résulat du théorème se réécrit doc ( 1 Q (x, y)dν(y) ) dµ(x) = ( 1 Q (x, y)dµ(x) ) dν(y). 4.3 Le théorème de Fubii Théorème 31. Soiet (, M, µ) et (, N, ν) deux espaces mesurés σ-fiis. Soit f ue foctio (M N)- mesurable sur. 1. Si f : [0, + ] et si l o défiit ϕ(x) = f x dν, ψ(y) = f y dµ, (x, y), alors ϕ est M-mesurable, ψ est N et ϕdµ = fd(µ ν) = ψdν. 2. Si f : C et si ϕdµ < où ϕ est défiie par ϕ(x) = f x dν, x, alors f L 1 C (µ ν). 7

8 3. Si f L 1 C (µ ν), alors Pour µ-presque tout x, la foctio f x appartiet à L 1 C (ν) et l o peut poser ϕ(x) = f xdν. Pour ν-presque tout y, la foctio f y appartiet à L 1 C (µ) et l o peut poser ψ(y) = f y dµ. La foctio ϕ est das L 1 C (µ), la foctio ψ est das L 1 C (ν). O a l égalité ϕdµ = fd(µ ν) = ψdν. O peut bie sûr écrire la derière coclusio du théorème sous la forme suivate : ( ) f(x, y)dν(y) dµ(x) = fd(µ ν) = ( ) f(x, y)dν(x) dν(y). La tribu cosidérée sur le produit das le résultat précédet red certaies coclusios plus directes à exprimer. Si o remplace cette tribu sur par sa complétio, quelques précautios doivet être prises. Défiitio. Soit (, M, µ) u espace mesuré, o dit qu il est complet si M = M. Autremet dit, pour tout A, s il existe M avec A et µ() = 0, alors A M. Théorème 32. Soiet (, M, µ) et (, N, ν) deux espaces mesurés σ-fiis et complets. Soit (M N) la complétio de (M N) pour la mesure produit µ ν. Soit efi f ue foctio (M N) -mesurable sur. Les coclusios du théorème 31 sot ecore vérifiées, la seule différece état : La foctio f x défiie sur est N-mesurable uique pour µ-presque tout x et aisi la foctio ϕ est défiie que µ-presque partout ; de même f y est mesurable que ν-presque tout y et ψ est défiie que ν-presque partout. 8